GIÁO TRÌNH CƠ HỌC LÝ THUYẾT

I HC À NNG
TRNG I HC BÁCH KHOA

KHOA S PHM K THUT
B MÔN C K THUT








À NNG 2005
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
CHNG I

NG HC IM

§1. M U NG HC

ng hc là phn c hc nghiên cu các tính cht hình hc ca chuyn đng
các vt, không k đn quán tính (khi lng) và các lc tác dng lên chúng đ vt
chuyn đng. Khi nghiên cu phn đng hc ta cn chú ý đn nhng đim sau đây:
1. Mô hình vt th ca đng hc là đng hc đim và vt rn chuyn đng.
ng hc đim là đim hình hc chuyn đng trong không gian, qua thi gian. Vt rn
chuyn đng là tp hp nhiu đng đim mà khong cách gia mi cp đim đu
không đi trong chuyn đng.

2. Chuyn đng xy ra trong không gian và theo thi gian. Không gian trong c
hc là không gian Euclide ba chiu. Tt c các phép đo lng trong không gian này
đc xác đnh theo phng pháp hình hc Euclide. n v chiu dài đ đo khong
cách là mét (m). Thi gian trong c hc đc coi là thi gian trôi đu không ph thuc
vào h quy chiu kho sát. n v đo thi gian là giây (s). Thi gian đc xem là đi
s đc lp khi kho sát chuyn đng ca các vt th.
3.  xác đnh v trí ca vt (hoc đim) đang chuyn đng ngi ta gn vi vt
chun dùng đ kho sát chuyn đng mt h to đ nào đó mà cùng vi nó to thành
h quy chiu. Nu to đ ca tt c các đim ca vt trong h quy chiu đã chn luôn
không đi ta nói vt đng yên. Còn nu to đ ca các đim thay đi theo thi gian ta
nói vt chuyn đng trong h quy chiu.
4. Kho sát v mt chuyn đng ca mt đim hay ca mt vt rn là tìm cách
xác đnh v trí ca đim y đi vi h quy chiu đã chn  mi thi đim, đng thi
tìm cách mô t chuyn đng y theo thi gian. Mun vy, ngi ta dùng nhng khía
nim sau đây:
a) Thông s xác đnh v trí ca đim hay ca mt vt rn trong h quy chiu đã
chn.
b) Phng trình chuyn đng ca đim hay vt rn chuyn đng là nhng biu
thc liên h gia thông s đnh v nói trên vi thi gian mà ta xem là đi s đc lp.
Chng I ng hc đim Trang 1
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
c) Vn tc chuyn đng là đi lng biu th hng và tc đ chuyn đng ca
đim hay vt rn  thi đim đang xét. Nói chung, vn tc chuyn đng cng là đi
lng bin thiên theo thi gian.
d) Gia tc chuyn đng là đi lng biu th tc đ thay đi ca vn tc chuyn
đng (phng chiu, đ ln) theo thi gian. Gia tc chuyn đng cng là hàm ca thi
gian.
5. ng hc đc chia làm hai phn chính:
- ng hc đim
- ng hc vt rn

§2. KHO SÁT CHUYN NG CA IM
A- Kho sát chuyn đng ca đim bng phng pháp véct (vector)
1. Phng trình chuyn đng ca đim:
Xét chuyn đng ca đim M trong
h quy chiu Oyxz. Rõ ràng là v
trí ca M đc xác đnh duy nht
bng véct đnh v rO= M
r
r
, ta gi
là véct bán kính ca đng đim
trong h quy chiu y.
Khi đng đim chuyn đng, véct
s bin thiên liên tc theo thi gian
c v hng ln đ dài do đó ta
vit :
r
r
= r
r
(t) (1.1)
Hçnh 1.1
W
r
V
r
y
x
z

Biu thc (1.1) là phng trình chuyn đng ca đim vit di dng véct. Qu tích
các v trí ca chuyn đng đim trong không gian quy chiu đc gi là : Qu đo ca
chuyn đng đim trong h quy chiu y.
Phng trình (1.1) cng chính là phng trình qu đo di dng thông s.
Chng I ng hc đim Trang 2
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
2. Vn tc chuyn đng ca đim :
Gi thuyt ti thi đim t đng đim
M có véc t đnh v , và ti thi
đim t’=t+t đng đim  v trí M’
có véct đnh v r .
r
r
r
Véct
'
M
M
r
= - = mô t gn
đúng hng đi và quãng đng đi
đc ca đng đim trong thi gian
, gi là véct tc đ li ca đim.
'r
r
r
r
r
r
t∆

i lng
r
t
∆
∆
r
đc gi là vn tc trung bình ca đng đim trong thi gian t. Kí
hiu
V . Nu t càng nh thì đ chính xác càng cao do đó ngi ta đnh ngha :
TB
M',t'
M,t
V
r

r
r
'
r
r
∆
O
Hình 1.2
r
Vn tc tc thi  thi đim t ca đng đim là véct
V
r
đc xác đnh nh
sau:
00

lim lim
TB
tt
rdr
VV
tdt
∆→ ∆→
r
∆
===
∆
=
r
r
rr
r
&
(1.2)
ngha là : Vn tc tc thi ca đng đim là đo hàm cp mt theo thi gian ca véct
đnh v ca đng đim (Ký hiu
(t)-t nay v sau ta hiu là đo hàm theo thi gian) r
r
&
V mt hình hc khi ti gii hn, vn tc tc thi V
r
phi hng tip tuyn vi
qu đo ca đng đim ti M và thun theo chiu chuyn đng qua đó ca đng đim.
n v chính ca vn tc là m/s (mét/giây).
3. Gia tc ca đng đim :
Nói chung, véct

V bin
đi c v hng và đ ln theo
thi gian V =V (t). a lng :
r
r r
0
lim
t
dV V
dt t
∆→
∆
=
∆
rr
cho ta bit tc
đ bin đi ca véct c v
phng chiu ln đ ln ti
thi đim đang xét, ngha là nó
V
r
'V
Hình 1.3
M'
M
V∆
'V
V
r
Chng I ng hc đim Trang 3

GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
đc trng cho tc đ đi hng và đi hng và đôi đ nhanh ca chuyn đng ca
đim. Vì vy, ngi ta đnh ngha:
Gia tc tc thi ca đng đim là đi lng véct bng đo hàm cp mt
theo thi gian ca vn tc:
W
r
WVr
=
=
r
r
r
&
&&
(1.3)
V mt hình hc, chú ý rng véct V
∆
r
bao gi cng hng vào b lõm ca qu
đo.
n v chính đ tính gia tc là m/s
2
4. Mt s tính cht đc suy ra trc tip t biu thc cu vn tc và gia tc:
a) Nu V đng nht trit tiêu thì VW∧
rr
r
và W
r
luôn luôn cùng phng. Do đó

có phng không đi nên chuyn đng ca đim là chuyn đng thng. V
r
- Nu V không đng nht trit tiêu thì chuyn đng là chuyn đng cong
vì khi y V đi phng.
W∧
rr
r
b) Tính đu hay bin đi ca chuyn đng
Chuyn đng là đu hay bin đi tu theo giá tr vn tc V là không đi hay
tng hoc gim theo thi gian.
- Nu tr s vn tc tng hoc gim theo thi gian trong mt khong thi gian
nào đó ta nói đim chuyn đng nhanh hoc chm dn trong khong thi gian đó.
Chú ý rng s thay đi V
2
đc trng cho s thay đôi đ ln ca V và ta có:
22
()VV=
r
,
22
()
2.
dV d V
VW
dt dt
==
r
r
r

Ta rút ra kt lun nh sau:
- Nu
 0 thì đng đim chuyn đng đu trên qu đo ca nó (có th
thng hay cong)
.VW
rr
- Nu .VW
rr
≠ 0 thì chuyn đng bin đi, c th :
+ > 0 : Nhanh dn .VW
rr
+ < 0 : Chm dn .VW
rr




Chng I ng hc đim Trang 4
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
B- Kho sát chuyn đng ca đim bng to đ Descartes
1. Phng trình chuyn đng ca đng đim:
Xét chuyn đng ca
đim trong to đ Descartes
Oxyz. V trí ca đim đc xác
đnh bi các to đ x,y,z. Vì
vy:
Phng trình chuyn
đng ca đim s là :
()
()

()
x
xt
yy
t
zzt
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
(1.4)
(1.4) cng chính là phng trình qu đo vit di dng tham s.
Hçnh 1.4
x
O
z
y
r
r
),,(
zyx
WWWW
r

),,(
zyx

VVVV
r
M
(
x
,y,
z
)

2. Vn tc chuyn đng ca đim :
Gi i, j, k là các véct đn v trên ba trc to đ Ox, Oy, Oz khi y :
yj+zkrxi=+
rr
r
r
trong đó i
r
, j
r
, k
r
là hng.
Ta có :
(yj+zk) = yj+z
d
kxi xi
dt
== + +Vr
r
rrr

r
r
r
r
&

jk
xyz
VViV V=++
r
r
r
r

Vy :
⎪
⎨
(1.5) Vn tc ca đng đim trong h Descartes t (1.5) có th xác
đnh giá tr và hng ca V
x
y
z
Vx
V
Vz
=
⎧
y=
⎪
=

⎩
&
&
&
r
22
Vxyz
2
=
++
&&
&

os(Ox, )
x
V
cV
V
=
r
,
os(Oy, )
y
V
cV
V
=
r
,
os(Oz, )

z
V
cV
V
=
r





Chng I ng hc đim Trang 5
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
3.Gia tc chuyn đng ca đim :
Tng t nh đi vi vn tc,
W = V
r
r
= r
r
ta có:
xx
yy
zz
WV x
WV y
WV z
⎧
==
⎪

==
⎨
⎪
==
⎩
&
&&
&
&&
&
&&
(1.6) Gia tc trong to đ Descartes t (1.6) ta cng xác đnh giá tr và
hng W nh sau :
W =
222
x
yz
+
+
&& &&
&&

os(Ox, )
x
W
cW
W
=
r
,

os(Oy, )
y
W
cW
,
W
=
r
os(Oz, )
z
W
cW
W
=
r

Cui cùng da vào hình chiu ca vn tc V
r
và gia tc W
r
ta có th mô t các đc đim
thng hay cong, đu hay bin đi đu ca chuyn đng đim.
C- Kho sát chuyn đng ca đim bng to đ t nhiên.
1. Phng trình chuyn đng :
Khi đã bit qu đo chuyn đng ca đim ta thng kho sát chuyn đng ca
đim bng phng pháp to
đ t nhiên.
Chn đim O tu ý trên
qu đo làm gc và xem qu
đo nh mt trc to đ cong

ri đnh ra trên nó mt chiu
dng.
Gi OM=s là to đ cong ca đng đim trên qu đo. Rõ ràng s chính là thông
s đnh v ca đim M trên qu đo. Vy phng trình chuyn đng ca M có dng :
O
M
Hình 1.5
(+)
(-)
()
s
st
=







Chng I ng hc đim Trang 6
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
2. Mt s tính cht hình hc ca qu đo :
a) H to đ t nhiên
H to đ t nhiên là h ba trc vuông góc đc xác đnh nh sau:
Trc tip tuyên ti M có hng
dng đã chn trùng vi hng
dng đã chn trên qu đo, véct
đn v trên trc này ký hiu
τ

r
.
Ly cung vô cùng bé
ds = '
M
M nm trong mt phng duy
nht qua M và cha tip tuyn M.
Mt phng  ti M đc gi là mt phng mt tip. Trong mt phng  ta đim M k
pháp tuyn ca qu đo và đnh hng dng vào b mt lõm ca qu đo. Pháp tuyn
y gi là pháp tuyn chính ti M. Kí hiu là n
r

b
r
n
r
τ
r
Hình 1.6
Trc vuông góc vi mt phng gi là trc trùng pháp tuyn, ký hiu là b
r
là
véct đn v, và chn sao cho Mnb là mt tam din thun. b
r
b)  cong và bán kính cong ca qu đo ti
M
 cong ca qu đo ti M là mt s
dng K :
0
lim

s
d
K
sds
ϕ
ϕ
∆→
∆
==
∆

Nu qu đo là đng tròn thì :
1 ds
R
Kd
ϕ
==
là bán kính ca đng tròn.
Suy rng ra đi vi đng cong bt k
1
K
=  gi là bán kính cong ca qu đo.
T
r

'
T
"
T
τ

r
ϕ
∆
∆
s
Hình 1.7
M’





Chng I ng hc đim Trang 7
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
3. Xác đnh vn tc và gia tc ca chuyn đng :
a) Xác đnh hng vn tc ca đim M
Vì hng theo tip tuyn vi qu đo ti đim M, nên ta có th vit :
.VV
τ
τ
=
r
r
(a)
Mt khác ta cng có :
.
dr dr ds
V
dt ds dt
==

r
r
r

nhng :
0
lim
s
dr r
ds s
τ
∆→
∆
==
∆
rr
r

Vy :
.
ds
V
dt
τ
=
r
r
(b)
T (a) và (b) ta có th vit :
s

dt
ds
VVV
&
r
====
τ

Xét quan h gia V

và
dt
ds
:
- Khi M chuyn đng theo chiu dng thì V
r
và
τ
r
cùng chiu, ngha là V

>0 khi
y
s tng theo thi gian có ngha là s
&
>0. vy V

và s
&
cùng du.

- Khi M chuyn đng theo chiu âm thì V
r
và
τ
r
trái chiu, nên V

<0 khi y s
gim theo thi gian ngha là
s
&
<0. Vy V

và s
&
cùng du.
Vì vy ta vit đc
τττ
τ
r
&
rr
r
s
dt
ds
VV ===

Giá tr
sVV

&
==
cho tc đ chuyn đng, còn du ca V

cho bit chiu chuyn
đng ca đim thun hay ngc vi chiu dng đã chn trên qu đo.
b) Xác đnh gia tc W ca M:
Ta vit :
trong h to đ Mnb, cn phi tìm các giá tr W
bWnW
bn
r
rr
r
WW ++=
τ
τ
,
W
n
, W
b
theo
s

T (1.3) và (1.7) ta có:
τττ
τττ
&
rr

&
r
&
r
r
).(
dt
d
VW VVV +===


Chng I ng hc đim Trang 8
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Nhng trong hình hc vi phân ngi ta đã chng minh rng :
ρ
τ
n
ds
d
rr
=
vì vy :
τ
ρ
τ
τ
V
n
dt
ds

ds
d

r
r
&
r
==

Do đó ta có :
n
V
V
n
V
rr
&
r
r
&
r
)(.VW
2
2
ρ
τ
ρ
τ
ττ
+=+=

T đó suy ra :
sV
&&
&
==
ττ
W
,
ρρ
)(
W
22
sV
n
&
==
,
0W
=
b

Vy: gia tc ca M  v trí đang xét đc phân tích ra hai thành phn : gia tc tip
tuyn W

và gia tc pháp tuyn W
n
.
4. Phán đoán tính cht ca chuyn đng :
- Chuyn đng đu là chuyn đng trong đó V=V

0
; có ngha là . Khi đó s
= s
0W ==
ττ
V
&
0
+ V
0
.t, trong đó s
0
là to đ t nhiên ban đu ca đng đim.
- Chuyn đng bin đi đu là chuyn đng trong đó gia tc tip W

= a = const. T đó
suy ra : V

= V
0
+ at, V
0
là vn tc đu ca chuyn đng, phng trình chuyn đng có
dng : s = s
0
+ V
0
t +
2
at

2
, s
0
là to đ t nhiên ban đu.
- Chuyn đng bin đi khi:
0.) ).(.(. ≠=+=
ττττ
ττ
WVnWWVWV
n
r
r
r
rr

Nu : >0 Chuyn đng nhanh dn
ττ
WV .
<0 Chuyn đng chm dn
ττ
WV .
Ví d 1: ( Chuyn đng Xyclôít)
Xét chuyn đng ln không trt ca đng tròn trên đng thng. Gi s vn
tc ca tâm đng tròn đó là v(t) và bán kính cu nó là R.
a. Lp phng trình chuyn đng ca mt đim M bt k trên đng tròn y.
b. Kho sát vn tc và gia tc ca M nhng lúc nó  trên đng thng ta ca
đng tròn
c. Gi
 thuyt V = V
0

= const, kho sát tính bin đi chuyn đng trên mt cung
qu đo ng vi mt vòng ln ca đng tròn.



Chng I ng hc đim Trang 9
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Bài gii :
a. Lp phng trình chuyn đng :
Kho sát chuyn đng
ca đim M trên đng tròn,
rõ ràng rt nhiu ln M vt
chm vi đng ta Ox. Ta
chn ngay mt đim nh th
làm gc O và bt đu kho
sát t y.
M
I

H
P
O
x
y
Gi  =
),( PIMI
r
r
. Tìm s liên h :
)(),(),( tyyxx

ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
trong đó x, y là ta đ ca M. Ta có :
HPOPx
M
−=
nhng vì vòng tròn ln không trt nên : OP = PM = R.
Vy :
)cos1(cos
)sin(sin
ϕϕ
ϕϕϕϕ
−=−=−=
−=−=−=
RRRKIPIy
RRRHPOPx
M
M

cng vì vòng tròn ln không trt nên:
ϕ
ROPmàdttVOP
t
==
∫

0
).(

Vy
∫
=
t
dttV
R
0
).(
1
ϕ

Do đó phng trình chuyn đng ca đim M đc vit nh sau:
∫
=
−=
−
=
t
dttV
R
Ry
Rx
0
).(
1
)cos1(
)sin(

ϕ
ϕ
ϕ
ϕ

Qu đo ca đim M gm nhng đng cong xyclôít tun hoàn vi chu k là 2 cho
nên ta ch xét chuyn đng ca nó trong 0 ≤  ≤ 2.




Chng I ng hc đim Trang 10
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
b. Biu thc vn tc và gia tc ca đim:
⎩
⎨
⎧
==
−==
ϕϕ
ϕϕ
sin
)cos1(
&
&
&
&
r
RyV
RxV

V
y
x

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+==
−+==
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
sincos
)cos1(sin
2
2
&&&
&&
&&&
&&
r
RRyW
RRxW
W
y
x

M  v trí chm mt đng
ϕ

= 0 hoc
ϕ
= 2 thì sin
ϕ
= 0, cos
ϕ
= 1.
Vy :
⎩
⎨
⎧
=
=
0
0
y
x
V
V
V
r

⎩
⎨
⎧
>=
=
0
0
2

ϕ
&
r
RW
W
W
y
x
Nh vy tc là W ≠ 0 và hng vuông góc đng ta ca vòng tròn. Do vy,  nhng
v trí nh th M dng tc thi và khi đng li.
r
c. Trng hp V = V
O
= const.
∫
==
t
tV
R
dtV
R
0
00
11
ϕ
vy 0,
0
==
ϕϕ
&&&

R
V

Do đó:
⎩
⎨
⎧
=
−=
ϕ
ϕ
sin
)cos1(
0
0
VV
VV
V
y
x
r

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=

=
ϕ
ϕ
cos
sin
2
0
2
0
R
V
W
R
V
W
W
y
xr

[]
ϕϕϕϕϕ
sincossin)cos1(sin
2
0
2
0
R
V
R
V

WVWVWV
yyxx
=+−=+=
rr



⎩
⎨
⎧
<
>
=
0
0
.WV
rr
tron
g
khon
g
0<

< chu
y
n đ

n
g
nhanh dn

tron
g
khon
g
<

<2 chu
y
n đ

n
g
ch

m dn


Chng I ng hc đim Trang 11
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
CHNG II
CHUYN NG C BN CA VT RN
Chuyn đng c bn ca vt rn : chuyn đng tnh tin và chuyn đng quay.
Sau này chúng ta s thy rng mi chuyn đng ca vt rn đu đa v hai
chuyn đng trên.

§1. CHUYN NG TNH TIN CA VT RN
1. nh ngha : Chuyn đng tnh tin ca vt rn là chuyn đng trong đó mi đng
thng thuc vt rn đu luôn luôn không đi phng.
2. Tính cht ca chuyn đng :
nh lý : Trong chuyn đng tnh tin các đim thuc vt rn chuyn đng

ging ht nhau. Ngha là :
Qu đo ca chúng là nhng đng chng khít lên nhau đc và  mi đim
chúng có cùng vn tc và gia tc.
Chng minh: Ch cn kho sát hai đim bt k thuc vt chng hn hai đim M,
N là đ.
Xét vect
MN vt chuyn đng tnh
tin nên
MN không đi hng. Ngoài
ra MN=const. Vy vect
MN không
đi trong chuyn đng.
T đó suy ra rng các t giác M
0
N
0-
M
1
N
1
, M
1
N
1
M
2
N
2
đu là nhng hình
bình hành, vì vy ta có

2121
NNMM = , NNMM
22
= , rõ ràng hai đng gãy M
0
M
1
M
2
M , N
0
N
1
N
2
N,
chng khít lên nhau và do đó qu đo ca hai đim M và N có th chng khít lên nhâu
đc .
M
V
r

N
W
r

M
2
M
1

M
0
N
2
N
1
N
0
M
W
r

M
N

N
V
r

Vì '' NNMM = nên ta có :
N
tt
M
V
t
NN
t
MM
V
rr

=
∆
=
∆
=
→∆→∆
'
lim
'
lim
00
, ngha là :
NM
VV
r
r
=
Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 12
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Suy ra :
NM
WW
rr
=
T đnh lý này suy ra :
- Vic kho sát chuyn đng ca vt rn chuyn đng tnh tin đc thay th bng vic
kho sát chuyn đng ca mt đim bt k ca nó.
-Vn tc và gia tc chung cho tt c các đim ca vt rn trong chuyn đng
tnh tin đc gi là vn tc và gia tc chuyn đng tnh tin. Chúng là nhng véct t
do.

V
r
W
r

§2. CHUYN NG CA VT RN QUAY QUANH TRC C
NH
nh ngha : Nu trong quá trình chuyn đng, vt rn có hai đim luôn c đnh, ta
nói vt rn có chuyn đng quay quanh trc c đnh qua hai đim đó.
Mô hình không gian
O
Mô hình phng
Mô hình ca nó đc biu din :










Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 13
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
A. Kho sát chuyn đng quay ca c vt rn:
1. Phng trình chuyn đng:
Dng hai mt phng 
0
,  qua trc quay AB trong

đó 
0
là mt phng gn vi vt. nh chiu quay dng
ca vt. V trí ca  xác đnh v trí ca vt. Gi
ϕ
là góc
đi s gia hai mt phng (
0
, ). Ta có th coi
ϕ
là
thông s đnh v trí ca vt quay quanh trc AB.
Vy phng trình chuyn đng ca vt là:
(2.1)
)(t
ϕ
ϕ
=
2. Vn tc góc và gia tc góc ca vt chuyn đng :
π
0
π
ϕ

B
A
Gi thuyt trong thi gian t góc đnh v
ϕ
bin thiên mt lng 
ϕ

thì vn
tc góc trung bình là:
t
tb
∆
∆
=
ϕ
ω

Vn tc góc tc thi :
ϕ
ϕ
ϕ
ωω
&
==
∆
∆
==
→∆→∆
dt
d
t
t
tb
t 00
limlim (2.2)
Nh vy: Vn tc góc ca vt rn quay quanh mt trc c đnh là đo hàm cp
mt theo thi gian ca góc đnh v ca vt y.

Du ca
ω
cho bit chiu quay ca vt quay quanh trc, vì nu
ω
>0 ngha là
ϕ
tng theo thi gian và vt quay theo chiu dng.
Ngc li nu
ω
<0 thì vt quay theo chiu âm.
Giá tr
ωω
= gi là tc đ góc ca vt, nó phn ánh tc đ quay quanh trc.
n v ca nó là rad/s hay s
-1
.
Trong k thut ngi ta thng dùng tc đ góc bng đn v vòng/phút. Do đó
có mi quan h gia hai đn v này là:
n
srad
30
/
π
ω
= vòng/phút

Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 14
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
b) Gia tc góc ca vt:
Vì vn tc góc ca vt cho bit chiu quay và tc đ quay ca vt nên s bin
thiên ca nó theo thi gian phn ánh tính bin đi ca chuyn đng đó vì vy ta đnh
ngha:
Gia tc góc ca vt, kí hiu
ε
là đo hàm cp mt theo thi gian ca vn tc
góc hay bng đo hàm cp hai ca mt góc quay
ϕωε
&&&
==
n v đ tính gia tc góc : rad/s
2
hay s
-2

3. Véct vn tc góc và véct gia tc góc:
a) Véct vn tc góc:
Véct vn tc góc kí hiu
ω
r
đc xác đnh nh sau:
ω
r
nm trên trc quay ca vt, sao cho nhìn t ngn

đn gc véct
ω
r
s thy vt quay ngc chiu kim
đng h và
ωω
=
r
. Nu gi là véct đn v trên
trc quay, ta có:
k
r
k
r
r
.
ωω
= (2.3)
b) Véct gia tc góc:
Véct gia tc góc ca vt đc đnh ngha nh sau :
ωε
&
r
r
=
O
ω
r
Kt hp (2.3) và (2.4) ta suy ra đc :
kk

r
r
&
r

εωε
== (2.4)
4. Phán đoán tính cht ca chuyn đng quay quanh trc c đnh:
- Chuyn đng quay đc gi là đu nu tc đ góc là không đi theo thi gian,
const==
0
ω
ω
.
- Nu tc đ góc  thay đi thì chuyn đng quay đc gi là bin đi, nu  tng lên
thì chuyn đng quay nhanh dn, nu  gim thì chuyn đng quay chm dn.
Chú ý rng s bin đi ca giá tr  đc đt trng bi s bin đi ca 
2
và 
2
=
2
ω
r

nên đ nhn xét tính cht chuyn đng ta có th xét du ca đo hàm
dt
d
2
)(

ω
r
.
Ta có :
εωωω
ω
rr
&
rr
r
2 2
)(
2
==
dt
d




Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 15
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Vy ta đi đn kt lun :
a) Nu  0 vt quay đu. ≡
- Nu  ≠ 0 vt quay bin đi.
b) Nu
ε
ω
ε
ω

=
rr
>0 : Nhanh dn.
c) Nu
ε
ω
ε
ω
=
rr
<0 : Chm dn.
- Nu =const chuyn đng quay bin đi đu khi y:
t.
0
ε
ω
ω
+
=
r
r
,
2

2
00
t
t
εωϕϕ
++=

và cùng tho mãn vi điu kin trên là: 0. >
ε
ω
r
r
chuyn đng quay nhanh dn đu,
ngc li 0. <
ε
ω
rr
chuyn đng chm dn đu.
ω
r
c
)
b)
a
)
ε
r
ε
r
0=
ε
ω
r
ω
r

B. Kho sát chuyn đng ca các đim thuc vt rn :

1. Qu đo và phng trình chuyn đng:
ω
M
V
r
π
0
π
(
Γ
)
ϕ
A
M
O
Xét mt đim M bt k thuc vt. Rõ ràng là mi đim thuc vt chuyn đng
theo qu đo đng tròn tâm O trên trc quay và có bán kính OM. Vi OM là khong
cách t M đn trc quay.
Gi A là giao đim ca mt phng 
0
vi đng tròn qu đo () ca M, ta có
góc AÔM =
ϕ
. Ly AM = s là thông s c đnh v ca M trên qu đo và chn chiu
Hình 2
B
M
A
O
Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 16

GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
dng tính cung thun vi chiu dng tính góc ta có phng trình chuyn đng ca
đim M nh sau :
ϕ
.RAMs ==

2. Vn tc và gia tc ca đim thuc vt :
a) Vn tc ca đim thuc vt :
Ta đã bit rng vn tc ca mt đim nm
theo tip tuyn vi hng qu đo ca đim y,
vì vy  đây vuông góc vi OM và hng
theo chiu quay ca vt. Giá tr ca vn tc đc
xác đnh bi biu thc :
V
r
ωω
RR =
ϕ
.
dt
d
RsV ===
&

Nh vy, vn tc ca các đim thuc vt
rn quay quanh trc c đnh đc phân b
quanh trc quay theo quy tc tam giác vuông
đng dng. T kt lun trên ta có th vit :
ω
= ===

OI
V
ON
V
OM
V
I
N
M

τ
W
r
n
W
r
W
r
ε
r
O
Hình 2.7
M
I
N

I
V
r
M

V
r
N
V
r
O
 là h s đng dng.
Hình 2.8
b) Gia tc ca đim thuc vt :
Ta cn bit đim M chuyn đng tròn và nói chung là không đu, nên
n
WWW
r
r
r
+=
τ

Ta cn xác đnh các thành phn
W
τ
r
, W
n
r
và gia tc toàn phn W .
r
- Gia tc pháp tuyn W hung vào tâm O ca qu đo có giá tr :
n
r

2
222
.
ω
ω
ρ
R
R
RV
W
n
===

- Gia tc tip tuyn W hng cùng hay ngc ciu vi vn tc tu theo vt
quay nhanh hay chm dn, có giá tr :
τ
r
V
r
()
εωω
τ
RRR
dt
d
VW ====
&
&

Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 17

GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
- Gia tc toàn phn to vi W
r
OM
mt góc  mà tg là :
2
ω
2
.
.
ε
ω
ε
τ
α
===
R
R
W
W
tg
n

có giá tr :
42
22
ωε
τ
+=+= RWWW
n

T kt qu ca các đim thuc vt rn
chuyn đng quay quanh trc c đnh đc
phân b theo quy tc tam giác đng dng vi
h s t l là :
42
ωε
+ t vit đc :


a có th
42

ωε
+====
O
I
W
O
N
W
OM
W
I
N
M

c) Biu din các véct V và qua các véct
r
W

r
ω
r
,
ε
r
:
Ly mt đim gc bt k trên trc quay ca
vt và đt
rOM
r
= . Da vào các kt qu trên
ta có th vit :
Hình 2.9
Hình 2.9
ω
r
r
r

τ
W
r

V
r
ω
ε
n
W

r

M
I
N

I
V
r
M
V
r

N
V
r
O
rV
r
r
r
∧=
ω
, W r
r
r
r
∧=
ε
τ

n
, W V
r
r
r
∧=
ω

Ví d :
Trong giai đon ly đà, bánh đà quay theo qui lut :
3
32
27
)( tt =
ϕ
. Hãy xác đnh
vn tc và gia tc ca đim M cach trc quay mt khong h = 0,8m khi gia tc tip
tuyn ti đim đó bng gia tc pháp tuyn ca nó.
Bài gii: Vn tc góc và gia tc góc ca bánh đà :
t
dt
d
t
dt
d
16
27
,
32
27

2
====
ω
ε
ϕ
ω

Gia tc tip tuyn và gia tc pháp tuyn ca đim đang xét
2
.,.
ωε
τ
hWhW
n
==
Gi thi đim lúc W

= W
n
là t
1
khi đó
2
11
ωε
=
Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 18
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
Hay :
4

1
2
1
32
27
16
27
tt
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

Vy :
)(
3
4
27
64
1
3
1
stvàt ==
Thay t
1
vào biu thc và ta có :
)/(

4
9
)/(
2
3
2
11
sradsrad ==
εω

T đây ta có : V
1
= h.
1
= 1,2 m/s
W
1
=
2
4
1
2
1
/54,228,1 smh ==+
ωε

C. Truyn đng đn gin:
Trong mt máy hay mt t hp máy thng gn ba phn : đng c, c cu
truyn đng, b phn làm vic.
 đây bc đu ta làm quen vi mt vài c cu truyn đng đn gin nhm

bin chuyn đng quay quanh mt trc c đnh thành chuyn đng quay quanh mt
trc c đnh khác; bin chuyn đng tnh tin thành chuyn đng tnh tin; bin
chuyn đng tnh tin thành chuyn đng quay
1. Truyn đng bng c cu bánh rng, đai truyn, xích :
Truyn các chuyn đng quay gia hai trc c đnh song song nhau, ngi ta
dùng c cu bánh rng, đai truyn, xích.


Hình 2.11a
1
ω
O
2
r
1
O
1
r
2
2
ω
r
2
r
1
O
1
O
2
1

ω
2
ω
Hình 2.12a
Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 19
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC

2. Truyn đng bng c cu rng - thanh rng :
 truyn chuyn đng gia mt vt quay và mt vt tnh tin ngi ta s dng
c cu bánh rng-thanh rng hoc c cu bánh-thanh ma sát.

3. Truyn đng bng c cu cam :
Truyn chuyn đng quay thành chuyn đng tinh tin hoc chuyn đng tnh
tin thành chuyn đng t
nh tin ngi ta s dng c cu cam.




r
2
r
1
O
1
O
2
1
ω
2

ω
r
2
r
1
O
1
O
2
1
ω
2
ω
Hình 2.12b
Hình 2.12a
ω
V
r
R
O
2
V
r
Cam
Cn
1
V
r
Hình 2.14
ω

2
V
r
Cn
Cam
Chng II Chuyn đng c bn ca vt rn Trang 20
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
CHNG III

CHUYN NG TNG HP CA IM

Trên đây ta đã xét chuyn đng ca đim hay vt rn đi vi h quy chiu c
đnh.  chng này ta xét chuyn đng ca đim so vi h quy chiu đang chuyn
đng trong h quy chiu khác đã chn làm h quy chiu c đnh. Nhiu bài toán trong
thc t k thut đã đc gii quyt vi cách đt vn đ nh vy. Chng hn, trong bài
toán bn con tàu v tr lên mt trng, có th chn mt trng làm h quy chiu đng so
vi trái đt đc chn làm h quy chiu c đnh, hoc gii thích hin tng : trong
điu kin lng gió, ht ma ri xiên đi vi ngi đang đi tàu xe, ta phi ly chính tàu,
xe là h quy chiu đng so vi mt đt c đnh

§1. CÁC NH NGHA
1. t vn đ :
Cho mt đng đim M (hay
vt M) chuyn đng so vi vt B,
vt B li chuyn đng so vi vt A
xem là c đnh.
Ta đt h to đ O
1
x
1

y
1
z
1

vi vt A và h to đ Oxyz vi vt
B.
Hình 3.1
x
1
A
O
O
r
r
z
1
y
1
r
r
1
r
r
B
x
y
z
O
1

2. Các đnh ngha :
- H quy chiu O
1
x
1
y
1
z
1
gi là h quy chiu c đnh hay h quy chiu tuyt đi.
H quy chiu Oxyz là h quy chiu đng hay h quy chiu tng đi.
- Chuyn đng ca M đi vi h quy chiu c đnh gi là chuyn đng tuyt
đi. Vn tc và gia tc ca đim M trong chuyn đng này gi là vn tc tuyt đi và
gia tc tuyt đi ký hiu , trong đó :
a
V
r
a
W
r
1
a
dr
V
dt
=
r
r

,
2
1
2
a
dr
W
dt
=
r
r

Chng III Chuyn đng tng hp ca đim Trang 21
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
- Chuyn đng ca đim M đi vi h quy chiu đng gi là chuyn đng
tng đi. Vn tc và gia tc ca mt đim M trong chuyn đng này gi là vn tc
tng đi và gia tc tng đi ký hiu
r
V
r
,
r
W
r
trong đó:
r
dr
V
dt
=

r
r
,
2
2
r
dr
W
dt
=
r
r

- Chuyn đng ca h quy chiu đng so vi h quy chiu c đnh gi là chuyn
đng kéo theo.
Trùng đim ca đng đim M  thi đim kho sát là đim M
*
ca h đng
trùng vi đim M lúc y.
Khi đó ta s có đnh ngha vn tc và gia tc ca M trong chuyn đng kéo theo
chính là vn tc và gia tc ca trùng đim M*:
*Me*Me
W W ,V V
r
r
r
r
==
Vì :
*

0
M
rrxiyjz=+ + +k
r
rr
r
r
(x, y, z không đi)
Nên ta có :
*
*
0
M
e
M
dr
dr
di dj dk
VV x y z
dt dt dt dt dt
== =+ + +
r
r
r
r
r
rr

*
*

2
2
22
0
2222
M
e
M
dr
dr di d j dk
WW x y z
dt dt dt dt dt
== =+ + +
2
2
r
r
r
r
r
rr

T các đnh ngha trên ta thng gp hai loi bài toán sau đây:
a) Bài toán tng hp chuyn đng : Bit chuyn đng tng đi và kéo theo ca đim
hay vt rn, tìm chuyn đng tuyt đi ca đim hay ca vt rn.
b) Bài toán phân tích chuyn đng: Bit chuyn đng tuyt đi ca đim hay vt rn,
tìm hai chuyn đng thành phn.

gii quyt hai bài toán đã nêu trên, ta s tìm mi quan h gia các chuyn đng
tuyt đi, tng đi và kéo theo ca đim hay vt bng nhng đnh lý sau đây:

Chng III Chuyn đng tng hp ca đim Trang 22
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
§2. NH LÝ HP VN TC
nh lý : Vn tc tuyt đi ca đim bng tng hình hc véct vn tc theo và vn tc
tng đi ca nó ti thi đim kho sát :
VV
aer
V
=
+
r
rr

Chng minh : Véct đnh v ca M trong h trc to c đnh là
1
r
r
( ) trong đó
là véc t đnh v ca M trong h trc đng Oxyz :
10
rrr=+
rrr
rxiyjzk
=
++
r

r
r
r

i
r
,
j
r
, là các véct đn v trên h to đ đng (xem hình 1) đo hàm theo thi gian
.
k
r
1
r
r
=
a
V
r
0
1
dr
dr di dj dk
xyz
dt dt dt dt dt
=+ + +
r
r
r

r
r
+
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
r
r
r
++
Bn hng thc đu ca v phi là vn tc theo ca đim vì nó là đo hàm theo thi
gian ca véct đnh v ca trùng đim M
*
ca đng đim M. Ba hng thc sau là vn
tc tng đi ca đim vì nó là đo hàm theo thi gian ca to đ ca đim trong h
đng. Vy :
ae
VVV=+
rrr
r
(nh lý đoc chng minh)
Ví d :
Mt con thuyn sang ngang dòng nc chy. Vn tc ca dòng nc là V , vn
tc ca con thuyn trên mt nc là U

r
r
hng vuông góc vi V
r
. Tìm vn tc tuyt đi
ca con thuyn đi vi b sông.
Bài gii:
Ta xem con thuyn là đng đim, chon h quy chiu đng
là dòng nc chy, h quy chiu c đnh là b sông.
chuyn đng ca con thuyn đi vi dòng nc là chuyn
đng tng đi, vn tc tng đica con thuyn V
r
r
= U
r

chuyn đng ca dòng nc đi vi b là chuyn đng là chuyn đng theo, vn tc
theo ca con thuyn là
V = V vì h chuyn đng tnh tin, vn tc ca trùng đim
ca con thuyn bng vn tc dòng nc. Vy vn tc tuyt đi ca con thuyn :
e
r r
O
UV
r
r
r
=
er
VV

r
r
=
a
V
r
UVVVV
rea
r
r
r
r
r
+=+=
22
UVV
a
+=
Chng III Chuyn đng tng hp ca đim Trang 23
GIÁO TRÌNH C HC LÝ THUYT PHN NG HC
qua hình v ta thy rng, đi vi b sông con thuyn qua sông chéo dòng nc vi vn
tc là V
a
.


§3. NH LÝ HP GIA TC
1. nh lý :  mi thi đim, gia tc tuyt đi ca đim bng tng hình hc gia tc
theo, gia tc tng đi và gia tc Côriôlit
aer

WWWW
k
=
++
r
rrr

Trong đó :
k
W
r
= 2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt

id
dt
dx
r
r
r

Chng minh : Ly đo hàm bc nht theo thi gian ca vn tc tuyt đi ca đim ta
có gia tc tuyt đi:
a
a
dV
W
dt
=
r
r

0
a
dr
ddidjdkdxdydz
Wxyzij
dt dt dt dt dt dt dt dt
⎛⎞
=++++++
⎜⎟
⎝⎠
k
r

r
r
r
r
r
rr

2222 222
0
2222 222
a
dr
di d
j
dk dx d
y
dz
Wx
y
zi
j
k
dt dt dt dt dt dt dt
⎛⎞
⎛⎞
=+++ + ++
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

r
rr
r
r
r
rr
+
2
dx di d
y
d
j
dz dk
dt dt dt dt dt dt
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎝⎠
r
r
r

Bn hng thc đu tiên là gia tc trùng đim vì nó là đo hàm cp hai theo thi
gian ca véct đnh v ca trùng đim đi vi h trc c đnh. Theo đnh ngha nó là
gia tc theo ca đng đim. Ba hng thc tip theo là gia tc tng đi ca đng đim
vì nó là đo hàm cp hai theo thi gian ca to đ ca đim trong h trc đng, biu
thc cui cùng đc gi là gia tc Côriôlit, ký hiu
k
W
r

.




Chng III Chuyn đng tng hp ca đim Trang 24