đề đáp án thi học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99 KB, 4 trang )
Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm -
- Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên
Đề + ĐáP áN
thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút
Năm học: 2010 - 2011
Câu 1: (5 điểm)
1. Cho: A =
3 3 2 2
1 1
a b a b
ab :
a b
a b
+
a, Tìm điều kiện của a, b để biểu thức có nghĩa
b, Rút gọn A
2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mn: x + y + z
6 chứng minh rằng:
M =
{
}
(x y)(y z)(z x) 2xyz 6
+ + +
Câu 2. (3 điểm)
1. So sánh:
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+ +
và
3
3
2. Tính tổng: S =
1 1 1
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +
Câu 3. (4 điểm)
Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây:
a, 3 +
2x 3
= x b,
x 1 3 y 2 2
2 x 1 5 y 2 15
+ =
+ + =
Câu 4: (4 điểm)
Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đờng trung tuyến và đờng cao ứng
với cạnh huyền bằng 7cm
Câu 5: (4 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với đờng
tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AOC. Tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại C cắt AB tại E.
Chứng minh rằng:
KBC đồng dạng với
OBE
Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm -
- Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên
Đáp án
Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1: 1. Cho: A =
3 3 2 2
1 1
a b a b
ab :
a b
a b
a, ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a b
b, Rút gọn: A =
(
)
(
)
3 3
2 2
a b
1 1 1 1
ab : :
a b a b
a b
=
2 2
2 2
( a b)(a ab b) b a b a
ab : :
a .b ab
( a b)
+ +
=
( )
2 2
(b a)(b a) ab
a ab b ab : .
a .b b a
+
+ +
=
( )
(b a)
a b : ab
a.b
+
+ =
. Vậy A = ab
2, Cho ba số nguyên x, y, z thỏa mn: x + y + z
6 chứng minh rằng:
M =
{
}
(x y)(y z)(z x) 2xyz 6
+ + +
Ta có: x
3
- x = (x -1)x(x + 1)
6 (Vì tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6)
x
3
+ y
3
+ z
3
- (x + y + z) = (x
3
- x) + (y
3
- y) + (z
3
- z)
6
(Vì mỗi biểu thức trong ngoặc đều chia hết cho 6)
x
3
+ y
3
+ z
3
- (x + y + z)
6. Mà (x + y + z)
6
x
3
+ y
3
+ z
3
6.
Mặt khác: (x + y + z)
3
= (x + y)
3
+ 3(x + y)z(x + y + x) + z
3
= x
3
+ 3xy(x + y) + y
3
+ 3(xz + yz)(x + y + z) + z
3
= x
3
+ y
3
+ z
3
+ 3(x + y + z)(xy + yz + xz) - 3xyz
Do (x + y + z)
6 và x
3
+ y
3
+ z
3
6
3xyz
6
Vậy M = (x + y)(y + z)(z + x) - 2xyz
= {(x + y + z) - z}{y + z + x) - x}{(z + x + y) - y} - 2xyz (vì x + y + z
6)
= (6k - z)(6k - x)( 6k - y) - 2xyz
= 6N - xyz - 2xyz = 6N - 3xyz
6 (vì 6N
6 và 3xyz
6)
(đpcm)
Câu 2. 1 . So sánh:
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+ +
và
3
3
Đặt A =
(
)
(
)
2 2 3 2 3
2 3 2 3
2 3 2 3
2 2 3 2 3
+
+
=
+ +
+ +
=
2 2
2 2
( 3 1) ( 3 1)
4 2 3 4 2 3
4 2 3 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1)
+
+
=
+ + + +
=
3 1 3 1
2 3
3
2 3
3 1 3 1
+
= =
+ +
. Vậy
2 3 2 3
2 3 2 3
+
+ +
=
3
3
2. Tính tổng: S =
1 1 1
2 1 1 2 3 2 2 3 100 99 99 100
+ + +
+ + +
Với mọi n N
*
ta có:
1 (n 1) n n n 1 (n 1) n n n 1 1 1
n(n 1) n(n 1) n(n 1)
(n 1) n n n 1 n n 1
+ + + +
= = =
+ + +
+ + + +
. Do đó
Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm -
- Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên
S =
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 99 100
+ + + + = 1 -
1 9
10 10
=
Câu 3. Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau đây:
a, 3 +
2x 3
= x
2
x 3 0
2x 3 x 6x 9
= +
2
x 3
x 3
(x 2)(x 6) 0
x 8x 12 0
=
+ =
x 3
x 2( )
x 6
=
=
Loại
x = 6.
Vậy phơng trình có một nghiệm x = 6
b,
x 1 3 y 2 2
2 x 1 5 y 2 15
+ =
+ + =
(*) ĐKXĐ: x
1, y
-2
Đặt U =
x 1
0, V =
y 2
+
0 Khi đó
(*)
U 3V 2 2U 6V 4
2U 5V 15 2U 5V 15
= =
+ = + =
U 3V 2 U 5
11V 11 V 1
= =
= =
(T/m)
Vậy (*)
x 1 5
x 26
y 1
y 2 1
=
=
=
+ =
. (T/m) Vậy hệ có một nghiệm duy nhất (26; -1)
Câu 4: (4 điểm)
Tính diện tích tam giác vuông có chu vi là 72cm, hiệu giữa đờng trung tuyến và đờng cao ứng
với cạnh huyền bằng 7cm
(Tự viết GT/KL)
Gọi AB = c, BC = a, CA = b, AH = h. (Với 0 < a, b, c, h < 72). Khi đó a
2
= b
2
+ c
2
(Pitago)
+) S =
2 2 2
1 1 1
bc (2bc) (b c a 2bc)
2 4 4
= = + +
=
2 2
1 1
(b c) a (a b c)(b c a)
4 4
+ = + + +
=
1 1
(a b c)(a b c 2a) .72.(72 2a)
4 4
+ + + + =
(1)
+) Mặt khác: AM =
BC a
2 2
=
S =
1 1 a
ah a.( 7)
2 2 2
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có phơng trình:
1
.72.(72 2a)
4
=
1 a
a.( 7)
2 2
5184 - 144a = a
2
- 14a
a
2
+ 130a - 5184 = 0
(a - 32)(a + 162) = 0
a = 32 (T/m) hoặc a = -162 (loại)
S =
1
.72.(72 2a)
4
= 18.(72 - 2.32) = 144 (cm
2
)
Vậy S
ABC
= 144 (cm
2
)
Câu 5: (4 điểm)
Cho đờng tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB
với đờng tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AOC. Tiếp tuyến của đờng tròn
(O) tại C cắt AB tại E. CMR:
KBC đồng dạng với
OBE
(HS Tự ghi GT/KL)
C/m
h
c
b
a
M
H
C
B
A
Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm Đỗ Văn Lâm
Đỗ Văn Lâm -
- Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên Trờng THCS TT Tân Uyên
Trờng THCS TT Tân Uyên
Chú ý: HS cha học các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây đến thời điểm thi
Ta có:
2 1
K K
=
(Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
mà KO là trung trực của AB
AHK
= 90
0
1 1
K A
=
(Cùng phụ với
AOK
)
Lại có:
1
1
A C
=
(Cùng phụ với
AOK
)
Vậy:
2
1
K C
=
- Xét BKO và BCE có:
KBO CBE
= = 90
0
(gt)
2
1
K C
=
(C/m trên)
BKO
BCE
BK BO
BC BE
=
(1)
Mặt khác:
0
OBE 90 OBC
= +
0
KBC 90 OBE
= +
OBE
=
KBC
(2)
Từ (1) và (2)
OBE
KBC (c.g.c) (đpcm)
2
1
1
1
H
E
O
C
K
B
A
