skkn một số phương pháp xác định công thức tổng quát của về dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bối cảnh:
Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học
tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai khơng”; “
Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm
học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây
dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã
khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy
học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng
phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thơng tin vào q trình dạy học ". Do đó
trong q trình dạy học địi hỏi các thầy cơ giáo phải tích cực học tập; khơng ngừng
nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học,
sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học
tập cho các em.
1.2 Lý do chọn đề tài:
Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích
tốn học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình
tốn lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên quan tới nội
dung này thường là khó với các em.
Qua thực tế giảng dạy chương trình chun tốn lớp 11 những năm qua, cũng
như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tơi nhận thấy một dạng tốn
khá cơ bản về dãy số là bài tốn tìm số hạng tổng qt. Lý thuyết đại số và các bài
toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích tốn
học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần
như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác

nhau bài tốn này thực sự khơng phải là dễ với học sinh.
Xuất phát từ các lí do trên tơi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định
công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội dung
các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào
đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chun tốn cũng như việc ơn thi học sinh
giỏi các cấp.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
1


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy
từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và cấp
số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao.
1.4 Mục đích nghiên cứu:
Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với
tính tư duy trừu tượng của nó, nên tơi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những
phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những
vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần
chất lượng giảng dạy học nói chung và mơn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.
1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, khơng
áp đặt hoặc dập khn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải

quyết các bài toán lạ, các bài tốn khó.

2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:
a) Phương pháp quy nạp toán học
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số ( un ) gọi là dãy số tăng nếu un < un+1 ,

∀n ∈ ¥ *
*
* Dãy số ( un ) gọi là dãy số giảm nếu un > un+1 , ∀n ∈ ¥
*
Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ra ( un ) là dãy số tăng
*
Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ suy ra ( un ) là dãy số giảm
*
* Nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ thì ( un ) bị chặn trên
*
* Nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m , ∀n ∈ ¥ thì ( un ) bị chặn dưới
* Nếu dãy số ( un ) bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng
* Dãy số ( un ) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , trong đó d là số
khơng đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì un = u1 + ( n − 1) d
2


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

* Nếu dãy số ( un ) là cấp số cộng thì tổng

S n = u1 + u2 + ... + un =

n
( u1 + un )
2

d) Cấp số nhân
* Dãy số ( un ) là cấp số nhân ⇔ un+1 = un .q với ∀n ∈ ¥ * , trong đó q là số
khơng đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
n−1
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân thì un = u1.q
* Nếu dãy số ( un ) là cấp số nhân vơi q ≠ 1, q ≠ 0 thì tổng

1 − qn
S n = u1 + u2 + ... + un = u1.
1− q
e) Một số đinh lí về giới hạn
- Nếu q < 1 thì lim q n = 0
- Nếu q > 1 thì lim q n = +∞
*
- Nếu các dãy số an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ ¥ và lim an = lim cn = L thì lim bn = L

- Nếu dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên thì ( un ) có giới hạn

Nếu dãy số ( un ) giảm và bị chặn dưới thì ( un ) có giới hn.

2.2 Ni dung nghiờn cu ca ti.
A. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một

Phơng trình sai phân tuyến tính cấp một là phơng trình sai phân dạng :

u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N *
trong đó a,b, là các hằng sè ,a # 0 vµ f n lµ biĨu thøc của n cho trớc
Dạng 1
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = α , a.un +1 + b .un = 0

(1.1)

trong ®ã a, b, α cho tríc n ∈ N *
Ph¬ng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 để tìm Khi đó un = q n (q là hằng
số ) , trong đó q đợc xác định khi biết u1 =
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng
1 và công bội bằng 2
3


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Bài giải Ta có

un +1 = 2 un , u1 = 1

(1.2)

Phơng trình đặc trng có nghiệm = 2 VËy un = c.2n . Tõ u1 = 1 suy ra c =
un = 2n 1
Dạng 2

1
Do đó
2

Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , aun+1 + bun = f n , n ∈ N *

(2 .1)

trong đó f n là đa thức theo n
Phơng pháp giải
0
*
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 ta tìm đợc Ta có un = un + un Trong
0
*
đó un là nghiệm của phơng trình thuần nhất (1.1) và un là nghiệm riêng tuỳ ý của
0
phơng trình không thuần nhất (2.1) Vậy un = q. n q là hằng số sẽ đợc xác định sau
*
Ta xác định un nh sau :

*
1) Nếu #1 thì un là đa thøc cïng bËc víi f n
*
2) NÕu λ =1 th× un = n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n
*
*
Thay un vào phơng trình, đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của un

Bài toán 2: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 2; un +1 = un + 2n, n ∈ N *

(2.2)

0
*
Bài giải Phơng trình đặc trng 1 = 0 cã nghiÖm λ = 1 Ta cã un = un + un trong ®ã
0
*
*
un = c.1n = c, un = n ( an + b ) Thay un vào phơng trình (2.2) ta đợc

( n + 1) a ( n + 1) + b  = n ( an + b ) + 2n



(2.3)

thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta đợc hệ phơng trình sau
3a + b = 2

a = 1
⇔

5a + b = 4 b = −1
Do ®ã un = n ( n − 1)
0
*
Ta cã un = un + un = c + n ( n 1) Vì u1 = 2 nên 2 = c + 1( 1 − 1) ⇔ c = 2

4


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

2
VËy un = 2 + n ( n − 1) , hay un = n − n + 2

Dạng 3
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , a.un +1 + bun = v.µn , n ∈ N *

(3.1)

trong đó f n là đa thức theo n
Phơng pháp giải
0

*
Giải phơng trình đặc trng a. + b = 0 ta tìm đợc Ta có un = un + un Trong
0
*
đó un = c. n , c là hằng số cha đợc xác định , un đợc xác định nh sau :

1) NÕu λ # µ
2) NÕu λ = µ

*
th× un = A.µ n
*
th× un = A.n.µ n

*
*
Thay un vào phơng trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính đợc các hệ số của un . Biết
0
*
u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tÝnh đợc c

Bài toán 3: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 1; un +1 = 3.u n + 2 n , n N *

(3.2)

0
*
Bài giải Phơng trình đặc trng λ − 3 = 0 cã nghiÖm λ = 3 Ta cã un = un + un trong

0
*
®ã un = c.3n , un = a.2n
*
Thay un = a.2n vào phơng trình (3.2) , ta thu đợc

a.2n+1 = 3a.2n + 2n ⇔ 2a = 3a + 1 ⇔ a = −1
Suy ra un = −2n Do ®ã un = c.3n − 2n vì u1 = 1 nên c=1 Vậy un = 3n 2n
Dạng 4
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f 2 n , n N *

(4.1)

Trong đó f1n là ®a thøc theo n vµ f 2 n = v.µ n
Phơng pháp giải
0
*
0
Ta có un = un + u1*n + u2 n Trong đó un là nghiệm tổng quát của phơng trình
*
thuần nhất aun+1 + bun = 0 , un là một nghiệm riêng của phơng trình không thuần

5


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

*
nhÊt a.un+1 + b.un = f1n , u2n là nghiệm riêng bất kỳ của phơng trình không thuần nhất

a.un+1 + b.un = f 2 n
Bài toán 4: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 1; un +1 = 2un + n 2 + 3.2n , n ∈ N *

(4.2)

*
Bài giải Phơng trình đặc trng 2 = 0 cã nghiÖm λ = 2 Ta cã un = un0 + u1*n + u2 n
0
*
*
trong ®ã un = c.2n , un = a.n 2 + b.n + c , u2 n = An.2n
*
Thay un vào phơng trình un+1 = 2.un + n 2 , ta đợc

a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an 2 + 2bn + 2c + n 2
2

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
2a c = 1
 a = −1


⇔ b = −2

a − b − c = 4
2a + 2b + c = −9 c = −3


*
VËy u1*n = − n 2 − 2n 3 thay u2n vào phơng trình un+1 = 2.un + 3.2n Ta đợc

A ( n + 1) 2n+1 = 2 An.2 n + 3.2n ⇔ 2 A ( n + 1) = 2 An + 3 ⇔ A =

3
2

VËy
3
*
u2 n = n.2n = 3n.2n −1
2
n
2
n −1
Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 . Ta cã u1 = 1 nªn 1 = 2c − 2 + 3 ⇔ c = 0

VËy un = 3n.2n−1 − n 2 − 2n − 3
B. Ph¬ng trình sai phân tuyến tính cấp hai
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai là phơng trình sai phân dạng
u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n ∈ N *
trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 vµ f n lµ biĨu thøc cđa n cho tríc

6

Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số
thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )
Dạng 1
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.un 1 = 0, n N *

(5.1)

Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. 2 + b. + c = 0 tìm Khi đó
1) Nếu 1 , 2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un = A.1n + B.2n , trong đó A và B
đợc xác ®Þnh khi biÕt u1 , u2
n
2) NÕu λ1 , λ2 là hai nghiệm kép 1 = 2 = thì un = ( A + Bn ) .λ , trong đó A và

B đợc xác định khi biết u1 , u2
Bài toán 5: Tìm un thoả mÃn điều kiện sau
u0 = 1, u1 = 16, un + 2 = 8.un+1 16.un

(5.1)

Bài giải Phơng trình đặc trng 2 8λ + 16 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 4

Ta cã
un = ( A + B.n ) .4 n

(5.2)

Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu đợc hệ phơng trình
u0 = 1 = A
A =1



u1 = ( 1 + B ) .4 = 16  B = 3

n
VËy un = ( 1 + 3n ) .4

Dạng 2
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = , u2 = , a.un+1 + b.un + c.un−1 = f n , n ≥ 2, (6.1)
trong ®ã a # 0, f n là đa thức theo n cho trớc
Phơng pháp giải
7


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Giải phơng trình đặc trng a. 2 + b. + c = 0 để tìm . Khi ®ã ta cã
0
*
0
un = un + un , trong ®ã un là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần nhất
*
a.un+1 + b.un + c.un −1 = 0 vµ un lµ một nghiệm tuỳ ý của phơng trình

a.un+1 + b.un + c.un 1 = f n
0
*
Theo dạng 1 ta tìm đợc un , trong đó hệ số A, B cha đợc xác định , un đợc xác định

nh sau :
*
1) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
2) Nếu = 1 là nghiệm đơn thì un = n.g n , g n là đa thức cïng bËc víi f n
*
3) NÕu λ = 1 lµ nghiƯm kÐp th× un = n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với f n ,
*
*
Thay un vào phơng trình , đồng nhất các hệ số, tính đợc các hệ số của un . Biết u1 , u2
0
*
tõ hÖ thøc un = un + un tÝnh đợc A, B

Bài toán 6: Tìm un thoả mÃn điều kiÖn

u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = n + 1, n ≥ 2

(6.2)

Bài giải Phơng trình đặc trng 2 2 + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 1 Ta cã
0
*
0
*
un = un + un trong ®ã un = ( A + B.n ) .1n = A + Bn, un = n 2 ( a.n + b )
*
Thay un vào phơng trình (6,2) , ta đợc

( n + 1)

2

a ( n + 1) + b  − 2n 2 ( a.n + b ) + ( n − 1)  a ( n − 1) + b  = n + 1




2

Cho n=1 , n=2 ta thu đợc hệ phơng trình
1

a=

4 ( 2a + b ) 2 ( a + b ) = 2



6
⇔

9 ( 3a + b ) − 8 ( 2a + b ) + ( a + b ) = 3 b = 1



2
Vậy

n 1
*
un = n 2 + ữ
6 2

Do đó
n 1
0
*
un = un + un = A + Bn + n 2  + ÷
6 2
8


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

Mặt kh¸c
1 1

A = 4
A + B + 6 + 2 =1


⇔

−11
1 1
B=
 A + 2B + 4  + ÷= 0 
3


3 2

VËy
un = 4 −

11
n 1
n + n2 + ữ
3
6 2

Dạng 3
Tìm un thoả mÃn ®iỊu kiƯn

u1 = α , u2 = β , au n+1 + bun + c.u n−1 = d .µ n , n 2

(7.1)

Phơng pháp giải
Giải phơng trình đặc trng a. 2 + b. + c = 0 để tìm λ Khi ®ã ta cã
0
*
0
un = un + un , trong đó un đợc xác định nh dạng 1 và hệ số A và B cha đợc xác định,
*
un đợc xác định nh sau
*
1) Nếu # à thì un = k .µ n
*
2) NÕu λ = µ lµ nghiƯm đơn thì un = k .nà n
*
3) Nếu = µ lµ nghiƯm kÐp th× un = k .n.2 µ n
*
Thay un vào phơng trình , dùng phơng pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính đợc hệ
0
*
số k . BiÕt u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tính đợc A,B

Bài toán 7: Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = 3.2n , n 2
Bài giải Phơng trình đặc trng 2 − 2λ + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 1 Ta cã
0
*

0
un = un + u1*n trong ®ã un = ( A + B.n ) .1n = A + Bn, un = k .2n
*
Thay un vào phơng trình , ta đợc

k .2n+1 2k .2n + k .2n −1 = 3.2 n ⇔ k = 6

9


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

*
0
*
VËy un = 6.2n = 3.2n+1 . Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2n +1 . (1) Thay u1 = 1, u2 = 0

vào phơng trình (1) ta thu đợc
1 = A + B + 12
A = 2
⇔

0 = A + 2 B + 24  B = −13
VËy
un = 2 − 13n + 3.2n +1
Dạng 4
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n ≥ 2 (8.1)
trong ®ã a # 0 , f n là đa thức theo n và g n = v.à n
Phơng pháp giải
0
*
0
Ta có un = un + u1*n + u2 n trong đó un là nghiệm tổng quát của phơng trình thuần
*
nhất aun +1 + bun + c.un1 = 0 , u1n là nghiệm riêng tùy ý của phơng trình không thuần
*
nhất aun +1 + bun + c.un 1 = f n u2n là nghiệm riêng tùy ý của phơng trình không thuần

nhất aun +1 + bun + c.un 1 = g n
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm un thoả mÃn điều kiện

u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n , n 2 (8.2)
Bài giải Phơng trình đặc trng λ 2 − 2λ − 3 = 0 cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = 3 Ta cã
0
*
un = un + u1*n + u2 n

trong ®ã
0
*
un = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2 n = k .2n
n

*

Thay u1n vào phơng trình un+1 2un 3un1 = n , ta đợc

a ( n + 1) + b − 2 ( an + b ) − 3  a ( n − 1) + b  = n ⇔ ( 4a + 1) n − 4 ( a − b ) = 0


VËy
a=b=−

1
4
10


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Do đó
*
un =

1
( n + 1)
4

*
Thay u2n vào phơng trình un+1 2un 3un 1 = 2n , ta đợc

k .2n+1 2.k .2n = 3.k .2n −1 = 2n ⇔ k = −

2
3

Do ®ã
2
1
*
u2 n = − .2n = − .2n+1
3
3
VËy
0
*
un = un + u1*n + u2 n = A ( −1) + B.3n −
n

1
1
( n + 1) − .2n+1 (8.3)
4
3

Ta thay u1 = 1, u2 = 0 vào (8.3) ta đợc hệ phơng trình
1 4
61


A + 3B − − = 1  A = −




2 3
48
⇔

 A + 9B − 3 − 8 = 0
 B = 25


4 3
48


VËy
un = −

61
25
1
1
n
.( −1) + .3n .( n + 1) .2 n+1
48
48
4
3

C. Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba
Phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba là phơng trình sai phân dạng

u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + 2 + bun+1 + c.un + d .un−1 = f n , n ≥ 2 (a.1)
trong ®ã a,b,c, d, , , là các hằng số , a # 0 vµ f n lµ biĨu thøc của n cho trớc
(NX: Phơng trình đặc trng của phơng trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba
nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trờng số
thực , tức là chỉ xét nghiệm thực )
Phơng pháp giải

11


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyÕn tÝnh cÊp ba cã d¹ng
0
*
0
un = un + un , trong đó un là nghiệm tổng quát của phơng trình tuyến tính thuần nhất,
*
un là một nghiệm riêng của phơng trình tuyến tính không thuần nhất

Xét phơng trình đặc trng
aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0

(a.2)

1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phơng trình sai phân tuyến tính cấp
ba thuần nhất

a) Nếu (a.2) cã ba nghiƯm thùc λ1 , λ2 , λ3 ph©n biƯt th×
0
un = a1 .λ1n + a2 .λ2n + a3 .λ3n

b) NÕu (a.2) cã mét nghiƯm thùc béi 2 vµ một nghiệm đơn (1 = 2 # 3 )
thì
0
un = (a1 + a2 n)λ1n + a3 .λ3n

c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3 (λ1 = λ2 = λ3 ) th×
0
un = (a1 + a2 n + a3 n 2 )1n
*
2) Xác định nghiệm riêng un của phơng trình (a.1)

ã Xét f n là đa thức của n ta có
*
a) Nếu #1 thì un là đa thức cùng bậc với f n
*
b) Nếu = 1 (nghiệm đơn ) thì un = n.g n , g n là ®a thøc cïng bËc víi f n
*
c) NÕu λ = 1 (béi 2 ) th× un = n 2 .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
*
d) NÕu λ = 1 (béi 3) th× un = n3 .g n g n là đa thức cùng bậc với f n
n
ã Xét f n = v.à ta có
*
a) Nếu # à thì un = k .n.à n
*
b) Nếu = à (nghiệm đơn ) thì un = k .µ n

*
c) NÕu λ = µ (nghiƯm béi s ) thì un = k .n s .à n

Bài toán 9: T×m d·y sè (un ) biÕt r»ng
u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− 2 + 5.un −3 , n ≥ 4 (9.1)
12


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Bµi giải

Xét phơng trình đặc trng

3 7 2 + 11λ − 5 = 0
cã 3 nghiÖm thùc

λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5
VËy un = c1 + c2 n + c3 5n
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phơng trình tạo thành, ta đợc
c1 =

1
3
1
, c2 = , c3 =
16
4
16

VËy un = −

1 3
1
+ ( n − 1) + .5n 1
16 4
16

D. Bài tập áp dụng
Bài toán 10: Cho dÃy số (an ) đợc xác định theo c«ng thøc sau

a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n ≥ 2 (10.1)
Chøng minh sè A = 4.an .an+ 2 + 1 là số chính phơng
Bài giải Ta có

an+1 = 2an an−1 + 1

(10.2)

Trong (9.2) ta thay n bëi n-1, ta đợc
an = 2an 1 an 2 + 1

(10.3)

Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu đợc
an+1 3an + 3an1 an 2 = 0

(10.4)

Phơng trình đặc trng cđa (10.4) lµ

λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0
cã nghiƯm λ = 1 lµ nghiƯm béi bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình (10.4) là
an = (c1 + c2 n + c3 n 2 )1n
Cho n=0, n=1, n=2 ta đợc

13

Nm hc: 2013


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

0 = c1
c1 = 0


⇔
1 = c2 + c2 + c3
1
3 = c + 2c + 4c
c2 = c3 = 2

1
2

3

Ta thu đợc an =

n ( n + 1)
và từ đó ta có
2

A = 4an .an + 2 + 1 = ( n 2 + 3n + 1)

2

§iỊu này chứng tỏ A là một số chính phơng
Bài toán 11: Cho dÃy số ( xn ) đợc xác định theo c«ng thøc sau

x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = 4 xn + 5 xn −1 − 1975 ( n 2 )

(11.1)

Chứng minh rằng x1996 M1997
Bài giải XÐt d·y sè ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ

yn +1 = 4 yn + 5 yn −1 + 22 ( n ≥ 2 )

(11.2)

DÔ thÊy yn ≡ xn ( mod1997 ) . Do ®ã chØ cần chứng minh
y1996 0 ( mod1997 )
Đặt zn = 4 yn + 11 suy ra z1 = 39, z2 = 211 . NhËn xÐt r»ng
zn +1 = 4 yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = 4 zn + 20 yn−1 + 55

Ta l¹i cã
zn −1 = 4 yn −1 + 11 suy ra 20 yn−1 = 5 zn−1 − 55

(11.4)

ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta đợc
zn +1 = 4 zn + 5 zn1
Suy ra
zn +1 4 zn 5 zn1 = 0

(11.5)

Phơng trình đặc trng của (11.5) là

2 4 5 = 0 cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = 5
NghiÖm tổng quát của (11.1) là
zn = ( 1) + 5n β
n

Ta cã
14

(11.3)


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

8

α=

 z1 = −α + 5β = 39

3
⇔

 z2 = α + 25β = 211  β = 25

3

Do đó ta nhận đợc
8
25
n
zn = .( 1) + .5n
3
3

(11.6)

Từ (11.6) ta suy ra
z1996

8 + 25.51996
=
3

Ta cÇn chøng minh
z1996 ≡ 11( mod1997 )
Do
51996 − 1 M1997
 1996
5 − 1 M 3
Nên 51996 1M3.1997 . Từ đó , ta có 51996 = 3n.1997 + 1 , và khi đó
8 25 ( 3n.1997 + 1)
z1996 = +
= 25.n.1997 + 11
3
3
VËy z1996 11( mod 1997 )
E. Bài tập tơng tự
Bài 1: Xác định công thức của dÃy số ( xn ) thoả mÃn các điều kiện sau
1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + 1 − 9n , ∀n ∈ N
2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ 2 = −8.xn+1 + 9 xn
3) x0 = 1, x1 = 3, 2. xn+ 2 − 5 xn+1 + 2 xn = −n 2 − 2n + 3
4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − 4 xn + 4 xn −1 = n 2 − 6n + 5
5) x1 = 1, x2 = 2, xn + 2 − 5 xn+1 + 6 xn = 4
Bµi 2: Cho d·y sè (an ) thoả mÃn điều kiện
15


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

an = an −1 + 2.an −2

a1 = a2 = 1

Năm học: 2013 –

( n ≥ 3)

n∈ N

Chøng minh r»ng an là một số lẻ
Bài 3: Cho dÃy số (bn ) xác định bởi

bn = 2.bn1 + bn 2

b1 = 1, b2 = 2

n∈ N

( n ≥ 3)
n

5
Chøng minh r»ng bn ữ , n N
2
Bài 4:

Cho dÃy số (un ) thoả mÃn điều kiện

un + 2 2.un+1 + un = 2
n∈ N

u0 = 1, u1 = 0



( n ≥ 2)

Chøng minh r»ng un lµ mét sè chÝnh phơng
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 4 Toán 11 Lần thứ VIII 2002
NXB giáo dục )
Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n nh sau
un ∈ Z + , ∀∈ N

u0 = 1, u1 = 9
u = 10.u − u
∀n ∈ N , n ≥ 2
n −1
n−2
 n
Chøng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 1
1) uk2 + uk2−1 − 10uk .uk −1 = −8
4
2
2) 5.uk − uk −1 M va 3.uk2 − 1M
( M kÝ hiệu chia hết )
Bài 6:

Cho dÃy số (un ) thoả m·n ®iỊu kiƯn

un + 2 = 2un +1 + 2un − un −1 , n ∈ N *
Chøng minh r»ng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M + 4.an+1an đều là số
chính phơng
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356)

16


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Cho dÃy số (ai ) ( i=1,2,3,4)đợc xác ®Þnh bëi

a1 = 1, a2 = −1, an = −an 1 2an 2 , n = 3,4,...
Tính giá trị cđa biĨu thøc
2
2
A = 2.a2006 + a2006 .a2007 + a2007

Cho dÃy số nguyên dơng (un ) thoả mÃn điều kiện

Bài 8:

u0 = 20, u1 = 100, un + 2 = 4.un +1 + 5.u n + 20, n ∈ N *
Tìm số nguyên dơng h bé nhất có tính chất
an+ h − an M1998 , n ∈ N

F. X©y dùng bài toán về dÃy số truy hồi
Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một
lớp dÃy số có tính chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp c¸c Thầy cô kiểm tra
kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm
các bài toán mới về dÃy số.
Dới đây là một số ví dụ xây dựng thêm các bài to¸n vỊ d·y sè cã tÝnh quy

lt ” chØ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát
triển rộng hơn các bài toán khác về dÃy số.
Ví dụ 1:

Xuất phát từ phơng trình

( − 1) ( λ + 9 ) = 0 ⇔

2

+ 8 9 = 0

(12.1)

phơng trình (12.1) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dÃy số có quy luật.
Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo công thức sau
un+ 2 + 8.un+1 + 9.un = 0
cã thÓ cho u0 = 2, u1 = 8 . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau

17


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

 xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0

 x0 = 2, x1 = 8

Nm hc: 2013

n N

Xác định công thức của xn
Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0

 x0 = 2, x1 = 8

n N

Tính giá trị của biểu thức A = x2006 5.x2007 + 4
Ví dụ 2:

Xuất phát từ phơng trình

( λ − 1)

2

= 0 ⇔ λ 2 − 2λ + 1 = 0

(12.2)

phơng trình (12.2) có thể đợc coi là phơng trình đặc trng của một dÃy số có quy luật.
Chẳng hạn dÃy số (un ) đợc xác định theo c«ng thøc sau
un+ 2 − 2.un +1 + un = 2
cã thÓ cho u0 = 1, u1 = 0 khi đó vận dụng thuật toán trên xác định đợc công thøc tỉng
qu¸t cđa d·y sè

xn = ( n − 1)

2

Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Xác định công thức của dÃy số ( xn ) thoả mÃn các điều kiện sau
xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2
n∈ N

x0 = 1, x1 = 0

Bài toán 2: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
xn + 2 2 xn+1 + xn = 2
n∈ N

x0 = 1, x1 = 0

Chứng minh rằng xn là một số chính phơng
Bài toán 3: Cho dÃy số ( xn ) xác định nh sau
 xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2
n N

x0 = 1, x1 = 0

Xác định số tự nhiªn n sao cho
xn+1 + xn = 22685
18


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm

2014

Năm học: 2013 –

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này,
nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung
để làm nổi bật được nội dung cần phân tích.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài
tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có
được sự kết luận tồn diện nên giữa học kì II năm học 2013 – 2014 khi học sinh đã
học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 11A1,
11A2 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay
đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được.
Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài cịn
lớp 11A2 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài.
Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm
như sau:
Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh)
Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh)

Điểm
Lớp

1 1 – 2,5 3 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,59 9– 10

Lớp 11A1

0%

2%

18%

20%

60%

Lớp 11A2

4%

28%

52%

14%

2%

Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực
nghiệm và lớp cịn lại khơng được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung
đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao qt
về cách giải các bài tốn về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không
chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp
19


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm

2014

Năm học: 2013 –

phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với mơn Tốn vì trong đó thường có
các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.

20


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm học: 2013 –

3. KẾT LUẬN
3.1. Những bài học kinh nghiệm:
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với mơn học này thì
người giáo viên phải có một số kỹ năng sau:
* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc.
* Kỹ năng trình bày lời giải.
3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh
tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và
kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai:
Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảng
dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn
đề.

3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với mơn học, bản thân có kiến nghị với
phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số tài liệu
tham khảo và thường xuyên tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm
giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.

Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014
Người Viết

Đào Hữu Trang

21


Trường THPT Trần Hưng Đạo - Sáng Kiến Kinh Nghiệm
2014

Năm hc: 2013

Tài liệu tham khảo
1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phơng pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học
Quốc Gia Hà Nội 2004
2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo
Dục
3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản
Giáo Dục
4) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 ,

Nhà xuất bản Giáo Dục

5) Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và
giải tích 11,

Nhà xuất bản Giáo Dục

6) Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dÃy số , Nhà xuất bản Giáo Dục
- 2003

22