Giáo trình bài giảng giải tích hàm một biến số

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG

IT

Bài giảng

PT

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ

Biên soạn: PGS. TS. Phạm Ngọc Anh

Hà Nội, 2013



é
ề



ề

ẵẵ

ẵ

ậ

ậ

ễ

ỉ

ủ



ẵẵẵ



ậ



ẵắẵ





ề

ỉ

ễ ì

ỉ

ẵẵ

ẵẵ

ẵẵ

ủ
ụ
ễ



ỉ



ề

è ề

úí ì









ẵắ

ẵắ



ề

ẵắ



ề

ẵắ

ề

ẵ

úí ì

ỉ

ẵẵ

ỉ



ề

ề

ỉ

ỉ



è ề

ể

ề



úí

ẵ



ẵ



úí
ểề

ẵ

úí

ắ

ẩ

ụ

ễ ỉểụề

ẵắ

ẵ

ề

ệ





ề















í

ẵ

ễ



ỉ

ắẵắ

ủẹ ì



ắẵ

ủẹ ì

ỉ

ắẵ

ủẹ ì

ẵ

ẵ

ẵ

ắắ

ắắ

ắ

ắ

ũề

ắ

ủẹ ẹ

ỉ

ề ì

ểủề

ề ỉ



ựềá é

ề





ũề

ề

ề

ẹ

ủẹ ẹ







ừề



ề

ắẵẵ



ễ



ễ ỉểụề

ề

ễ ỉ ề





ẹ

úí

ễ

ụ



ỉ

ẵ

ỉ

é

ề



ụ
ễ

ủ



ụ

ẵ



ì





ụ

ẵắ

ắẵ





ẵắắ

ề

ụ
ỉ ề

ễ

ẵắ





ẵẵắ

ẵắ



ừề

PT
IT





ắ

ẳ


ắẵ



ủẹ ì

ắẵ



ắẵ



ủẹ ì

ắẵ



ủẹ ì

ề ỉệ

ắắ

ắắắ

ẫ

ắắ

è ề

ắắ



ắắ



ắ



ắ





íễ

ỉ

















ề

ẳ













ắ

ắ









úí ì





ề





 ủ

ừề







ề













ừề

è ề

ắ

ẵ

ắ

ắ

ắ



ắ



ẵ

ắ

ắ

ừể

ề





é



ề







è ề



ề

ủẹ

ắ



ắ



ẵ

ắ

ắ

ẵ

ì

ề

ề ỉ

ề

ắ

ắ

ắ

ỉ ề



ụ


ắ



ề

ắ

ừể



ề

ắ

ễ



ừ

ỉ

ề ỉ

ẫ



ủẹ é



ẵ

ẻ

ỉ

ỉệ

è ề

ề

ắ



ỉ

ề ỉ

ề

ủẹ é

ắ

é

ề

ề

ủẹ

ẹ

ừể

ủẹ

ề

è ề

ỉ

ừể

ỉ ì

ủẹ ỉ

ủẹ ề



ề

ề







ủẹ

ủẹ ì

ề ỉ

ừể

ễ

ề Ø
Úđ Ð

º



đĐ Úđ Ú

Ð

º

Ø

Ị

đĐ ×

º



º

Úđ

PT
IT

Ị

º

º

đĐ

Ú

º

º

Ơ ØĨơỊ Ú

Ð

Ị

º

º

º

õỊ

ỉ







ề





ề

ề ì





ề

ểé

ề

ừ

ủẹ ì



ắ



ủ

ừề

ắắ



ề

ề

ụ
ễ

ắẵ

ắ

ề

ủẹ ẹ

ề

ắ



ề

ừề

ắắẵ

ắ







ễ

ể

ề

ề

ắ

ắ





ụ

ề

ắ

ẵ

ắ

ắ

ắ

ỉ

ề

è



è

è

ề

ề

ỉ

ẫí ỉỳ
ểìễ ỉ

ắẵẵ

ủẹ é

ủ

ẵ

ẩ

è

ễ

ễ

ẵắ

ề

è



ắ

è ề

íéểệ

íéểệ

íéểệ

ỉệ

é

ề è

ẳ

ắ

ắ

ắ

ễ

ề

ề

ề

ề

ề

ỉ

ệ

ế

ề



ặ

ắ

ủẹ ỉ

í

ề

ụ
ễ

ề

ề

ề





í

ủẹ

ể



ề ỉệ

ỉ

ặ

ễ

ụễ ỉ ề

ề

ễ

ụễ



ắ

ẩ

ề

ễ

ụễ ỉ



ẵ



ắ





è

ụ

ẩ

ễ

ỉ ủ

ề

ề



ễ

ề ỉ





ắ

è ề

ủ

ề





è ề

ỉ

ỉ

ẵẳắ

ẵẳ

ễ

ề ĩụ

ề

ẵẳ

ề

ẵẳ

ề ỉị

ẵẳ

ẵẳ

ẵẳ

ề

ẵẵẳ

ẵẵẵ

ẵẵẵ

ẵẵ

ễ



ề

ề ỉ









ề



ỉ

ụ





ễ

ỉ



ề

ỉ

è ề





ề

ẵ





ễ







ề

ũề

ụễ

ề





ủẹ ủ ỉ

ề ỉ

ủẹ é

ề



ề

ủẹ ễ

ừề

ề

ỉ

ẩ

ề



ỉểềạ

ẵ

ễ







è

ề ủ

ũ ỉ



ề

ẵ



ểĩ ỉệ





ẵ



ỉ

ụ







ề ĩụ

ề

ẵ

ề

ẵẵ

ẵ





ễ ỉ ề



ũ

PT
IT

ề

ỉ

ủẹ

ắẵẳ





íéểệ

ỉ

ẩ

é





ì

ẵẵ

ề

ẵẵ

ẵẵ

ểề

ẵắẵ

ỉ ỉ

ẵắ

ễ




















è

ắ

ề ìí ệ

ẵ

ề



ắ

ụ





ẵ



ắ





ễ

é



ủ

ẵắ

ẵắ

ẵắ

ừề











ẵắ



ễ

ỉ

ừề

ỉ

ề



í

ụề

éểừ

ề



ỉ

ẵẵ

ề

ẵắ

ụ

ẵ

ụ
ỉ ề



ì

ừề

ỉ





ễ

ề ìí ệ

ề

ề

ề

ắ



ẵ

ề



ắ

ụ









è ề

é

ẵắ

ẵ

ẵ

ẵ

ề ìí ệ

ề

ẵ

ẵ



ẵ

ỉ



ẵ



ắ

è ề

ẫí ỉỳ
ỉ ẹ





è ề

ẵ

ẵ

ỉ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ỉ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ề



ỉ

ỉ

ỉ





ề





ỉ

ề

ề





í ỉ

ề



ề





ỉ



ề



ề

ề

ủẹ









ủẹ











ỉ



ề

ụ

ỉ





ề

ề

ẵ





ề ĩể

ề

ủ

ề

ề

ì

ắắ

ề

ì

ắẵ





ỉ

ề

ễ



ỉ ỉệ

ề

ề ìí Ư

ơ

º

º

Ø ØÙÝ

ÉÙ

Đ

Ú

Ù

Ị

Ø

Ị

Ị

À

Ì

º

Ị Ø

PT
IT

º½º

Ơ

º

đ

Ị

Ì Ị

º

Ù

Ù

đĐ

Ø

Ù

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

º

½

ơỊ

Ù

Ị

Ø



Ù

Ð

Ý Ø

½












ỉệ

ểệ

ệ

ỉ

ủẹ ì









é

í ỉ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ

ẵ





ắ



ỉệ

ề

ểệ

ệ

ủẹ ì







2

ẵ







ỉệ

ề

ểệ

ệ

ủẹ ì

2T

ẵ







ỉệ

ề

ểệ

ệ

ủẹ ì

ĩụ

ẵ

ỉ

èủ

é

ễ

ỉ

ề

ẹ



ụ

ủề

ẵ

ủ

ề



ỉ





é

ề ẹ

ề

ỉệ

ề

ểừềá

ểũề

ẵ

ắ

ũể

ẵ

ẳ

PT
IT






Ä

ị Ø

đĐ Đ Ø

ØƯĨỊ
ơ
Ð Ị
Ị

Ú
Ị

Ù
Ị

Đ Ø

Ị×

đĐ Ị

Ị



Ị

Ø

Ị

ịỊ Úđ

ƠÐ



ơĨ ØƯ Ị

Ị Ị ØịỊ
Ĩ
ơ
Đ Ị

Ø

¸ ØĨơỊ

ØƯ Ị



ỊØ

Ø đỊ

đи
Ù
Ị

Ð ÝØ

ơ




Ị Ơ ơƠ

Ị

Ĩ

Ị

Ị

Ị

Ù

ơ
đ Ø Ơ

ị Ý Ú Ị Ư÷Ị
Ơ ØƯĨỊ ÕÙơ ØƯ Ị

Ú Ị

Ị

Ị Ị Ø

Ị
Ơ

Ơ

Ị

ØƯ Ị

Ị

Ù



ềé




ụ

ễ
ể

ỉ ề
ể ìề

ũ ề ữẹ

Úđ

đÝ Ú
Ù

ơ Ị Đ Úđ
Ị Ø

Ø

ịĨ

Ị ×



Ị
ơĨ

Ú Ị

ơ
º

Ơ
ơ
Đ



Ù


Đ

Ù × Ù ×ú

đỊ º

Ø Ơ Úđ

ØÐ

Ú ỊƯ Ø

đĐ Ð Ị Ø
¸ Ơ Ơ

Ø Ơ
ơ
Đ Ị

ơĨ ØƯ Ị ỊđÝ

Ị Ị ÷Đ ề ề
ể

ề

ềá ề ữẹ

ể ễ

ề

ụ

ũẹ

ìề



ủề

ữề

ìề ềỉ

ũ
ề
ụẹ ề ẹ

ẵ

ề

ẹề
é

ề

ề ạ

ỳề ỉ Đ
ơ
Ø Ơ

Ị

Đ
ơ
Ị

ĨÙƯ Ưº

ĐỊ

Ị ØƯ Ị

غ

đĐ Đ Ø

ịỊ Úđ

Ị

ịỊ Ị

Ị º

Ị

Ị Ú Ð Ø ÙÝ Ø Úđ Ư Ị ÐÙÝ Ị

ĨđỊ Ø

Ø

ĨƠ



Úđ
Ù

Ị

ÕÙơ
Ị

Ị × º Ìơ

Ĩ

ó

Ø Ơ
ÙÝ Ị × Ù Úđ ØƯ
Ù Ơ 
Ú ÕÙơ ØƯ Ị

Ị ề

ũ ỉ

ể

ề ỉ ạẻ ề ỉ

ề ỉ

ỉ

ề ắ ủ

ì ¸
Ù

Ìơ



đĐ

Úđ
ơ
Đ Ị

Ị ×ĨõỊ Ðõ Ø

ĨØỊ
º

Ù¸
ÙỊ

ơ

Ị Úđ Ơ Ơ Ø Ị Ú Ơ



Ị

ị Ø

Ø Ù Ø¸ ØĨơỊ Ư



đĨ ØõĨ Ø

đÝ Ị

ØỊ Ú Ơ

Ị

Ơ ơƠ


ÙÝ Ị Ị đỊ

ơ
Ị

óÝ × º

Ị º

Ị×

õ

ịỊ



õỊ



À
Ú Ị

ỊØ

đĐ Đ Ø

Ị

Ĩ × Ị Ú Ị ỊúĐ

Ị

Ù ÕÙị
ơ
Ị

Ị

PT
IT

ØƯ Ị

ØƯ Ị

Ị
ơ
Đ Ị
Úđ Ơ

ị Ø

ØỊÚ

Ú ×Ị

Đ Ø Ú ØƯ ÕÙ Ị ØƯ Ị

Ị Ø

À
Ú Ị
Ĩ

đÝ Ø

Ø

Ị

ơ
º

õỊ Ú

ØƯ Ị



ơ

Ị¸ Ú ỉ é á ĩụ
ì ỉ ỉ

ũề

ế

éủ ẹ ỉ ẹ Ị

Ị º

ØƯ

ÙÝ Ị Ị đỊ

Ù

Ị Úđ ØƯĨỊ

Ỵ Ị Ø

ó

Ù

đ

Ị ×

Ị


Ĩ
ơ
Đ × Ị Ú Ị Úđ
ụ
ừề

ũề

ừí ẹ ề

ề

ễ

ề

ừí ủ

ắằ ằắẳẵá èụ

ụể ỉệ ề
ẹ Ị



ị Ø
đ

đĐ Đ Ø

ịỊ ỊđÝ



Ịđݺ

ị È Ëº Ì˺ È õĐ Ỉ

Ị


ề

ẵẵ ậ

ỉ

ẵ ậ

ỉ

á ì

ễ

ủ

ừề

úí ì



ẵẵẵ

ặ ỳ
éừ Đ Ø × Ø Ơ
· Ì Ơ
ơ
× Ø Ò

Ô ÕÙ Ò Ø Ù

Ò

N = {0, 1, 2, ...}.
· Ì Ơ
ơ
× Ị ÙÝ Ị

Z = {0, ±1, ±2, ...}.
· Ì Ơ
ơ
×

Ì

ÙØ

p
Q = { : p ∈ Z, q ∈ N \ {0}}.
q

N ⊂ Z Q



ểì

ụ
0 èệểề

ì á

Q
ề

ỉ

ỉ
èí Ị

×

ÙØ

Ù

Ị º
Å Ø×


Q

Ø

Ø



Ị
ơ
Ơ Ơ ØĨơỊ
Ị ¸ ØƯ ¸ Ị

Q
Ị
ÕÙ Ị

ơ
Ơ Ơ ØĨơỊ Úđ ÕÙ Ị

Ị¸ Ø Ð Ù Ị
ỊđĨ

ỊÚ¸

ÙØ

PT
IT

ÌƯĨỊ Ø Ơ
ơ

×

Ù

Ị

Ị×

ÙØ

Ø

óØ

đ

Ø

ÝØ Ơ

Ị

π Ðđ Ø ×

Ị Ị

Ø

≤, ≥, =º Ì Ĩ Ị

ó
Ĩ Ðđ Đ Ø ØƯ

Q

đ

ØÚ

Ø

Ý

ể

xá ữề
ụ
ỉ x =

p
ể qá ỉ
ỉ

ỉ

ẹ ỉ

ẹ ỉ

p

q

ề



ứề

ề

ề



ìỳễ

ề
ữề

ề

ề



Ị Ơ Ơ

Ị ØƯ Ị Úđ

Ý×

õ

õỊ

p, q ∈ Z, q = 0 ủ ỉ

úí ẹủ ì

ềề

ừềá


ề ủ

éủ ì ỉ

1

ễễ

ề



ừềá

x = x0, x1x2...
ØƯĨỊ

x0 ∈ Z Úđ x1, x2, ... ∈ {0, 1, 2, ..., 9}º Ë Ø Ơ Ơ Ị ỊđÝ Ĩ

Ø
Ðđ Ø Ị Øõ ×

k × Ó
Ó xn = 0 ∀n > k

Ý

x = x0, x1x2 ...xk ,
Ĩ
Ú

õỊ ØÙ Ị ĨđỊ Ú

Ù

p¸ Ø
Ðñ

x = x0, x1x2...xk xk1 xk2 ...xkp xk1 xk2 ...xkp ... xk1 xk2 ...xkp .
p

p

p

À ỊỊ

Ị

x1
xy
+ ... + k ,
10
10

x = x0 +
Ĩ

x = x0 +
ặ

éừ á ẹ

ì

ỉ

ễ ễ

ừề ẹ ỉ ì
ỉ Ơ
ơ
× Ø

x1

xy
1
+ ... + k + xk1 xk2 ...xkp . k
.
10
10
10 (1 10p)
ề



ỉ ặ

ễễ

ề

ừề

íá ỉ

ừề

í

ỉ
ụ
ỉ ề ếụỉá ỉ
ể ẹ
ì Đ

Úđ

Ù Ðđ

Ðđ ×

Rº Å

Ú

Ơ

Ĩ× Ø

Ø

ÝÚ

× Ø

ƠƠ
ÙØ



R

Ị

Ị

ĨđỊ

Ù

Ø Ø Ơ
ơ
×



Ù

ÙØ

Ị

QÚ

õỊ ØÙ Ị ĨđỊº

º Ì Ơ
ơ
×

ỊØ

Ø

õỊ ØÙ Ị

ỊÚ

õỊ

Úđ Ú Ø

Ðđ Đ Ø × Ø

Ị ØÙ Ị ĨđỊ Ðđ ẹ ỉ
éủ ỉ ễ
ụ
ì

ỉ

á





x0 Z, x1, x2, ... ∈ {0, 1, 2, ..., 9}.

PT
IT

x = x0, x1x2 ... Ú
Ã

x0



Ðđ Ơ

Ị Ị ÙÝ Ị

xn



Ðđ Ơ

ỊØ

ƠƠ

Ỉ Ù Ø ề ỉừ ì ề í ề

xá

ềỉ

éủ

n

[x]á

x

mì ể
ể

mx
ỉ



m

éủ ìủề

xá

ặ ỉ ề ỉừ ì ề í ề



mì ể
ể

x

m1ỉ

m
ũì

éủ ỉệ ề

xá



x, y R

x

x = x0, x1x2... Úđ y = y0, y1y2 ...
Ì Ú Ø

x < y Ò Ù x0 < y0 Ó
Ø Ò Øõ k × Ĩ
Ĩ x0 = y0, ..., xk = yk ủ

xk+1 < yk+1
ẵẵắ

ì

ụ
ỉ ề

à è ề ×úƠ Ø


Ø

÷Ị Ị
Ø

Ù

Ø Ơ ×

x = y Ị Ù xi = yi ∀i = 0, 1, ...
Ø




ể

ì ỉ



a > b è ỉ íá

a, b

ũì

á



ề

á Ø
Ðñ

a = a0 , a1 a2 ..., b = b0 , b1b2... ặ a = b

kNì ể
Ĩ
Ị

a Úđ b ×Ĩ ×ơỊ

a≤b Ĩ
Ø Ị Øõ

a0 = b0 , ..., ak = bk

Ị
Ĩ
ak+1

ak+1 < bk+1
Ỉ

Ú Ý

> bk+1.

a < b Ĩ
a > bº

· Ì ề ỉệ ẹ ỉ
ểắì ỉ
íá ỉ

ũì

ể



a, b ủ a < bº Ì Ị Øõ ×

ÙØ

r ∈ Q × Ó
Ó a < r < bº Ì Ø

a = a0 , a1a2 ..., b = b0 , b1b2...¸ Ø a < b ×ÙÝ Ư Ø Ị Øõ k ∈ N × Ĩ
a0 = b0, ..., ak = bk , ak+1 < bk+1.

áỉ

ềì

ỉ éủ

PT
IT




a0 , a1...ak bk+1 Ò Ù b ∈ Q
r=
 1 (a , a ...a a 9 + a , a ...a b 0) Ò Ù b ∈
/ Q,
k k+1
0 1
k k+1
2 0 1
Ø

ĐóỊ

·ÌỊ

Ý

Ĩ

m∈R

Ị

a < r < bº

A ⊆ Rº Ã


Ø ØƯĨỊ

Ðđ
Ị

ơ

Ị





A Ị Ù m ≤ a ∀a ∈ Aº Ỉ Ù m Ðđ
Ị

À



m

Ðđ
Ị

Ị



Ð Ị

A¸

Ù

m = inf Aº


M ∈R
Ị

Ø ØƯĨỊ

Ðđ
Ị ØƯ Ị

ơ

Ị ØƯ Ị

À

A Ị Ù a ≤ M ∀a ∈ Aº Ỉ Ù M Ðđ
Ị ØƯ Ị Ị

m

Ðđ
ề ỉệ ề

ề



Aá



M = sup A
è
ề

ìỳễ ỉ

ỉ è ề Ø Ị Øõ
Ị

´Ø

ĨØỊ

Ð
Ị

½º½º Å
Ị

Ø



Ø

Ị

Ø Ơ
ĨỊ

Đ Ø
Ị

Ø Ơ ì

à ỉ

ề

ỉ

á ề ề ề ỉ ề ỉừ ỉ
í

ề ÙÝ Ị Ð

ơ
Ư Ị



Ø Ơ ×

Ø Ị Øõ

ÙÝ Ị

Ị à

ẵẳ

sup A, inf A éủ í

ỉ



ỉ
ề ỉệ ề

R



ỉ Ị

Ị

´Ø

Ø Đ Ø
Ị ØƯ Ị
Ị

Ị

Ị


ệữề ỉ ễ
ụ
ì

A = {x : x2 < 2}
Ã

ụ
ỉ ễ ì

ỉ

ạ

ểừề ỉệ ề

R

ỉ

ề
ỉề

Q

ề

Ị ØƯ Ị

Ø

Ị

Ị ØƯĨỊ

Ý

ºỴ

 ØƯĨỊ

Q
Ø Ơ

Qº

Ị º

[a, b] = {x R : a x b}.
ạặ

ểừề ØƯ Ị

R

[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, [a, +∞) = {x ∈ R : a x}.
ạặ

ểũề ỉệ ề

R

(a, b] = {x R : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}.
¹ Ã ĨịỊ ØƯ Ị

R

¹

Ĩ

PT
IT

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, R = (−∞, +∞).

a ∈ R Úñ ǫ > 0¸

ĨịỊ

(a − ǫ, a + ǫ) = {x ∈ R : |x − a| < ǫ} = Bǫ(a)



Ðđ Đ Ø é ề
ề

ẵắ ậ

ễ



ẵắẵ

ẹ a



è ễì ỉ



R ó Ư Ø Ơ ĨỊ Ơ

¸ ÜĨỊ Ị Ù Ø ÜØ Ơ

Ị ØƯ Ị

¾

ax2 + bx + c = 0,
Ý
ØƯ Ị

a = 0, a, b, c ∈ R Ú
Đ

Ư Ị

Ð ễ ề

ỉ ủề ỉ ễ ì ễ





ỉ

R

ẹúề i2

ẵắắ

ãè

ễ ì

ề
ễ

= 1á ì i
ề


:= b2 4ac < 0á ỉ
ẹ

ễ

Cà ề ĩ í
ề ễ ũ éủ ì ỉ

ề

ỉệ ề

ễ

ềủíá Ø Đ

Ị Ø Ơ× Ơ
Úđ

Ị ØƯ Ị

Ơ Üơ

Ðđ

Ị

C := {z = a + bi : a, b ∈ IR, i2 = 1}.
ẵẵ

ệ ề

ề

ỉ ễ ì

á ỉ ế ề ỉ Đ Ø

Úđ
ơ
Ơ Ơ ØĨơỊ

Ðđ Đ Ø Ø Ơ

× Ú

Ị Ú ịĨº

Đ
Ø



×

i


ểì ễ

ã



a



z := a + bi

éủ ễ

b

éủ ễ

a2 + b2

ậ ễ



ậ ễ



ề ũể



zá

éủ ẹ

ề



ỉệ ề ỉ ễ ì ễ



ạẫí ỉỳ

ề

ỉ

àèề

ỉ

à è ề

ỉ

àè ề

ỉễ

à

à
à





ề



ì ễ
ì Ô

Ù ØúØ
z¸

Ù ØúØ

|z|º

z¯º

zº

x = x1 + x2i, y = y1 + y2 iº ơ
Ơ Ơ ØĨơỊ
ơ
ÕÙÝ Øú
× Ù

Ù


x1 = y1
x=y⇔
x = y
2
2

Ø

Ø

Ơ ´Ú

Ơ Ơ
Ị µ

Ø

Ơ ´Ú

Ơ Ơ Ị

Ĩ ĨơỊ

ỊƠ



(x + y) + z = x + (y + z) ∀x, y, z ∈ C.

Ịµ

(xy)z = x(yz) ∀x, y, z ∈ C.

x + y = y + x ∀x, y ∈ Cº
Ơ Ơ Ị

ỊÚ

Ơ Ơ
Ị

x(y+z) = xy+xz ∀x, y, z ∈

x.y = x¯.¯
y ∀x, y ∈ Cº
x.¯
x = |x|2 ∀x ∈ Cº
=

x
¯
y¯

∀x, y ∈ C, y = 0º

|x| ≥ 0 ∀x ∈ C, |x| = 0 ⇔ x = 0º
|x.y| ≤ |x|.|y| ∀x, y ∈ Cº

|x + y| ≤ |x| + |y| x, y C
ề

ẻ

ễ

zá

x+ y = x+ y x, y ∈ Cº

µ ( xy )
µ

Ð Ị

z µº

PT
IT



µÌỊ

µ

đµ

Ĩ

x.y = (x1y1 x2y2 ) + (x1y2 + x2y1 )i

ề

ạẫí ỉỳ
ữề Ị

µ

Üơ

ÁĐz ´ÁĐ

Ðđ

õỊ
Ị Øú

z ´Ê Ð Ĩ z µº

x − y = (x1 − y1 ) + (x2 y2 )i

ạẫí ỉỳ
ề

C.

ề

ấ

z àá

x + y = (x1 + y1 ) + (x2 + y2 )iº

¹ÉÙÝ Øú
ỉệ

ẵắ è ề

ỉỳỉ

éủ ì ễ

C

éủ ừề
ề ỉỳ


ỉỳỉ

éủ ì ễ


a bi


zá



a bi

ểắì ễ

ã



ề ỉ

a, b R

ề

ẹ ề

 ẵắ



ũ ủ

ề
ụ
ì Ơ
Ị ÐÙ Ị Ơ


Ị

õỊ
Ị Øú
Úđ
ØƯ Ị

ax2 + bx + c = 0
ẵắ

ì ỉệ ề ỉ ễ
ụ
ì

a = 0.

ề
ễ

ề ề


C

ẵắ


ũ

:= b2 4ac

ạặ

= 0á ỉ

ễ

ề ỉệ ề
ề

ạặ

> 0á ỉ

ễ

ề ỉệ ề
ắ ề

ạặ

< 0á ỉ

ễ

ễ

ẻ

ề

ể ì

b
2a .

x1 = x2 =

ĐØ

Ơ

Ị

√
−b+ ∆
x1,2 =
.
2a
√
∆ = −(−∆) = (i −∆)2º Ã

Ø

 ½º¿º

Đ ễ

ỉ

á ễ

ề

ỉệ ề



ắề

ẹ

b+i
x1,2 =
.
2a
abi
z =

a, b R, b = 0º ÀóÝ Ø Ị Im(z), Re(z), |z|.
a+bi

Ơ

ị

Ị
ị ỉ ì ủ ẹ ì



áấ

ẻ

 ẵ

a2 b2
a2 +b2 á ẹ(z)

(z) =
ỉ

ể
ụ
ì

a biá ỉ
(a − bi)2
z= 2
a − b 2 i2
a2 − b2 − 2abi
=
a2 + b2
2
a − b2
−2ab
= 2
+
.i
a + b2 a2 + b2

PT
IT

ặ

ễ

ứề

ỉ

ắ

í ạậ
ệị
ủ

b1, b2, ..., bn

n

ề

n

2

|

ẵ

ề

ề

ề

ẹ ủ

ắ

ạắ

é

í ỉ
ắ

ừ

ề

ì

á ề

ủ èểụề

i=1

|bi |2 .

ỉí ề ỉ ề



ề

n

ề



ẩ


ề

ụễ

èểụề
ề



i=1


|bi | , c =

ìỉ ề ể ì

á

ề

ai .bi.

2

|ai | , b =

Ị

Ị Ø Ø
ị
ơ
Ð Ị

ØƯ Ị


Ú

Ø Ðđ
Ø

Ù
đĐ

i=1
Ý × Ị
Ị

Ị Ú Ị Úđ Ú Ø é

ệ

ề

ỉừ

ẩ ệ ì

á ễ

ề

á ỉệểề

ề

ỉệ ề

ề



ỉ

ẳẳ
ễ
ì

ềá é

ề

ỉệ ề
ỉ

ỉểụề

í ỉ


ể



ạẳẵẵẵ ắẵá ề
í

ỉệ ề

ẵ

ề ế ề

ủề

ẵẵ

ệé ềá
ễ

|ai | .

n
2

i=1

ỉ

i=1

n

ắẵ

n

2

ẹ ề

a=

é

ai .bi|

i=1

ỉ

ẵ

Re2 (z) + Im2 (z) = 1

|z| =

½



a1 , a2 , ..., an



−2ab
a2 +b2 Úđ

=

Ị
õĨ

Ðđ

ØƯ

đĐ Ư

Ị

đ èểụề

á é

ẽ
ỉ

ề
ệìỉệ ìì

í ỉ ỉ

ệẹ ềề ậ
ụ


ề

ỉệ ề

ủ ẹ ỉ

ẵ



ệị
ề

é

èểụề ủ
ề ế ề

ề

ủẹ


ũ

Ú

Ø

Ị

¸ ơỊ

Ị

Üõ

Ị

Ơ

ịĨ

ơ

¸


Æ Ù

b=0Ø

Æ Ù

b > 0¸ Ø

b1 = b2 = ... = bn á ỉ
ỉ

ểỉề

ề

n
2

i=1

é ề

ỉ ẵ à ủ àá ỉ

n

0

ỉ ứề ỉ

|b.ai c.bi| =

i=1
n

=
i=1

(b.ai c.bi )(b.ai − c.bi )
(b.ai − c.bi )(b.¯ai − c.¯bi )
n

=b

n

2

2

i=1

|ai | − bc

i=1

n

ai .¯bi − bc

n
2

i=1

a
¯i .bi + |c|

i=1

|bi |2

= b2 .a − b|c|2

= b(ab − |c|2 ).
Ỵ

b > 0á ề ề a.b |c|2 0

ẵắ



ề

ề

ì

ễ



ì
Ừ × ÚÙ Ị



(Oxy)º Ø Đ Ø ơỊ Üõ

PT
IT

Ĩ Đ Ø Ơ øỊ Ø

✷

f : C → (Oxy)

z = a + bi → f (z) = M(a; b) ∈ (Oxy)

ýÒ Üõ

f Ðđ Đ Ø × Ø

C Úđ Ø Ơ
ơ


Ị

Ị

1 − 1 ´
Ị

Đ ØƯ Ị Đ Ø Ơ øỊ Ø

Ðđ Đ Ø Ơ øỊ Ơ

Ðđ Đ Ø ×ĨỊ ơỊ à

(Oxy)

á ẹ ỉ ễ ứề



í



ị

ĩ

ầ

ề

ẵ



ề

ề

ẵ



z = a + bi

Ø Ơ× Ơ



(Oxy)
Ị


ẻ

 ẵ

ễ ứề

ễ

ể

zCỉ

z2
z+i

ẹúề

(Oxy)



iR úí



ề

ề



z ỉệ

ềẹ ỉ

ũ

ũì

z = x + yi¸
z2
z 2 (¯
z − i)
1
=
=
.(x + yi)2 (x − yi − i)
2
2
z+i
|z + i|
|z + i|
2

z
Ø
Ĩ z+i

ịØ

∈ iRá

ề

ệữề

Re

z2
z+i

í

=0

Re (x+yi)2(xyii) = 0 x(x2y 2 +2xy(y+1) = 0 ↔ x(x2+y 2 +2y) = 0.
x = 0 Ó
x2 + (y + 1)2 = 1º Ã

Ị÷Đ ØƯ ề

ề ỉệ ề ỉ ẹ

á

I(0, 1) ụề

ề

ẹ

M(x, y) ềữẹ ỉệ Ị ØƯ
Oy Ĩ

R = 1º

✷
√

PT
IT

À Ý

ÚđĨ

Ù

Ị

Ị



z ¸ Ø
OM =

a2 + b2 = |z| Úñ



x = |z|. cos
y = |z|. sin .

ể íá ì ễ



z
Ø

Ú Ø Ðõ Ư÷Ị

z = |z|.(cos ϕ + i sin ϕ),

Ðđ

ϕ



ÙĐ Ị

z Úđ



Ù

Arg(z)º Ỉ

Ú ÝÚ

Đ

z∈C

z = |z|.[cos Arg(z) + i sin Arg(z)]
ÙØ

ỊđÝ



Ðđ õỊ Ð

Ị

ơ



zº

Arg(z)
Đ Ø ủ ỉ ề
ỉ ì
ẵà ặ

ắà

éủ ẹ ỉ
ẹ ề

z ặ

í

Arg(z)
ỉ

ì ễ
ì

zá ỉ

ụ
ì é ề

Arg(
z ) = Arg(z) z ∈ Cº
Ị

Đ Ị

ị×

ϕ + k2π (k ∈ Z)
Ị Ðđ
ÙĐ Ị
2π º

z = |z|.(cos ϕ + i sin ϕ)¸ Ø Ĩ

Ị Ị



z¯ Ø

z¯ = |z|.(cos ϕ − i sin ϕ) = |z|.[cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)].
½


ÓÚ Ý
¿µ

Arg(¯
z ) = −ϕ = −Arg(z)º

✷

Arg(z1 .z2) = Arg(z1 ) + Arg(z2) ∀z1 , z2 ∈ Cº
Ị ÕÙÝ ỊõƠ ỉểụề

á ỉ
ỉ ề ếụỉ ề

ì

Arg(z n ) = n.Arg(z) ∀z ∈ C.

Ị

ị×

Đ Ị

z1 = |z1 |.(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = |z2 |.(cos ϕ2 + i sin ϕ2)º Ã

z1 .z2 = |z1 |.|z2 |.(cos ϕ1 + i sin ϕ1).(cos ϕ2 + i sin ϕ2 )
= |z1 |.|z2 |.[cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2)]
= |z1 |.|z2 |.[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )],
Ø

Arg(z1 + z2 ) = ϕ1 + ϕ2º

µ
µ
µ

Ị ẹề ỉ

ề ỉ ề

ỉề

ỉ àá ỉ

ụ
ỉ ề

PT
IT

ữề
ụ



ỉì

Arg( 1z ) = Arg(z) z ∈ Cº

Arg( zz12 ) = Arg(z1 ) − Arg(z2) ∀z1 , z2 ∈ Cº
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | z1 , z2 C

Arg(z2)
ẻ

 ẵ

ể

ệữề

a, b, c ∈ C ×

Ĩ
Ĩ

Arg

Ù ³ ³ ÜịÝ Ö

Úñ

Arg(z1) =

|a| = |b| = |c| = 1, a = c, b = c

ề

ẹ ề

cb
1
b
= Arg .
ca 2
a

ẵẵà

ũ

è ỉề

ỉ àá ỉ

(1.1) Arg
è ề

ề ĩỉ

cb 1
b
cb 2 a
− Arg = 0 ⇔ Arg[(
) . ] = 0.
c−a 2
a
c−a b

Arg(z) = 0 ↔ z ∈ R ↔ z¯ = z ¸ Ø

c−b 2 a
c−b 2 a
¯
z¯ = (
) . =(
) .¯ =
c−a b
c−a b

1
c
1
c

− 1b
− a1

21
a
1
b

Ø

c−b 2 a
z = ( ca
) .b

bca
=
acb

2b

cb
=
a
ca

2a

b

= z.

ẵắ

ề

ỉ

ể ệ

ẵ


Ĩ×

Ơ




Ị Ø



z

ÅĨ ÚƯ

Ù

Ị

õỊ

Ð

Ị

ơ

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)¸ Ø

¿

z n = |z|n (cos nϕ + i sin n) n N , z C.
ề

ạẻ
ạ

ẵắà

ẹ ề

n = 1á ẵắà é ề
ũ ì ẵắà

ề

n = k ¸ z k = |z|k (cos kϕ + i sin kϕ)º Ã

Ị Ú

¸

z k+1 = z k .z = |z|k (cos kϕ + i sin kϕ).|z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z|k+1 [cos kϕ cos ϕ −

sin kϕ sin ϕ+i(sin kϕ cos ϕ+cos kϕ sin ϕ)] = |z|k+1 [cos(k +1)ϕ+i sin(k +1)ϕ]º
Ù ỊđÝ
Ị


Ị Ú

n = k + 1 è ể ếí ềừễ èểụề

á ẵắà

ề ẹề



 ½º º ÀóÝ

Ù

Ị

sin 10x Úđ cos 10x Ø

Ĩ
ơ

ị

ýƠ Ị
Ị Ø

ÅĨ ÚƯ Ú

n = 10, |z| = 1á ỉ

sin x, cos x

ủẹ

PT
IT

ẻ

ệữề ẵắà

ừỉ



(cos x + i sin x)10 = cos 10x + i sin 10x.

Å Ø

ơ

¸ Ø

Ĩ
ề ỉ



ẵà

ỉệ ề ặ ỉểề
n

n

Cnk ank bk ,

(a + b) =

k=0

Ø
0
1
10
(cos x + i sin x)10 =C10
cos10 x + iC10
cos9 x sin x + ... + i10C10
sin10 x.
0
2

10
= C10
cos10 x − C10
cos8 x sin2 x + ... − C10
sin10 x
1
9
+ i C10
cos9 x sin x − ... + C10
cos x sin9 x .

à Ø

Ị ÜØ i2n

Ị

= (−1)n¸ Ø Ị Ò



0
2
10
sin 10x = C10
cos10 x − C10
cos8 x sin2 x + ... C10
sin10 x

ề

ễ ẵàá ẵ à

ẵ à

ệ


èểụề

ẹ ÅĨ ÚƯ
Ý Ù Ð
Øđ



Ðđ Đ

Ị ÕÙ Ị
Ị

Ø Ị

Ị Ð

Úđ èểụề

ủ èểụề
ỉ

ề

í ỉ ĩụ
ì ỉ
ề

ề

ủể ề

ề

á ì ề

ề


ề



ẵ

ề

ủí ắ

ỉ

ề ì



ẵ

ỉừ

ĩ ẹ ề


ề

ẹ ỉ ề

ẩ

ụễ

ụ


éủ ề
ủí ắ

ề

ỉ
ẵẵẵ

ỉệ ề

ề ễ


ểề

ề
ỉệểề

ề
é ề







Úñ
1
3
9
cos 10x = C10
cos9 x sin x − C10
cos7 x sin3 x + ... + C10
cos x sin9 x.


ẵắ

ề

ểì Ơ

n
z
√
n
z=
ØƯĨỊ



ị×

n

n

Đ Ø ×

Ù

z

Üơ

n

Ị



Ị
Ị

Ơ



õỊ Ð
Ị Ø

Ị

ơ



ϕ + k2π
ϕ + k2π
+ i sin
n
n
|z| ∈ R+ := {x ∈ R : x ≥ 0}.

|z| cos

Đ Ị

z0 =

z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)º
Ú

√
n
z = |z0 |(cosϕ0 + i sin ϕ0 ), Ø z0n = z ×ÙÝ Ư

ÅĨ ÚƯ ¸

PT
IT

Ĩ
Ị Ø

|z|(cos ϕ + i sin ϕ) = |z0 |n (cos nϕ0 + i sin nϕ0).

Ĩ

Ỵ




|z| = |z0 |n




cos ϕ = cos nϕ0




sin ϕ = sin nϕ0

 ½º º

Ị

Ò

Ø


|z0 | = n |z|
⇔
ϕ = ϕ+k2π , k = 0, 1, .., n 1.
0
n

ẵ àá ỉ ề

Ị

¿

−1 ØƯ

Ị

Cº

ị

Ì

−1 = cosπ + i sin π Ø

ơ

Ị
¿
−1 Ðđ
π + k2π
π + k2π
zk = cos
+ i sin
Ú
k = 0, 1, 2.
3
3
Ỵ Ý

Ị
¿
ơ
Ị Ù

−1 Ðđ
√
π
π
3 1
k = 0 ⇒ z0 = cos + i sin =
+ i,
3
3
2
2
3π
3π
k = 1 ⇒ z1 = cos
+ i sin
= −1,
3
3
√
4π
4π
3 1
k = 2 ⇒ z2 = cos
+ i sin
=−
− i.
3
3
2
2

½



k = 0, 1, 2, ..., n 1, ẵ à

|z|(cos + i sin ϕ) = [|z0|(cos ϕ0 + i sin ϕ0)]n.
Ì

Ị



ẵắ

ề

ỉ



é ệ

é à

ei = cos + i sin R.
ẻ

 ẵ è ề

ỉ ề

n

n

An =

cos(a + kb), Bn =

sin(a + kb)

k=1

a, b ∈ R, b ∈
/ 2πZ.

Ú

k=1

ị

Ị
Ị Ø



ÙÐ Ư¸ Ø
n

n

An + iBn =

[cos(a + kb) + i sin(a + kb)] =

e

k=1

òØ

Ø

b∈
/ 2Zá ề ề ỉ ề
ụ
ì

ừề



ib k

k=1

ẹ ỉ
ễì

ib

eib

(e ) = e

Ĩ
Ị Ø



Ị

Ị

Üơ

Ị

An+iBn = e

−1

.

ÙÐ Ư Úđ ÅĨ ÚƯ ¸ Ø

n

eib

i(a+b)

n

eib − 1

k=1

¸Ø

(eib)k .

=e

k=1

n

Ĩ

ai

PT
IT

Ì

n

i(a+kb)

−1

eib − 1

(cos(a + b) + i sin(a + b))[(cos b + i sin b)n − 1]
=
cos b + i sin b − 1

nb sin nb
nb sin nb
2
2
= cos(a + b + ).
+ i sin(a + b + ).
.
2 sin 2b
2 sin 2b
Ỵ Ú Ý¸

nb sin nb
nb sin nb
2
2
An = cos(a + b + ).
, Bn = sin(a + b + ).
.
2 sin 2b
2 sin 2b

ặ

ũỉ

ề ĩỉ

ụ
ề
ẻ

ề

b
/ 2Z ề ề sin 2b = 0º đ ØĨơỊ ØƯ Ị
Ị
Ø

Ø
ể

sin 2b á ì

A n ể
Bn

 ẵẵẳ è ẹ ụề

ĩừ

ễ

f :CCỉ

ềỉ

ặ

ủ èểụề


ễ

ềá

ề

ỉ

í ỉ é

è


ễ

ề ễ

í ậ

èểụề

ụỉ ỉệ
ề ì

ểề



ề

ề

á

ề

ề


ỉệ ề

ệ

é ệ ì ề

éủẹ
ễ

ể

ề ủ



ề

ũ

ề

ủí ẵ

ỉ

ề

ề



ữề

ỉ ề

ẹúề

f (z) + zf (z) = 1 + z
ụ
é ề

ỉ

ũ

ẵ

ẳ

í

ề

ề

ề

ỉệ ề

ủể ề ẹ ẵ





ẵ

ủ ẹ ỉ ề
ề
ủề

ề





ẵ à

z C.

ẹ

ủí ẵ
ề
é



ẵ

 ẹ
ỉ

í ỉ ì

á

ề
ễ
ề

ề

ề

ễ ỉ ề
éủ ề




ễ
ìụề

ề ỉ ỉ
ơ
Ị Úđ Ø
Ð Ơ Ư

Ð


ũ

è

í

z ủể ẵ àá ỉ

z

ẵ à

f (z) zf (z) = 1 z.


f (z) ỉ ẵ à ủể ẵ àá ỉ ề ề



(1 + z 2 )f (z) = 1 + z 2 .
ạặ

z = iá ỉ

f (z)
ạặ

ỉ

í

z = i ủể ễ

ề

ề ẹ ỉ ỉ ề ỉ ề ếụỉá ỉ

z = iá ỉ

ỉ

í

ỉ

ỉệ ề

ỉệ ề

ẵ µ¸ Ø Ø

f (i) = α + iβ Ú

z = i ủể ẵ àá ỉ ề ề



í

ề

ẹ

, R

f (i) + if (−i) = 1 + i ⇔ if (−i) = 1 + i − α − βi ⇔ f (−i) = 1 − β + (α − 1)i.
z = +iá ỉ

ặ

íá ủẹ

ẻ

 ẵẵẵ

ì ể
ể

z

f (z) = 1º

f (z)
Ị Ø Đ
õỊ



1

Ị Ù z = +i,



f (z) = α + iβ
Ò Ù z = i,




1 − β + (α − 1)i Ò Ù z = i.

PT
IT

ạặ

ề



ẹ ề



ệữề

ẻ

ề

ẹ

ì

ễ



z = 1, |z| = 1

ừề

z=

x+i
.
xi

ũ

ủể ũề
ĩ



í

ềỉ

ẳ

í ủ

+

ẵ

ạẵ

ạ

ề

Ã

ẳ

ạ

ẵ

ẳ
í

ẳ

ạẵ

ề

x2 1
x2 + 1

ắ

ủẹ ì

2

+

y=

2x
2
x +1
ắẳ

2x
1+x2

2

= 1,

Ø Ò Øõ

x∈R

Ø

z = a + bi Ú

z∈CØ

Ĩ

Đ Ị

Ư÷Ị

Đ Ị

ÌƯ

z+
Ị

1
z

1
= 2 cos n.
zn

ẵ à

= 2 cos z 2 2z cos ϕ + 1 = 0 ⇔ z = cos ϕ+i sin ϕ.

z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ |z| = 1 ⇒ z¯
z =1⇒

Ơ ½º

i sin

1
zn

èệ

ề

ễ ắ

ẻ

 ẵẵ

íá ẵ à



1
= 2 cos .
z

PT
IT

zn +

Ì

2x
x2 +1 .

ĐóỊ

z+

Ị

x2 −1
x2 +1 ,

x2 − 1
2x
(x + i)2
x+i
z= 2
+i 2
= 2
=
.
2
x +1
x +1
x i

xi

 ẵẵắ

ề

+ b2 = 1, ÐÙ Ị Ø Ị Øõ x ∈ R × ể
ể


a =
b =

ể íá

ẻ

ỉ
ể a2

ũỉ

= (¯
z )n = cos nϕ − i sin nϕº Å Ø

ô
z n

1
z

= z¯ = cos ϕ −

= cos nϕ + i sin nϕº

Ĩ

Ị º

z = cos ϕ − i sin ϕ¸ Ø
Ị

Đ Ị

1 + i tan α
1 − i tan

ề ỉ ề

ỉệ

ề

ễ ẵ



ệữề

n

=

1 + i tan n

n N∗ , nα − ∈
/ πZ.
1 − i tan nα
2

ị

Ì

ịØ

Ø

nα −

1 + i tan α
1 − i tan α

n

π
2

∈
/ πZ ×ÙÝ Ö cos nα = 0º Ã

=

cos α + i sin α
cos α − i sin α

n

=

¸Ø

Ĩ
Ị Ø

ÅĨ ÚƯ ¸

cos nα + i sin nα
1 + i tan nα
=
.
cos nα − i sin nα 1 − i tan n


ẻ
ừề

 ẵẵ

ix

ũ ễ

ề

ỉệ ề

x R

ề



ề

z Cá

éủ ề

ỉ ễ

ề

ỉệ ề

ẹ ỉ ề ũểà

z 3 + (1 − 2i)z 2 + (1 − i)z − 2i = 0.
ắẵ

ẹ ỉ ề

ẹ


ị

Ĩ

ix Ðđ Ị

и Ị Ị Ø

Ý

ix ÚđĨ Ơ

Ị ØƯ Ị ¸ Ø Ò

Ò



−ix3 − (1 − 2i)x2 + (1 − i)ix − 2i = 0 ⇔ (−x2 + x) + (−x3 + 2x2 + x − 2)i = 0

−x2 + x = 0,
⇔
⇔ x = 1.

−x3 + 2x2 + x 2 = 0.
ặ

íá

z = i éủ ề

ẹ ẩ

ề Ø
Ø đỊ Ị

ỊØ ¸Ơ

Ị ØƯ Ị

Ú Ø

õỊ

(z − i) z 2 + (1 − i)z + 2 = 0.
Ỉ

Đ

Ơ

Ị ØƯ Ị Ðđ





z1 = i,



z2 = 12 (−1 −




z3 = 1 (1
2
úí ì

ẵẵ

ỉ

ụ

ạ ỉ ụề ĩừ



17 4) + (1 +

17 + 4)i ,
√
17 + 4)i ,

PT
IT

½º¿º

√
√

17 − 4) + (1 −



ơ Ị

Đ

ịỊ

f :N→K

n → f (n) = xn ,

K = Rá ỉ ì ề ề
(xn)
n=1



éủ úí × Ơ

Ỵ



óÝ ×

óÝ ×

Ý

º Ã

( n1 ) :

(1 + n1 )n

ẹ ỉ
í

(xn)
á

úí ì

á

(xn)n0 èệểề ỉệ


xn

ỉ

éủ ì

ỉỳỉ éủ
ề

úí ì

ễ

áỉ

ề



K = Cá (xn)

õỊ Ø Ị ÕÙ Ø

n

óÝ ×

1 1
1
1 , 2 , ..., n , ...
: 1 + n1 , 1 + 12 , ...

ạ úí ì

(xn)

éủ



ề

ạ úí ì

(xn)

éủ



ề ỉệ ềá

ạ úí ì

(xn)

éủ



ềá

ạè ề

úí ì

(xn) ỉ ề ỉ

M < 0 ề

á ề Ù Ø Ị Øõ
Ị Ù Ø Ị Øõ

Ị Ù óÝ

−∞¸

Ø í à,

(xn)


m R ì ể
ể m xn ∀nº

M ∈ R × Ĩ
Ĩ xn ≤ M ∀nº


Ị ØƯ Ị Úđ

lim xn = −∞

n→∞



Ị

º

Úđ

∃n0 ∈ N × Ĩ
Ĩ ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ M.
¾¾



(xn)º


ạè ề

úí ì

(xn) ỉ ề ỉ

+á

ủ

lim xn = +

n

M > 0 ´Ð Ị Ø Ý µ, ∃n0 ∈ N × Ó
Ó ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.
ạậ

A



éủ

úí ì

(xn)

ỉ

ừề

ề



úí ì

Aá



(xn)

ềệ
ề á

n

íỉ
ềề

ủ

lim xn = A

n→∞

∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N × Ĩ
Ó n ≥ n0 ⇒ |xn − A| < .
ẻ

 ẵẵ

ề

ạặ

ẹ ề

ề

ề

ạặ

a = 0á ỉ

ề ề

ẵà Ì Ò
Ò

ÙÝ Ò

Ð

Ò



Ò º

Ò

n0 = [

Ø

n > n0 ⇒ |xn 0| =

(xn )

úí ì

ề

(xn)

ỉ

(xn)
A1 á ỉ ể
ỉ

ề

ỉ

ề

ề

ề

Aá ỉ

A éủ

A1 ủ

ề

ỉ

á ỉ ề ỉừ ì

|a| |a| |a|
<
< |a| = .
n
n0




A2 ¸ Ø Ĩ

Ị

Ị

n0 = max{n1, n2}¸ Ø

|xn − A1| < ǫ
|x − A | < ǫ
n

1

¾¿

ÙÝ Ị

Ị

غ

A2 Úđ A1 = A2 º

Ø

n1 ∈ N × Ĩ
Ĩ |xn A1| <

á ỉ ề ỉừ ì

A2| < n n2
ỉ

|a|
] + 1.


ỉ

ũ ì

ẹ ề

ề ỉ á

= 0

ỉ

∀n ≥ n1 º
Ì

Ø ÐÙ Ị ØƯ Ị

|a|
] + 1,
ǫ

½º½ ặ

(xn)

lim a
n n

ệữề

|a|
|a|
<n>

n


= 12 |A1 A2| > 0º

Ỵ

Đ Ị

xn = na , ∀ǫ > 0 ủ ĩỉ

ỉ

> 0 n0 = [

ẵắ è ề

ề

PT
IT

éừ

á

a = 0¸ Ø

|xn − 0| =

Ì

Ị

∀n ≥ n0 ,

n2 ∈ N × Ĩ
Ĩ |xn −


|A1 −A2| = |A1 −xn +xn −A2| ≤ |xn −A1 |+|xn −A2| < 2ǫ = 2. 12 |A1 −A2 |,

×ÙÝ ệ

ẹ ỉ ề
ắà è ề
ề





é

ề

ẵẵ Ã ặ Ù

lim xn =

· Ỉ Ù

n→∞

lim xn = A = ∞, ỉ

n
+, ỉ

lim xn = , ỉ

à ặ

n

ề

Ã

ẹ ề

ũì

(xn)

(xn)



ề

(xn)



ề ỉệ Ịº



Ịº

Ị Ị

¸

º

lim xn = A = ∞, Ø Ĩ

n→∞

∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |xn − A| < ǫ.
Ã

¸
Ø

|xn| = |xn − A + A| ≤ |xn − A| + |A| < ǫ + |A| ∀n ≥ n0 º

PT

IT

m = min{x0, x1, ..., xn0−1, −(ǫ + |A|)},
M = max{x0, x1, ..., xn0−1, ǫ + |A|},

×ÙÝ Ư
·

m ≤ xn ≤ M ∀n ∈ Nº

ị×

lim xn = +∞, ỉ ể

n

ề ề

á

M > 0, n0 N ì ể
Ó ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.

Ø

m = min{x0, x1, ..., xn0−1, M}, Ø
xn ≥ m n N

à è ề ỉ
ề

é

ỉ

ẵẵ

à ặ
à ặ
à ặ

ể

a R, A

ề

lim xn = A ủ lim yn = B º

n→∞
< a¸ Ø

a ∈ R, A > a¸ Ø

n→∞

∃n0
∃n0

a, b ∈ R, A ∈ (a, b)¸ ỉ

n1

à ặ ỉ ề ỉừ

ẹ ề

à



ì ể
ể

ũì

ì Ó
Ó
× Ó
Ó

∃n0

xn < a ∀n ≥ n0 .
xn > a ∀n ≥ n0 .

× Ĩ
Ó

xn ∈ (a, b) ∀n ≥ n0.

xn ≤ yn ∀n ≥ n1¸ Ø

a ∈ R, A = lim < aº
n→∞

A ≤ Bº

Ø

ǫ = a − A > 0¸ Ø Ĩ

Ị Ò

¸

∀ǫ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |xn − A| < ǫ,
×ÙÝ Ư

xn < A + ǫ = a.

à ủ
à ặ

A = lim xn < a Ó
A = lim xn ∈ (a, b) Ø
n→∞

n→∞

¾

Ị

Ø

Ị



Ị


ẹ ề ỉệ ề
à

ề ễ ũề

ề á

ũì

ì ể
ể

ỉ

ỉ

=

AB
2 ¸Ø

Ĩ

Ị Ị

¸ Ø Ị Øõ

n2 , n3


|xn − A| < ǫ ∀n ≥ n2,
|y − B| < ǫ ∀n ≥ n .
n
3

n0 = max{n1, n2, n3}¸ Ø




an ≤ bn ,



|xn − A| < ǫ,





|yn − B| < ǫ,
Ỵ

A > Bº

 ½º½ º

Ĩ


yn < B + ǫ = A+B
2
∀n ≥ n0 ⇒
A − ǫ = A+B < x

n

2

⇒ yn < xn Đ Ù Ø Ù Ịº

✷
a > 1 Úđ α N



ề

ề

ẹ ề

ệữề

PT
IT

an
= +.
n n
lim

ề

ẹ ề

h > 0



an

n
n

è

lim

áỉ

ể

= lim

n

ề



á ỉ

n

n

n

a = (1 + h) =


an
n
é



n+1 2

h
2

ẵắẳ

ề

ỉ




a = 1 + h

ể

a > 1á ề ề

ỉệ ề ặ ỉểềá ỉ

k=0

ẻ íá


an
n

Cnk hk 1 + nh +

√
α an
n→∞ n

⇒ lim
Ð

n(n + 1) 2 n(n + 1) 2
h
h.
2
2

= +

ễà ặ ỉ ề ỉừ

n0 N

ì Ó
Ó

✷
xn ≤ yn ≤ zn ∀n ≥ n0

Úñ

lim xn = lim zn = A,

n→∞

Ø

n→∞

lim yn = A.

n→∞

Ị

Đ Ị

n1 , n2 × Ĩ
Ĩ

ị ×

ǫ > 0 Úđ lim xn = lim zn = A¸ Ø Ĩ
n→∞

n→∞


|xn − A| < ǫ ∀n ≥ n1,
|z − A| < ǫ n n .
n
2
ắ

ề

ề

á ỉ ề ỉừ