Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học: 20152016 môn: Toán32269

S

GIÁO D C VÀ ÀO T O
QU NG NGÃI
CHÍNH TH C

K THI CH N H C SINH GI I L P 11 THPT
N m h c: 2015-2016
Mơn: Tốn
Th i gian làm bài: 180 phút

Tên : Tr ng Quang An
Giáo viên Tr ng THCS Ngh a Th ng
a ch : Xư Ngh a Th ng ,Huy n T Ngh a ,T nh Qu ng Ngưi
i n tho i : 01208127776
Câu 1(3,0 đi m). Tính t ng các nghi m c a ph ng trình sau trên 0;1007 
8sin 2 x.cos x  3 sinx  cos x
 0.
7 
3 


sin  x 
  3cos  x 

2 
2 



Câu 2 ( 6,0 đi m).

1. Tìm h s c a x4 trong khai tri n (1  x  3x2 )2n bi t r ng n là s t nhiên th a mưn
C21n1  C22n1  ...  C2nn1  22016  1.

2. T các ch s 1, 3, 4, 8 l p các s t nhiên có sáu ch s , trong đó ch s 3 có m t
đúng ba l n, các ch s cịn l i có m t đúng m t l n. Trong các s đ
trên, ch n ng u nhiên m t s . Tính xác su t đ s đ

c t o thành nói

c ch n chia h t cho 4?

Câu 3 (3,0 đi m). Cho dưy s  un  xác đ nh nh sau:
u1  2016

un 1  1  u1u 2 ...u n

(n 

*

)

n

1
. Tìm l imSn .
n
k 1 uk

t Sn  

Câu 4 ( 2,0 đi m). Cho t giác ABCD n i ti p đ
hình bình hành ABMD, ACND. Tìm qu tích tâm đ

ng trịn (O,R), AD=R. D ng các
ng tròn ngo i ti p c a tam giác

DMN.
Câu 5 (6,0 đi m). Cho hình l p ph

ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh a . G i I là tâm c a

hình vng CD D’C’, K là trung đi m c a c nh CB.
a. D ng thi t di n c a hình l p ph

ng ABCD.A’B’C’D’ c t b i m t ph ng (AKI).

Tính di n tích c a thi t di n theo a .
b. Tính góc t o b i hai đ

ng th ng A’D’ và AQ v i Q là giao đi m c a (AKI) và CC’.

ThuVienDeThi.com


H t
H và tên thí sinh:…………………………………………S báo danh:……………….
Ng i coi thi s 1:……………………………..……..Ng i coi thi s 2:………………

S

GIÁO D C VÀ ÀO T O
QU NG NGÃI
H NG D N CH M VÀ
BI U I M
áp án có 05 trang

K THI CH N H C SINH GI I L P 11 THPT
N m h c: 2015-2016
Mơn: TỐN

N i dung
Câu 1(3,0 đi m). Tính t ng các nghi m c a ph

ng trình sau trên 0;1008 

8sin 2 x.cos x  3 sinx  cos x
 0.
7 
3 


sin  x 
  3cos  x 

2 
2 


7

3

i u ki n xác đ nh sin  x    3cos  x    0  x   k , k  .
2 
2 
6


pt  4sin 2 x.sinx  3 sinx  cos x  0  2(cos x  cos3 x)  3 sinx  cos x  0

1
3


 cos3x  cos x 
sinx  cos3x  cos  x  
2
2
3






x

 m
3x  x  3  m2


6
, m .





3x    x     m2
x 
m




3
12
2


K t h p đi u ki n xác đ nh ta có nghi m c a ph
x





 m (m  ).
12
2

Vì x  0;1008   0  

i m

0,5
0,5

0,5
ng trình đư cho là
0,5


12

m

Suy ra các nghi m c a ph


2

 1008  1  m  2016, m  .

0,5

ng trình đư cho trên đo n 0;1008  g m 2016


5
.

2
12
2016  5
  3043154
T ng các nghi m là S 
.
 2.  (2016  1).  
2  12
2
3

nghi m l p thành m t c p s c ng có cơng sai d  , x1 

Câu 2 (6,0 đi m).
1 (3,0 đi m). Tìm h s c a x4 trong khai tri n (1  x  3x2 )2n bi t r ng n là s
t nhiên th a mưn C21n1  C22n1  ...  C2nn1  22016  1

ThuVienDeThi.com

0,5


C20n 1  C22nn11
C21n 1  C22nn1
...

0,5

C2nn 1  C2nn11
1

 C20n 1  C21n 1  ...  C2nn 1  (C20n 1  ....  C22nn11 )  2 2 n
2

T gi thi t suy ra n=1008
Xét khai tri n

1  x  3x 

2 2016

0,5
2016

k
  C2016
(1  x) k (3 x2 ) 2016 k
k 0

k

2016

k
  C2016
 Cki ( x)i (3x2 )2016k
k 0



2016

i 0

k

 C
k 0

1,0

i 0

k
2016

Cki (1)i (3) 2016k x4032 2 k i

Ta tìm i, k là các s t nhiên th a mưn
 k  2016

 i  4
4032  2k  i  4
 k  2015





k
0

2016


 i  2
0  i  k


 k  2014
 i  0

0,5

4
2
2015
2014
 3C2015
C2016
 9C2016
V y h s c a x4 trong khai tri n là C2016
2.(3,0 đi m). T các ch s 1, 3, 4, 8 l p các s t nhiên có sáu ch s , trong
đó ch s 3 có m t đúng ba l n, các ch s cịn l i có m t đúng m t l n.
Trong các s đ c t o thành nói trên, ch n ng u nhiên m t s . Tính xác su t
đ s đ c ch n chia h t cho 4?
G i s c n tìm là abcdef v i a , b, c, d , e, f 1,3,4,8
S p x p ch s 3 vào 3 trong 6 v trí, có C63 cách. S p x p 3 ch s 1;4;8 vào
3 v trí cịn l i có 3! Cách. V y có t t c C63.3!  120 s .
M t s chia h t cho 4 khi và ch khi hai ch s t n cùng t o thành 1s chia
h t cho 4.
Trong các s trên, s l y chia h t cho 4 có t n cùng là 48, 84. Trong m i

tr ng h p có C43  4 cách s p x p ch s 3và 1 vào 4 v trí cịn l i, suy ra có 8
s chia h t cho 4.
G i A là bi n c : “ S l y ra chia h t cho 4”
V y s các k t qu thu n l i cho A là A  8
S ph n t c a không gian m u là   120

Xác su t c a bi n c A là PA 

A
8
1


 120 15

ThuVienDeThi.com

0,5

1,0

0,5

0,5
0,5
0,5


Câu 2 (3,0 đi m). Cho dưy s  un  xác đ nh nh sau:
u1  2016


un 1  1  u1u 2 ...u n (n  1)
n

1
. Tìm l imSn .
n
k 1 uk
ui 1  1  u1u2 ...ui i  1

t Sn  

 ui 1  1  ui (ui  1)

1,0

 ui  1 i  1, ui 1  1  u1 i  1
1
1
1
1
1
1

  

ui 1  1 ui  1 ui
ui ui  1 ui 1  1
Sn 

0,5

1
1
 ... 
u1
un

1
1
1
1
1
2
1
 

 ... 

 
u1 u2  1 u3  1
un  1 un 1  1 u1 un 1  1

0,5

un 1  1  u1u2 ...un  u1 (1  u1 ) n 1  2016.2017 n 1
0

1
un 1  1

lim

n 

1
2016.2017 n 1

1,0

1
1
 0  lim
n 1
n

un 1  1
2016.2017

lim sn 

n 



2
1

.
u1 1008

Câu 4 ( 2,0 đi m). Cho t giác ABCD n i ti p đ ng trịn (O,R), AD=R.
D ng các hình bình hành ABMD, ACND. Tìm qu tích tâm đ ng trịn ngo i
ti p c a tam giác DMN.
B
A

O
M
D

C
I

N

G i I là tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác DMN.
ABMD, ACND là hình bình hành suy ra AD  BM , BM  CN.
Xét phép t nh ti n theo vect AD

ThuVienDeThi.com

1,0
1,0


TAD : A  D
B M
CN

Suy ra TAD : O  I , suy ra OI = AD = R. V y qu tích c a đi m I là đ ng trịn
tâm (O,R).
Câu 5 (6,0 đi m). Cho hình l p ph ng ABCDA’B’C’D’ có c nh a . G i I là
tâm c a hình vng CDC’D’, K là trung đi m c a CB.
a. D ng thi t di n c a hình l p ph

ng ABCDA’B’C’D’ c t b i m t ph ng

(AKI). Tính di n tích c a thi t di n theo a .
b.Tính góc t o b i hai đ

ng th ng A’D’ và AQ v i Q là giao đi m c a

(AKI) và CC’.
C'

D'

B'

A'
N
I
Q

J

C
B

D

K
A

a. (4, 0 đi m). G i J là giao đi m c a AK và CD.
Q là giao đi m c a JI và CC’; N là giao đi m c a IJ và DD’.
Thi t di n là t giác AKQN.
Ch ng minh đ c AKQN là hình thang có 2 đáy là KQ, AN.
Ch ng minh đ c C là trung đi m c a JD, K là trung đi m JA, Q là trung
đi m c a JN.
SJKQ

JK JQ 1 1 1

 .   SAKQN  SJAN  SJKQ  3SJKQ .
.
SJAN JA JN 2 2 4
1
CQ 1
1
CQ  ND  QC ' 
  CQ  a
2
CC ' 3
3
a 13
a 5
a 10
Tính đ c KQ 

; JK 
; JQ 
6
2
3

ThuVienDeThi.com

1,0

1,0

1,0


JQ 2  JQ 2  KQ 2
6
cosKJQ=

2 JK. JQ
50
7
5
1
14a 2
SJKQ  JK. JQ.sin KJQ 
2
12
2
14a

.
SAKQN  3SJKQ 
4

sin KJQ  1  cos2 KJQ 

1,0

B (2,0 đi m).
Vì A’D’//AD nên góc t o b i A’D’, AQ b ng góc t o b i AQ, AD

0,5

AC '  AB  AD  AA'  AC '  a 3.

a 19
a 10
; AD  a ; QD 
.
3
3
AQ 2  AD 2  QD 2
3

cos QAD 
.
2 AQ. AD
19

Tính đ

c AQ 

……………………H t…………………….
L u ý +) Các cách gi i khác mà đúng cho đi m t ng ng v i bi u đi m.
+) i m t ng toàn bài khơng làm trịn.

Tên : Tr ng Quang An
Ngày sinh :20-5-1987
T t nghi p cao đ ng s ph m toán qu ng Ngưi n m 2009
ThuVienDeThi.com

1,0
0,5


Ra tr ng đi xin vi c kh p m i n i vào cu i n m 2011 m i xin h p đ ng
làm vi c gi ng d y toán cho 1 tr ng c p 2
Nhà hi n nay Thành Ph Qu ng Ngưi
Thành tích lúc đi h c :
L p 8 : H c sinh đ t gi i nhì h c sinh gi i toán c p th xư Qu ng Ngưi
L p 9 : H c sinh đ t gi i ba h c sinh gi i toán c p th xư Qu ng Ngưi
Lên c p 3 h c Tr ng C p 3 Chuyên Lê Khi t
N m 2005 thi đ i h c s ph m Quy Nh n đ t 24 đi m , tôi ph i xa gi ng
đ ng đ i h c vì m tơi đau quá n ng ,gánh n ng c m áo g o ti n mà tôi phai
chia tay đ i h c .Sau đó tơi v q nhà h c cao đ ng s ph m Qu ng Ngưi
3 n m h c t i đây tôi là sinh viên gi i nh t khoa v Tốn h c .Các Thành
tích :
- Gi i nh t toán lý s c p 3 n m h c 2006,2007,2008
-Ba n m gi i nh t mơn gi i tích trong k thi ƠLIMPIC TOÁN SINH VIểN

c p tr ng Cao ng S Ph m Qu ng Ngưi n m h c 2006 ,2007,2008
-Trong 3 l n đ i di n cho tr ng thi ƠLIMPIC TỐN SINH VIÊN Tồn
qu c thì 1 l n đ t gi i ba ,1 l n gi i khuy n khích .
-Ba n m li n đ t gi i nh t trong k thi sinh viên gi i tốn trên máy tính
casio c p tr ng .
-Sinh viên đ u tiên c a tr ng cao đ ng s ph m đ c đ ng đ trong m c
đ ra k này c a t p chí tốn h c tu i tr
-Sinh viên đ u tiên c a tr ng cao đ ng s ph m đ c đ ng bài trong m c
chuyên đ c a đ c san t p chí tốn h c tu i tr
-Giáo viên đ u tiên c a t nh Qu ng Ngưi đ c đ ng bài trên đ c san t p chí
tốn h c và tu i tr
-Hi n nay sáng d y tr ng vì đ ng l ng quá th p nên đi d y kém
kh p n i đ ki m thêm ti n đ trang tr i cu c s ng h ng ngày và ph giúp cha m
nghèo quê Qu ng Ngưi
-B n thân là ng i r t đam mê mơn tốn t khi tơi cịn là h c sinh l p 7 ,
hi n nay tôi th ng gi i các bài t p khó và d y kèm cho các h c sinh có nhu c u
vào chun tốn
-Ra tr ng 8 n m mà khơng có đ c biên ch ,l ng h p đ ng 1500.000đ
,không đ s ng .Hi n nay tôi th y xư h i khơng c n các giáo viên trình đ toán
n ng l c cao ,xin vi c kh p n i mà khơng có ch d y .B n thân tơi hồn c nh
khó kh n ,khơng đ c nh giáo s Ngô B o Châu ,tôi ph i ra đ ng đ i quá s m
,không đ c h c chun v tốn h c .Tơi ch t nghiên c u ,tìm các ph ng pháp
h c tốn .Tơi c gì có m t tr ng nh n tôi vào đ đ c gi ng d y toán ,b i
đ ng đ i tuy n toán thi các c p v toán ,toán thi trên m ng .Xư h i c n các sinh
viên s ph m đ t lo i gi i mà sinh viên s ph m trình đ cao đ ng gi i nh tôi
không tr ng nh n vào d y ,d y h p đ ng khơng có ti n nhi u ,gia đình q kh
,khơng có ch đ t t cho gióa viên h p đ ng .Tơi th y sinh viên h Cao ng S
Ph m gi i nh tôi mà xư h i đ i x quá b t công .Trong khi các b n bè tôi h c
đ i h c s ph m ,nói thi t trình đ chun mơn tốn t i nó khơng b ng tôi ,thua
r t xa .Ch ng l h c đ i h c s ph m có giá tr h n cao đ ng s ph m ph i không

ThuVienDeThi.com


? Th t là bu n gê !Tôi là tr ng h p ngo i l ,vì ni m đam mê tốn h c mà tơi
ln ln h c h i và trao d i ki n th c toán h c c đi n và hi n đ i .Hi n nay tơi
có th gi i t t các bài tốn trong ch ng trình đ i h c ,ho c các mơn tốn luy n
thi đ i h c ,các chuyên ngành toán các l p cao h c .Tơi h c tốn theo ni m
đam mê và b n thân luôn luôn h ng t i s hồn thi n v tốn h c c a b n thân
.Dù th i gian t i quá b n r n ,sáng d y h p đ ng .chi u ch y bàn cho các nhà
hàng ,t i ch y bàn cho các qn cà pê ,có hơm đi d y kèm ,có b a ch y xe ơm
ki m s ng .Dù đâu tôi c ng đem theo sách toán đ ng i đ c khi r nh .Hi n nay
tơi có th gi i thành th o các đ thi h c sinh gi i c p huy n mơn tốn ,c p t nh
mơn tốn v i s đi m g n tuy t đ i .V mơn gi i tốn trên máy tính c m tay thì
tơi là cao th ,m i th thu t trong casio thì tơi đ u đư n m đ c r t t t ,b i d ng
đ i tuy n n m nào c ng có thành tích cao ,nh ng ti n b i d ng quá ít 15000/1
ti t ,không đ đ đ x ng khi đ n tr ng đ d y và lo cho gia đình tơi .Các đ thi
vào h chun n m nào tôi c ng xin đ v gi i th ,c b n tôi gi i đ c 99%
.B n bè tơi thì t i nó ch gi i đ c m t bài mà thơi ,có đ a đ c đ xong r i l c
đ u không gi i n i .M t s đ a d y tr ng chun mà trình đ tốn h c ch a
ch c gì b ng tơi .Hi n nay tơi đư g i h s xin vi c toàn Vi t Nam đ mong m t
tr ng nào đó nh n tơi vào làm đ có tiên ni v con và cha m .
-Hi n nay tơi có đào t o các em h c sinh nghèo g n xóm mi n phí v i
mong mu n truy n vào các em ni m đam mê toán h c và t ng b c các em đ n
v i t p chí tốn h c tu i tr hay t p chí tốn tu i th .
-Hi n nay b n thân mu n h c lên đ i h c nh ng có l
c m đó c a tơi
khơng thành hi n th c vì chuy n ti n b c va gia đình hồn c nh
-Nh ng giáo viên u tốn n u có nhu c u gi i các bài tốn khó và giao
l uh ch i
-Xóm tơi bình th ng l m ,b n nh ngây th ,ng ngh nh đáng yêu .H ng

ngày b n tr xóm tơi th ng nh tơi giúp các bài tốn khó .Tơi đ n v i t p chí
tốn h c tu i tr khi tơi cịn là m t h c sinh l p 7 .M i sáu n m qua tơi đư coi
t p chí nh m t ng i b n quen thu c mà tôi mong đ i vào ngày 15 h ng tháng
.Ban đ u tơi thích thú tị mị tìm thêm tài li u ,sau nay c g ng gi i các bài t p
trong chuyên m c đ ra k này .Trong 16 n m qua t p chí đư cho tơi đ c ti p
xúc v i các bài toán r t hay ,chuyên đ hay .Ba n m h c cao đ ng là th i gian
đ p nh t cu c đ i tôi .Tôi b c vào s ph m toán v i n n t ng ki n th c vô cùng
t t .Ngay tôi đ c t p chí đ ng 1 bài trên chuyên m c đ ra k này tôi r t vui
s ng ,khơng t n i . ó là th i đi m n m 2008 ,khi đó tơi ch là 1 sinh viên
nghèo c a tr ng ,đi u ki n h c t p khơng có ,sinh viên cao đ ng nh tơi vi t bài
cho 1 t p chí tốn h c là đi u vi n vơng ,đó là s th t .Nh ng tôi không n n lịng
và cu i cùng tơi c ng đ t đ c c m c a tơi .Nh ng ngày đó th t khó kh n ,tơi
ch ghi bài gi i trên gi y A4 r i đem th ra b u đi n g i .Cách đây 1 n m thì có
ch h làm qn PHƠ T Ơ COPPY bán l i m t chi c máy tính đ bàn c ,tôi mua
v i giá 500 ngàn ,vui l m các b n ,th là t nay có th đánh vi tinh các bài toán
mà minh suy ngh và s u t m ,sau khi hồn thi n tơi ch y ra qn PHƠ T Ơ
COPPY đ g i vì nhà khơng có m ng INTERNET .Có l tơi s g c ngư tr c
cu c s ng nghèo kh và thi u ti n b c n u nh tơi khơng có ni m đam mê tốn
ThuVienDeThi.com


h c .Tôi nh mưi n m 2008 khi c m trên tay t báo có đ ng bài c a minh tôi đư
vui run luôn ,tôi ra b u đi n mua báo tốn ,trên k báo cịn đúng 1 t ,đ c và th y
tên mình và tơi đư lên xe đ p cà tàng c a sinh viên đ p nhanh nhanh v nhà ,th t
nhanh ,tôi không bi t tôi đư qua m y ngư t n a ,ch bi t đ p th t nhanh .M y
tháng sau có th nh n tiên nhu n bút 120.000 ,đ i v i 1 đ a sinh viên nghèo nh
tơi đó là s ti n 1 tháng đ n sáng đi h c ,vui l m các b n ak .Sinh viên qua
nhanh ,ra tr ng vì hồn c nh cha m đau và khơng có ti n,khơng n i nào nh n
mình vào d y h c ,mình đư đi ch y bàn cà phê,ch y bàn đám c i cho nhà hàng
,mình đi d y kèm kh p n i ,có khi ph i đi ch y xe ơm nh ng khi r nh mình

th ng l y t p chí tốn h c ra xem .T p chí nh m t ph n trong c th mình ,r i
sau 4 n m ch y vi c kh p n i tôi c ng xin đ c h p đ ng cho 1 tr ng c p 2 đ
d y tốn . Nhà tơi hi n nay sách toán r t nhi u ,16 n m qua tơi đư có trong tay
kho ng 451 s báo tốn h c ,mua có ,tơi m n báo đ phơ tơ c ng có .H i x a
khi t i ngày 15 h ng tháng tôi th ng ra b u đi n đ mua ,t nhà đ p xe đ p ra
,t i n i m t nh ng khi mua đ c báo là tôi vui l m .Vào n m 2014 thì đi làm
cu c s ng c ng đ khó kh n thì tơi m nh d n dành tiên lên b u đi n đ t báo đ
nhân viên giao t n nhà luôn .Qua th i gian tôi cung mua đ c chi c xe máy c đ
đi làm .Qua nh ng tâm s này tôi mu n các b n yêu tốn mà có đi u ki n h n tơi
hưy c g ng lên nhé ,hưy đ t mua t p chí tốn h c ,hưy vi t bài cho t p chí .Ti n
trong cu c s ng khơng là gì ,n u chúng ta c g ng và có ý chí thì chúng ta s
thành cơng .Tơi hi n nay có 2 c m ,th nh t đ c ra th m tốn chí tốn h c
tu i tr 1 l n cho bi t ,n m ngoái đ c t p chí tốn h c tu i th m i ra d bu i
h i th o tốn h c
à N ng nh ng do cơng vi c và cha m đau n ng tôi đư
không ra .Th 2 mong đ c h c lên đ i h c h chính quy .M c dù q tơi có
d y h t i ch c ,nh ng tơi thích h c chính quy h n , c m đó có th v i m i
ng i r t đ n gi n nhung v i mình khó vì gia đình ,cha m ,ti n b c ph i m u
sinh vì cu c s ng h ng ngày . Trên toàn qu c ,n u tr ng nào c n giáo viên nh
tơi thì liên h s đi n tho i 01208127776 ,hi n nay tơi khơng có vi c làm ,không
ti n ,cha m b nh n ng mà khơng có ti n lo .Trên bóng đá có B u
cc a
Hồng Anh Gia Lai ,ơng này đ u t cho bóng đá và giúp cho nhi u c u th nghèo
. Mà trên giáo d c không có ai đ c nh B u
c th t là bùn .Trên Vi t Nam
ch nào ,n i nào c n tuy n giáo viên ch t l ng cao hay liên h v i tôi nhé
.Không bi t t p chí tốn h c có tuy n m t c ng tác viên trình đ cao đ ng nh tôi
không .L ng h p đ ng 15.000đ/ti t quá th p ,tôi không s ng đ c b ng ngh s
ph m ,
M t ng i đam mê Toán và t p chí tốn h c và tu i tr

n t mi n quê nghèo kh ,kh n khó
Ngh a Th ng ,T Ngh a ,Qu ng Ngãi
Tr ng Quang An

ThuVienDeThi.com