bài giảng học phần Hình học cao cấp

MỤC LỤC
NỘI DUNG Trang
LỜI NÓI ĐẦU 1
BÀI TẬP CHƯƠNG I 2
Bài tập chương I
2
Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I
4
BÀI TẬP CHƯƠNG II 7
Bài tập chương II
7
Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II
15
BÀI TẬP CHƯƠNG III 34
Bài tập chương III
34
Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương III
40
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 48
Bài tập chương IV
48
Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương IV
51
TÀI LIỆU THAM KHẢO
60
1
1
LỜI NÓI ĐẦU
Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập)
được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như
Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5

chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần
Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm
Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập). Khối lượng lí
thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại
cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho
chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì vậy việc phần bài tập không có
hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả
giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài
tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng
dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập. Hy vọng cuốn đề
cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi
hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư
phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề
cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh
viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn
thiện hơn.
Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn!
2
2
TÁC GIẢBÀI TẬP
CHƯƠNG I
A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích:
- Giúp sinh viên có cái nhìn về lịch sử phát triển hình học. Vai trò của
tiên đề V của Ơ-clit đối với sự phát triển của hình học. Hiểu được phương
pháp tiên đề để xây dựng hình học, mô hình của một hệ tiên đề, vai trò của
toán học cao cấp trong việc nghiên cứu hình học. Sinh viên hiểu được việc
xây dựng hình học cũng như một số lí thuyết Toán học đã biết bằng phương
pháp tiên đề.
- Sinh viên biết vận dụng lí thuyết để đưa ra một số mô hình đơn giản.
- Sinh viên thảo luận để tự đưa ra một số hệ tiên đề đơn giản và tìm

cho các hệ tiên đề đó những mô hình cụ thể.
B. Mô tả nội dung: Bài tập chương I bao gồm 3 vấn đề sau:
- Sơ lược lịch sử hình học.
- Phương pháp tiên đề
- Một số hệ tiên đề của hình học Ơ-clit ba chiều.
C. Nội dung cụ thể:
I. Bài tập
Bài 1. Xét hệ tiên đề H sau:
+ Khái niệm cơ bản: “điểm” và “đi trước”.
+ Tiên đề: 1) Không điểm nào đi trước chính nó
2) Nếu điểm A đi trước điểm B, điểm B đi trước điểm C thì
A đi trước điểm C.
Nêu ra một vài mô hình của H.
Bài 2. Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lí thuyết.
Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với
n là số nguyên dương cho trước.
Bài 3. Hệ tiên đề K gồm:
+ Khái niệm cơ bản: điểm, đường, quan hệ thuộc.
+ Các tiên đề:
1) Có ít nhất một điểm.
2) Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường.
3) Mỗi đường có ba điểm phân biệt.
4) Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt.
a. Chứng minh các định lí:
1) Hai đường phân biệt có không quá một điểm chung.
2) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường.
3
3
b. Xây dựng mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín
điểm, chín đường.

Bài 4. Hệ tiên đề P gồm:
+ Khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng.
+ Các tiên đề:
1) Bất kì hai điểm phân biệt nào đều thuộc một và chỉ một
đường thẳng.
2) Bất kì hai đường thẳng phân biệt nào đều chỉ thuộc một và
chỉ một điểm.
3) Có ít nhất bốn điểm trong đó bất kì ba điểm nào cũng không
thuộc cùng một đường thẳng.
a. Hãy xây dựng các mô hình của P. Chứng tỏ rằng hệ tiên đề P phi
mâu thuẫn nếu số học phi mâu thuẫn.
b. Hãy chứng tỏ rằng tiên đề 3) là độc lập.
c. Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ.
Bài 5. Tìm một mô hình cụ thể của hình học Lôbasepxki phẳng.
Bài 6. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng
minh các định lí sau:
a. Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.
b. Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh
rằng nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D nằm
giữa A và B còn C nằm giữa A và D.
c. Định lí Pasch (tức tiên đề Pasch trong hệ tiên đề của Hilbert).
Bài 7. Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để
chứng minh các định lí sau:
a. Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác.
b. Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên
(P). Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạn
thẳng BC hoặc đoạn thẳng CA.
c. Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa
không gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chia
mặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng). Hãy phát biểu định lí và

chứng minh.
d. Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kì
trong không gian (chú ý rằng định nghĩa hai tam giác bằng nhau
được mở rộng trong trường hợp hai tam giác nằm trong hai mặt
phẳng khác nhau, còn tiên đề 12 chỉ nói về hai tam giác cùng nằm
trong mặt phẳng)
4
4
Bài 8. Hãy dùng tiên đề 12 của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề
13 về hai đường song song) để chứng minh định lí sau:
a. Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.
b. Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằng
nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Bài 9. Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam
giác bằng 180
0
” trong sách giáo khoa phổ thông. Cách chứng minh đó phải
dựa vào tiên đề về đường song song. Sau đây là cách chứng minh khác
không dùng đến tiên đề đó:
Chứng minh: ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S. Lấy tam
giác bất kì ABC, ta có
·
BAC
+
·
ABC
+
·
ACB
= S.

Gọi D là điểm ở giữa của đoạn thẳng BC, ta có hai tam giác ABD và
ACD. Từ giả thiết ta có:
·
BAD
+
·
ABD
+
·
ADB
= S

·
DAC
+
·
ACB
+
·
ADC
= S
Suy ra:
·
BAD
+
·
DAC
+
·
ABD

+
·
ACB
+
·
ADB
+
·
ADC
= 2S
Hay
·
BAC
+
·
ABC
+
·
ACB
+ 180
0
= 2S, tức là S = 180
0
.
Hãy bình luận về cách chứng minh đó.
Bài 10. Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực). Hãy gọi
mỗi vectơ
u
ur
của V là một “điểm”, và với bất kì hai điểm

u
ur
và
v
ur
của V ta
cho tương ứng với vectơ
v
−
ur
u
ur
của V. Hãy chứng minh rằng khi đó V là
không gian Ơ-clit n chiều.
II. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương I
Bài 1.
+ Mô hình 1: “Điểm” là những điểm thông thường trên một đường
thẳng nằm ngang và “đi trước” là “ở bên trái”.
+ Mô hình 2: “Điểm” là những “số nguyên” và “đi trước” là “lớn
hơn”.
Bài 2. Mô hình của hệ tiên đề H:
+ Vectơ: số nguyên bất kì, phép cộng là phép cộng hai số nguyên. Ta
dễ dàng kiểm tra thỏa mãn các tiên đề của hệ tiên đề H.
5
5
Bài 3.
Chứng minh 1) Giả sử hai đường phân biệt có hai điểm chung phân
biệt. Khi đó theo tiên đề 1) có không quá một đường (trái giả thiết hai đường
là phân biệt).
Chứng minh 2) Theo tiên đề 1) có ít nhất 1 điểm. Gọi điểm đó là A.

Khi đó, theo tiên đề 4) A nằm trên ba đường phân biệt, giả sử đó là m, n, p.
Mặt khác theo tiên đề 3) mỗi đường có ba điểm phân biệt. Giả sử một trong
ba điểm đó đều là A, thì mỗi đường còn có hai điểm phân biệt khác A. Vậy
có ít nhất là bảy điểm.
Lập luận tương tự ta cũng chứng minh được có ít nhất là bảy đường.
Bài 4.
Mô hình của P:
+ Điểm: đỉnh của tứ diện.
+ Đường thẳng: cạnh của tứ diện.
+ Điểm thuộc đường thẳng: đỉnh thuộc cạnh của tứ diện.
Ta dễ dàng kiểm tra mô hình thỏa mãn các tiên đề của hệ P.
Bài 5. (Hình 1)
Mô hình của hình học Lôbasepxki phẳng – mô hình nửa phẳng
Poincare:
X'
X
Hình 1
+ “Điểm Lôba”: cũng là điểm Ơ-clit trên mặt phẳng
( )
α
trừ
những điểm nằm trên bờ XX’
+ “Đường Lôba”: là nửa đường tròn Ơ-clit thuộc
( )
α
có tâm
thuộc XX’ hoặc là nửa đường thẳng gốc thuộc XX’.
Dễ thấy định đề phủ định của định đề 5 được thỏa mãn.
6
6

Bài 6.
Chứng minh a,
Theo tiên đề 1, có nhiều đường thẳng, mà một đường thẳng chứa
nhiều điểm nên ta suy ra có ít nhất 2 đường thẳng phân biệt, mỗi đường
thẳng có ít nhất hai điểm. Nếu hai đường thẳng không có điểm chug thì có 4
điểm. Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì vì chúng phân biệt nên chỉ có
1 điểm chung (tiên đề 2). Vì vậy trong bốn điểm nói trên chỉ có thể có hai
điểm trùng nhau. Vậy có ít nhất ba điểm không thẳng hàng.

Định lí Pasch: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng a và ba điểm A,
B, C không thuộc a. Nếu đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thì nó cắt đoạn
thẳng AC hoặc cắt đoạn thẳng BC.
Chứng minh: (Hình 2)
C
B
A
a
Hình 2
Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia mặt phẳng (P) thành hai nửa mặt
phẳng, một chứa điểm A, một chứa điểm B (vì đoạn thẳng AB cắt đường
thẳng a). Điểm C phải thuộc một trong hai nửa mặt phẳng đó nên đường
thẳng a phải cắt một trong hai đoạn thẳng AC hoặc BC.
Bài 7.
a, Theo tiên đề 14, có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt
phẳng, giả sử là A, B, C, D. Giả sử A, B, C thuộc mặt phẳng (P) nào đó. D
không thuộc (P) nên đường thẳng AD chỉ có một điểm chung với (P). Mà
một đường thẳng có nhiều điểm nên ngoài mặt phẳng (P) có nhiều điểm.
b, Chứng minh tương tự định lí Pash trong mặt phẳng.
c, Định lí: Mỗi mặt phẳng của không gian chia không gian thành hai
tập điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho:

7
7
- Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạn
thẳng AB không có điểm chung với mặt phẳng đó.
- Hai điểm A, B phân biệt không thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ
khi đoạn thẳng AB có điểm chung với mặt phẳng đó.
Bài 10.
Chứng minh: Sử dụng các tiên đề về không gian vectơ Ơ-clit.

8
8
BÀI TẬP CHƯƠNG II
A. Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích rèn cho sinh viên:
- Có kĩ năng trong việc dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tập
về các phép biến hình afin, phép biến hình đẳng cự, phép đồng dạng.
- Sinh viên biết cách vận dụng các phép biến hình nói trên để giải các
bài toán hình học trong chương trình THCS.
- Tổ chức sưu tầm phân loại các bài tập hình học trong chương trình
THCS giải bằng phương pháp biến hình. So sánh với phương pháp sơ cấp.
B. Mô tả nội dung: Bài tập chương II bao gồm các vấn đề sau:
- Phép biến hình afin
- Phép đẳng cự
- Phép đồng dạng.
C. Nội dung cụ thể:
I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững:
1. Định nghĩa và các tính chất của phép biến hình afin.
2. Định lí về sự xác định phép afin.
3. Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin.
4. Định nghĩa và các tính chất của phép thấu xạ afin.
5. Định lí về phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạ

afin.
6. Định nghĩa và các tính chất của phép đẳng cự của mặt phẳng Ơ-clit.
7. Định lí về sự xác định của phép đẳng cự, biểu thức tọa độ của phép
đẳng cự.
8. Phép dời hình và phép phản chiếu. Dạng chính tắc của phép dời
hình và phép phản chiếu.
II. Bài tập:
PHÉP BIẾN HÌNH AFIN
Bài 1. Cho song ánh f: P
→
P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành
ba điểm thẳng hàng. Chứng minh:
a. f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
b. f biến đường thẳng thành đường thẳng.
c. f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song.
d. f bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hình
bình hành.
e. f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
Bài 2. Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. Chứng minh rằng nếu
f(A) = B và f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I.
9
9
Bài 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A,
f(C) = D và f(D) = C. Chứng minh:
a. Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD thì f biến mọi
điểm của d thành chính nó.
b. Tứ giác ABCD là hình thang.
Bài 4. Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành
đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc vị tự.
Bài 5. Có bao nhiêu phép afin biến một tam giác đã cho thành chính nó?

Bài 6. Cho tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào thì có phép afin f
biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’.
Bài 7. Ngũ giác ABCDE có tính chất: Mỗi đường chéo của ngũ giác song
song với một cạnh của nó. Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A,
B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A.
Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong hệ tọa độ afin
Bài 8. Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0,2), C(
−
3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’(
−
1,4), C’(
−
2,
−
1).
Bài 9. Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau:
x' 2x 3y 7
y' 3x 5y 9
= + −


= + −

Bài 10. Xác định g
o
f và f
o
g biết f và g là hai phép afin:
f:
x' 2x y 5

y' 3x y 7
= + −


= − +

; g:
x' x y 4
y' x 2y 5
= − +


= − + +

Bài 11. Cho phép afin:
x' 3x 4y 12
y' 4x 3y 6
= + −


= − +

a. Tìm ảnh và tạo ảnh của đường thẳng
2x y 1 0
+ − =
.
b. Tìm trên đường thẳng d:
7x 2y 24 0
− − =
một điểm sao cho ảnh

của nó cũng nằm trên d; một điểm sao cho tạo ảnh của nó cũng nằm trên d.
10
10
c. Tìm trên đường thẳng đi qua điểm A(1, 1) sao cho ảnh của đường
thẳng đó cũng đi qua A.
Bài 12. Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (đường thẳng biến
thành chính nó) của các phép afin sau:
f:
x' 7x y 1
y' 4x 2y 4
= − +


= + +

; g:
13 a 8
x' x y
5 5 5
4 7 4
y' x y
5 5 5

= + −




= + −



Bài 13. Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nhất thì mọi
đường thẳng bất động đều đi qua điểm đó.
Bài 14. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau:
a. Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2, 6) biến
thành điểm (
−
1,
−
4).
b. Mọi điểm của đường thẳng
x 2y 1 0
+ − =
đều là điểm bất động và
điểm (1, 2) biến thành điểm (2, 2).
Bài 15. Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau:
a. Các đường thẳng
x y 1 0
+ + =
và
x 2y 1 0
+ − =
biến thành chính
nó, còn điểm (1, 1) biến thành điểm (2, 1).
b. Các đường thẳng
5x 6y 7 0
− − =
và
3x 4y 0
− =

lần lượt biến thành
các đường thẳng
2x y 4 0
+ − =
và
x y 1 0
− + =
, còn điểm (6, 4) biến thành
điểm (2, 1).
Bài 16. Các phép afin sau có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có hãy
chỉ rõ là thấu xạ có tỉ số hay thấu xạ trượt.
a.
x' x
y' ky
=


=

b.
x' y 1
y' x 1
= − +


= − +

c.
x' 4x 2y 1
y' 3x 3y 1

= + +


= + −

d.
x' x p
y' ky q
= +


= +

e.
x' x y
y' y
= +


=

11
11
Bài 17. Với giá trị nào của k, m, các phép biến đổi sau là phép thấu xạ. Khi
đó hãy chỉ rõ đó là thấu xạ trượt hay thấu xạ có tỉ số.
a.
x' kx y 1
y' 3x ky m
= − +



= − +

b.
x' 3x 4y 2
y' 2x ky m
= + +


= + +

Bài 18. Chứng minh mọi phép afin biến tam giác ABC đã cho thành chính
nó đều có thể phân tích thành tích của không quá hai phép thấu xạ.
Bài 19. Có hay không các phép thấu xạ biến một hình bình hành ABCD đã
cho thành chính nó và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Biến A thành B, D thành C.
b. Biến A thành B, C thành D.
c. Biến A thành C, C thành A.
Bài 20. Chứng minh tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành
một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm. Xét quan hệ giữa
các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P).
Bài 21. Trong mặt phẳng Ơ-clit, hình lục giác gọi là gần đều nếu các cạnh
đối diện bằng nhau và song song với đường chéo đi qua hai đỉnh không
thuộc hai cạnh đối diện đó. Chứng minh các lục giác gần đều là tương đương
afin.
Bài 22. Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp elip (E), hình H’ gồm một
tam giác A’B’C’ nội tiếp elip (E’). Chứng minh hình H và H’ không tương
đương afin. Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giác
ABC và tâm elip (E’) trùng với trọng tâm tam giác A’B’C’ thì hình H và H’
có tương đương afin không?

Bài 23. Chứng minh rằng với mỗi đường kính AB của elip (E) luôn có duy
nhất đường kính CD sao cho mỗi dây cung của elip song song với một trong
hai đường kính đó đều bị đường kính kia chia thành hai đoạn bằng nhau. Hai
đường kính như vậy gọi là hai đường kính liên hợp của elip.
a. Chứng minh khái niệm đường kính liên hợp của elip là khái niệm
afin.
b. Chứng minh tương tự đối với hypebol.
Bài 24. Chứng minh các khái niệm sau là các khái niệm afin: đường bậc hai,
tâm của đường bậc hai, đường tiệm cận của đường bậc hai, tiếp tuyến của
đường bậc hai.
12
12
Bài 25. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung
điểm các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của (E). Chứng minh các đường
thẳng lần lượt đi qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồng
qui.
Bài 26. Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) và một điểm M trên (E). Gọi O
là tâm của (E) và A’, B’ C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Gọi
A”, B”, C” là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho
MA” // OA’, MB” // OB’, MC” // OC’. Chứng minh A”, B”, C” thẳng hàng.
Bài 27. Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp (hoặc ngoại tiếp)
elip thì tâm của hình bình hành trùng với tâm elip.
Bài 28. Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai
đường thẳng AD và DC sao cho (A, D, M) = (D, C, N). Tìm quỹ tích giao
điểm BM và AN.
PHÉP ĐẲNG CỰ
Bài 29. Chứng minh các phép sau đây là các phép đẳng cự của mặt phẳng
Ơclit: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay.
Bài 30. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông ABCD bất kì thành
chính nó.

Bài 31. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R). Hãy chỉ ra những phép đẳng
cự biến đường tròn (O, R) thành (O’, R).
Bài 32. Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến tam giác đều ABC bất kì thành
chính nó.
Bài 33. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’. Có những phép đẳng cự
nào biến A thành A’, B thành B’?
Các bài toán sau được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn
Bài 34. Viết biểu thức tọa độ của các phép sau:
a. Phép đối xứng qua đường thẳng Ox và đối xứng qua đường thẳng
Oy.
b. Phép đối xứng qua điểm I(a, b).
c. Phép tịnh tiến theo vectơ
v
ur
(a, b).
d. Phép đối xứng qua đường thẳng Ax + By + C = 0.
13
13
Bài 35. Viết biểu thức tọa độ của phép đẳng cự biến điểm (1,0) thành điểm
(0, 0)và điểm (0, 0) thành điểm (0, 1).
Bài 36. Tìm điểm bất động của phép biến đổi đẳng cự:
x' xcos ysin p
y' xsin ycos q
= ϕ− ϕ +


= ϕ+ ϕ +

Bài 37. Chứng tỏ rằng rằng phép đẳng cự:
x' xcos ysin

y' xsin ycos
= ϕ + ϕ


= ϕ− ϕ


là một phép đối xứng trục. Tìm trục đối xứng.
Bài 38. Chứng minh các phép biến hình sau là phép đối xứng trượt. Tìm trục
đối xứng và vectơ trượt:
a.
0
0
x' x x
y' y y
= +


= − +

b.
0
0
x' xcos ysin x
y' xsin ycos y
= ϕ+ ϕ +


= ϕ− ϕ+


c.
4 3
x' x y 6
5 5
3 4
y' x y 12
5 5

= − +




= − − −



Bài 39. Chứng minh nếu f là một phép phản chiếu thì quỹ tích trung điểm
của đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) là một đường
thẳng.
Bài 40. Cho hai đoan thẳng AB và A’B’ bằng nhau và không song song. Hai
điểm M, M’ thay đổi lần lượt trên hai đường thẳng AB và A’B’ sao cho tỉ số
kép (A, B, M) = (A’, B’, M’). Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng MM’.
Bài 41. Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B’ và không song song. Hãy
xác định tâm quay và góc quay của phép quay biến A thành A’, biến B thành
B’.
Bài 42. Cho phép quay Q
1
có tâm quay O
1

, góc quay
1
ϕ
và phép quay Q
2
có
tâm quay O
2
, góc quay
2
ϕ
. Tìm Q
2
o
Q
1
trong các trường hợp sau:
14
14
a. O
1
và O
2
trùng nhau.
b. O
1
và O
2
không trùng nhau và
1

ϕ
+
2
ϕ

≠
k.360
0
.
c. O
1
và O
2
không trùng nhau và
1
ϕ
+
2
ϕ
= k.360
0
.
Bài 43. Chứng minh tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc của phép
quay và phép tịnh tiến đều là phép quay.
Bài 44. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác đều ABC’, BCA’, ACB’ sao cho
các điểm A’, B’, C’ nằm ngoài tam giác ABC. Gọi O
1
, O
2
, O

3
lần lượt là tâm
của các tam giác đều đó. Chứng minh tam giác O
1
O
2
O
3
là tam giác đều.
Bài 45. Cho tam giác ABC. Vẽ các tam giác vuông cân ABC’ và ACB’ có
đỉnh là C’ và B’ đều nằm ngoài tam giác ABC. Gọi A’ là trung điểm của BC.
Chứng minh tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân.
Bài 46. Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B ở giữa A và C). Vẽ các tam giác
đều ABC’ và BCA’ có các đỉnh C’ và A’ nằm về một phía đối với đường
thẳng AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’. Chứng minh tam
giác BIJ là tam giác đều.
Bài 47. Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng. Dựng
tam giác đều ABC có hai đỉnh thuộc a, b.
Bài 48. Cho hai đường tròn (O), (O’) và đường thẳng d. Hãy dựng điểm D
trên d sao cho d là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đi qua
D và lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’).
Bài 49. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’). Dựng hai điểm M và M’ lần
lượt nằm trên hai đường đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có độ dài bằng a
cho trước.
Bài 50. Cho hai đường tròn (O), (O’) và điểm A. Dựng tam giác vuông cân
đỉnh A và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên (O) và (O’).
Bài 51. Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc một cạnh của hình
vuông. Dựng hình vuông MNPQ có các đỉnh N, P, Q cũng thuộc các cạnh
của hình vuông ABCD.
PHÉP ĐỒNG DẠNG

Bài 52. Chứng minh rằng:
a. Tích hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến.
15
15
b. Tích một phép vị tự và một phép tịnh tiến hoặc tích một phép tịnh
tiến và một phép vị tự là phép vị tự.
Bài 53. Chứng minh rằng tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó
là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến.
Bài 54. Chứng minh phép afin f: P
→
P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f
biến góc vuông thành góc vuông.
Bài 55. Chứng minh phép afin f: P
→
P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f
biến đường tròn nào đó thành đường tròn.
Bài 56. Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f:
x' 3x 4y 6
y' 4x 3y 12
= + +


= − −

Chứng minh f là phép đồng dạng nghịch. Hãy phân tích f thành tích
của một phép vị tự và phép đối xứng trục có trục đối xứng đi qua tâm vị tự.
Bài 57. Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f:
x' 3x y 10
y' 4x 3y 10
= − +



= + −

Chứng minh f là phép đồng dạng thuận. Hãy phân tích f thành tích của
một phép vị tự và phép quay có tâm quay trùng tâm vị tự.
Bài 58. Cho f là phép đồng dạng nghịch tỉ số k > 0 và k
≠
1. Với cặp điểm
tương ứng M và M’ = f(M), ta lấy điểm I và J sao cho (M’, M, I) =
−
k và
(M’, M, J) = k. Tìm quỹ tích của I và J.
Bài 59. Cho tam giác nhọn ABC. Dựng hình vuông MNPQ có hai đỉnh M, N
nằm trên cạnh BC, hai đỉnh còn lại nằm trên cạnh AB và AC.
Bài 60. Cho dây cung AB của đường tròn (O). Dựng hình vuông MNPQ có
hai đỉnh M, N nằm trên dây cung AB, còn P, Q nằm trên cung AB.
Bài 61. Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy đã cho và đi
qua điểm A nằm trong góc đó.
16
16
Bài 62. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A. Dựng qua A một
đường thẳng cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C sao cho AB = kAC, k là số
dương cho trước.
Bài 63. Cho hai điểm A, B cố định của đường tròn (O), một điểm M thay đổi
trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB. Tìm
quỹ tích điểm N.
Bài 64. Dựng tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a. Biết hai cạnh AB, AC và đường phân giác của
·

BAC
.
b. Biết
·
BAC
và độ dài hai đường trung tuyến BM = m, CN = n.
c. Biết góc
·
ABC
,
·
ACB
và OH = d (O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác, H là trực tâm tam giác)
d. Biết góc
·
BAC
, tỉ số hai cạnh AB, AC và chu vi tam giác.
e. Biết góc
·
BAC
, tỉ số hai cạnh AB, AC và đường phân giác góc B.
f. Biết hai góc
·
ABC
,
·
ACB
, đường trung tuyến ứng với cạnh BC.
g. Biết góc

·
ABC
cạnh BC = a, trung tuyến BM = m.
Bài 65. Cho một điểm A cố định, một đường tròn (O) cố định và một điểm C
thay đổi trên (O). Vẽ hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích các điểm B và D.
Bài 66. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD không vuông góc
với nhau. Gọi A’, C’ là các hình chiếu vuông góc của A, C tương ứng trên
đường thẳng BD. Gọi B’, D’ là các hình chiếu vuông góc của B, D tương
ứng trên đường thẳng AC. Chứng minh hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ đồng
dạng.

III. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II
Bài 1. Áp dụng các tính chất của phép biến hình afin.
Bài 2. (A, B, I) =
−
1 suy ra (B, A, f(I)) =
−
1 nên f(I) là trung điểm đoạn
thẳng BA.
17
17
Bài 3. a. Theo bài 2, suy ra trung điểm I, J của AB và CD biến thành chính
nó. Gọi M là một điểm bất kì của đường thẳng IJ thì từ tính chất bảo toán tỉ
số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra f(M) = M.
b. Trường hợp 1: nếu AD // BC thì ABCD là hình thang.
Trường hợp 2: nếu AD cắt BC tại E thì ta đi chứng minh E, I, J
thẳng hàng.
Bài 4. Lí thuyết.
Bài 5. Có 3! = 6 phép.
Bài 6. Luôn có duy nhất một phép afin f biến A, B, C lần lượt thành A’, B’

C’. Để f(D) = D’ ta cần có điều kiện (A, C, I) = (A’, C’, I’) và (B, D, I) =
(B’, D’, I’) ở đó I, I’ lần lượt là giao điểm của AC và BD, A’C’ và B’D’.
Bài 7. (Hình 3)
J
I
E
D
C
B
A
Hình 3
Luôn có duy nhất một phép biến hình afin f biến A, B, C lần lượt
thành B, C, D. Sử dụng các đường chéo song song với cạnh ta chứng minh
được (A, C, I) = (B, D, J), (D, B, I) = (E, C, J) từ đó suy ra f(D) = E. Mà E =
CE
∩
DE. Chứng minh f(CE) = DA, f(DE) = EA (bảo toàn quan hệ song
song). Từ đó suy ra f(E) = A.
Bài 8.
x' x y 1
y' x y 2
= − +


= + +

18
18
Bài 9.
x' 5x 3y 8

y' 3x 2y 3
= − +


= − + −

Bài 10. g
o
f:
x' x 2y 8
y' 4x 3y 24
= − + −


= − +

; f
o
g:
x' x 8
y' 4x 5y 14
= +


= − +

Bài 11.
a. f(d): 2x + y + 13 = 0; f
-1
(d): 10x + 5y

−
19 = 0
b. (4, 2).
c. 7x + y
−
8 = 0
Bài 12.
+ Xét f: Điểm bất động là I(
1
2
−
,
−
2).
Gọi đường thẳng bất động là d: Ax + By + C = 0; f
-1
(d): (7A + 4B)x +
(2B
−
A)y + A + 4B + C = 0. d bất động khi và chỉ khi:
( )
( )
7k 1 A 4kB 0
A B C
k
7A 4B 2B A A 4B C
kA 1 2k B 0
− + =

= = = ⇔


+ − + +
+ − =


có nghiệm
không tầm thường. Từ đó ta tìm được hai đường thẳng bất động:
2x
−
2y
−
3 = 0 và 4x
−
y = 0
+ Xét g: a
≠
4: f có điểm bất động duy nhất.
a = 4: f có đường thẳng gồm toàn điểm bất động là: 2x + y
−
2 = 0
Tìm đường thẳng bất động: tương tự như với f, biện luận theo tham số a.
Bài 13.
Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh.
Bài 14.
a.
1
x' x y
2
y' y


= −



=

b.
5 1 1
x' x y
4 2 4
y' y

= + −



=

Bài 15.
19
19
a.
13 1 1
x' x y
6 3 6
5 5 1
y' x y
6 3 6

= − +




−

= + +


b.
2 2 10
x' x y
3 3 3
11 14 13
y' x y
3 3 3

= − + +




= − + +


Bài 16.
a. k = 1: f = e.
b. f là phép thấu xạ với trục là đường thẳng x + y
−
1 = 0, tỉ số
−

1.
c. f không là phép thấu xạ.
d. k = 0: f không là phép afin.
k
≠
0: p
≠
0: f không là phép thấu xạ.
p = 0, k = 1, q
≠
0: f không là phép thấu xạ.
p = 0, k = 1, q = 0: f = e.
p = 0, k
≠
1: f là phép thấu xạ trục là y =
q
1 k
−
, tỉ số k.
f. f là phép thấu xạ trượt.
Bài 17.
a. f là phép thấu xạ
k 2, m 3
k 2, m 1
= =

⇔

= − = −


b. f là phép thấu xạ
⇔
k = 5, m = 2. ( chú ý khi định thức của f phải
khác 0)
Bài 18. Dựa vào chứng minh định lý về sự phân tích của một phép afin
thành tích không quá 3 phép thấu xạ và dựa vào phép thấu xạ afin với trục là
một đường trung tuyến của tam giác.
Bài 19.
a. không có.
b. phép thấu xạ với trục là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và
CD.
c. phép thấu xạ trục là đường thẳng BD.
Bài 21. (Hình 4)
20
20
A'
B'
E'
F'
C'
D
O
O'
F
E
D'
C
B
A

Hình 4
Với hai lục giác gần đều ABCDEF và A’B’C’D’E’F’ luôn tồn tại phép
afin f biến hình bình hành AFEO thành hình bình hành A’F’E’O’. Do tính
chất bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra C, E, D tương
ứng biến thành C’, E’, D’.
Bài 23. Xét một phép afin biến elip thành một hình tương đương afin đặc
biệt là đường tròn (C). Ta dễ dàng chứng minh được bài toán.
Từ đó, ta suy ra cách vẽ đường kính liên hợp với đường kính AB cho
trước như sau: kẻ một dây cung MN song song với đường kính AB. Nối hai
trung điểm của AB và MN ta sẽ được đường kính đi qua hai trung điểm đó
chính là đường kính liên hợp của AB. Khi đó ta sẽ chứng minh được đường
kính liên hợp là khái niệm afin.
Với hypebol làm tương tự.
Bài 25. (Hình 5)
21
21
(
C
)
O
C'
B'
A'
C
B
A
Hình 5
Xét một hình tương đương afin đặc biệt của (E) đó là đường tròn (C).
Ba đường thẳng cần chứng minh đồng quy trở thành ba đường cao trong tam
giác. Từ đó ta có ngay điều phải chứng minh.

22
22
Bài 26. (Hình 6)
C
1
B
1
A
1
M
(
C
)
O
C'
B'
A'
C
B
A
Hình 6
Chuyển sang bài toán về đường thẳng Simpson.
Bài 27. (Hình 7) Chuyển sang hình bình hành nội tiếp (C) khi đó hình bình
hành là hình chữ nhật. Còn trường hợp ngoại tiếp hình bình hành trở thành
hình thoi. Trường hợp hình chữ nhật nội tiếp đường tròn ta có ngay điều phải
chứng minh.
4
3
2
1

Q
P
N
D
M
O
C
B
A
Hình 7
23
23
Trường hợp hình thoi ngoại tiếp đường tròn. Gọi O là tâm đường tròn
(C), ta đi chứng minh
µ µ µ µ
1 2 3 4
O O , O O= =
từ đó suy ra A, O, C thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có B, O, D thẳng hàng.
Bài 28. (Hình 8)
I
N
M
D
C
B
A
Hình 8
Dùng 1 phép biến hình afin biến hình bình hành ABCD thành một
hình tương đương afin đặc biệt là hình vuông (Hình 1). Khi đó, từ giả thiết ta

suy ra AM = DN, MD = NC. Chứng minh được
∆
ABM =
∆
DAN.
Suy ra góc AIB bằng 90
0
nên quỹ tích I là đường tròn đường kính AB,
đường tròn này đi qua tâm của hình vuông, tiếp xúc với hai cạnh AD và BC
tại A và B.
Trở lại đối với hình bình hành, quỹ tích I là một elip đi qua tâm hình
bình hành có một đường kính là AB, đường kính liên hợp của nó có phương
là AD; AD và BC là hai tiếp tuyến của elip tại A và B.
Bài 30. Có 8 phép: phép đồng nhất, 4 phép đối xứng trục, 1 phép đối xứng
tâm, hai phép quay.
Bài 31. 1 phép tịnh tiến, 1 phép đối xứng trục, 1 phép đối xứng tâm, 1 phép
quay.
Bài 32. Có 6 phép: phép đồng nhất, 3 phép đối xứng trục, hai phép quay.
24
24
Bài 33. Chia ba trường hợp: AB và A’B’ nằm trên hai đường thẳng song
song (1 phép tịnh tiến hoặc một phép đối xứng tâm); AB và A’B’ nằm trên
một đường thẳng; AB và A’B’ nằm trên hai đường thẳng cắt nhau (phép
quay).
Bài 34.
a.
Ox Oy
x' x x' x
Đ : ; Đ :
y' y y' y

= = −
 
 
= − =
 

b.
I
x' x 2a
Đ :
y' y 2b
= − +


= − +

c.
v
x' x a
T :
y' y b
= +


= +

ur
d.
2 2
2 2 2 2 2 2

ax by c 0
2 2
2 2 2 2 2 2
a b 2ab 2ac
x' x y
a b a b a b
Đ :
2ab a b 2bc
y' x y
a b a b a b
+ + =

−
= − − −


+ + +

−

= − + −

+ + +

Bài 35.
x' y
y' x 1
=



= − +

hoặc
x' y
y' x 1
= −


= − +

Bài 36. +
k2
ϕ = π
, p = q = 0: mọi điểm của mặt phẳng đều bất động.
+
k2
ϕ = π
, p
2
+ q
2

≠
0: f không có điểm bất động.
+
k2
ϕ ≠ π
: f có điểm bất động duy nhất.
Bài 37. Tìm điểm bất động của f. Chứng minh f luôn có duy nhất một đường
thẳng bất động từ đó suy ra f là phép đối xứng trục với trục là đường thẳng

( )
xsin 1 cos y 0ϕ − + ϕ =
.
Bài 38. + Trục là đường thẳng y =
0
y
2
, vectơ trượt là
( )
0
v x ,0
ur
25
25