Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện Thanh Oai năm học 20152016 môn thi: Toán Trường THCS Bích hòa34846

PHỊNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
Mơn thi: Tốn
Thời gian: 150 phút

Bài 1 : (5,0 điểm)
 x y
x y 
 : 1  x  y  2 xy 
Cho biểu thứcP = 


1  xy 
1  xy
1  xy 
 





a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x 

2
2 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình: 2 x  4 x 2  1  2 x  4 x 2  1  2
b) Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! là số chính
phương.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x.y > 0 và x + y = 1.
Chứng minh rằng:





8. x 4  y 4 

1
 5.
xy

b) Chứng minh bất đẳng thức sau:
6  6  6  6  6  30  30  30  30  30  9

Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tùy
ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường trịn (O), trong đó P, Q là các
tiếp điểm. Qua O kẻ OH vng góc với xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K.
Chứng minh:
a) OI.OH = OK.OM = R2
b) PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M thay đổi trên xy.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài AD

biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm.
---------------------------------Hết-----------------------------------

ThuVienDeThi.com


ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
Bài
Bài 1
(5điểm)

a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1
 x y

P = 

 1  xy

P

2 x
x 1

b) x 

2









  3  1 ;

2 2 3

1

 6

2 3 1

4  2 3 1

c) P 



xy  x  y 1  xy  1  xy  x  y  2 xy 

: 
1  xy
1  xy



0,5

1,5

2 3



Điểm
0,5

x y 
 : 1  x  y  2 xy 

1  xy 
1  xy  

 x  y 1 

 ...... 

P



Nội dung

2

0,5

x  3 1

1,0

32
13

2 x x 1
1

x 1 x 1

0,5

(Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1 và y ≠ 1)
Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi x = 1 và y ≠ 1, y≥ 0
Bài 2
(4điểm)

a) ĐKXĐ: x ≥

0,5

1
2

0,25

Nhân 2 vế với 2 ta được:

 2x  1 

2x  1

   2x  1 
2

2x  1

 2
2

2

 2x  1  2x  1  2x  1  2x  1  2 2
 2x  1  2

0,5
0,25
0,5
0,5

1
 x  (TMĐK)
2

b)- Với n = 1 thì 1! =1= 12 là số chính phương
- Với n = 2 thì 1!+2! = 1+1.2 = 3 khơng là số chính phương
- Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 là số chính phương
- Với n ≥ 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33
còn 5!; 6!; 7!;…; n! đều có tận cùng bằng 0. Do đó :

1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận cùng bằng 3 nên khơng là số chính
phương.
Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn là n = 1; n = 3.

ThuVienDeThi.com

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25


Bài 3
(4điểm)

 xy  0
 x , y  0.
a) Từ giả thiết 
x  y  1  0
Ta có:
1
1
1  x  y  2. xy   xy 
 4(1).
xy
4
Lại có:



0,5

0,5



2

2
8. x 4  y 4  4.(12  12 ).( x 4  y 4 )  4.( x 2  y 2 ) 2  (12  12 ).( x 2  y 2 )   x  y   


2

0,5

Suy ra: 8.(x4 + y4)  1 (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
1
8.x 4  y 4 
 1  4  5.
xy
Ta có đpcm.
b) Vì

6  9 =>

0,5

6  3 ; và 30  36  30  6 nên

0,5

6 6 6 6 6  6 6 6 63 3

0,5

30  30  30  30  30  30  30  30  30  6  6

0,5

Cộng từng vế ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4
(5điểm)

0,5
0,5

O

I

P

K
Q

x

a)

M

Δ OMH

y

H

đồng dạng với Δ OIK (g-g), ta có:

1,0

OM OH
suy ra OI.OH = OM.OK
(1)

OI
OK
Tam giác OPM vuông ở P mà PK  OM nên:

R2 =OP2 = OK.OM
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OK.OM = R2

ThuVienDeThi.com

1,0
0,5


1,0

R2
b)Từ câu a) suy ra OI=
OH

Câu 5
(2điểm)

Do R không đổi, OH khơng đổi nên OI khơng đổi, do đó điểm I cố
định. Vậy khi điểm M thay đổi trên xy thì các dây cung PQ ln ln
đi qua điểm I cố định.
Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC. Ta có BHCE là hình thoi,
ΔABE vng tại B nên BE2 = ED.EA. Đặt DE =x.
Có hai trường hợp:
TH1: BAˆ C  90 0 .
A
ta có:x(2x+ 14) = 302
Giải phương trình ta được
x =18 thỏa mãn.
H
Từ đó tính được AD=32cm

1,0
0,5

0,75

C

B

D

x

E

TH2: BAˆ C  90 0
Ta có x(2x-14) = 302
Giải phương trình ta được:
x= 25 thỏa mãn
Từ đó tính được AD = 11cm.

0,75
H

A
B

C
x

D

x

E

ThuVienDeThi.com