Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích những sai lầm của học sinh lớp 12 khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Hướng khắc phục35449

Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nơng

PHÂN TÍCH NH NG SAI L M C A H C SINH L P 12 KHI H C
CH
NG NG D NG
O HÀM
KH O SÁT
VÀ V

TH C A HÀM S

-H

NG KH C PH C

I. Lý do ch n đ tài
- Trong ch ng trình gi i tích 12, n i dung ng d ng đ o hàm đ kh o
sát và v đ th c a hàm s có m t v trí đ c bi t quan tr ng, chi m h u
h t s ti t có trong ch

ng trình. Là m t công c r t “m nh” đ gi i

quy t h u h t nh ng bài toán trong các đ thi t t nghi p THPT c ng nh

trong các đ thi tuy n sinh
-

u đi m c a ph

i h c, Cao đ ng.

ng pháp này là r t hi u qu và d s d ng khi gi i

toán liên quan đ n hàm s .
- Trong q trình gi ng d y tơi nh n th y các em h c sinh hay g p khó
kh n khi gi i các bài tốn liên quan đ n vi c v n d ng đ o hàm đ kh o
sát và v đ th c a hàm s . Các em th
em s không t mình kh c ph c đ
ng i th y.

ng m c nh ng sai l m mà các

c n u khơng có s h

ng d n c a

- C th , v i bài t p “Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s
y

1 3
x  mx 2  (m 2  m  1) x  1 đ t c c đ i t i x = 1”.
3

d ng ph

ng pháp sai đ gi i, đ

a s các em đã s

c th ng kê qua hai b ng sau đây:

L p 12A3 (s s 42)
S l
Không gi i đ
Gi i sai ph
Gi i đúng ph

c
ng pháp
ng pháp

ng

Ph n tr m

7

17%

30

71%

5

12%

L p 12A8 (s s 40)
S l
Không gi i đ
Gi i sai ph
Gi i đúng ph

c
ng pháp
ng pháp

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

1
DeThiMau.vn

ng

Ph n tr m

16

40%

21

53%

3

7%


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

Nh m giúp h c sinh n m ch c các ki n th c v đ o hàm, có k n ng
ng d ng đ o hàm đ gi i các bài tốn liên quan đ n hàm s , tơi ch n đ
tài “phân tích nh ng sai l m c a h c sinh l p 12 khi h c ch
d ng đ o hàm đ kh o sát và v đ th c a hàm s - h

ng ng

ng kh c ph c”

II. Phân tích nh ng sai l m thơng qua m t s ví d minh ho
1) Sai l m khi xét tính đ n đi u c a hàm s
 Các em m c ph i sai l m khi không n m v ng đ nh ngh a tính đ n đi u
c a hàm s
Ví d minh ho 1:
Xét tính đ n đi u c a hàm s : y 

x2  2 x  2
.
x 1

M t s h c sinh trình bày nh sau:
TX : D = R\{-1}.
Ta có y ' 

x2  2x
, y'  0 
( x  1)2

x  0
 x  2


B ng bi n thiên:
x

-
+

y'
y

0

-1

-2
-

0

-

0

+

-2

-

-

+
+
+

2

Suy ra:
Hàm s ngh ch bi n trên  2; 1   1;0  ,
đ ng bi n trên  ; 2    0;   .
Phân tích: l i gi i trên có v nh đúng r i, n u ta không chú ý đ n k t
lu n c a bài toán! Chú ý r ng: n u hàm s

y  f ( x ) ngh ch bi n trên t p

D thì x1 , x2  D mà x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Trong k t lu n c a bài toán
3
2

1
2

n u ta l y x1   < x2     2; 1   1;0  ,

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

2
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

nh ng f      
2
 2
3

5

k Mil -

k Nông

 1 5
f     ???
 2 2

L i gi i đúng là:
TX : D = R\{-1}.
Ta có y ' 

x  0
 x  2


x2  2x
, y'  0 
( x  1)2

B ng bi n thiên:

x

-
+

y'
y

0

-1

-2
-

0

-

0

+
+

+

-2

-

-

+

2

Suy ra:
Hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng  2; 1 và  1;0  ,
ng bi n trên t ng kho ng  ; 2  và  0;   .

 Nhi u khi các em không chú ý đ n các đi m t i h n c a hàm s vì v y
vi c xét d u c a hàm y’ s b sai!
Ví d minh ho 2:
Xét tính đ n đi u c a hàm s

f ( x)  x  1  4  x 2 .

M t s h c sinh trình bày nh sau:
T p xác đ nh là: D = [-2; 2]
Ta có f '( x)  1 
f '( x)  0 

x
4  x2

4  x2  x
4  x2

,

x   2
 0  4  x2  x  4  x2  x2  
 x  2

Trên t ng kho ng gi a hai đi m t i h n liên ti p nhau, f’(x) ln gi
ngun m t d u, vì f’(0) > 0 nên ta có b ng bi n thiên nh sau:

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

3

DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

B ng bi n thiên:
x

- 2

-2
-

y'
y

2

0

+

-3

2
-

0
2 2 -1

-1

1

Suy ra: Hàm s đ ng bi n trên kho ng   2; 2  và ngh ch bi n trên các
kho ng  2;  2  và





2; 2 .

Phân tích: N u đ ý

b ng bi n thiên ta th y ngay m t đi u vô lý là

trên đo n  2;  2  giá tr c a hàm s gi m t -3 xu ng -1??? Th c ra
đây  2 không ph i là đi m t i h n c a hàm s .
L i gi i đúng là:
T p xác đ nh là: D = [-2; 2]
x

Ta có f '( x)  1 
f '( x)  0 

4  x2

4  x2  x
4  x2

,

x  0
 0  4  x2  x  
x 2
2
2
4  x  x

Trên t ng kho ng gi a hai đi m t i h n liên ti p nhau, f’(x) luôn gi
nguyên m t d u, vì f’(0) > 0 nên ta có b ng bi n thiên nh sau:
B ng bi n thiên:
x

2

-2

y'

0

+

2
-

2 2 -1

y

-3

1

Suy ra, hàm s đ ng bi n trên kho ng  2; 2  , ngh ch bi n trên kho ng





2; 2 .

2) Sai l m khi ch ng minh b t đ ng th c
GV. T Ng c B o – T: 0983972303

4
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

 Khi dùng tính đ n đi u c a hàm s đ ch ng minh b t đ ng th c h c
sinh th

ng m c ph i sai l m là khơng nh chính xác đ nh ngh a tính

đ n đi u c a hàm s đ v n d ng:
Ví d minh ho 3: (Bài t p 5, trang 10, sách gi i tích 12, ban c b n)

Ch ng minh r ng: tan x  x, x   0; 


2

M t s h c sinh trình bày nh sau:

Xét f ( x )  tan x - x, x   0;  . Ta có: f '( x) 


2

1

 
 1  0, x   0;  , suy ra
2
cos x
 2



f(x) đ ng bi n trên kho ng  0;  .
 2

T x  0  f ( x)  f (0)  tan x - x  tan 0 - 0 hay tan x  x, x   0;  .


Phân tích:
L i gi i trên có v đúng, nh ng sai l m

2

đây khá tinh vi (?!). Sau khi



k t lu n f(x) đ ng bi n trên kho ng  0;  thì vì sao t
 2
x  0  f ( x)  f (0) ???

Sai l m



đây là 0   0;  .
 2

Nh r ng: n u f(x) đ ng bi n trên đo n  a; b  thì
x1 , x2   a; b  , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

L i gi i đúng là:


Xét f (t )  tan t - t , t  0;  . Ta có: f (t ) đ ng bi n trên  0;  .
2
2








Suy ra t x  0  f ( x)  f (0)  tan x - x  tan 0 - 0  0 . ( pcm)
 Các em c ng hay m c nh ng sai l m khi v n d ng sai tích ch t c a các
hàm đ ng bi n, ngh ch bi n.
Ví d minh ho :
Ch ng minh r ng n u x  1 thì x.e x 

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

1

.
e

5
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

M t s h c sinh trình bày nh sau:
Xét các hàm s f1 ( x)  x và f 2 ( x )  e x là các đ ng bi n trên R. Suy ra
hàm s

f ( x )  x.e x là tích c a hai hàm đ ng bi n nên c ng đ ng bi n trên

R. Suy ra, t x  1  f ( x)  f (1) hay x.e x 

1
.
e

Phân tích:

L i gi i trên sai l m ch : Tích c a hai hàm đ ng bi n là m t hàm đ ng
bi n ch đúng khi hai hàm đó d ng (!).
L i gi i đúng là:
Xét hàm s f ( x )  x.e x , ta có f '( x)  e x ( x  1)  0, x  1 . Suy ra hàm s
đ ng bi n trên  1;   . T x  1  f ( x)  f (1) hay x.e x 

1
v i x >-1 .
e

( pcm)
3) Sai l m khi gi i các bài toán liên quan t i đ o hàm
 Sai l m khi v n d ng các cơng th c tính đ o hàm.
Ví d minh ho 4:
Tính đ o hàm c a hàm s y   2 x  1

x

M t s h c sinh trình bày nh sau:
Ta có y '  x (2 x  1) x 1 (2 x  1) '  2 x(2 x  1) x 1
Phân tích:
L i gi i trên đã v n d ng công th c (u  ) '   .u 1 .u ' . V n d ng nh v y là
sai, vì cơng th c này ch áp d ng cho s m  là m t h ng s .
L i gi i đúng là:
T

y   2 x  1  ln y  x.ln  2 x  1 
x

y'

2x
 ln(2 x  1) 
y
2x  1

2x 

 y '  (2 x  1) x  ln(2 x  1) 

2x  1 


 Sai l m khi tính đ o hàm c a hàm s t i m t đi m.
Các em hay m c ph i sai l m
d ng này là áp d ng công th c
(u ) '   .u 1 .u ',   R , nh ng quên r ng n u nh

công th c này ch đúng khi u nh n giá tr d
GV. T Ng c B o – T: 0983972303

6
DeThiMau.vn

ng.

 khơng ngun thì


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nơng

Ví d minh ho 5:
y  3 x 2 có đ th (C). Vi t ph

Cho hàm s

ng trình ti p tuy n c a (C)

t i đi m có hồnh đ x = -1.
M t s h c sinh trình bày nh sau:
V i x = -1, ta có y = 3 (1)2  1
1

2
3

2
Ta có y  x , Suy ra y '  x 3 ,
3
1

2

1

1
2
2
2
2
2 1
2
2 6
3
6


y '(1)  (1)  (1)   (1)   1 6  6  .
3
3
3
3
3 1 3

2
3

V y ph

2
3

ng trình ti p tuy n c n tìm là: y  .( x  1)  1  x 

Phân tích: Sai l m

5
3

đây là các em đã không chú ý đ n đi u ki n lu
1

ng. Vì v y vi t  1 3 là

th a v i s m khơng ngun thì c s ph i d
khơng đúng!
L i gi i đúng là:
Ta có y 3  x 2  3 y 2 y '  2 x  y ' 
Suy ra ph

2x
2x
2
2

 3 . V y y '(1)  
2
3
3y
3 3 x4 3 x
2
3

2
3

ng trình ti p tuy n c n tìm là: y   .( x  1)  1   x 

1
3

4) Sai l m khi gi i các bài toán liên quan đ n c c tr c a hàm s .
 Khi s d ng quy t c 1 đ xét tính đ n đi u c a hàm s các em quên r ng
đó là đi u ki n đ ch không ph i là đi u ki n c n!
Quy t c:
y '  0, x  (a; b)  Hàm s đ ng bi n trên kho ng (a;b)
y '  0, x  (a; b)  Hàm s ngh ch bi n trên kho ng (a;b)

i u ng

c l i nói chung là khơng đúng!

Ví d minh ho 6:
Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s
bi n trên R.
M t s h c sinh trình bày nh sau:

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

7
DeThiMau.vn

y  x 3  mx 2  x  1 đ ng

Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

TX : D =R
y '  3 x 2  2mx  1 . Hàm s

a  0
 '  0

đ ng bi n trên R  y '  0, x  R  

3  0
 2
 3m 3.
m
3
0




Phân tích:
Ch ng h n hàm s y  x 3 đ ng bi n trên R, nh ng y  3 x 2  0  x  0 !
Nh

r ng: N u hàm s

y  f ( x)

xác đ nh trên kho ng

 a; b  ,

f '( x)  0, x   a; b  và f’(x) ch b ng 0 t i h u h n đi m thu c kho ng

(a;b) thì hàm s y=f(x) đ ng bi n trên kho ng (a;b).
L i gi i đúng là:
Hàm s đ ng bi n trên R  y '  0, x  R
3  0
a  0
 2
 3m 3.

m
3
0


 '  0


 Khi s d ng quy t c 2 đ xác đ nh c c tr c a hàm s các em c ng quên
r ng đó ch là đi u ki n đ ch không ph i là đi u ki n c n.
Quy t c:
 f '( x0 )  0
 x0 là đi m c c ti u

 f "( x0 )  0
 f '( x0 )  0
 x0 là đi m c c đ i

 f "( x0 )  0

i u ng

c l i nói chung là khơng đúng!

Ví d minh ho 7:
Cho hàm s

y  mx 4 . Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s đ t

c c đ i t i x = 0?
M t s h c sinh trình bày nh sau:
 f '(0)  0
4m.0  0
Vô

 f "(0)  0
12m.0  0

i u ki n đ hàm s đ t c c đ i t i x = 0 là: 
nghi m m.

V y không t n t i giá tr m đ hàm s đã cho đ t c c đ i t i x = 0.
GV. T Ng c B o – T: 0983972303

8
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nơng

Phân tích:
Ta th y, hàm s y =  x 4 có y’ = 4x3 , y’ = 0  x = 0
B ng bi n thiên:
0

-

x
y'

0

+

+
-

0

y

-

-

Suy ra hàm s đ t c c đ i t i x = 0!
V y l i gi i trên sai

ch nào???
 f '( x0 )  0
 x0 là đi m c c đ i c a hàm s ,
 f "( x0 )  0

Nh r ng, n u x0 tho mãn 
còn đi u ng

c l i thì ch a ch c đúng! Vì n u x0 là đi m c c đ i thì

f”(x0) có th b ng 0. Lý do là đi u ki n f”(x0) < 0 ch là đi u ki n đ đ
hàm s g(x) = f’(x) ngh ch bi n trong lân c n  x0   ; x0    , khi đó

 f '( x)  f '( x0 )  0, x  ( x0   ; x0 )
Suy ra x0 là đi m cu c đ i.

 f '( x)  f '( x0 )  0, x  ( x0 ; x0   )

L i gi i đúng là:
Ta có y '  4mx 3 .

hàm s đ t c c đ i t i x = 0 thì y '( x )  0, x  (h; o) ,

v i h > 0. Suy ra m < 0.
Th l i, ta th y v i m < 0 là đi u ki n c n tìm.
Ví d minh ho 8:
Cho hàm s y  x 4  mx 3  1 . Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm
s đ t c c ti u x = 0?
M t s h c sinh trình bày nh sau:
i u ki n đ

hàm s

 f '(0)  0
 f "(0)  0

đ t c c ti u t i x = 0 là: 

4.03  3m.02  0

Vô nghi m m.
2
12m.0  6.m.0  0

V y không t n t i giá tr m đ hàm s đã cho đ t c c ti u t i x = 0.
GV. T Ng c B o – T: 0983972303

9
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

Phân tích:
Ta th y, v i m = 0 thì hàm s

k Nơng

y = y  x 4  1 có y’ = 4x3 , y’ = 0  x = 0

B ng bi n thiên:
x

0

-

y'
y

+
+

0

+

+
1

Suy ra hàm s đ t c c ti u t i x = 0!
L i gi i đúng là:
 y '( x )  0 khi x  0 (1)
 y '( x )  0 khi x  0 (2)

hàm s đ t c c ti u t i x = 0 thì 
x  0
T (1) ta có 

 y '( x )  0

x  0
x  0


 3
3m  m  0 (3)

2
x

4
3
0
x
mx




4

x  0
x  0
T (2) ta có 
 3

2
 y '( x )  0
4 x  3mx  0

x  0


3m  m  0 (4)
 x  4

T (3) và (4) suy ra m = 0.

V y v i m = 0 thì hàm s đã cho đ t c c ti u t i x = 0.
5) Sai l m khi gi i các bài tốn tìm GTLN và GTNN c a hàm s
Các em th ng m c sai l m khi không n m v ng đ nh ngh a GTLN và
GTNN c a hàm s trên m t t p.
Ví d minh ho 9:
Tìm giá tr nh nh t c a hàm s
y  f ( x )  cos 2 x 

1
1 

 2  cosx+
  1.
2
cos x
cosx 


M t s h c sinh trình bày nh sau:
t t = cosx+
Ta đ

1
1
 t2  2 .
 cos 2 x 
cosx
cos 2 x

c hàm s g (t )  t 2  2t  3   t  1  4  4, t .

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

2

10
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

V y Min f(x) = -4, khi t = -1.
Phân tích:
Sai l m đây là chuy n bài tốn khơng t

ng đ

ng. Giá tr nh nh t
c a hàm f(x) không trùng v i giá tr nh nh t c a hàm g(t), t  R .

Có th th y ngay khi t = -1 thì khơng t n t i giá tr x.
 f ( x)  m, x  D

x0  D : f ( x0 )  m

Nh r ng, s m  Min f ( x)  
D

L i gi i đúng là:
t t = cosx+

1

, x   k   t  2 .
cosx
2

Suy ra cos2 x 

1
 t 2  2 . Khi đó f(x) tr thành g(t) = g (t )  t 2  2t  3 .
2
cos x

Ta có Min f ( x)  Min g (t ) .

x   k
2

t 2

L p b ng bi n thiên c a hàm g(t), v i t  2 .
t

-
-

g'(t)
g(t)

-2

-1
-

0

+

2
+

+

+

+
5
-3

D a vào b ng bi n thiên ta suy ra Min f ( x)  Min g (t ) = -3

x   k

2

Khi t = -2  cosx+

t 2

1
 2  cosx  1  x    k 2
cosx

6) Sai l m khi vi t ph

ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s

Ví d minh ho 10:
Cho hàm s y   x 3  3x 2 , có đ th (C). Vi t ph

ng trình ti p tuy n c a

(C), bi t r ng ti p tuy n đó đi qua đi m A(-1;4).
M t s h c sinh trình bày nh sau:
Ta có đi m A(-1,4)  (C). Suy ra ph ng trình ti p tuy n là:
y  y '(1)( x  1)  4 = -9(x+1) + 4 hay y = -9x - 5.
GV. T Ng c B o – T: 0983972303

11
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nơng

Phân tích:
Ph ng trình ti p tuy n y = -9x - 5 là ti p tuy n t i A (nh n A làm ti p
đi m) t t nhiên là k t A. Nh ng v n có th có ti p tuy n c a (C) đi qua
A mà không nh n A làm ti p đi m.
L i gi i đúng là:
Ph ng trình đ ng th ng d đi qua A(-1;4) và có h s góc k là: y =
k(x+1)+4
đi u ki n đ đ

ng th ng d là ti p tuy n c a (C) là:

2
k  3x  6 x
 3
2
 x  3x  k ( x  1)  4

  x  1
 PTTT y  9 x  5




k
9


 x  2

 PTTT y  4
 k  0

III. K t lu n
Polya đã vi t “con ng i ph i bi t h c nh ng sai l m và nh ng thi u
sót c a mình” thơng qua nh ng sai l m n u ta bi t cách nhìn nh n ra nó
k p th i u n n n và s a ch a nó thì s giúp ta nh lâu h n tri th c đã
đ

c h c đ ng th i s giúp ta tránh đ c nh ng sai l m t ng t .
Trong khuôn kh c a bài vi t này tôi khơng có tham v ng s phân

tích đ

c h t nh ng sai l m c a h c sinh và s khơng tránh kh i nh ng

sai sót. Vì v y tôi r t mong nh n đ

c s đóng góp ý ki n c a q th y

cơ. Tôi xin chân thành c m n.

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

12
DeThiMau.vn


Tr

ng THPT Tr n H ng

o-

k Mil -

k Nông

TÀI LI U THAM KH O
1. Gi i tích 12 (ch

ng trình chu n): Nhóm tác gi Tr n V n H o, NXB GD.

2. Gi i tích 12 (ch

ng trình nâng cao): Nhóm tác gi

3. Bài t p gi i tích 12 (ch
4. Bài t p gi i tích 12 (ch

ồn Qu nh, NXB GD.

ng trình chu n): Nhóm tác gi V Tu n, NXB GD.

ng trình nâng cao): Nhóm tác gi Nguy n Huy

oan, NXB GD, 2008.
5. Sai l m ph bi n khi gi i toán: Nguy n V nh C n, Lê Th ng Nh t, Phan
Thanh Quang, NXB GD, 2008.
6. Lu n v n th c s giáo d c h c: T Ng c B o, HSP Hu - 2007.

GV. T Ng c B o – T: 0983972303

13
DeThiMau.vn