63 SKKN toán 8 sử dụng công thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức

MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

- Tên sáng kiến: ‘Sử dụng cơng thức diện tích hình học để sáng tạo và chứng minh bất
đẳng thức’.

Phần 1.Lý do chọn đề tài:
1.1 Cơ sở khoa học:
Trong chương trình tốn học phổ thông, ở tất cả các phân môn: Số học,
Đại số, Hình học, Giải tích thường gặp các bài tốn về bất đẳng thức. Đây là
dạng tốn hay và khó. Để giải các bài toán này ta sử dụng nhiều phương pháp
khác nhau, mức độ thì khó, phạm vi kiến thức liên quan của các bài tốn thì
cũng rất phong phú và đa dạng. Chính điều đó tạo nên đặc thù cho dạng toán
bất đẳng thức, học bất đẳng thức đã khó mà dạy cịn khó hơn. Thế mà, như
chúng ta đã biết đây là một vấn đề vẫn thường xuất hiện trong các đề thi học
sinh giỏi hay vào các trường cao hàng năm. Vì thế, là một giáo viên dạy tốn,
tơi ln trăn trở để làm sao học sinh khơng cịn “sợ” nữa và tiếp cận dạng tốn
này một cách tự tin hơn. Một công việc thường gặp ở một giáo viên chính là
việc ra đề cho học sinh, ra đề về bất đẳng thức lại càng đòi hỏi nhiều sự sáng
tạo.
Từ những tích lũy trong nhiều năm học tốn và dạy tốn tơi nhận thấy
rằng: Có nhiều cách để sáng tạo bất đẳng thức, trong đó việc sử dụng hình
học là một hướng rất sáng tạo và độc đáo có thể cho ta rất nhiều bài tốn hay.
Vì vậy tơi chọn đề tài:
“Sử dụng tính chất hình học để sáng tạo và chứng minh bất đẳng thức”

1.2 Cơ sở thực tiễn:
Bất đẳng thức là một dạng toán khó kể cả khi giải hay ra đề. Việc giúp
cho giáo viên hay học sinh tự mình ra được một đề bài và giải được là nguồn
lực lớn để giáo viên và các em học sinh tự tin, tạo tâm thế tốt khi giải bất đẳng
thức. Việc vận dụng các tính chất hình học vừa giúp các em củng cố kiến thức
hình đồng thời tạo mối liên hệ và vận dụng tốt sự linh hoạt giữa đại số và hình

học để giải quyết bài toán cụ thể.
1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Phần 2. Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lý thuyết
2.1.1 Các công thức tính diện tích
a. Tam giác
1
1
1
S = ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B
2
2
2
abc
S=
4R
S = pr
S=

p ( p − a ) ( p − b) ( p − c)

b. Tứ giác
Hình vng, hình chữ nhật.
Hình thoi.
Hình bình hành.

2.2 Áp dụng
2.2.1 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác
Bài toán dẫn xuất 1.
Cho 3 số thực

a, b, c ∈ [ 0;1]

. Chứng minh rằng:

a ( 1− b) + b ( 1− c) + c ( 1− a) ≤ 1

.

Bạn đọc có thể đưa ra khơng ít cách giải khác nhau, tuy nhiên, ta giải quyết
bài toán theo hướng áp dụng hình học.
Tóm tắt lời giải
Xét tam giác ABC đều, có cạnh bằng 1. Trên AB, BC, CA lấy M, N, P như
hình vẽ. Đặt a = AM, b = CP, c = BN.

2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Ta có đánh giá
S1 + S 2 + S3 ≤ S
1
1
1

1
a ( 1 − b ) sin 600 + b ( 1 − c ) sin 600 + c ( 1 − a ) sin 600 ≤ 1.1sin 600
2
2
2
2
⇔ a ( 1 − b ) + b ( 1 − c ) + c ( 1 − a ) ≤ 1 (dpcm)
⇔

Dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác MNP suy biến tức là trong 3 số a, b, c có
một số bằng 1 và một số bằng 0.
Lời bình:
Xuất phát từ việc phân chia một tam giác ta có ý tưởng đánh giá về diện
tích và chứng minh được bài tốn trên. Ý tưởng này cũng giúp ta có thể phát
triển để sáng tác ra nhiều bài toán tương tự. Chẳng hạn như một số bài toán
sau:
Bài 1. Cho 3 số thực

a, b, c ∈ [ 0; 2]

Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho 3 số thực

Bài 3. Cho 3 số thực

a ( 2 − b) + b ( 2 − c) + c ( 2 − a) ≤ 4

a, b, c ∈ [ 0;3]

Chứng minh rằng:

.
.

.

a ( 3 − b) + b ( 3 − c) + c ( 3 − a) ≤ 9

x, y, z ∈ [ 0; a ] , a > 0

.

.

3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------3


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Chứng minh rằng:

x ( a − y ) + y ( a − z ) + z ( a − x ) ≤ a2

.

Bây giờ ta thử với một tam giác vng có cạnh là 3, 4, 5 ta xây dựng bài
toán mà vai trị của các biến khơng giống nhau như sau:
Bài toán dẫn xuất 2:
Cho các số thực

a ∈ [ 0;3] , b ∈ [ 0;5] , c ∈ [ 0; 4]

4a ( 5 − b ) + 3b ( 4 − c ) + 5c ( 3 − a ) ≤ 60

Chứng minh rằng:
.
Quan sát bất đẳng thức thì khơng ít người có cảm giác ban đầu hơi mất
phương hướng. Tuy nhiên nếu đã biết ý tưởng thì bài tốn có thể giải quyết
đơn giản như sau:
Tóm tắt lời giải:

Xét tam giác vng ABC có AB = 3. BC = 4, AC = 5.
Đặt a = AM, b = CP, c = BN
Ta có đánh giá
S1 + S2 + S3 ≤ S
1
1
1
1
a ( 5 − b ) sin A + b ( 4 − c ) sin C + c ( 3 − a ) sin B ≤ 4.3
2
2
2
2
1
4 1
3 1
1
⇔ a ( 5 − b ) + b ( 4 − c ) + c ( 3 − a ) 1 ≤ 4.3

2
5 2
5 2
2
⇔ 4a ( 5 − b ) + 3b ( 4 − c ) + 5c ( 3 − a ) ≤ 60 ( dpcm)
⇔

Sau đây tơi xin đưa ra một số bài tốn tương tự
4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------4


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Bài 1. Cho các số thực

a ∈ [ 0;5] , b ∈ [ 0;12] , c ∈ [ 0;13]

Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho các số thực

12 a ( 13 − b ) + 5b ( 12 − c ) + 13c ( 5 − a ) ≤ 5.12.13

a ∈ [ 0;1] , b ∈ [ 0;2] , c ∈ 0; 5 
2a

Chứng minh rằng:

(

)

5 − b + b ( 2 − c ) + 5c ( 1 − a ) ≤ 2 5

Bài 3. Cho các số thực dương thỏa mãn
mãn

x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; b] , z ∈ [ 0; c ]

Chứng minh rằng:

a2 + b2 = c2

Chứng minh rằng:

và các số thực x, y, z thỏa

cx ( b − y ) + ay ( c − z ) + bz ( a − x ) ≤ abc

x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; c ] , z ∈ [ 0; c ]

.

.

Bài 4. Cho các số thực dương thỏa mãn
mãn

.

a 2 = 2c 2

.

và các số thực x, y, z thỏa

.

cx ( c − y ) + ay ( c − z ) + cz ( a − x ) ≤ ac 2

.

Đến đây ta tiếp tục xây dựng bài toán dựa trên môt tam giác thường. Trước
tiên cùng xét bài toán:
Bài toán dẫn xuất 3:
Cho các số thực
Chứng minh rằng:

a ∈ [ 0;4] , b ∈ [ 0;5] , c ∈ [ 0;6]

6a ( 5 − b ) + 4b ( 6 − c ) + 5c ( 4 − a ) ≤ 120

.

Tóm tắt lời giải:
Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, BC = 6 như hình vẽ sau

5
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------5

MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Đặt a = AM, b = CN, c = BP. Ta có đánh giá
S1 + S2 + S3 ≤ S
⇔

1
1
1
4.5.6
a ( 5 − b ) sin A + b ( 6 − c ) sin C + c ( 4 − a ) sin B ≤
2
2
2
4R

1
6 1
4 1
5
4.5.6
a ( 5 − b)
+ b ( 6 − c)
+ c( 4 − a)
≤
2
2R 2
2R 2
2R

4R
⇔ 6a ( 5 − b ) + 4b ( 6 − c ) + 5c ( 4 − a ) ≤ 120 (dpcm)
⇔

Lời bình
Quá trình trên cho ta nhìn thấy hướng tổng quát của các bài toán, bắt
đầu là việc xây dựng bài toán dựa trên một tam giác đều rồi tam giác vuông và
cuối cùng là một tam giác bất kì. Là một giáo viên dạy tốn, việc nhìn ra
hướng tổng quát để xây dựng các bài toán tương tự nhằm tạo ra cho bản thân
một ngân hàng đề là hết sức cần thiết. Như vậy các bạn chỉ cần thay đổi số đo
cạnh là có thể có nhiều bài tập hay. Sau đây là một số ví dụ phát triển theo
hướng tổng quát dựa vào một tam giác thường:
Bài 1. Cho các số thực

a ∈ [ 0;5] , b ∈ [ 0;6] , c ∈ [ 0;7 ]

Chứng minh rằng:

6a ( 7 − b ) + 5b ( 6 − c ) + 7c ( 5 − a ) ≤ 210

.

6
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------6


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Bài 2. Cho a, c là các số thực dương và các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện
x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; c ] , z ∈ [ 0; c ]

Chứng minh rằng:
Bài 3. Cho các số thực

.

cx ( c − y ) + ay ( c − z ) + cz ( a − x ) ≤ ac 2

.

a ∈  0; 2  , b ∈ 0; 3  , c ∈  0; 5 
5a

Chứng minh rằng:

(

)

3 − b + 2b

(

)

5 − c + 3c

(

)

2 − a ≤ 30

.

Bài 4. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và các số thực x, y, z thỏa
mãn

x ∈ [ 0; a ] , y ∈ [ 0; b] , z ∈ [ 0; c ]

Chứng minh rằng:

.

cx ( b − y ) + ay ( c − z ) + bz ( a − x ) ≤ abc

.

Các bạn hãy thử nhé. Tiếp theo ta cùng nhìn vấn đề sang tứ giác.
2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác
Bài tốn dẫn xuất 1.
Cho các số
Chứng minh rằng:

a, b, c, d ∈ [ 0;1]

.

a ( 1 − b ) + b ( 1 − c ) + c ( 1 − d ) + d (1 − a ) ≤ 2

.

Tóm tắt lời giải
Xét hình vng ABCD có cạnh bằng 1, lấy M, N, P, Q như hình vẽ

7
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------7


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Đặt a = QA, b = MB, c = NC, d = PD. Ta có đánh giá sau
S1 + S 2 + S3 + S 4 ≤ S
1
1
1
1
a ( 1 − b) + b ( 1− c) + c ( 1 − d ) + d ( 1− a) ≤ 1
2
2
2
2
⇔ a ( 1 − b ) + b ( 1 − c ) + c ( 1 − d ) + d ( 1 − a ) ≤ 2 (dpcm)
⇔

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = c = 1; b = d = 0…
Lời bình
Cũng xuất phát từ việc phân chia hình vng và sử dụng đánh giá về
diện tích ta xây dựng được bất đẳng thức như trên. Hoàn toàn tương tự ta có
thể sáng tạo ra nhiều bài tốn khác. Cũng có thể thay thế việc xét một hình

vng thành việc xét một hình thoi mà ta vẫn có lời giải tương tự. Sau đây là
các bài toán cùng loại:
Bài 1. Cho các số
Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho các số

a, b, c, d ∈ [ 0;2]

.

a ( 2 − b ) + b ( 2 − c ) + c ( 2 − d ) + d (2 − a ) ≤ 8
x, y, z , t ∈ [ 0; a ] , a > 0

.

.

8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------8


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

x ( a − y ) + y ( a − z ) + z ( a − t ) + t ( a − x ) ≤ 2a 2

Chứng minh rằng:

.

Bài toán dẫn xuất 2.

Cho các số

a, c ∈ [ 0;1] , b, d ∈ [ 0;2]

.

a ( 2 − b ) + b ( 1 − c ) + c ( 2 − d ) + d (1 − a) ≤ 4

Chứng minh rằng:
Tóm tắt lời giải

.

Xét hình chữ nhật ABCD có cạnh bằng AB = 2, AD = 1, lấy M, N, P, Q như
hình vẽ

Đặt a = QA, b = MB, c = NC, d = PD. Ta có đánh giá sau
S1 + S2 + S3 + S4 ≤ S
1
1
1
1
a ( 2 − b) + b ( 1− c) + c ( 2 − d ) + d ( 1− a) ≤ 2
2
2
2
2
⇔ a ( 2 − b ) + b ( 1 − c ) + c ( 2 − d ) + d ( 1 − a ) ≤ 4 ( dpcm)
⇔

Lời bình
Cũng giống như bài tốn dẫn xuất 1 trong việc phân chia đánh giá diện
tích, song ở bài tốn này ta thấy vai trị a, b, c, d đã khơng hồn tồn như nhau.
Do đó dựa vào vai tró a, c và b, d ta đi xét hình chữ nhật. Cũng có thể thay thế
việc xét một hình chữ nhật thành việc xét một hình bình hành mà ta vẫn có lời
giải tương tự. Sau đây là các bài toán cùng loại:
Bài 1. Cho các số

a, c ∈ [ 0;2] , b, d ∈ [ 0;3]

.

9
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------9


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Chứng minh rằng:
Bài 2. Cho các số
Chứng minh rằng:

a ( 3 − b ) + b ( 2 − c ) + c ( 3 − d ) + d (2 − a ) ≤ 12
x, z ∈ [ 0; a ] , y , t ∈ [ 0; b ] , a, b > 0

.

.

x ( b − y ) + y ( a − z ) + z ( b − t ) + t ( a − x ) ≤ 2ab

.

Xin mời bạn đọc hãy thử nghĩ hướng tổng quát cho một tứ giác nội tiếp
nhé. Cũng vì trình độ và điều kiện thời gian có hạn nên tơi chưa trình bày
trong bài viết này được mong bạn đọc thơng cảm.

Qua các ví dụ trên ta thấy việc sáng tạo và chứng minh bất đằng thức
cho lời giải ngắn gọn, đơn giản, những kĩ năng đòi hỏi phải linh hoạt, khéo
léo.

10
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------10


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

11
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------11


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

Phần 3: Kết luận
1. Kết quả thu được
1.1 Về nội dung
a) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác.
b) Trình bày phương pháp xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác.
1.2 Kết quả khảo sát
Trên thực tế tôi đã áp dụng sáng kiến trên trong công tác bồi dưỡng học

sinh giỏi cũng mang lại hiệu quả tích cực và đặc biệt là sự thích thú khi các em
tự ra được đề.
2. Lời kết
Bài viết này là sự tổng hợp một số kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, mong
phần nào đó giúp bạn đọc và đồng nghiệp cảm thấy có ích trong việc học tập
và nghiên cứu cũng như trong giảng dạy mơn tốn. Trong quá trình thực hiện
chuyên đề này dù đã rất cố gắng cũng như được sự góp ý của các đồng nghiệp
và tổ nhóm chun mơn, song chắc chắn khơng tránh khỏi những hạn chế, rất
mong tiếp tục được sự góp ý của bạn đọc và các đồng nghiệp để bài viết của
tơi được hồn thiện hơn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn!

12
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------12


MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736

MỤC LỤC
Trang
Phần 1: Lý do chọn đề tài
1.1: Cơ sở khoa học ….……………………………………………………...2
1.2: Cơ sở thực tiễn ….……………………………………………………...2
Phần 2: Giải quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lý thuyết…………………………………………………………...3
2.2 Áp dụng…………………………………………………………………..3
2.2.1 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tam giác……………….3
2.2.2 Xây dựng bất đẳng thức từ diện tích tứ giác ………………...7
Phần 3: Kết luận

………………………………………………………..11

Mục lục: ……………………………………………………………………. 12

13
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------13