(SKKN mới NHẤT) SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm một biến

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình
thành đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động,
sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn
kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương
Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án
“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng u cầu cơng nghiệp hóa,
hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội
nhập quốc tế”. Trong những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới
mạnh mẽ cả về nội dung, phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan.
2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo
những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học
khơng chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong q trình luyện tập. Luyện tập
ngồi việc rèn luyện kỹ năng tính tốn, kỹ năng suy luận mà thơng qua qua đó cịn giúp
học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách
hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng
động sáng tạo.
3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp
dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực
hành, luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý
thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của cơng nghệ thơng tin, có
sử dụng máy tính đã tạo ra một khơng khí học tập hồn toàn mới.
4. Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng là
đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Tốn ở
trường phổ thơng. Việc đổi mới phương pháp dạy học Tốn hiện nay nhằm phát huy
tính tích cực của học sinh, qua đó khai thác tính chủ động tiếp thu và khám phá tri thức
của các em, tạo hứng thú trong học tập.
1

download by :

5. Với tinh thần đó, tơi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp để phù hợp
với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông,
bản thân tôi cũng đã dự nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh
ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước đây và bây giờ là thi THPT Quốc Gia hay bồi
dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực của học
sinh cịn nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi
THPT Quốc Gia, thi HSG mặc dù có thể áp dụng các kiến thức cơ bản và thêm một
chút sáng tạo là có thể giải được, thế nhưng đa số các em gặp khó khăn. Chúng tơi thấy
rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư duy sáng tạo và tìm mối liên hệ linh
hoạt giữa các phần kiến thúc cần được quan tâm hơn, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng
HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trong các trường phổ
thông là việc làm rất cần thiết hiện nay.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng các phương pháp giải phương trình, bất
phương trình vơ tỉ trong trường phổ thơng. Phân loại các dạng tốn thường gặp trong
chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ năng cũng như trong các kì thi THPT, thi HSG.
III. NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU
Trình bày đề tài thơng qua hệ thống bài tập. Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài
tốn trong một số tình huống cụ thể. Bồi dưỡng cho học sinh kỹ năng giải toán và khả
năng sáng tạo tư duy.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách bài tập, Sách
tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG và các tài liệu liên quan.
2. Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ của đồng nghiệp, quan sát việc dạy và học
phần bài tập này.
3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành trên các tập thể lớp.
4. Phương pháp thống kê.

2

download by :


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có
liên quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài tốn đã gặp, do đó người
làm tốn phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài
toán này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội
dung: "Giải bài toán như thế nào trong đó ơng có đề cập đến nội dung trên như một
điều kiện thiết yếu”.
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến
thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày
bài tốn theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà
trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết
cho người làm toán.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Trong chương trình Tốn cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bài
toán về phương pháp tối ưu. Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt
được loại toán này? Để trả lời được câu hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và
nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết
tốt loại tốn này lại là một vấn đề khơng dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học
sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến khơng có kết
quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng không cao.
2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tơi cũng đã nghiên cứu, tìm tịi qua nhiều tài
liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các
bài toán tối ưu một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn đảm bảo các yêu cầu cần thiết
của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, rõ ràng hơn đối với một

trong những vấn đề khó ở trường phổ thơng, bởi vậy tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học
sinh giải một số bài toán thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm của hàm
một biến”. Tơi mong rằng qua đề tài này có thể góp phần làm tăng thêm khả năng tư

3

download by :


duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về các bài toán liên quan đến
GTLN, GTNN của hàm số mà đa phần các em gặp khó khăn.
III. NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH
PHẦN 1.2: CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên
quan đến việc sử dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài tốn thực tế đã được mơ hình hóa bằng một hàm số tốn học.
Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng tốn thường
gặp là gì? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải
quyết bài toán mà họ đã đặt ra?
Hai là, các bài tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển về mơ hình
tốn học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước tiên ta
phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mơ tả quy trình mơ hình hóa dưới đây
Hình sau đây mơ tả q trình của việc mơ hình hóa tốn học cho một hiện tượng
trong thực tế
Bài tốn
thực tế

Đưa vào cơng thức

Mơ hình

tốn học

Giải

Kết luận
tốn học

Giải thích
cho thực tế

Dự đốn
cho vấn đề
thực tế

Kiểm tra lại

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mơ hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mơ hình
Tốn học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” cho
mơ hình mơ phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mơ
hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa
chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,
tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết
của đề bài.

4

download by :

Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế,
đời sống trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hoàn
chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang
xét ta chỉ xét với tình huống 1 biến)
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
tốn hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu
được có phù hợp với bài toàn thực tế đã cho chưa.
Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa được trình
bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm:
Bài tốn 1. Từ một tấm lớn hình chữ nhật có kích thước là

với

. Người ta cắt

bỏ 4 hình vng bằng nhau ở 4 góc rồi gị thành một hình hộp chữ nhật khơng có nắp.
Một cạnh của hình vng cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn
nhất?
 Phân tích
 Trước tiên, với câu hỏi của bài tốn thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình vng
cắt đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x. Do khi đó 1 cạnh của
tấm nhơm sau khi bị cắt trở thành
nên ta có
 Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm nhơm cịn lại là
ta cần thiết lập cơng thức tính thể tích khối hộp
 Bài tốn trở thành tìm

. Mời bạn đọc xem lời giải!
Hướng dẫn giải

 Gọi x là cạnh của hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện
Khi đó thể tích hình hộp là
 Bài tốn trở thành tìm
5

download by :

. Đến đây


Đạo hàm
Ta có
Do đó

với mọi
lng có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-et, ta có
Suy ra
Hơn nữa, ta có

. Do đó

Bảng biến thiên
x

0
+

0

Max

V(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn nhất khi

 Bình luận: Qua bài tốn bày ta cần lưu ý:
Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt là cực kì quan trọng. Chúng ta không nên
chỉ ghi

theo cách hiểu số đo đại số là một số dương.

Hai là, nếu không thuộc công thức tính thể tích khối hộp xem như bài tốn này khơng
thể giải quyết tiếp được. Điều này địi hỏi người giải phải biết cách vận dụng các kiến
thức đã học vào bài toán thực tế.
Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình

cũng như lập bảng biến thiên của

V(x) khơng hề đơn giản chút nào, đòi hỏi ở người giải phải có kỹ năng tốt trong biến
đổi đại số.
6

download by :


Bài tốn 2. Tìm chiều dài bé nhất của cái thang để nó có thể tựa vào tưởng và mặt đất,
ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ.
A. Xấp xỉ bằng

B. Xấp xỉ bằng

C. Xấp xỉ bằng

D. Xấp xỉ bằng

 Phân tích

 Trước tiên, ta có thể minh họa mơ hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định được
độ dài ngắn nhất của AC thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo
hướng nào? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối với hình vẽ trên và
các quan hệ về cạnh, ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là
phân tích

và hướng thứ hai là

 Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt

, đến đây chỉ cần

tính được AB theo x là đã có thể lập được hàm số

biểu diễn độ dài AC.

Nhưng bằng cách nào đây?
Thales thuận

Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý

nên ta có:

. Bài tốn trở thành tìm

7

download by :


 Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt
độ dài

thì khi đó ta sẽ biểu diễn

(việc khảo sát hàm này khơng đơn giản chút nảo). Do

đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy
. Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hồn tồn thuận lợi
vì khi đó

và

. Khi đó bài tốn trở thành tìm
Hướng dẫn giải.

 Đặt

. Theo định lý Thales ta có

Do đó ta có
Do

vng tại B

 Hay

. Đặt

Bài tốn trở thành tìm

với

Ta có

Cho
Lập bảng biến thiên ta có:
x

0

2
0

f(2)
8

download by :


Dựa vào bảng biến thiên ta có
Do đó ta có
Đáp án C

Cách khác: Đặt
Khi đó ta có
Đặt

. Bài tốn trở thành tìm

Lập bảng biến thiên ta suy ra
Đáp án C
 Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:
Một là, quả thật dù giải theo cách nào, ta cũng gặp phải một số khó khăn nhất định
khi giải tìm nghiệm của phương trình

hay

. Dựa theo cách thi trắc

nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC
của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua

hay

.

Hai là, ngồi việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN của hàm số
này, ta cũng có thể vận dụng bất đẳng thức. Giả sử đặt
Dựng hệ trục Bxy

. Ta có

9

download by :


Khi đó
Bài tốn trở thành tìm

thỏa

(việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!)
Ba là, ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Bài toán 3. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V (
không đổi, hệ số

cho trước (k là tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng

của đáy). Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu
nhất?
 Phân tích:
 Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều
rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hồn
tồn có thể biểu diễn được độ dài theo 1 biến.
 Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất là gì?” Đó chính là làm sao
cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích
nhỏ nhất hay diện tích tồn phần của khối hộp nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
 Gọi x, y

lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáp hố ga.

Gọi h là chiều cao của hố ga
 Theo đề bài ta có

và

Để tiết kiệm ngun vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích tồn
phần của hố ga là nhỏ nhất.
10

download by :


Khi đó ta có:
Suy ra

Xét hàm số

Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) với
, cho
Lập bảng biến thiên ta có
x

0
0

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Khi đó

và

 Bình luận: Qua bài tốn này ta cần lưu ý:
Một là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm

Khi đó dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

11

download by :


Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu bài toán trên ta đi đến quan hệ tỉ lệ giữa

chúng là

Ba là, cũng từ bài toán này nếu giữ nguyên giả thiết

và thay thể

hay

(k là tỉ số giữa các kích thước của hình hộp) thì liệu rằng bài tốn có thay đổi?
Câu trả lời là kết quả vẫn tương tự như khi ta khảo sát với

. Do đó

Nếu
Nếu
Bài tập tương tự 1. Cần phải xây dựng một hố ga có dạng hình hộp chữ nhật có thể
tích V (

, có chiều cao gấp 3 lần chiều rộng của cạnh đáy. Hãy xác định các kích

thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi

lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp

Dựa vào bài tốn 3, ta có
Như vậy khi đó chiều cao sẽ gấp 2 lần chiều dài hình hộp.
Bài toán 4: Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng
là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật
liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước trong các giá trị dưới đây?
A. 0,3 mét

B. 0,4 mét

C. 0,5 mét

D. 0,6 mét

Phân tích :
Ta đặt ra 1 số câu hỏi định hướng như sau :
Một là. Làm sao để tốn ít nguyên vật liệu nhất ?
12

download by :


Hai là, có thể tổng qt bài tốn này lên khơng ?
Ta nhận thấy để ít tốn ngun liệu nhất thì diện tích xung quanh của phần vỏ bao bên
ngồi bồn chứa nước cùng với diện tích của đáy và nắp phải nhỏ nhất. Hay chính xác
hơn ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ nhất ứng với thể tích mà đề bài cho.
Mà ta đã biết

(với r, h lần lượt bán kính đáy và chiều cao

của bồn nước hình trụ). Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo 2 biến r và h. Và đến đây
ta hiểu vì sao đề bài lại cho sẵn dung tích

tức là đang cho mối liên hệ

giữa bán kình đáy r và chiều cao h của hình trụ. Từ
Như vậy ta cso thể tìm

phụ thuộc theo 1 trong 2 biến r hoặc h. Và ta thấy nên

tổng quát bài toán này lên thành V = const thay vì chỉ xét riêng lẻ trường hợp
(lít)
Hướng dẫn giải
Gọi r, h (r,h>0) lần lượt bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có

Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r sao cho diện tích tồn phần của khối trụ nhỏ
nhất
Do đó

Xét hàm số

. Bài tốn trở thành tìm

Ta có:
Lập bảng biến thiên, ta có

r
f’(r)

0
-

0

+

f(r)

13

download by :


Dựa vào bảng biến thiên, ta có
Khi đó

Đáp án A

Bình luận: ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy

Thay V = 20 vào ta được

Ta chọn đáp án A.

Đồng thời với việc tổng quát bài toán trên, ta nhận thấy,
Bài toán 5. Màn hình TV đặt thẳng đứng tại một sân
vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm
mặt khán giả A ngồi dưới nó là 8,5m. Một khán giả B
có góc quan sát TV là thuận lợi nhất khi góc đối diện
với màn hình TV là cực đại, khi đó khoảng cách giữa
khán giả A và B là bao nhiêu?
 Phân tích:
 Do đề bài u cầu góc quan sát

thuận lợi nhất (tức lớn nhất) nên ta tìm cách

biểu thị khoảng cách x theo góc .
 Một nhận xét quan trọng là

, lại có

 Đến đây, bài tốn trở thành tìm
Hướng dẫn giải
14

download by :

nên ta thử tính

Gọi x là khoảng cách từ khán giả B đến khán giả A
Ta thấy rằng u cầu bài tốn chính là xác định

để từ đó suy ra khoảng

cách
Ta có
Ta thấy rằng
Đặt

. Bài tốn trở thành tìm

Ta có:
Lập bảng biến thiên
x

a
0

g(x)
min
ta suy ra

thỏa u cầu bài tốn

 Bình luận: Có vài điều ta cần lưu ý khi giải với các bài tốn liên quan đến góc là
Một là, trong các tỉ số lượng giác thì

với

Hai là, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị
như sau:

.

Dấu “=” xảy ra

15

download by :


Ba là, việc sử dụng cơng thức

giúp ta chuyển

bài tốn từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt ra của câu hỏi).Hai
bài tập tương tự dưới đây sẽ giúp các bạn rèn luyện và củng cố thêm cho mình.
Bài tập tương tự 1: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với
tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh). Để nhìn rõ nhất
phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Xác định
vị trí đó?
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Đặt
Ta có

Bài tốn trở thành tìm

x

để

đạt giá trị lớn nhất

0
+

0

f(x)
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất cách màn ảnh
2,4m.

16

download by :


Bài toán 6. Một chất điểm chuyển động theo quy luật

tính theo

mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển
động đạt giá trị lớn nhất là:
A.

B.

C.

D.

 Phân tích:
 Với kiến thức vật lý đã học, ta biết
5 giây đầu tiên

. Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong

thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học
Hướng dẫn giải

Lập bảng biến thiên ta có:
t

0

2
+

5

0
3

v(t)

Dựa vào bảng biến thiên ta có



Bình luận: Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý rất đa dạng nhưng đặc biệt thể

hiện rõ nét nhất chính là qua các bài tốn chuyển động khi liên quan đến các đại lượng
quãng đường, vận tốc và thời gian. Không chỉ riêng ở các bài tốn chuyển động như
vậy, ta cịn bắt gặp các ứng dụng đạo hàm trong Vật lý ở các bài toán khác. Mời bạn
đọc tiếp tục theo dõi các bài toán tiếp theo sau để hiểu rõ hơn.
Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là
(km) là hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau:
. Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu
thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?
A.

B.

C.
Hướng dẫn giải

17

download by :

D.


Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động của một chất điểm
, với đơn vị đo của t là giây, của s là mét. Khi nào chất điểm
đứng yên biết rằng biểu thức của phương trình v(t) tại điểm t biết rằng
Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:
Chất điểm đứng yên khi
Bài toán 7. Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dòng nước, năng lượng sản ra
của nó trên một đơn vị thời gian là

, đơn vị là Jun. Người ta thấy rằng khi cá di

cư cố gắng cực tiểu hóa năng lượng tổng thể để bơi một cách nhất định. Nếu vận tốc
dòng nước là a (km/h) thì thời gian cần bơi được khoảng cách L là
sản ra là

và năng lượng

trong đó q là hằng số dương. Để giảm thiểu tối đa năng lượng

khi bơi quãng đường L thì tốc độ v cần thỏa mãn
A.

B.

C.

 Phân tích: Do bài tốn đã cho ta sẵn hàm

D.
nên ta có thể ứng dụng

đạo hàm tìm min của E. (lưu ý v > a)
Hướng dẫn giải

. Lập bảng biến thiên ta thấy
v

0
0

E(v)

18

download by :


Dựa vào bảng biến thiên ta có:
 Bình luận: Trong thực tế, khi khảo sát việc bơi ngược dòng của những chú cá
này, ta thấy tốc độ của chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ của dòng nước.
Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi cơng thức
(xe/giây), trong đó

là vận tốc trung bình của các

xe khi vào đường hầm. Tính vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm sao
cho lưu lượng xe là lớn nhất?
Hướng dẫn giải

Lập bảng biến thiên ta có:
v

0
+

0
max

f(v)

Bài tập tương tự 2: Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng
AB bằng 1km và một kho hàng được đặt tại vị trí C
cách B một khoảng 1km. Người canh giữ hải đăng có
thể chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển nằm
giữa B và C với vận tốc 3 km/h, sau đó đi bộ đến vị trí

19

download by :


C với vận tốc 5 km/h. M cần cách B một khoảng ngắn nhất bằng bao nhiêu để thời gian
người đó đi đến kho hàng nhanh nhất?
Hướng dẫn giải
Đặt

. Điều kiện:

Suy ra quãng đường

và quãng đường

Thời gian người canh hải đăng chèo đò đi từ A đến M là
Thời gian người canh hải đăng đi bộ từ M đến C là

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là
Xét hàm số

trên đoạn

Bài tốn trở thành tìm
Ta có
Ta có
Vậy u cầu bài tốn

20

download by :


PHẦN BA: KẾT LUẬN
1. Kết quả đạt được
Sau một thời gian giảng dạy như trên tôi thấy đã thu được những kết quả hết sức khả
quan: Đa số học sinh tiếp thu được kiến thức cơ bản.
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một số dạng
bài tập cơ bản cũng như bài tập vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài toán, cách tiến hành một số dạng
bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành thạo.
Nhiều kĩ năng về giải quyết bài tốn, trình bày bài tốn, cách tiến hành một số dạng
bài cơ bản cũng như các bài vận dụng nâng cao được học sinh thực hiện thành Tinh
thần học tập của các em học sinh khi được nghiên cứu phần này tăng lên đáng kể, các
em hứng thú hơn trong việc tìm tịi, khám phá các lời giải, đồng thời tạo ra một động
lực để thúc đẩy trong việc nghiên cứu tiếp thu các phần kiến thức khác.
Kết quả học phần này được nâng lên rõ rệt. Trong các bài thi kiểm tra định kỳ, bài
thi học kỳ, bài thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 mơn Tốn, có nhiều em đạt kết quả

điểm thi THPT với điểm số rất cao.
Trên cơ sở của chuyên đề này cùng với sự đồng ý của Ban giám hiệu nhà trường, tổ
chuyên môn ,tôi đã tiến hành thực hiện nội dung chuyên đề nêu trên của mình trên ba
năm liên tục, đó là các lớp 12A1, 12A5 (năm học 2015 - 2016), các lớp 12A1, 12A2,
(năm học 2016 - 2017) và các lớp 12A1,12A8 năm học 2017 - 2018), (Tổng số học
sinh bình quân là 90), kết quả thu được trong các kì thi thử THPT Quốc Gia ở trường với
bảng số liệu sau:
21

download by :


Số em tham gia Đạt điểm Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 Đạt
làm bài thi

dưới 5,0

đến 6,5

đến 7,5

đến 8,5

8,5

Thi lần 1

10

20

20

22

18

Thi lần 2

7

20

23

20

20

Thi lần 3

5

20

25

22

28

trên

2. Bài học kinh nghiệm:
Nắm vững chun mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả năng bao quát kiến
thức, có tinh thần trách nhiệm trong công việc.
Trong công tác giảng dạy cần đổi mới phương pháp dạy học, tìm ra phương pháp
phù hợp cho nội dung bài học. Trước khi lên lớp cần có sự nghiên cứu kĩ nội dung
chương trình, đặc biệt là tình hình học sinh để đưa ra bài học sát với khả năng của học
sinh, chọn lọc hệ thống bài tập phù hợp, có sự hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh
vận dụng được tốt.
Mặc dù tơi đã rất cố gắng hồn thiện bài viết một cách cẩn thận nhất, song vẫn
không tránh khỏi những sai sót, rất mong các cấp chun mơn đóng góp ý kiến bổ sung
để chuyên đề ngày càng hoàn thiện và hữu ích hơn nữa. Cũng rất mong được sự góp ý
của q đồng nghiệp để chúng tơi có dịp được trau dồi và tích lũy kiến thức nhằm hồn
thành tốt nhiệm vụ giáo dục được giao.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

22

download by :


Lê Đức Trung

23

download by :