Đề thi thử Đại học lần 3 môn: Toán; khối A và A139068

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3
MƠN : TỐN; Khối A và A1
Thời gian làm bài: 180 phút

Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
Năm học 2013-2014
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):

Câu 1: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y=x4-2x2-3.
2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 2x2-x4+log2(m2-m+1)=0
Câu 2: Giải phương trình: 2 − tan x =

2 sin 2 ( x −

π

4

)

cos x

1

2 x + x + y = y + 3

Câu 3: Giải hệ phương trình: 
1
x 2 + y 2 +
= xy + 2


( x + y) 2
π

3 cos x + 2 sin 2 x
dx
3 sin x − cos 2 x + 2
0
Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC cân tại A, AB=a và góc ∠ BAC=120o, hình chiếu vng
góc của B' lên (ABC) là H trung điểm của cạnh BC. Biết góc giữa AB' và mặt phẳng (A'B'C') là 60o. Tính thể tích
khối lăng trụ đã cho, góc giữa B'C và mặt phẳng (ABA').
Câu 6: Cho a, b, c phân biệt thỏa mãn: a + b + c = 1 và ab + bc + ca > 0
2
2
2
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P =
+
+
+
a−b b−c c−a
ab + bc + ca
II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm):Thí sinh chỉ được làm phần A hoặc phần B.
2

Câu 4:Tính tích phân: I= ∫

A. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 7a:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn: x2 + y2 - 4x - 4y +4 = 0(C) và x2 + y2 - 16x +8y
+ 28 = 0(C'). Viết phương trình đường thẳng qua A(4;2) cắt các đường trịn trên theo các dây cung có độ dài bằng
nhau.

Câu 8a:Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng
(Q): x +2y + z - 1= 0, cắt mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-2y-2z-6=0 theo đường trịn có chu vi là π 30 .
13z + 1
Câu 9a: Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn: z = 5 và z − 2 + 3i = 4 . Tính: A=
z−2
B. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 7b: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn: x2 + y2 - 2x - 2y -2= 0(C) và đường thẳng ∆ :
x+y+4=0. M thay đổi trên ∆ , MA và MB là các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) (A, B là các tiếp điểm). Tìm C cố
định mà đường thẳng AB luôn đi qua khi M thay đổi trên ∆ .
x −1 y +1 z
Câu 8b: Trong không gian Oxyz cho ∆ :
=
= và A(2;3;1). Viết phương trình đường thẳng d qua A,
2
3
4
6
cắt ∆ tại B có tọa độ là những số ngun và tạo với ∆ góc có cơ-sin bằng
.
58
x2
(C) tại A, B phân biệt sao cho AB có độ dài ngắn
Câu 9b: Tìm m để đường thẳng y=2x+m ( ∆ ) cắt đồ thị y=
x −1
nhất.
Chú ý:Mỗi câu nhỏ 1 điểm, thí sinh khơng dùng tài liệu và giám thị khơng giải thích gì thêm.

DeThiMau.vn

KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM 2014
HƯỚNG DẪN CHẤM
Mơn: TỐN; Khối: A&A1
Nội dung

TRƯỜNG THPT CHUN
HÀ TĨNH
Câu
Câu1.1

* Tập xác định: R
* Sự biến thiên:
+) y'=4x3-4x=0 ↔ x=0 hoặc x= ± 1
Hàm số đb trên: (-1;0), (1;+ ∞ ). Hàm số nb trên: (- ∞ ;-1), (0;1)
Điểm cđ: (0;-3). Điểm ct: ( ± 1;-4)
+) Giới hạn: Limy = +∞ , Limy = +∞ .
x → +∞

0,5

x → −∞

+) Bảng biến thiên:

−∞

x

−1
0

-

y'

0
+

0

−∞

-

1
0

+∞

0,25

+

−3

+∞

y
−4

−4

* Đồ thị: Điểm cắt Ox: ( ± 3 ;0).
32
1
Điểm uốn: ( ±
;− )
3 9
f(x) = x4 2·x2 3

8

6

4

2

15

10

0,25

5

5

10

15

2

4

6

Câu1.2

+) Pt tương đương: x4-2x2-3=log2(m2-m+1)-3. Yêu cầu bài toán thỏa mãn ↔ (C) cắt đt y=
log2(m2-m+1)-3 tại 4 điểm phân biệt
+) Căn cứ (C) ta phải có: -4↔ -1Vậy: 0 2

0,25
0,25

2

DeThiMau.vn

0,5


Câu 2

π

+ kπ
2
+)Khi đó pt đã cho ↔ (sinx+1)(2cosx-1)=0
π

 x = − 2 + k 2π
↔ 
 x = ± π + k 2π
3


+)Điều kiện: x ≠

+)Đối chiếu với đ/k ta có nghiệm: x = ±

Câu 3

π
3

0,25

0,5

+ k 2π .

1

( x − y ) + ( x + x + y ) = 3


+) Điều kiện: x+y ≠ 0. Hệ ↔ 
( x − y ) 2 + ( x + 1 ) 2 − ( x − y )( x + 1 ) = 3

x+ y
x+ y
a + b = 3
1
+) Đặt : a=x-y, b=x+
. Giải hệ:  2
2
x+ y
a + b − ab = 3
Ta được: a=1, b=2 hoặc a=2, b=1.

3 1
+) Với a=1, b=2: Giải ra được các nghiệm: (1;0), ( ; )
2 2
+) Với a=2, b=1: Hệ vơ nghiệm.
3 1
Vậy hệ có 2 nghiệm (x ;y): (1;0), ( ; ).
2 2
Câu 4

3 + 4t
dt
+ 3t + 1

1

+) Đặt t= sinx, đưa được về: I=

∫ 2t

2

0

1

1
+) I = ∫
dt +
t +1
0

1

2

∫ 2t + 1 dt

= ln6

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5
0,5

0

A'

C'

Câu 5
B'

C

A
N
H
B

+) Góc giữa AB' và (A'B'C') là ∠ B'AH (do (ABC) // (A'B'C') ).
a 3
AH = 0,5a suy ra: B'H =
.
2

DeThiMau.vn

0.25


Câu 6

a2 3
3a 3
, VABC.A'B'C' =B'H.dt(ABC) =
+) dt(ABC) =
4
8

0,25

+) Gọi E là hình chiếu C lên (ABA') suy ra: ϕ = ∠ CB'E là góc cần tìm.
Ta có: sin ϕ =CE/CB' , CE=d(C;(ABA'))=2.d(H;(ABA')), do H trung điểm
của BC.

0.25

+) Kẻ HN ⊥ AB, HK ⊥ NB', cm được: KH= d(H;(ABA')).
2
2
. Vậy ϕ =arcsin
Tính được: sin ϕ =
5
5
2
2

2
5
.
+) Khơng mất tq giả sử a>b>c ta có: P=
+
+
+
a−b b−c a−c
ab + bc + ca
1 1
4
2 2
≥
(1), dấu "=" có khi và chỉ khi m=n.
Ta có: m, n>0 thì + ≥
m n m+n
m2 + n2

1
1
2
5
10
10
Áp dụng (1): P= 2(
+
+
≥
+
)+

a−b b−c a−c
ab + bc + ca a − c 2 ab + bc + ca
20 2
20 2
≥
=
(2)
(a + c)(a + c + 4b)
(1 − b)(1 + 3b)
+) Mặt khác: 3(1-b)(1+3b)=(3-3b)(1+3b) ≤
(1 − b)(1 + 3b) ≤

Câu7a

Câu8a

2
3

0,25

0.5

1
(3 − 3b + 1 + 3b) 2 = 4 suy ra:
4

. Kết hợp (2) ta có: P ≥ 10 6 . Dấu "=" có khi và chỉ khi:



2+ 6
a =
a − b = b − c
6


1

a − c = 2 ab + bc + ca
. Vậy: minP = 10 6 .
↔ b =

3
3 − 3b = 1 + 3b

a + b + c = 1(a > b > c)

2− 6

c =
6

+) I(2;2) tâm (C), R=2. I'(8;-4) là tâm (C'), R'=2 13
A(4;2), B(2;0) là các giao điểm của (C) và (C').
Đường thẳng qua A, B có pt: x-y-2=0 là một trường hợp cần tìm.
N
+) Giả sử ∆ qua A, cắt (C) và (C') tại M, N
(khác
B) và AM=AN. Gọi K,E,F là
F

A
trung điểm II' , AM, AN suy ra ∆ qua A
E
và
vng
góc KA.
M
I
I'
K
Pt ∆ là: x-3y+2=0.
Kết luận:
B
Có 2 đường thẳng thỏa mãn YCBT là: xy-2=0, x-3y+2=0.
+) (S) có tâm I(1;1;1) và bán kính R=3. Đường trịn do (P)cắt (S) có chu vi
15
.
π 30 có bán kính r=
2

DeThiMau.vn

0,5

0,5

0,5

0,25

3
.
2
+) Mặt phẳng (P) do song song (Q) nên có dạng: x+2y+z+m=0 (P).
m+4
m = −1
3
d=
=
↔ 
2
6
m = −7
+) Giá trị m=-1 bị loại do (P) trùng (Q). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm
là: x+2y+z-7 = 0.
2
2
a + b = 5
+) Gọi z=a+bi, a và b là các số thực. Theo gt ta có: 
(a − 2) 2 + (b + 3) 2 = 16
+) Khoảng cách từ I đến (P) là: d= R 2 − r 2 =

Câu9a

a = 2
+) Giải hệ trên được: 
(thỏa mãn) ,
b = 1

0,25

0,25
0,25
0,25

22

a = − 13
(loại)

19
b = −

13

0,25

+) Vậy z=2+i suy ra: A= 13 − 27i = 898 .

Câu7b

0,5

6

> R suy ra ∆ và (C) khơng có điểm chung.
2
+)Gọi M(m;-m-4) ∈ ∆ . Tính được: MA2=MB2=2m2+8m+22.
Đường trịn (C') tâm M bán kính MA có pt: (x-m)2+(y+m+4)2=2m2+8m+22.

+)Lấy pt (C) và pt (C') trừ vế theo vế được pt đường thẳng qua AB là:
(m-1)x-(m+5)y+2=0 (AB).
+) I(1;1), R=2, d(I; ∆ )=

0,25
0,25

+) Gọi C(x0;y0) là điểm mà AB ln đi qua,
ta có: (m-1)x0-(m+5)y0+2=0 với
1 1
mọi m. Suy ra: C( ; )
3 3

A

I

M

0,25

0,25

B

+) Gọi B(1+2t;-1+3t;4t) ∈ ∆ . Ta có:

Câu8b

→

→

0.25

u =(2;3;4) là VTVP của ∆ và AB =(2t-1;3t-4;4t-1) .

+) Gọi ϕ là góc giữa d và ∆ , theo gt ta có: cos ϕ =

6

=

29t − 18

58
29 . 29t 2 − 36t + 18
Giải ra ta chỉ nhận t=0 do tọa độ B nguyên. Vậy B(1;-1;0)

+) Đường thẳng cần tìm qua A, B nên có phương trình:
x − 2 y − 3 z −1
(d)
=
=
1
4
1
Câu9b

.

0,5

0.25

+) ∆ cắt (C) tại A, B phân biệt khi và chỉ khi pt: x2+(m-2)x-m=0 có 2 nghiệm
phân biệt khác 1 ↔ m∈R

0.5

+) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2). Suy ra: AB =5m +20 ≥ 20. Dấu "=" có khi và chỉ khi
m=0. Kết luận: m=0.

0.5

2

2

DeThiMau.vn