Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giải tích 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ VĂN HẢI

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC
CHƯƠNG “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ” - GIẢI TÍCH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VÕ VĂN HẢI

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN
VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC
CHƯƠNG “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ” - GIẢI TÍCH LỚP 12

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ
MÔN TOÁN
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học: TS. TỪ ĐỨC THẢO

NGHỆ AN - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu, em đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy
giáo, cô giáo trong chuyên ngành Phương pháp giảng dạy Toán - Khoa Toán,
Khoa Sau Đại Học – Trường Đại học Vinh, với sự động viên của bạn bè và
người thân. Đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Ts. Từ Đức Thảo.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy Ts. Từ Đức
Thảo, các thầy giáo, cô giáo và các bạn đã giúp đỡ em hoàn thành luận văn
này.
Vì đây là luận văn đầu tiên của em nghiên cứu về vấn đề: “Vận dụng
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chương ứng dụng đạo
hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, Giải tích 12”, nên không
tránh khỏi những sai sót và khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự chỉ bảo,
nhận xét của thầy, cô và các bạn.

Xin trân trọng cám ơn!


MỤC LỤC
Xin trân trọng cám ơn!...........................................................................................................................................3
MỤC LỤC.................................................................................................................................................................4
MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................................1
Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN.................................................................................................................................6
Kết luận chương 1.................................................................................................................................................13
Chương 2.................................................................................................................................................................14
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY
HỌC CHỦ ĐỀ “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ”.........................14

GIẢI TÍCH LỚP 12..............................................................................................................................................14
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...........................................................................................................86
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................................................................97


DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

BBT:

Bảng biến thiên

BPT:

Bất phương trình

ĐK:

Điều kiện

GQVĐ:

Giải quyết vấn đề

GTLN:

Giá trị lớn nhất

GTNN:

Giá trị nhỏ nhất

GV:

Giáo viên

H:

Hỏi (giáo viên hỏi học sinh)

HS:

Học sinh

SGK:

Sách giáo khoa

PT:

Phương trình

THPT:

Trung học phổ thông

TL:

Trả lời (học sinh trả lời)

TXĐ:

Tập xác định

VD:

Ví dụ


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thời đại của hai cuộc cách mạng lớn: Cách
mạng khoa học - công nghệ và cách mạng xã hội. Cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện đang phát triển với một tốc độ nhanh chưa từng có trong lịch
sử nhân loại và tác động đến mọi lĩnh vực của cuộc sống. Đòi hỏi nhà trường
phải cung cấp những lớp người lao động sáng tạo, có tri thức khoa học – công
nghệ tiên tiến, có kỹ năng cần thiết để giải quyết tốt những nhiệm vụ do thực
tiễn đặt ra, thích ứng với yêu cầu mới của thời đại.
Luật giáo dục số 38/2005/QH11, Điều 28 qui định: “Phương pháp giáo
dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học,
khả năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh”.
Báo cáo chính trị Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI: “Đổi mới chương
trình nội dung, phương pháp dạy và học, phương pháp thi, kiểm tra theo
hướng hiện đại; nâng cao chất lượng toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý
tưởng, giáo dục truyền thống lịch sử cách mạng, đạo đức, lối sống, năng lực
sáng tạo, kỹ năng thực hành, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã
hội”.

Nghị quyết Trung ương 8 (khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục đào tạo: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ
năng của người học; khắc phục lối truyền thụ một chiều, ghi nhớ máy móc.
Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người
học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ
hình thức học tập trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các


2

hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công
nghệ thông tin và truyền thông trong dạy học”.
Trong luật giáo dục năm 2005, tại điều 27 quy định về mục tiêu giáo
dục phổ thông phải giúp học sinh: “phát triển năng lực cá nhân, tính năng
động, sáng tạo”, tại điều 28 quy định về nội dung, phương pháp giáo dục phổ
thông: “nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông, cơ bản,
toàn diện, hướng nghiệp và có hệ thống, gắn với thực tiễn cuộc sống”, về
phương pháp “phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học
sinh; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tính
cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh”.
Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học,
rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một
cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường
phổ thông.
Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong
những phương pháp dạy học tích cực hiện nay. Đây không phải là một
phương pháp dạy học mới nhưng nếu áp dụng đúng mức với từng môn học cụ
thể sẽ “ phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh đem lại
niềm vui tạo hứng thú học tập cho học sinh”. Phương pháp này mới được các

nhà lí luận học Việt Nam và trên thế giới nghiên cứu, song mầm móng ban
đầu của phương pháp này đã xuất hiện từ nửa cuối thế kỷ XIX.
Vào những năm 70 của thế kỉ XIX các nhà sinh học A.Ja Ghecđơ,
B.E.Raicôp, các nhà sử học MM.Xtaxiulevic, N.A Rôgiơcôp,… đã nêu lên
phương án tìm tòi phát kiến (ơrictic) trong dạy học nhằm hình thành năng lực
nhận thức cho học sinh bằng cách đưa HS tham gia vào quá trình hoạt động
nhằm tìm kiếm tri thức, phân tích các hiện tượng. Đây là một trong những cơ
sở của dạy học giải quyết vấn đề.


3

Bên cạnh đó, qua nghiên cứu tình hình thực tế giáo viên gặp rất nhiều
khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp dạy học sao cho vừa đảm bảo
truyền tải đầy đủ nội dung, vừa phải đảm bảo phát huy tính tích cực, tự giác,
chủ động, sáng tạo của học sinh, phát triển ở họ năng lực phát hiện và giải
quyết vấn đề. Trong khi phương pháp dạy học của nước ta hiện nay còn nhiều
bất cập và hạn chế, ít tạo được động lực, hứng thú cho học sinh, nhiều kiến
thức được truyền đạt tới học sinh mang tính áp đặt. Những điều này đã ảnh
hưởng tới kết quả đào tạo ở trường phổ thông nói riêng và nền giáo dục của
nước nhà nói chung.
Vì vậy với mong muốn góp phần giúp cho giáo viên và học sinh có phương
pháp giảng dạy và học tập tốt hơn môn Giải tích 12, chúng tôi chọn đề tài: “Vận
dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học
chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số”, Giải
tích lớp 12.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu hình thức vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
trong dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
hàm số, lớp 12 THPT nhằm hướng dẫn cho học sinh tìm tòi, phát hiện, giải

quyết vấn đề trong việc lĩnh hội kiến thức và giải các bài toán liên quan đến
ứng dụng đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở trường phổ
thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu trên, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
. Nghiên cứu phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
. Trực tiếp nghiên cứu việc dạy học chủ đề ứng dụng của đạo hàm để khảo sát
sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trong sách giáo khoa giải tích 12 và thực
trạng dạy chương này ở trường THPT.
. Đề xuất phương án dạy học một số nội dung thuộc chương ứng dụng của
đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số theo phương pháp phát


4

hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của
HS.
. Tiến hành thực nghiệm sư phạm đối với các phương án đã đề ra.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu giáo viên tiến hành vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề dựa trên những tư tưởng chủ đạo nhất định, được đề xuất từ
quan điểm hoạt động thì sẽ góp phần nâng cao dạy học nội dung này, bởi vì
năng lực chỉ được hình thành và phát triển thông qua hoạt động và bằng hoạt
động.
5. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
5.1. Đối tượng nghiên cứu: vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề vào chủ đề “ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số”, Giải tích lớp 12.
5.2. Khách thể nghiên cứu: học sinh lớp 12 và giáo viên dạy môn
Toán.

6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phối hợp các phương pháp:
. Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý
luận dạy học bộ môn Toán).
- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao
và tài liệu có liên quan đến chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị hàm số.
. Phương pháp điều tra - quan sát.
- Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm dạy chương này.
- Phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến chuyên gia, giáo viên, HS, về thực trạng
dạy học chương này ở trường phổ thông, nhận thức về phương pháp dạy học
phát hiện và giải quyết vấn đề của GV và kỹ năng vận dụng phương pháp này
vào dạy học.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những
đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
6.4. Phương pháp thống kê Toán học để lý giải các kết quả thực nghiệm.
7. Đóng góp của luận văn


5

Nếu giáo viên nhận thức đúng được tầm quan trọng của dạy học đổi
mới phương pháp dạy học, lấy người học làm trung tâm, hiểu được một số
khái niệm và biện pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, kiên trì xây
dựng và tổ chức dạy và học hợp lý thì học sinh sẽ học tập một cách hứng thú
và nắm bắt tri thức một cách có logic, rõ ràng, không áp đặt.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận thì nội dung của luận văn gồm 3
chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
trong dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.


6

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1 Vấn đề:
Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một số khái
niệm có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống. [15, t.185]
Hệ thống được hiểu là một tập hợp những phần tử cùng với những quan hệ
giữa những phần tử của tập hợp đó.
Một tình huống được hiểu là một hệ thống phức tạp gồm chủ thể và khách
thể, trong đó chủ thể có thể là người, còn khách thể lại là một hệ thống nào
đó.
Nếu trong một tình huống, chủ thể còn chưa biết ít nhất một phần tử của
khách thể thì tình huống này được gọi là một tình huống bài toán đối với chủ
thể.
Trong một tình huống bài toán, nếu được chủ thể đặt ra mục tiêu tìm phần
tử chưa biết nào đó dựa vào một số những phần tử cho trước ở trong khách
thể thì ta có một bài toán.
Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào
có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán.
1
3

5

2

Ví dụ: Bài toán xét sự biến thiên của hàm số f ( x) = x3 − x 2 + 6 x − 3 được
cho khi học sinh chưa biết định lý và qui tắc xét sự biến thiên của hàm số là
một vấn đề. Nhưng nếu bài toán được cho sau khi học sinh đã được học định
lý và qui tắc xét sự biến thiên của hàm số thì nó không còn là một vấn đề nữa.
1.1.2 Tình huống gợi vấn đề:
Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những
khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt
qua, nhưng không phải ngay lập tức nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán,


7

mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối
tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức có sẵn.
Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn các điều sau:
a. Tồn tại một vấn đề: tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn
với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức trước một khó khăn trong tư duy
hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua.
b. Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có vấn đề nhưng nếu học sinh
thấy nó xa lạ, không muốn tìm hiểu thì cũng chưa phải là tình huống gợi vấn
đề. Trong tình huống gợi vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có
nhu cầu cần giải quyết vấn đề đó.
c. Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề
tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của
mình thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề. Cần làm cho học sinh
thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức liên quan
đến vấn đề đặt ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết
được vấn đề đó. Phải thỏa mãn cả điều kiện đó nữa thì tình huống mới có tính

chất gợi vấn đề
1.1.3 Đặc trưng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau đây:
a. Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề.
b. Học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của
mình để giải quyết vấn đề.
c. Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết
quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển
khả năng tiến hành những quá trình như vậy.
1.1.4 Các hình thức và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề:
Tùy vào mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề,
người ta nói tới các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức
khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề [17, t.189 - 190].


8

a. Tự nghiên cứu vấn đề: Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của
người học được phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề,
người học tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó.
b. Đàm thoại giải quyết vấn đề: Trong đàm thoại giải quyết vấn đề, học
trò giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà là có sự gợi ý dẫn dắt của
thầy khi cần thiết. Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi
của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò.
c. Thuyết trình giải quyết vấn đề: Ở hình thức này, mức độ độc lập của
học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn
đề, sau đó chính bản thân thầy giáo đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ
giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải. Trong quá trình
này có tìm kiếm dự đoán, có lúc thành công, có lúc thất bại phải điều chỉnh

phương hướng mới đi đến kết quả. Như vậy, kiến thức được trình bày không
phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này
là sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực.
Các hình thức gợi vấn đề như trên thì theo Phan Trọng Ngọ [19, t.118-119], ta
cũng có 4 mức độ của phương pháp dạy học này là:
• Mức độ 1: Gợi mở vấn đề nghĩa là giáo viên nêu và giải quyết vấn đề,
còn học sinh chú ý học tập nêu vấn đề và giải quyết vấn đề do giáo viên làm
mẫu.
• Mức độ 2: Dẫn dắt học sinh giải quyết vấn đề nghĩa là giáo viên nêu
vấn đề rồi tổ chức, lãnh đạo học sinh tham gia giải quyết một trong các vấn đề
đó.

• Mức độ 3: Học viên tự giải quyết tình huống có vấn đề nghĩa là giáo

viên nêu vấn đề rồi tổ chức, lãnh đạo cho học sinh độc lập giải quyết toàn bộ
vấn đề.
• Mức độ 4: Tạo ra tình huống có vấn đề nghĩa là ở mức độ này học sinh
chủ động tạo ra tình huống có vấn đề, lập kế hoạch triển khai và tự nghiên


9

cứu tìm tòi tri thức và cách thức giải quyết. Đây là mức độ cao nhất của dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề.
Theo Nguyễn Bá Kim [15, t.189 - 190], dạy học giải quyết vấn đề có thể thực
hiện bằng các hình thức sau:
1. Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề.
2. Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề.
3. Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề.
4. Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề.

1.1.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:
Ở mục 1.1.3 đã cho biết thế nào là dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề. Từ đó ta thấy hạt nhân của cách dạy học này là việc điều khiển học sinh tự
thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu. Quá trình này có thể chia
thành các bước sau đây và các bước được thực hiện dựa vào các mức độ được
chia ở mục 1.1.4.
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
• Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề (thỏa mãn các điều kiện
nêu ở mục 1.1.2) thường do thầy tạo ra. Có thể liên tưởng những cách suy
nghĩ tìm tòi, dự đoán, gợi động cơ mở đầu.
• Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn
đề được đặt ra.
• Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp: Tìm một cách giải quyết vấn đề thường được thực
hiện theo sơ đồ hình sau

Bắt đầu

Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết

Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng

Kết thúc


10

Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ
việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì
có thể không cần phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các
chuẩn mực đề ra như ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh,
phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài
toán dựng hình, giữ gìn vở sạch, chữ đẹp.
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
• Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
• Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát
hóa, lật ngược vấn đề, …. và giải quyết nếu có thể.
1.2 Những cách thông dụng để tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học
môn Toán.
Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là
tình huống có vấn đề. Một số giáo viên nghĩ rằng phương pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề tuy hay nhưng ít thực hiện do khó tạo được những
tình huống có vấn đề. Để xóa bỏ những ấn tượng không đúng đó, có thể nêu
một số tình huống gợi vấn đề một cách phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập.
Chẳng hạn có thể tạo ra tình huống có vấn đề theo các cách sau đây:
1.2.1 Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (nhờ đo đạc tính
toán…).
Ví dụ: Từ đồ thị (Hình 1, Hình 2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm
π 3π 
và hàm số y = x trên khoảng (−∞; +∞)
 2 2 


số y = cosx trên đoạn  − ;

y

Hình 2

f(x)=cos(x)

y

f(x)=abs( x)

2
x

-π/2

π/2

π

3π/2

1
x

-3

1.2.2 Lật ngược vấn đề.
Hình 1

-2

-1

1
-1
-2

2

3


11

Ví dụ:
Sau khi phát biểu xong định lý
Định lí :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K.
+ Nếu f’(x) > 0, ∀x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K;
+ Nếu f’(x) < 0, ∀x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
Chú ý: Nếu f’(x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên K
Để phát biểu định lý mở rộng ta thực hiện hoạt động sau
Khẳng định ngược lại với định lý trên có đúng không? Nói cách khác, nếu
hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết dương
(âm) trên đó hay không?
Chẳng hạn, xét hàm số y = x3 thì y ' = 3x 2 ≥ 0 . Nhưng từ đồ thị hàm số
thì ta thấy hàm số này đồng biến trên tập xác định của nó.
Từ đó phát biểu định lý mở rộng
Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f ' ( x) ≥ 0 (hoặc f ' ( x) ≤ 0 ), ∀x ∈ K và f '( x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.
1.2.3 Xem xét tương tự.
Ví dụ: Cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 , ta có thể đưa
phương trình đường thẳng này về phương trình có hệ số góc k (tức dạng hàm
số y = f(x)) được không?
1.2.4 Khái quát hóa.
Ví dụ: Đặt vấn đề khái quát hóa khái niệm vận tốc tức thời của một
chuyển động dẫn tới khái niệm đạo hàm của một hàm số tại một điểm như
sau:[15, t.137]
Giả sử một chất điểm chuyển động theo phương trình s = f(t).
Nếu ∆lim
t →0

f (t0 + ∆t )
tồn tại thì giới hạn đó được gọi là vận tốc tức thời
∆t

của chất điểm tại thời điểm t0.


12

Nhiều bài toán trong toán học, vật lý, hóa học và kĩ thuật đòi hỏi phải
tìm giới hạn có dạng như trên. Vì vậy, cho một hàm số y = f(x), ta hãy nghiên
cứu vấn đề tìm giới hạn của tỉ số

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
khi ∆x dần tới 0.
∆x

1.2.5 Giải bài tập cho người chưa biết thuật giải.
Ví dụ: Cho hàm số y =

x3
11
+ x 2 + 3 x − (C ) . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân
3
3

biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.
1.2.6 Tìm sai lầm trong lời giải.
Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số: y = f ( x) =

x −1
x +1

Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y ' = ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên:
x
y'

- ¥

+

+

+¥

y

1

+¥

-1

1
- ¥

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; +¥ )
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x 1, x2
thuộc D,
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và
x2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2) ???


13

Lời giải đúng là:
Tập xác định: D = ¡ \ { - 1}
2

Ta có: y ' = ( x + 1)2 > 0, ∀x ∈ D
Bảng biến thiên:

x
y'

- ¥

+¥

+

-1

+

+¥

y

1
- ¥

Suy ra:1 Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; +¥ ) .
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tại đó đạo hàm bằng không
hoặc xác định của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Kết luận chương 1
Trong chương 1, luận văn đã trình bày khá rõ ràng về các vấn đề sau:
• Thế nào là vấn đề, tình huống gợi vấn đề là gì?
• Hình thức và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề.
• Thực hiện việc dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
• Các cách thông dụng để tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học môn

Toán.
• Ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy
học bộ môn Toán.
Khi đã có các khái niệm cơ bản và các vấn đề liên quan đến dạy học giải
quyết vấn đề thì chương 2 sẽ ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề trong dạy chủ đề “ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số”, Giải tích lớp 12 để có thể thấy ưu điểm của
phương pháp này trong thực tế.


14

Chương 2.
VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI
QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “ỨNG DỤNG ĐẠO
HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ”
GIẢI TÍCH LỚP 12
2.1 Tình hình dạy học chủ đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở
lớp 12 THPT.
2.1.1 Sơ lược về nội dung chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số ở lớp 12, phân phối chương trình chương này.
Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến hành phân
ban khối THPT. Trong chương trình lớp 12 THPT, chủ đề ứng dụng đạo hàm
để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số được trình bày trong chương I,
sách giáo khoa Giải tích lớp 12. Chủ đề này gồm sáu phần chính sau:
• §1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
• §2 Cực trị của hàm số.
• §3 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• §4 Đường tiệm cận.
• §5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

• §6 Các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm.
Tiết
Tên Bài
Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (23
tiết)
1, 2
3
4, 5
6

§1. Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
Luyện tập
§2. Cực trị của hàm số
Luyện tập


15

7
8
9, 10
11
12, 13, 14,
15, 16, 17
18, 19, 20
21, 22

§3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Luyện tập
§4. Đường tiệm cận

Luyện tập
§5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Luyện tập
Ôn tập chương I

2.1.2 Thuận lợi và khó khăn khi dạy và nghiên cứu chương ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
• Thuận lợi:
- Các em đã làm quen với khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở lớp 9 vẽ parabol
dạng y = ax2, ở lớp 10 vẽ parabol dạng tổng quát y = ax2 + bx + c
- Có thể biết sơ lược cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số
bậc nhất, bậc hai.
- Các đơn vị kiến thức trong chương có liên quan với nhau nên học sinh dễ
học tập và gây hứng thú học tập cho học sinh.
- Các dạng bài tập vừa sức, không quá khó, khả năng tư duy trừu tượng đã bắt
đầu hình thành ở các em.
• Khó khăn:
- Có một số kiến thức liên quan đến Đại số và Giải tích đã học ở lớp dưới, nên
gây trở ngại cho học sinh bị hổng kiến thức.
- Số tiết dành cho chương còn hạn chế (23 tiết) nó thật bất cấp với lượng kiến
thức mới phải lĩnh hội, nhất là đối với bài toán liên quan đến khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2.2 Mục đích và yêu cầu dạy học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số của giải tích 12.
Giuùp hoïc sinh


16

Hiểu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và mối liên hệ

giữa khái niệm này với đạo hàm. Biết vận dụng qui tắc xét tính đơn điệu của
hàm số y = f(x) trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm.
Hiểu khái niệm cực đại, cực tiểu, điểm cực trị của hàm số; phân biệt
với khái niệm lớn nhất, nhỏ nhất. Biết vận dụng các điều kiện đủ để hàm số
có cực trị. Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm các điểm cực trị của
hàm số.
Nắm được cách tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một đoạn,
khoảng của một số hàm số thường gặp.
Nắm vững phương pháp tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
hàm số có đạo hàm trên một đoạn, trên một khoảng.
Biết định nghĩa giới hạn một bên. Biết cách tính giới hạn một bên đối
với các hàm số đơn giản (đa thức, phân thức, lượng giác). Biết vận dụng định
nghĩa để tìm tiệm cận của một đồ thị hàm số. Biết cách tìm tiệm cận đứng,
tiệm cận ngang của những đồ thị hàm số cơ bản được học trong sách giáo
khoa.
Biết vận dụng sơ đồ khảo sát hàm số để tiến hành khảo sát sự biến thiên
và vẽ đồ thị các hàm số đơn giản và cơ bản nhất trong chương trình toán ở
THPT. Đó là các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ quen thuộc. Biết phân loại
các dạng đồ thị của các hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương, các hàm số
phân thức dạng y =

ax + b
. Qua đó có thể phát hiện những sai sót trong khi
a'x + b'

vẽ đồ thị như thiếu tính đối xứng qua tâm hoặc qua trục, vị trí của đồ thị đối
với các tiệm cận chưa cân xứng,...


17

2.3 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy
học khái niệm, định lý, qui tắc phần “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị hàm số” - Giải tích lớp 12.
Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy
học bài §1 Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Khái niệm (định lý) đồng biến, nghịch biến là tình huống gợi vấn đề vì học
sinh đã làm quen với khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ở lớp 9 vẽ parabol dạng y =
ax2, ở lớp 10 vẽ parabol dạng tổng quát y = ax 2 + bx + c và đạo hàm học sinh
đã học ở lớp 11.
- Có thể biết sơ lược cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số các hàm số
bậc nhất, bậc hai.
Hoạt động 1: Hình thành định lý. Để dẫn vào định lý về tính đơn điệu của
hàm số ta có thể qui lạ về quen như sau:
H: học sinh nhắc lại định nghĩa về sự đồng biến và nghịch biến mà học sinh
đã học ở lớp 10 (Nếu HS không nhắc được GV có thể nhắc lại)
TL: Định nghĩa :
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y =
f(x) xác định trên K.
+ Nếu ∀x1 , x2 ∈ K và x1 < x 2 ⇒ f(x1) < f(x2) thì f(x) đồng biến trên K;
+ Nếu ∀x1 , x2 ∈ K và x1 < x 2 ⇒ f(x1) > f(x2) thì f(x) nghịch biến trên K.
Hàm số đồng biến hay nghịch biến gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
H: học sinh nhắc lại cách xét sự đồng biến và nghịch biến mà học sinh đã học
ở lớp 10 (Nếu HS không nhắc được GV có thể nhắc lại)
TL:
f(x) đồng biến trên K ⇔

f ( x 2 ) − f ( x1 )
> 0 ; ∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2
x 2 − x1

18

f(x) nghịch biến trên K ⇔

f ( x2 ) − f ( x1 )
< 0 ; ∀x1 , x2 ∈ K , x1 ≠ x2
x2 − x1

H: nhìn vào đồ thị nhận xét hướng đi của đồ thị ứng với từng trường hợp hàm
số đồng biến và nghịch biến?

Hình 1

Hình 2

TL:
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải;
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải;
H: nhắc lại định nghĩa đạo hàm của hàm số đã học ở lớp 11
TL:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f(x) − f(x 0 )
∆y
= lim
x → x0
x − x0
∆x → 0 ∆x

f '(x 0 ) = lim

(∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0))
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
f ( x) = L thì L có giá trị như thế nào?
H: Nếu f ( x) ≥ 0 và xlim
→x
0

TL: thì L ≥ 0
Từ đó dẫn tới định lý về tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.
Định lí :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên K..


19

+ Nếu f’(x) > 0, ∀x ∈ K thì f(x) đồng biến trên K;
+ Nếu f’(x) < 0, ∀x ∈ K thì f(x) nghịch biến trên K.
Chú ý. Nếu f’(x) = 0, ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên trên K.
Bổ đề: Định lý J.L.Lagrange)
Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì
tồn tại một điểm c ∈(a; b) sao cho
f (b) − f (a) = f'(c)(b− a)
f (b) − f (a)
hay f'(c) =
b− a
H: Để chứng minh định lý ta phải làm gì?
TL: áp dụng định lý J.L.Lagrange
H: hãy chứng minh điều đó

TL: Chứng minh (có hướng dẫn của giáo viên)
Lấy hai điểm bất kỳ x1, x2 (x1 < x2) trên khoảng (a; b) vì f(x) có đạo hàm trên
khoảng (a; b) nên f(x) liên tục trên đoạn [x 1; x2] và có đạo hàm trên khoảng
(x1; x2).
Theo định lý J.L.Lagrange tồn tại một điểm c ∈ ( x1; x2 ) ⊂ (a; b) sao cho
f'(c) =

f (x 2 ) − f (x1 )
. Từ đó suy ra
x2 − x1

a). Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì f’(c) > 0 nên f (x 2 ) > f (x1 ) . Do đó
hàm số đồng biến trên (a; b).
b). Nếu f’(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì f’(c) < 0 nên f (x 2 ) < f (x1 ) . Do đó
hàm số nghịch biến trên (a; b).
Hoạt động 2: Củng cố định lý
1
Ví dụ 1: xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 7 x − 2
3
1
H: để xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 7 x − 2 ta
3
làm thế nào?
TL: ta dựa vào định lý trên (xét dấu đạo hàm)


20

H: Hãy thực hiện điều đó
TL:

Tập xác định: D = R
y ' = x2 + 6x − 7
x = 1
y' = 0 ⇔ 
 x = −7
Bảng biến thiên

x
y’
y

-∞
+
-∞

-7
0 -

1
0

239
3

−

+∞
+

17

3

+∞

Kết Luận:
Hàm số đồng biến (- ∞ ; -7) và (1; + ∞ )
Hàm số nghịch biến (-7, 1)
H: tại sao phải tìm tập xác định?
TL: như thế mới kết luận được.
TL(khác): Vì ta chỉ xét sự đồng biến và nghịch biến trên tập xác định của
hàm số.
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =

3x + 1
1− x

Tập xác định: D = ¡ \ {1}
H: chúng ta có đưa giá trị không xác định 1 vào bảng biến thiên không?
TL: phải đưa vào vì hàm số gián đoạn tại x = 1 (không liên tục tại x = 1)
4

Ta có: y ' = (1 − x)2 > 0, ∀x ∈ D