Giáo trình cơ học lý thuyết phần động lực học

I H C À N NG
TR

NG

I H C BÁCH KHOA

KHOA S
B

À N NG 2005

PH M K THU T

MÔN C

K THU T


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

CH

CÁC
PH

NG LU T C

PH N

NG L C H C

NG I

B NC A

NG L C H C

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

NG C A

CH T I M
§1 BÀI M

U

Trong ph n T nh h c chúng ta đã nghiên c u v l c và s cân b ng c a các v t th
d

i tác d ng c a các l c v i gi thuy t là các l c không thay đ i theo th i gian.
Trong ph n

ng h c, chúng ta đã nghiên c u s chuy n đ ng c a các v t th v

m t hình h c khơng tính đ n các ngun nhân làm thay đ i các chuy n đ ng đó.
Trên th c t , m t s l n các l c là nh ng đ i l

ng bi n đ i và có th ph thu c

vào nhi u tham s . Quy lu t chuy n đ ng c a v t th ph thu c vào hình dáng, kích
th

c, kh i l

ng...c a v t và các l c tác d ng lên nó.

ng l c h c là m t ph n c a

c h c nghiên c u các quy lu t chuy n đ ng c a các v t th d
Lý thuy t đ ng l c h c đ

i tác d ng c a các l c.

c xây d ng trên nh ng đ nh lu t c b n đ ng l c h c.

Chúng là k t qu c a hàng lo t các thí nghi m và quan sát và đã đ
qua th c ti n. Nh ng đ nh lu t này l n đ u tiên đ
th ng n m 1687 vì v y ng

c ki m nghi m

c Newton trình bày m t cách có h

i ta còn g i là các đ nh lu t Newton hay là nh ng đ nh lu t

c h c c đi n.

§2. CÁC KHÁI NI M C

B N

1. Khơng gian, th i gian :
Nh chúng ta đã bi t, chuy n đ ng c h c là s d i ch c a các v t th trong
không gian theo th i gian. Không gian và th i gian

đây hi u theo ngh a tuy t đ i c

đi n (Khác v i khái ni m không gian, th i gian trong lý thuy t t

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

ng đ i).

Trang 1


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

NG L C H C

2. Quán tính :
Th c t cho th y r ng tác d ng c a m t l c lên hai v t th t do khác nhau, nói

chung chúng chuy n đ ng khác nhau.
Tính ch t c a v t th thay đ i v n t c chuy n đ ng nhanh h n hay ch m h n khi
có cùng l c tác d ng g i là quán tính.
kh i l

il

ng dùng đ đo l

ng qn tính có th là

ng.

3. Ch t đi m :
nghiên c u chuy n đ ng c a các v t th có kích th
chúng, ng

c nh so v i đ d i c a

i ta đ a vào khái ni m ch t đi m.

Ch t đi m là v t th có kh i l

ng mà kích th

c có th b qua đ

c trong khi

nghiên c u chuy n đ ng c a nó.

4. C h :
C h là t p h p các ch t đi m mà chuy n đ ng c a các ch t đi m này liên quan
đ n chuy n đ ng c a các ch t đi m khác thu c h .
5. V t r n :
V t r n là m t c h đ c bi t, trong đó kho ng cách gi a ph n t (ch t đi m) b t
k c a v t luôn luôn không đ i.
6. H quy chi u :
xác đ nh chuy n đ ng c a m t c h (hay m t ch t đi m) nào đó, ng

i ta ph i

l y m t v t chu n làm m c. H to đ g n v i v t chu n g i là h quy chi u. N u to
đ c a t t c các đi m thu c c h trong h quy chi u đã ch n, luôn luôn khơng đ i thì
ta nói v t đ ng n trong h quy chi u đó. Trong tr

ng h p ng

c l i, n u to đ c a

m t s ch t đi m nào đó thu c c h thay đ i theo th i gian thì ta nói c h chuy n
đ ng trong h quy chi u đã ch n.

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 2


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

§3. CÁC
1.

PH N

NH LU T C

NG L C H C

B N

nh lu t quán tính ( nh lu t I) :
Ch t đi m không ch u tác d ng c a l c nào thì gi nguyên tr ng thái đ ng yên hay
chuy n đ ng th ng đ u.
Tr ng thái đ ng yên hay chuy n đ ng th ng đ u c a ch t đi m đ

c g i là chuy n

đ ng theo quán tính.
Theo đ nh lu t này n u khơng có l c nào tác d ng lên ch t đi m ho c h p các l c
f

tác d ng lên ch t đi m b ng 0 thì véct v n t c v c a ch t đi m s không đ i c v đ
l nl nh

f

ng và do đó gia t c w = 0.

H quy chi u trong đó tho mãn đ nh lu t qn tính g i là h quy chi u quán tính.
nh lu t c b n c a đ ng l c h c ( nh lu t II) :

2.

D
h

i tác d ng c a l c, ch t đi m t do chuy n đ ng v i gia t c cùng h

ng v i

ng c a l c và có đ l n t l v i đ l n c a l c :
f
f
F = m.W

Trong đó m là kh i l
H th c (1.1) đ

(1.1)

ng c a ch t đi m.

c g i là ph

ng trình c b n c a đ ng l c h c.
i tác d ng c a cùng m t l c, ch t đi m nào

T h th c (1.1) chúng ta th y r ng d
có kh i l

ng nh h n s có gia t c l n h n. Nh v y kh i l

ng là đ i l

ng v t lý

đ c tr ng cho m c đ c n tr s thay đ i vân t c c a ch t đi m-quán tính c a ch t
đi m.
Trong c h c c đi n khi v n t c chuy n đ ng c a ch t đi m nh h n nhi u so v i
v n t c ánh sáng, ng

i ta coi kh i l

ng là đ i l

Nh h th c (1.1) ta có th tìm đ
l

ng khơng đ i.

c h th c liên h gi a tr ng l

ng c a m t v t. Th t v y, th c nghi m đã ch r ng d

ng và kh i

i tác d ng c a tr ng l c P

m t v t r i t do ( đ cao khơng l n l m và khơng tính đ n s c c n c a khơng khí)
đ u có cùng gia t c là g.
Do đó t (1.1) ta suy ra :
P = m.g

Ch

(1.2)

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 3


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

C n nói thêm r ng, c ng nh gia t c g, tr ng l
nh ng kh i l
3.

ng là m t đ i l

NG L C H C

ng thay đ i theo v đ và đ cao

ng không đ i v i m t v t.

nh lu t v tác d ng và ph n tác d ng : ( nh lu t III)
Hai l c mà hai ch t đi m tác d ng lên nhau b ng nhau v s , cùng h
nh ng ng

ng tác d ng

c chi u.

Ta c n chú ý r ng các l c tác d ng t

ng h này không t o thành m t h l c cân

b ng vì chúng đ t vào hai ch t đi m khác nhau.
nh lu t đ c l p tác d ng :

4.

D

i tác d ng đ ng th i c a m t s l c, ch t đi m có gia t c b ng t ng hình h c

các gia t c mà ch t đi m có đ

c khi t ng l c tác d ng riêng bi t.

Gi s ch t đi m có kh i l

f

f

gia t c c a ch t đi m có đ
ch t đi m có đ

f f

ng m ch u tác d ng c a các l c F1 , F2 ,..., Fn . G i là
f

f

c khi các l c này tác d ng đ ng th i, còn W1 ,W2 ,...,Wn mà
f f

f

c n u nh t ng l c F1 , F2 ,..., Fn tác d ng riêng l .

Theo tiên đ trên ta có :

f
f
f
f
W = W1 + W2 + ... + Wn

(1.3)

Nhân hai v c a (1.3) v i m và đ ý đ n tiên đ th 2 ta đ
f
f
f
f
m.W = m.W1 + m.W2 + ... + m.Wn
f f f
f
m.W = F1 + F2 + .... + Fn
f
f
F
m
W
=
.
∑ i

c:

n

Hay là :

(1.4)

i =1

5. H đ n v :
đo các đ i l

ng c h c ng

i ta ph i dùng ba đ n v c b n. Tu thu c vào

vi c ch n h đ n v c b n mà ta có h đ n c do khác nhau :
- H đ n v qu c t (SI) : Các đ n v c b n mét (m), kilôgram (kg) và giây (s).
L c là đ n v d n xu t đ

c đo b ng Newton (N).
1N = 1

Ch

kg.m
s2

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 4


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

NG L C H C

H đ n v MKS : Các đ n v c b n là mét (m), kilôgram l c (kG) và giây (s).
v đo kh i l

ng là đ n v d n xu t.

§4. PH

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

D a vào đ nh lu t c b n c a đ ng l c h c,

NG

đây chúng ta s thi t l p m i quan h

gi a các l c tác d ng lên v t th và quy lu t chuy n đ ng c a nó. M i quan h đó đ
g i là ph
I. PH

n

c

ng trình vi phân chuy n đ ng.

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

NG C A CH T I M :

Xét chuy n đ ng c a ch t đi m t do d

f f

f

i tác d ng c a các l c F1 , F2 ,..., Fn (

i

v i các ch t đi m không t do, chúng ta dùng nguyên lý gi i phóng liên k t b ng các
ph n l c đ có th xem chúng nh ch t đi m t do).
1. D ng véct :

f

Nh chúng ta đã bi t, gia t c W c a ch t đi m đ
c a nó nh sau :

Vì v y ph

Ph

f

c bi u th qua véct bán kính r

f f
W = $r$

ng trình c b n c a đ ng l c h c ch t đi m (1.4) có d ng :
f
f
m.$r$ = ∑ Fk

(1.5)

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m d

ng trình (1.5) là ph

i d ng

véct .
2. D ng to đ Descarte :
Xét chuy n đ ng c a ch t đi m trong h
to đ Descarte Oy. Chi u ph

ng trình (1.5)

lên các tr c to đ Ox, Oy, Oz ta đ
⎧ m.$x$ = ∑ Fkx
⎪
⎨m.$y$ = ∑ Fky
⎪ m.$z$ = F
∑ kz
⎩

z

M

c:

f
r

y

(1.6)
O
x
Hình 1

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 5


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

NG L C H C

hay :

⎧ d 2x
⎪ m. 2 = ∑ Fkx
⎪ dt2
⎪ d y
⎨m. 2 = ∑ Fky
⎪ dt2
⎪ m. d z = F
⎪⎩ dt 2 ∑ kz

H ph

ng trình (1.6) hay (1.6’) là ph

(1.6’)

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t

đi m trong h to đ Descarte.
3. H to đ t nhiên :
Chi u hai v c a ph
(Hình 2) ta đ

ng trình (1.4) lên các tr c c a h to đ t nhiên ( , n, b)

c:
⎧m.Wτ = ∑ Fkτ
⎪
⎨m.Wn = ∑ Fkn
⎪m.W = F
∑ kb

b
⎩

Vì W = $s$ , Wn =

s$ 2

ρ

ng trình này đ

c a ch t đi m. Ph

f

τ

M

, Wb = 0 nên

⎧ m.$s$ = ∑ Fkτ
⎪ s$ 2
⎪
⎨m. = ∑ Fkn
⎪ ρ
⎪⎩ 0 = ∑ Fkb

Nh ng ph

f
b

f
n

f
W

Hình 2

(1.7)

c áp d ng m t cách có hi u qu khi bi t qu đ o tuy t đ i

ng trình th nh t c a h (1.7) v i đi u ki n ban đ u t

phép chúng ta xác đ nh quy lu t chuy n đ ng c a h , hai ph

ng ng cho

ng trình cịn l i dùng đ

xác đ nh các y u t khác ch a bi t c a bài toán (ph n l c liên k t, bán kính cong
,...v..v)
II. PH

NG TRÌNH VI PHÂN CHUY N

NG C A H :

f

Xét c h g m n ch t đi m m1, m2, ..., mn. G i F e k là h p l c c a t t c các l c
f

ngoài và F i k là các h p l c c a t t c các l c t ng tác d ng lên ch t đi m th k c a h .
Ph

Ch

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m th k s có d ng :

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 6


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

NG L C H C

f
f
f
m k Wk = F e k + F i k

Vi t ph

ng trình t

ng t cho t t c các ch t đi m c a h ta đ
f
f
f
m1W1 = F e 1 + F i 1
f
f
f
m 2W2 = F e 2 + F i 2

c:

..........................

f
f
f
mnWn = F e n + F i n

Hay :
m1 .$x$ = F e 1x + F i 1x
m1 .$y$ = F e 1 y + F i 1 y
m1 .$z$ = F e 1z + F i 1z

(1.8)

...........................
m n .$x$ = F e nx + F i nx
m n .$y$ = F e ny + F i ny
m n .$z$ = F e nz + F i nz

(1.8) là h g m 3.n ph
Trong tr

f

ng trình.

f

ng h p n u chúng ta phân lo i l c ra thành l c ho t đ ng F a k và ph n

l c liên k t N k thì t

ng t v i h (1.8) ta có :
f
f
f
m1W1 = F a 1 + N 1
f
f
f
m 2W2 = F a 2 + N 2

(1.9)

..........................

f
f
f
mnWn = F a n + N n

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 7


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

§5. HAI BÀI TOÁN C

PH N

B NC A

NG L C H C

NG L C H C

Trong đ ng l c h c c n gi i quy t hai bài toán c b n sau đây:
1. Xác đ nh l c tác d ng lên ch t đi m khi đã bi t quy lu t chuy n đ ng c a nó.

(Bài toán th nh t c a đ ng l c h c ).
2. Xác đ nh quy lu t chuy n đ ng c a đi m khi bi t các l c tác d ng lên nó (Bài
tốn th hai c a đ ng l c h c ).
gi i quy t bài tốn này ta có th s d ng các ph
đ i v i ch t đi m và các h ph

ng trình (1.8) hay (1.9)-đ i v i h c .

Tuy nhiên, cho đ n nay ch a có ph
(1.8) vì v y trong th c t ng

ng trình (1.5), (1.6), (1.7) -

i ta th

ng pháp t ng quát đ tích phân các h d ng

ng dùng nh ng ph

ng pháp khác hi u qu h n

mà chúng ta s xét trong nh ng ph n sau.
I. GI I BÀI TOÁN TH

NH T C A

NG L C H C

I V I CH T I M:

Khi bi t quy lu t chuy n đ ng c a ch t đi m, chúng
ta dùng các công th c đã bi t trong ph n đ ng h c đ tính
gia t c c a ch t đi m và cu i cùng dùng ph

z

ng trình c

f
T

b n (1.5), (1.6), hay (1.7) đ xác đ nh các l c tác d ng lên
nó.
Ví d 1.1 : M t thang máy có tr ng l

f
W

ng P (hình 3) b t

đ u đi lên v i gia t c W. Hãy xác đ nh s c c ng c a dây

f
P

cáp.

Hình 3

Ví d 1.2 : Tìm áp l c c a ô-tô lên m t

f
N

c u t i đi m A. Cho bi t ơ-tơ có tr ng
l

f
ng P, v n t c chuy n đ ng là v và

bán kính cong c a c u t i A là

(hình

4).

Ch

A

f
v

f
P

n
Hình 4

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 8


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

II. GI I BÀI TOÁN TH

PH N

HAI C A

NH L C H C

NG L C H C

I V I CH T I M :

V i bài toán nà, chúng ta đã bi t l c tác d ng lên ch t đi m nh hàm c a th i gian,
v n t c, v trí... ngh a là :

Khi đó ph

f
f f f
Fk = Fk (t , v , r )

ng trình vi phân chuy n đ ng c a ch t đi m có d ng :

⎧ m.$x$ = ∑ Fkx (t , x, y, z , x$ , y$ , z$ )
⎪
⎨m. $y$ = ∑ Fky (t , x, y, z , x$ , y$ , z$ )
⎪ m.$z$ =
∑ Fkz (t , x, y, z, x$, y$ , z$)
⎩

ây là h ba ph

(1.10)

ng trình vi phân c p 2. Nghi m t ng quát c a nó ph thu c vào 6

h ng s tu ý :
⎧ x = f1 (t , c1 , c 2 , c3 , c 4 , c5 , c6 )
⎪
⎨ y = f 2 (t , c1 , c 2 , c3 , c 4 , c5 , c6 )
⎪ z = f (t , c , c , c , c , c , c )
3
1
2
3
4
5
6
⎩

Nh ng h ng s tích phân này s đ

(1.11)

c xác đ nh nh nh ng đi u ki n ban đ u c a

chuy n đ ng, ch ng h n :
Khi t = 0 thì x = x0, y = y0, z = z0.

x$ = x$ 0 , y$ = y$ 0 , z$ = z$ 0
Vi c gi i h ph

(1.12)

ng trình (1.10) khơng ph i lúc nào c ng th c hiên đ

c trong

d ng gi i tích. Chúng ta ch có th tích phân h (1.10) v i các đi u ki n ban đ u (1.12)
trong s tr

ng h p đ n gi n.

1. Chuy n đ ng th ng c a đi m :
Trong ph n đ ng h c, chúng ta đã bi t v n t c
và gia t c c a đi m trong chuy n đ ng th ng ln
ln h

ng theo đ

O

ng qu đ o. Vì gia t c có

chi u trùng v i chi u c a h p l c tác d ng lên ch t
f

f
f
R = ∑F

x
Hình 5
f

đi m do đó chuy n đ ng th ng ch x y ra khi : R = ∑ Fk có h
t c ban đ u b ng không ho c cùng h

Ch

ng không đ i và có v n

f

ng v i R .

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 9


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

PH N

V trí c a đi m M xác đ nh b i to đ x, ph
trong tr

NG L C H C

ng trình chuy n đ ng c a ch t đi m

ng h p này s là :
mx$ = R x (t , x, x$ )

Hay :

m

d 2x
dx
= R x (t , x, )
2
dt
dt

(1.13)

V i đi u ki n ban đ u .
Khi

t = 0, x = x0
dx
= v0
dt

Ngay c trong tr
c ng gi i đ

(1.14)

ng h p đ n gi n này, ph

c b ng ph

ng pháp gi i tích. Chúng ta xét m t s tr

ng trình (1.13) có th phân tích đ

ph

ng trình (1.13) khơng ph i lúc nào

c

ng h p mà

d ng h u h n :

a) L c ch ph thu c vào th i gian R x = f x (t ) khi đó :
d 2x

m 2 = f (t )
dt
m
w=

dv
= f (t )
dt

1
f (t ).dt + c1 = f1 (t , c1 )
m∫

T đây ra suy ra : x = f2(t,c1,c2)
Các h ng s phân tích c1, c2 đ

c xác đ nh t đi u ki n ban đ u (1.14)

b) L c ch ph thu c vào kho ng cách : Rx = f(x). Khi đó ph

ng trình chuy n

đ ng có d ng :
m

Ta có :
nên :

Ch

d 2x
= f (t )
dt 2

d 2 x dx$ dx$ dx
=
= .
dt dx dt
dt 2
mv

dv
= f (x )
dx

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 10


GIÁO TRÌNH C

ây là ph

H C LÝ THUY T II

PH N

ng trình tách bi n có th phân tích đ

NG L C H C

c:

v = f1(x,c1)
dx
= f 1 ( x, c1 )
dt

dx
= dt
f1 ( x, c1 )

Tích phân ph

ng trình tách bi n này ta đ

c:

t = g(x,c1,c2)
hay :

x = f2(x,c1,c2)

c) L c ch ph th c vào v n t c: R x = f (x$ ) . Ph

ng trình chuy n đ ng vi t d

d ng :
m

Tích phân ph

dx$
= f (x$ )
dt

ng trình tách bi n này ta đ

(1.17)
c:

t = g1( x$ ,c1)
x$ = f1(x,c1)

Hay :

dx
= f1 (t , c1 )
dt

Ti p t c tích phân ph

ng trình này ta đ

c:

x = f2(t,c1,c2)
2. M t s ví d :
Ví d 1.3 : M t ch t đi m có kh i l

m, chuy n đ ng trong m t ph ng d
f

d ng c a l c hút F h

i tác

f
r f
F

ng tâm vào tâm O c

f
f
f
đ nh theo lu t F = −k 2 m.r . Trong đó r là

véct đ nh v c a ch t đi m và k là h s t
l . Hãy xác đ nh ph

y

ng

m

x
O

ng trình chuy n đ ng

và qu đ o c a ch t đi m y. Bi t r ng t i

Hình 6

th i đi m ban đ u x = l, y = 0, x$ = 0, y$ = 0.

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 11

i


GIÁO TRÌNH C

H C LÝ THUY T II

Ví d 1.4: V t có tr ng l
m t ph ng n m ngang nhau d

PH N

NG L C H C

ng P b t đ u chuy n đ ng t tr ng thái đ ng yên trên
f

i tác d ng c a l c R có h

ng khơng đ i và có tr s

t ng t l v i th i gian theo quy lu t R=kt. Tìm quy lu t chuy n đ ng c a v t.
Ví d 1.5 : Gi i bài toán v t r i trong khơng khí t
đ cao khơng l n l m và s c c n t l v i bình ph

ng

f
R

c av nt c:
R=

trong đó là m t đ mơi tr

1
c x ρSv 2
2

ng, S là di n tích hình chi u

c a v t trên m t ph ng vuông góc v i ph

f
P

ng chuy n đ ng,

bi t r ng khi t = 0, x = vx = 0.

x
Hình 7

Ch

ng I Các đ nh lu t c b n c a LH- PTVP chuy n đ ng

Trang 12


GIÁO TRÌNH C

LÝ THUY T II

PH N

CH

CÁC

NG L C H C

NG II

NH LÝ T NG QUÁT C A

NG L C

H C
Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c là h qu c a đ nh lu t c b n c a đ ng
l c h c, chúng ta thi t l p m i liên h gi a các đ i l
đ ng l

ng c b n c a chuy n đ ng là

ng, đ ng n ng và đ đo c b n tác d ng c a l c là xung l

Trong nhi u tr

ng và công.

ng h p, nh t là trong đ ng l c h c vi c tích phân h ph

ng

trình chuy n đ ng (1.8) là vi c làm h t s c ph c t p, h n n a trong ph n l n các
bài toán đ ng l c h c c a h , v n đ chính khơng ph i là kh o sát m t cách chi ti t
toàn b chuy n đ ng c a ch t đi m thu c h mà ch nghiên c u các hi n t
t ng m t riêng bi t có t m quan tr ng trong th c ti n.

ng theo

gi i quy t nh ng bài toán

nh v y s d ng các đ nh lý t ng quát s làm cho quá trình gi i đ n gi n và nhanh
chóng h n.

§1. CÁC

C TR NG HÌNH H C KH I L

NG

C A H VÀ V T R N
1.1 Kh i l
Nh

ng c a h - Kh i tâm :
chúng ta đã bi t, chuy n

z

đ ng c a m t c h ngoài vi c ph
thu c vào l c tác d ng còn ph thu c
vào t ng kh i l
kh i l

ng và phân b các

ng c a h đó. Kh i l

h b ng t ng l

M1

Mn

f
rn

ng c a

ng c a t t c các

ph n t h p thành h đó :

ng t
f f

y

M2
Hình 8

Kh i tâm c a m t c h g m n
ch t đi m (M1,M2,....,Mn) kh i l

f C
rC

f
r2

x

M = ∑ mk

f
r1

ng ng là (m1,m2,....,mn) và có v trí đ
f

xác đ nh b i các véct bán kính r1 , r2 ,...., rn là m t đi m hình h c C đ

c

c xác đ nh

b i cơng th c :
Ch

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

Trang 13


GIÁO TRÌNH C

LÝ THUY T II

PH N

f
rC =

Chi u lên các tr c to đô ta đ

NG L C H C

f

∑m r

k k

(2.1)

M

c:

⎧
⎪ xC =
⎪
⎪
⎨ yC =
⎪
⎪z =
⎪ C
⎩

∑m

k

xk

M
∑ mk y k

(2.2)

M
∑ mk z k
M

T các công th c trên chúng ta th y r ng n u c h n m trong tr ng tr

ng

đ ng nh t thì kh i tâm c a c h s trùng v i tr ng tâm c a nó. C ng c n nói thêm
r ng, kh i tâm đ

c xác đ nh theo công th c (2.1) ho c (2.2) luôn ln t n t i nh

m t thu c tính c a c h , còn tr ng tâm c a v t ch có ngh a khi c h n m trong
tr

ng tr ng l c, khái ni m tr ng tâm s m t khi khơng cịn tr ng l

ng. ó là đi u

khác nhau c n phân bi t đ i v i hai khái ni m này.
1.2 Mơmen qn tính :
V trí c a kh i t m ch a đ c tr ng hoàn toàn cho s phân b kh i l
h . Vì v y trong c h c c nc m t đ c tr ng cho s phân b kh i l

ng c a c

ng mơmen qn

tính.
- Mơmen qn tính c a m t v t th (m t c h ) đ i v i tr c Oz là đ i l
h

ng b ng t ng các tích c a kh i l

ng c a đi m v i bình ph

ng vô

ng kho ng cách t

các đi m t i tr c.
J z = ∑ mk d 2 k

(2.3)

N u to đ c a các đi m trong m t h tr c to đ Oxyz nào đó là xk, yk, zk thì
mơmen qn tính c a h đ i v i các tr c to đ s là :
⎧ Jx = ∑ mk ( y 2 + z 2 k )
k
⎪
2
=
(

Jy
m
x
⎨
∑ k k + z 2k )
⎪ Jz = m ( y 2 + x 2 k )
∑ k k
⎩

(2.4)

Trong k thu t mơmen qn tính c a v t th đ i v i tr c th
d

i d ng tích c a kh i l

ng v i bình ph

ng đ

c bi u th

ng c a m t kho ng cách trung bình nào

đó.
Jz = M

Ch

2

z

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

(2.5)

Trang 14


GIÁO TRÌNH C

il

LÝ THUY T II

ng ρ z =

PH N

NG L C H C

Jz
g i là bán kính quán tính c a m t v t đ i v i tr c z.
M

II. Mơmen qn tính c a v t th (c h ) :
i v i m t đi m O nào đó là đ i l
l

ng v i bình ph

ng vơ h

ng b ng t ng các tích các kh i

ng kho ng cách t các ch t đi m t i tâm đó.
J O = ∑ mk .r 2 k

N u O là g c to đ thì t

(2.6)

ng ng v i (2.4) ta có :

J O = ∑ mk ( x 2 k + y 2 k + z 2 k )

(2.7)

và ta có m i liên h : 2J0 = Jx + Jy + Jz.
III. Mơmen qn tính c a v t th đ i v i các tr c song song.
nh lý 1.1 :

nh lý Huygen :

Mơmen qn tính c a v t đ i v i m t tr c z1 nào đó b ng

mơmen qn tính đ i v i tr c x đi qua kh i tâm và song song v i z1 c ng v i tích
kh i l

ng c a v t v i bình ph

ng kho ng cách gi a hai tr c.

Jz1 = JZc + Md2

z

Ch ng minh :
z1

Qua C d ng h tr c to đ Cxyz

d

sao cho tr c x c t z1 t i O. Qua O d ng

y

h tr c to đ Ox1y1z1 sao cho x1 x.

C

Theo công th c th ba c a (2.4) ta

y1
O

có :
J z1 = ∑ m k ( x 21k + y 21k )
J z = ∑ mk ( x

2

k

x, x1

Hình 9

+ y k)
2

ta có :
x1k = x k − d , y1k = y1

nên :

J z1 = ∑ mk ( x 2 k + y 2 k ) + (∑ mk ).d 2 − 2.d (∑ mk xk )

nh ng : J zc = ∑ mk ( x 2 k + y 2 k ) , 2.d (∑ mk x k ) = 2dM C = 0 (vì C chính là g c to đ )
nên :

Jz1 = JZc + Md2

T đ nh lý này ta suy ra r ng đ i v i các tr c trùng ph

ng, mơmen qn tính đ i

v i tr c qua kh i tâm là nh nh t.
IV.

Ch

NH LÝV MÔMEN QUÁN TÍNH

I V I TR C QUA G C TO

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

:

Trang 15


GIÁO TRÌNH C

LÝ THUY T II

Cho h tr c to đ Oxyz và tr c L đi qua O. Ph
ba góc ch ph

PH N

NG L C H C

ng c a L đ

c xác đ nh b i

ng , , (Hình 10).

G i kho ng cách t đi m Mk b t k thu c

L

z

v t đ n tr c L là dk = MkHk. Theo đ nh ngh a
Hk

:
J L = ∑ mk d 2 k

d =

MkH2k

=

OM2k –

y

zk
O yk

T tam giác vng HkOMk ta có :
2

dk
Mk

2

OH

k

x

(*)

xk

Trong đó :
Hình 10

OM2k = x2k + y2k + z2k

OHk là hình chi u c a OM k lên tr c L. Chi u hai v đ ng th c véct

f
f
f
OM k = x k .i + y k . j + z k k lên tr c L ta đ

:

c:

OHk = xkcos + ykcos + zkcos

Thay vào (*) ta đ

c:

d2k = x2k + y2k + z2k – (xkcos + ykcos + zkcos )2 = x2k ( 1 - cos2 ) + y2k ( 1 cos2 ) + z2k ( 1 - cos2 ) –2xkykcos cos - 2xkzkcos cos – 2ykzkcos cos .
Chú ý r ng :

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Ta có :
d2k = x2k ( cos2 + cos2 ) + y2k (cos2 + cos2 )+ z2k (cos2 + cos2 ) –
2xkykcos cos - 2xkzkcos cos – 2ykzkcos cos
d2k = ( y2k +z2k)cos2 + ( z2k + x2k )cos2 + ( x2k + y2k )cos2 – 2xkykcos cos 2xkzkcos cos – 2ykzkcos cos .
Do đó mơmen qn tính c a v t đ i v i L b ng :
J L = cos 2 α ∑ m k ( y 2 k + z 2 k ) + cos 2 β ∑ mk ( y 2 k + x 2 k ) + cos 2 γ ∑ m k ( x 2 k + y 2 k ) −
− 2 cos β cos γ ∑ mk y k z k − 2 cos α cos γ ∑ m k z k x k − 2 cos α cos β ∑ m k x k y k

Hay:
J L = J x . cos 2 α + J y . cos 2 β + J z . cos 2 γ − 2 J xy cos α cos β − 2 J yz cos β cos γ − 2 J zx cos γ cos α

Trong đó Jx, Jy, Jz là mơmen qn tính c a v t đ i v i các tr c to đ còn các đ i
l
Ch

ng :
ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

Trang 16

GIÁO TRÌNH C

LÝ THUY T II

PH N

J yz = ∑ mk y k z k , J zx = ∑ mk z k x k , J xy = ∑ mk x k y k

(2.10) đ

NG L C H C

(2.10)

c g i là nh ng mơmen tích qn tính (hay cịn g i là mơmen qn tính ly

tâm) c a v t trong h to đ Oxyz.
V i công th c (2.9) chúng ta đã ch ng minh đ

c đ nh lý 1.2 :

Mơmen qn tính c a v t th đ i v i m t tr c b t k đi qua g c to đ hồn
tồn có th xác đ nh đ

c n u bi t to đ và mơmen qn tính trong h to đ đó.

V. Tr c quán tính chính và tr c quán tính chính trung tâm :
Ta th y các đ i l

ng Jxy, Jyz, Jzx ph thu c vào v trí c a đi m O và ph

ng c a

các tr c t a đ . N u đ i v i m t h tr c t a đ Oxyz nào đó ta có Jxy = Jyz = 0 thì
tr c Oz đ
minh đ

c g i là tr c quán tính chính c a v t th đ i v i đi m O. Có th ch ng
c r ng t i m i đi m c a v t th luôn luôn t n t i ba tr c quán tính chính

vng góc v i nhau. Các tr c qn tính chính đ i v i kh i tâm đ

c g i là tr c

qn tính chính trung tâm.
Mơmen qn tính c a v t đ i v i tr c qn tính chính g i là mơmen qn tính
chính, cịn đ i v i tr c qn tính chính trung tâm thì g i là mơmen qn tính chính
trung tâm.
D dàng ch ng minh đ

c r ng tr c quán tính chính trung tâm c a v t là tr c

quán tính chính đ i v i m i đi m thu c tr c y.
Tr c quán tính c a v t đ i x ng đ ng ch t có th tìm đ

c d dàng nh hai

đ nh lý sau đây :
nh lý 1.3: Tr c đ i x ng c a v t đ ng ch t là tr c quán tính chính c a v t
đ i v i m i đi m thu c tr c y.

nh lý 1.4: Tr c th ng góc v i m t ph ng đ i x ng c a v t đ ng ch t là tr c
quán tính chính đ i v i giao đi m c a tr c và m t ph ng đ i x ng.
Hai đ nh lý này d dàng đ

c ch ng minh b ng cách s d ng tính đ i x ng c a

v t th đ tính các bi u th c c a mơmen qn tính ly tâm.
VI. Cách tính mơmen qn tính c a m t s v t đ ng ch t đ n gi n :
a) Thanh đ ng ch t : Tính mơmen qn tính c a thanh m nh AB đ ng ch t có
chi u dài l và kh i l

ng M, đ i v i tr c Ay vuông góc v i thanh và đi qua đ u A

c a nó (Hình 11). Mu n v y ta chia thanh ra nhi u ph n t . Xét m t ph n t cách

Ch

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

Trang 17


GIÁO TRÌNH C

LÝ THUY T II

PH N

Ay m t kho ng xk và có đ dài xk kh i l
c a nó là mk =

xk ( là kh i l

ng

NG L C H C

y1

y

ng riêng trên

m t đ n v đ dài : = M/l)
x

Mơmen qn tính c a thanh đ i v i tr c Ay

C

x

A

b ng :
J Ay = ∑ m k d

2

k

= ∑ γx k ∆x k

Chuy n t ng đó t i h n ta đ

B

x

2

Hình 11

c:
l

J Ay = ∫ γx 2 dx =
0

γl 3
3

=

1 2
Ml
3

Áp d ng đ ng lý Huygen ta có th ch ng minh đ

c mơmen qn tính c a

thanh đ i v i tr c khác vng góc v i thanh. Khi tr c đi qua đi m gi a c a thanh ta
có :
2

1
1
1
⎛l⎞
J Cy1 = J Ay − M ⎜ ⎟ = Ml 2 − Ml 2 = Ml 2
3
4
12
⎝2⎠

b)Vịng trịn đ ng ch t : Tính mơmen qn tính
c a m t vịng trịn đ ng ch t bán kính R, kh i l

x

ng

M đ i v i tr c C qua tâm C c a vịng trìn và th ng
góc v i m t ph ng c a nó. (Hình 11).
Ta có :
J Cz = ∑ mk r 2 k = ∑ mk R 2 = MR 2

Cơng th c (b) c ng đ

R
(b)

mk

c dùng đ tính mơmen qn

Hình 12

tính c a v hình tr m ng đ i v i tr c c a nó.

y

c)T m trịn đ ng ch t : Tính mơmen qn
tính c a m t t m tròn m ng đ ng ch t bán kính
R, kh i l

ng M, đ i v i tr c Cz qua tâm, th ng

góc v i t m và đ i v i các tr c Cx, Cy trùng v i
tr c đ

C

rk
C

x

ng kính c a nó.

Mu n v y, chia t m thành nhi u vành trịn
nh , m i vành trịn có bán kính rk đ r ng rk và
kh i l

Ch

ng mk = 2 rk rk, trong đó

là kh i

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

Hình 13

Trang 18


GIÁO TRÌNH C

l

LÝ THUY T II

PH N

ng riêng trên m t đ n v di n tích γ =

NG L C H C

M
πR 2

Theo công th c (b) mômen quán tính vành k đ i v i tr c Cz b ng :
JCz = mkr2k = 2 rk rkr2k = 2 r3k rk
Mơmen qn tính c a t m trịn đ i v i tr c Cz b ng t ng c a mơmen qn tính
c a các vành trịn đ i v i tr c đó :
J Cz = ∑ ∆J Cz = ∑ γ 2πrk ∆rk
3

Chuy n t i gi i h n ta có :
R

J Cz = ∫ γ 2πr 3 dr =
0

1
1
γπR 4 = MR 2
2
2

(c)

tính các mơmen qn tính Jcx, Jcy c a t m đ i v i tr c Cx, Cy ta nh n th y
r ng v i m i đi m thu c t m Zk = 0, vì v y theo công th c (2.4) :
J Cx = ∑ mk y k , J Cy = ∑ mk x k , J Cz = ∑ mk ( x k + y k )
2

2

2

2

T đó suy ra :
JCx + JCy = JCz.
S phân b kh i l

ng c a t m đ i v i các tr c Cx, Cy là hồn tồn nh nhau,

vì v y ta có :
J Cx = J Cy =

1
1
J Cz = MR 2
2
4

d)Kh i c u đ ng ch t : Do tính đ i x ng nên
trong tr

z

ng h p này :
J Cx = J Cy =

1
2

J Cz = MR 2
5
2

e) T m ch nh t kh i l
a, BD = b (tr c x h

(d)

ng M có c nh AB =

ng theo Ab, y h

y

ng theo

BD):

x
1
1
J x = Mb 2 , J y = Ma 2 (e)
3
3

f) Kh i nón liên t c có kh i l

Hình 14

ng M, bán kính đáy R (z h

J z = 0.3MR 2

Ch

C

ng II Các đ nh lý t ng quát c a đ ng l c h c

ng theo kh i nón)

(f)

Trang 19