(SKKN CHẤT 2020) CHUYÊN đề một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG mẫu mực

SGI ODệCV

OT OVNHPHểC

TRìNG THCS & THPT HAI B

TRìNG

MáT Să PHìèNG PH P GI I H
PH×ÌNG TR NH KH˘NG M U
MÜC

NGUY N THÀ THANH HUY N

PHÓC Y N - 2014

download by :


Möc löc

Mð ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ch÷ìng 1. Phƒn nºi dung
1.1

Mºt sŁ h» ph÷ìng trnh
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5

1.1.6

1.2

Mt s kin thức cn nm

khổng mÔu mỹc . . . . .
1.3

Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p gi£i
1.3.1
1.3.2
1.3.3

Ch÷ìng 2. Mºt sŁ b i t“p tü luy»n
2.1

B i t“p tü luy»n . . . . . . .

K‚t lu“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

download by :


M U
1. L do chồn ã t i
Hằ phữỡng trnh l mºt d⁄ng to¡n kh¡ phŒ bi‚n trong c¡c • thi tuyn
sinh v o cĂc trữớng THPT chuyản, lợp chồn v ã thi hồc sinh giọi cĂc
cĐp, c biằt l thi hồc sinh giọi mổn toĂn lợp 9.
i vợi nhiãu håc sinh, b i to¡n gi£i h» ph÷ìng tr…nh ÷ỉc coi l b i

toĂn khõ, ặi họi ngữới hồc phÊi cõ nông lỹc tữ duy logic, kin thức
phÊi chc chn vã hằ phữỡng trnh.
Chnh v vy giÊi hằ phữỡng trnh luổn gƠy ữổc sỹ hĐp dÔn
i vợi ngữới dy lÔn ngữới hồc. Cõ nhiãu phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng
trnh, tuy nhiản khổng cõ phữỡng phĂp n o vn nông ” gi£i ÷ỉc måi
b i to¡n.
Trong qu¡ tr…nh gi£ng d⁄y hồc sinh ổn thi v o lợp 10 v bỗi dữùng
hồc sinh giọi toĂn 9,tổi thĐy hồc sinh gp phÊi khõ khôn v lúng túng
khi giÊi hằ phữỡng trnh c biằt l cĂc hằ phữỡng trnh khổng mÔu
mỹc. L m th‚ n o ” håc sinh câ th” t…m tỈi khĂm phĂ ữa viằc giÊi cĂc
hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc vã giÊi hằ phữỡng trnh quen
thuc, cỡ bÊn l vĐn ã trôn tr, suy nghắ ca bÊn thƠn tổi cụng nhữ
nhiãu ỗng nghiằp. bỗi dữùng chuyản mổn ỗng thới giúp cĂc em hồc
sinh lợp 9 cõ thảm mt v i phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trnh nản tổi
vit chuyản ã vợi tản ã t i:
"Mt s phữỡng phĂp
giÊi hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc"
Vợi mt s phữỡng phĂp gi£i h» n y tæi hi vång s‡ câ t¡c dưng trong
vi»c r–n luy»n t÷ duy to¡n håc cho c¡c em hồc sinh v l nguỗn t i liằu
nhọ giúp c¡c em luy»n t“p n¥ng cao ki‚n thøc phưc vư cho c¡c k… thi

download by :


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

hồc sinh giọi v ổn thi v o lợp 10.

2. Mửc

ch nghiản cứu

Trang b cho hồc sinh vã mt s phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng tr
nh khổng mÔu mỹc mng li hiằu quÊ rê rằt.
Bỗi dữùng cho hồc sinh vã phữỡng phĂp, kắ nông giÊi toĂn, qua õ
hồc sinh nƠng cao khÊ nông tữ duy sĂng to.
3. Nhiằm vử nghiản cứu
Thổng qua tm tặi, tng hổp ữa ra ữổc cĂc dng b i t“p v
ph÷ìng ph¡p gi£i cho tłng d⁄ng b i to¡n gióp håc sinh câ ki‚n thøc ch›c
v• nºi dung ht sức quan trồng ca chữỡng trnh.
4.

i tữổng nghiản cứu
Hằ phữỡng trnh trong chữỡng trnhi s 9.
PhƠn loi cĂc dng toĂn v phữỡng phĂp giÊi mỉi dng

5. Phm vi nghiản cứu v giợi hn nghiản cứu
Chuyản ã ữổc xƠy dỹng, nghiản cứu v trin khai trong chữỡng tr
nh toĂn i s 9
Hằ phữỡng trnh khổng mÔu mỹc
6.

Phữỡng phĂp nghiản cứu

Tham kh£o s¡ch, b¡o, t i li»u.
Thüc ti„n gi£ng d⁄y
GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 4


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

Tham khÊo cĂc ã thi HSG cĂc tnh, ã thi cĂc trữớng chuyản

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 5


Chữỡng 1
NáI DUNG
1.1

MáT Să H

1.1.1

H

PHìèNG TR NH THìNG G P

PHìèNG TR NH B C NH T HAI

N
(

ành ngh¾a 1.1. L h» ph÷ìng tr…nh câ d⁄ng:

ax + by
0

= c (1)
0

0

a x + b y = c (2)
trong â ph÷ìng tr…nh (1), (2) l phữỡng trnh bc nhĐt hai 'n x v y.

C¡ch gi£i: Vỵi h» n y ta câ th” gi£i bng nhiãu cĂch khĂc nhau nhữ:
Phữỡng phĂp th
Phữỡng phĂp cng i s
Phữỡng phĂp ỗ th
Sò dửng mĂy tnh cm tay
Phữỡng ph¡p t‰nh theo ành thøc,...
1.1.2

H

BA PH×ÌNG TR NH B C NH T BA

ành
8

>

>

ngh¾a
a1x + b1y + c1z = d1 (1)

<

>

N

a2x + b2y + c2z = d2 (2)

trong

â ph÷ìng tr…nh (1), (2) v

>

:

a3x + b3y + c3z = d3 (3)

l ph÷ìng tr…nh b“c nh§t ba 'n x; y v z.
C¡ch gi£i: Vợi hằ n y ta cõ th giÊi bng nhiãu c¡ch kh¡c nhau nh÷:

(3)


download by :


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

Phữỡng phĂp th
Phữỡng phĂp cng i s
Phữỡng phĂp ỗ th
Sò dửng mĂy tnh cm tay
Phữỡng phĂp tnh theo nh thức,...
1.1.3

H GM MáT PHìèNG TR NH B C NH T HAI N V M¸T PHìèNG
TR NH KH C

nh nghắa 1.3. L hằ phữỡng trnh câ d⁄ng
(
ax + by + c = 0
f(x; y) = 0
trong â x; y l 'n v f(x; y) l bi”u thøc chøa hai bi‚n x; y
C¡ch gi£i: Vỵi h» n y ta cõ th giÊi bng:
Phữỡng phĂp th
1.1.4

H

ăI XNG LO I 1

nh nghắa 1.4. L hằ phữỡng trnh m khi ta thay Œi vai trỈ cıa
hai 'n cho nhau trong mØi ph÷ìng tr…nh th… tłng ph÷ìng tr…nh â
khỉng thay i
CĂch giÊi:
Bữợc 1: Bin i tữỡng ữỡng l m xuĐt hiằn x + y v x:y
Bữợc 2:

t S = x + y v P = x:y (vỵi S

2

4P )

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 7


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Bữợc 3: GiÊi hằ phữỡng trnh vợi 'n mợi l
Bữợc 4: Tm nghiằm x; y ca hằ phữỡng trnh  cho
1.1.5

H

ăI XNG LO I 2

nh nghắa 1.5. L hằ phữỡng trnh m khi ta thay i vai trặ ca
hai 'n cho nhau trong mỉi phữỡng tr…nh, ph÷ìng tr…nh n y bi‚n th
nh ph÷ìng tr…nh kia v ng÷ỉc l⁄i.
C¡ch gi£i: Trł v‚ cho v‚ t÷ìng øng ca cĂc phữỡng trnh bin i
vã phữỡng trnh tch cõ nhƠn tò l x y, rỗi th 'n n y theo 'n kia ” gi£i
h» ph÷ìng tr…nh.
1.1.6

H

NG C P B C HAI

ăI VI HAI BI N x & y
(

nh nghắa 1.6. L hằ phữỡng trnh cõ dng

2

2

ax + bxy + cy = d
0 2

0

0 2

0

a x + b xy + c y = d

C¡ch gi£i:
N‚u x 6= 0 th… ta t y = kx rỗi nhn xt v chia v‚ cho v‚ ta ÷ỉc ph÷ìng
tr…nh 'n k, t…m ÷ỉc k tł â t…m ÷ỉc x; y
N‚u x = 0 th vit li hằ phữỡng trnh  cho v giÊi hằ phữỡng trnh õ.

1.2

MáT Să KI N THC C N N M VÚNG KHI GI I H PH×ÌNG TR NH
KH˘NG M U MĩC

CĂc hng flng thức.
CĂc phữỡng phĂp phƠn tch a thức th nh nhƠn tò
GV: Nguyn Th Thanh Huyãn

download by :

Trang 8


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

NhƠn ỡn thức vợi a thức, nhƠn a thức vợi a thức T

nh v

0

C¡ch gi£i ph÷ìng tr…nh b“c hai, b“c ba, b“c bŁn,...
C¡c php bin i tữỡng ữỡng.

GV: Nguyn Th Thanh Huyãn

download by :

Trang 9


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

1.3

Chuyản ã ToĂn

MáT Să PHìèNG PH P GI I H PH×ÌNG TR NH KH˘NG M U
MÜC

Khỉng câ ph÷ìng ph¡p chung ” gi£i måi h» ph÷ìng trnh khổng
mÔu mỹc. Tũy theo c trững cĂc phữỡng trnh cıa h» m ta lüa chån
nhœng ph÷ìng ph¡p nh÷: Bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng, ph÷ìng ph¡p th‚, ph÷ìng
ph¡p °t 'n phư, dũng bĐt flng thức,... dữa hằ Â cho th nh c¡c h» ìn
gi£n hìn ho°c c¡c h» quen thuºc ( mÔu mỹc) t õ ta tm ra tp
nghiằm ca hằ phữỡng trnh.
1.3.1 PHìèNG PH P BI N I TìèNG ìèNG Phữỡng phĂp n y ch yu l sò

dửng cĂc kắ nông bin i ỗng nhĐt c biằt l kắ nông phƠn tch
nhm ữa mt phữỡng trnh ca hằ vã d⁄ng ìn gi£n hìn.

D NG 1 Mºt ph÷ìng tr…nh trong hằ cõ th ữa vã dng tch ca cĂc
phữỡng trnh bc nhĐt hai 'n.
(
V dử 1.1. GiÊi hằ phữỡng trnh:
x
Nhn xt: D d ng thĐy phữỡng trnh (1) ca hằ cõ th ữa vã phữỡng
trnh tch, t õ ta tm ÷ỉc x theo y, thay v o ph÷ìng tr…nh (2), tł
â t…m ÷ỉc gi¡ trà y, gi¡ trà x. Líi gi£i
i•u ki»n: x 1; y 0 ( )

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 10


Tr÷íng THCS &THPT Hai B Tr÷ng

Thay x = 2y + 1 v o ph÷ìng tr…nh (2) v


p

(y + 1)

2y

2 = 0 , y = 2; (do y 0) ) x = 5

Do x = 5; y = 2 thọa mÂn

iãu kiằn (*).

Bng cĂch thò, vy hằ ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l
(x; y) = (5; 2)
(

2

6x

3xy + x = 1

V‰ dư 1.2. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh:
2

2

x +y =1
Líi gi£i
pt (1) , 6x

2

, 6

,
,

Thay x =

1

v o ph÷ìng tr…nh (2) v bi‚n Œi ta ÷ỉc:
3

p

2

y =
9

Thay y = 2x + 1 v o ph÷ìng tr…nh (2) v bi‚n
2

2

x + (2x + 1) = 1 ,

Œi :

2

5x + 4x = 0

, x (5x + 4) = 0

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 11


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

Vợi x = 0 th y = 1

Vợi x =
Bng cĂch thò, vy h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l :

(x; y) = (0; 1) ; (x; y) =

D NG 2: Cºng ho°c trł tng v hai phữỡng trnh rỗi bin i vã phữỡng
trnh t‰ch

V‰ dư 1.3. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh:

(

Líi gi£i Cºng v‚ vợi v ca phữỡng trnh (1) v phữỡng trnh (2) ta ÷ỉc:

3

3

x + y + 6xy = 8 ,(x + y)
,

(x + y

,
,

,

3

2) (x y)2


GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

Trang 12

download by :


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Vợi y = 2 x, thay v o phữỡng trnh (2), ta ữổc:

7x

2

12x

y
x

=

Vợi
Bng cĂch thò, v“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l :

= 2, khỉ

V‰ dử 1.4. GiÊi hằ phữỡng trnh:

Lới giÊi
(I)

Tr v vợi v cıa

x2

:

y


+

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

+

Trang 13


Trữớng THCS &THPT Hai B

Vợi y =
x3 = 4 , x =

r

3

5
2

Vỵi x + y = xy + 1 thay v o ph÷ìng tr…nh (4) ta ÷ỉc:

8

Khi â

> xy =
<

>

B‹ng

c¡ch thò, vy hằ phữỡng trnh cõ nghiằm l :
!
5
25
(x; y) = 3 4; 3
16 ; (x; y) = 1;
r

r

:

3
2

D NG 3:Bin i mt phữỡng trnh ca hằ vã dng phữỡng tr…nh b“c
hai theo mºt 'n chflng h⁄n â l 'n y, lóc â ta xem x l tham sŁ.

Bi”u di„n y qua x b‹ng c¡ch gi£i ph÷ìng tr…nh b“c hai 'n y
V‰ dư 1.5. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh:
(
2
2
y = (x + 8) x + 2 (1)
16x 8y + 16 = 5x 2 + 4xy y 2

Nh“n x†t: Vi‚t ph÷ìng tr…nh (2) vã dng phữỡng trnh bc hai 'n y


0

, x l tham sŁ th… ph÷ìng tr…nh n y câ l b…nh ph÷ìng cıa mºt bi”u
thøc, ta t…m ÷ỉc gi¡ trà y, tł â t…m ÷ỉc x.
GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 14


Tr÷íng THCS &THPT Hai B Tr÷ng

Líi gi£i
Bi‚n Œi ph÷ìng tr…nh (2) vã dng:
y2

y, x l
0

2

Cõ = 9x , phữỡng trnh (3) câ hai nghi»m l
Vỵi y = 4 x thay v o ph÷ìng tr…nh (1) ta ÷ỉc:
(4 x)2 = (x + 8) x2 + 2

Do â h» câ nghi»m

(x; y) = (0; 4) ; (x; y) = ( 2; 6) ; (x; y) = (
Vỵi y = 5x + 4 thay v o ph÷ìng tr…nh (1) ta
2

2

x + 4) = (x + 8) x + 2 , x (x

÷ỉc:

19) (x + 2) = 0 ,

2

6

x=0
x = 19 6

4

x=

2

Do â, H» câ nghi»m:
(x; y) = (0; 4) ; (x; y) = (19; 99) ; (x; y) = ( 2;
B‹ng c¡ch thß, v“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m l :
(x; y) = (0; 4) ; (x; y) = (19; 99) ; (x; y) = ( 2;
( 5;9);

x

2

Nh“n x†t: Vi‚t ph÷ìng tr…nh (1) vã dng phữỡng trnh bc hai 'n x
, y l tham sŁ th… ph÷ìng tr…nh n y câ l b…nh ph÷ìng cıa mºt bi”u
thøc, ta t…m ÷ỉc gi¡ trà x, tł â t…m ÷ỉc y.
2

Líi gi£i Bi‚n Œi ph÷ìng tr…nh (1) v• d⁄ng: x + (y 3) x + (2 y) = 0 (3) l
ph÷ìng tr…nh b“c hai 'n x, y l tham sŁ.
GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

Trang 15


download by :


Trữớng THCS &THPT Hai B Trững

Chuyản ã ToĂn

2

Ta cõ: = (y 1) , khi â ph÷ìng tr…nh (3) câ hai nghi»m l x =
1; x = 2 y
Vỵi x = 1, thay v o ph÷ìng tr…nh (2) ta câ y =

1

2

2

Vợi x = 2 y, thay v o phữỡng trnh (2) ta câ (2 y) +y = 2 , y = 1
khi â x = 1
B‹ng c¡ch thß, v“y h» ph÷ìng tr…nh câ nghi»m:
(x; y) = (1; 1) ; (x; y) = (1;

1.3.2

PHìèNG PH P

T

1)

N PHệ

Phữỡng phĂp n y cõ th t mt hoc hai 'n ữa hằ Â cho th nh h»
ìn gi£n hìn vỵi c¡c 'n phư mỵi. Gi£i h» Łi vỵi 'n phư mỵi, tł â suy ra
nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh ban ƒu.
Câ th” tł hằ phữỡng trnh  cho nhn thĐy ngay 'n phử mỵi,
cơng câ khi ph£i thỉng qua mºt v i ph†p bin i mợi cõ th nh
n thĐy viằc t 'n phư

V‰ dư 1.7. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh:

(

Nh“n x†t:
p

+3 v

y

x2

Líi gi£i
p

°t a =

2

p

x + 3y; b =

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

2

y + 8x (a

0; b

0)

Trang 16


download by :


Trữớng THCS &THPT Hai B

Hằ phữỡng trnh  cho tr th nh:

Do â
a =2

(

b=3


B‹ng c¡ch thß, v“y h» câ nghi»m l
(x; y) = (1; 1); (x; y) = ( 5;
(
V‰ dö 1.8. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh:

2

7)

2

x + y + 2y = 4 (1)

2x + y + xy = 4 (2)

GV: Nguy„n Thà Thanh Huy•n

download by :

Trang 17