Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán41015

S

GIÁO D C VÀ ðÀO T O THÀNH PH C N THƠ
TRƯ NG THPT CHUYÊN LÝ T TR NG

M T S CHUYÊN ð
B I DƯ NG H C SINH GI I
B MƠN TỐN

C N THƠ − 2006

1
DeThiMau.vn


L I NĨI ð U
Nh m đáp ng u c u ngày càng cao trong cách d y và h c b ng phương
pháp m i, ñ c bi t trong vi c gi ng d y, b i dư ng ñ i ngũ h c sinh gi i c a các trư ng
THPT trong ph m vi Thành ph C n Thơ. T Toán − Tin h c c a trư ng THPT chuyên
Lý T Tr ng ph i h p cùng v i b ph n chuyên môn c a S Giáo d c − ðào t o c
g ng biên so n m t s chuyên ñ nh m đáp ng m t ph n nào đó nh ng yêu c u trên.
Trong l n H i th o này, chúng tơi g i đ n các b n ñ ng nghi p, nh ng ngư i có
nhi u tâm huy t trong vi c b i dư ng h c sinh gi i m t s chuyên ñ sau
Chuyên ñ 1. Nguyên lý Dirichlet và các ng d ng.
Chun đ 2. Dãy s − Phương trình hàm.
Chuyên ñ 3. M t s phương pháp ch ng minh b!t ñ"ng th c.
Chuyên ñ 4. M t giáo án d y h c theo phương pháp m i trong chương trình
phân ban l p 10.
Hy v ng r ng, qua nh ng chun đ trên s# giúp ích m t ph n nào cho các anh
ch$ ñ ng nghi p tích lũy đư c ngu n tư li u phong phú trong quá trình gi ng d y, b i
dư ng h c sinh gi i. Tuy nhiên, trong q trình biên so n tài li u khơng th% tránh kh i

nh ng sai sót. Mong các đ ng nghi p thơng c m và góp ý. M i thư t& góp ý xin vui
lịng g i v m t trong hai đ$a ch' sau
− Phịng GDTrH S Giáo d c − ðào t o Thành ph C n Thơ,
− T Toán − Tin h c trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng Thành ph C n Thơ
(ði n tho i: 071.821428).

2
DeThiMau.vn


M CL C
Chuyên ñ

Trang

1. Nguyên lý Dirichlet

4

2. Phương pháp sai phân

13

3. Phương trình hàm

18

4. M't s( g)i ý ch*ng minh b,t ñ-ng th*c ñ.ng b/c

24

5. Giáo án bài d4y: H7 th*c lư)ng trong tam giác

32

3
DeThiMau.vn


NGUYÊN LÝ DIRICHLET
ð#ng B&o Hòa
A. L I M ð U.
Trong s các nguyên lý c a toán h c dùng ñ% ch ng minh các bài toán v s h c,
đ i s , dãy s , hình h c, suy lu n logic…, thì ngun lý Dirichlet đư c xây d ng khá
đơn gi n nhưng tính hi u qu c a nó trong ch ng minh r!t cao. D ng ñơn gi n c a
nguyên lý này là: “N u nh t n + 1 con th vào n cái l ng thì t n t i ít nh!t m t l ng
nh t 2 con”, hay t ng quát hơn: “N u nh t n con th vào m l ng trong đó n = k.m + r
(r ≠ 0), thì t n t i 1 l ng nh t ít nh!t k + 1 con th ”. B i v y ngun lý Dirichlet cịn
đư c g i là nguyên lý Chu ng và Th (hay là nguyên lý c a nh ng ngăn kéo).
B n ch!t nguyên lý Dirichlet là m t ñ$nh lý v t p h p h u h n. Ta có th% phát
bi%u chính xác nguyên lý này là: “Cho hai t p h p A, B khác r)ng, có s ph n t là h u
h n và trong đó s ph n t c a t p A nhi u hơn s ph n t c a t p B. N u v i m t quy
t c nào ñó, m)i ph n t c a t p A cho tương ng v i m t ph n t c a t p B thì t n t i
hai ph n t khác nhau c a t p A mà chúng tương ng v i cùng m t ph n t c a t p B”.
Nguyên lý Dirichlet ñư c xây d ng b i nhà Bác h c ngư i ð c, g c Pháp, Peter
Gustap Leigen Dirichlet (1805 – 1859). Sau ñây chúng ta xét m t s bài tốn mà vi c
ch ng minh nó hồn toàn d a vào nguyên lý Dirichlet.
B. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG S H C.
Bài toán 1. Cho 100 s t nhiên b!t kỳ a1, a2, …, a100. Ch ng minh r ng trong các s !y,
có m t s mà t ng c a chúng chia h t cho 100.

Gi i.
100

ð t Si = ∑ ai . Có hai trư ng h p:
i =1

TH1: N u t n t i Si ≡ 0 (mod 100) thì ta có ngay đpcm.
TH2: N u Si ≡ r (mod 100), i = 1,100, r = 1,99 thì theo nguyên lý Dirchlet t n t i Sj, Sk
( j , k = 1,100, j ≠ k ) sao cho Sj ≡ Sk (mod 100) hay Sj – Sk ≡ 0 (mod 100) (đpcm).

Bài tốn 2. Ch ng minh r ng trong 52 s nguyên tùy ý luôn t n t i hai s mà t ng ho c
hi u c a chúng chia h t cho 100.
Gi i.
M t s nguyên khi chia cho 100 thì có t!t c 51 lo i s dư 0, ±1, ±2, …, ±50. T& đó v i
52 s nguyên tùy ý a1, a2,…, a52 khi chia cho 100 thì ph i có ít nh!t 2 s có cùng m t
lo i s dư. Không m!t t ng quát gi s 2 s đó là a1 và a2 th a a1 ≡ r1(mod 100),
a2 ≡ r2(mod 100). Khi đó:
+ N u r1 = r2 thì a1 – a2 ≡ 0(mod 100)
+ N u r1 = - r2 thì a1 + a2 ≡ 0(mod 100)
V y bài tốn đư c ch ng minh.
Bài toán 3. Ch ng minh r ng có vơ s s chia h t cho 1911 mà trong bi%u di+n th p
phân c a các s đó khơng có các ch s 0, 1, 2, 3.
Gi i.
G i a là s t nhiên mà trong bi%u di+n th p phân c a nó khơng có các ch s 0, 1, 2, 3.
Rõ ràng các s như v y là vô h n.
2006

4
DeThiMau.vn

Xét dãy s a, aa, aaa,..., aaa...aaa
2006

1911

+1

a
2006

ðem chia t!t c các s này cho 1911 thì theo nguyên lý Dirichlet s# có ít nh!t hai s có
cùng m t s dư. Gi s hai s đó là aaa...aaa và aaa...aaa (n > m)
m

a

n

a

Khi đó
2006

aaa...aaa − aaa...aaa ⋮ 1911
n

a

m

a

Hay
2006

aaa...a 00...0 ⋮ 1911
n−m

a

m

(

2006

Vì (10, 19) = 1 nên 10mk ,1911

) = 1, suy ra aaa...a ⋮ 19

112006

n−m

(*)

a

Do a là vô s nên t& (*) ta suy ra đpcm.

Bài tốn 4. Cho 5 s nguyên phân bi t a1, a2, a3, a4, a5. Xét tích sau đây:
P = (a1 − a2 )(a1 − a3 )(a1 − a4 )(a1 − a5 )(a2 − a3 )(a2 − a4 )(a2 − a5 )(a3 − a4 )(a3 − a5 )(a4 − a5 )
Ch ng minh P ⋮ 288.
Gi i.
Ta có 288 = 25.32 và (2, 3) = 1 nên ñ% ch ng minh P ⋮ 288 ta ch' c n ch ng minh P ⋮ 25
và P ⋮32 .
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong n + 1 s nguyên tùy ý, luôn t n t i hai s mà hi u c a
chúng chia h t cho n.
T& đó trong 4 s a1, a2, a3, a4 s# có hai s có hi u chia h t cho 3 và trong 4 s a2, a3, a4,
a5 cũng có hai s có hi u chia h t cho 3. V y P ⋮ 32 (1)
L i theo nguyên lý Dirichlet trong 5 s đã cho có ít nh!t 3 s có cùng tính ch,n l-. Ch'
có th% có hai trư ng h p sau ñây x y ra:
a. N u có ít nh!t 4 s có cùng tính ch,n l-, thì t& 4 s này có th% l p nên C42 = 6 hi u
khác nhau cùng chia h t cho 2, do đó tích c a chúng chia h t cho 26. Suy ra P ⋮ 25.
b. N u có đúng 3 s có cùng tính ch,n, l- thì khơng làm m!t tính t ng qt gi s các s
đó là a1,a2, a3 có cùng tính ch,n. Khi đó hai s cịn l i a4 và a5 có cùng tính l-. V y 4
hi u sau đây cùng chia h t cho 2: a1 – a2, a1 – a3, a2 – a3, a4 – a5. M t khác trong 5 s đã
cho có ít nh!t hai s khi chia cho 4 ph i có cùng m t s dư, vì th hi u c a chúng chia
h t cho 4. Suy ra P ⋮ 25.
Tóm l i trong m i trư ng h p ta đ u có P ⋮ 25 (2)
T& (1) và (2) ta ñư c P ⋮ 288 (ñpcm).
M t s bài t p.
Bài 1. Cho ba s a, a + k, a + 2k ñ u là các s nguyên t l n hơn 3. Ch ng minh k chia
h t cho 6.
Bài 2. Cho 1004 s nguyên t& 1 ñ n 2006. Ch ng minh r ng trong các s !y luôn t n t i
hai s th a s này chia h t cho s kia.
Bài 3. Ch ng minh r ng ln t n t i s t nhiên n đ% 19n ⋮ M 00...01
2006

Bài 4. Ch ng minh r ng luôn t n t i s t nhiên A th a các ch s c a A ch' bao g m

các ch s 0, 2, 7, ñ ng th i A ⋮ 20072007.
5
DeThiMau.vn


Bài 5. Cho 19 s t nhiên liên ti p. Ch ng minh r ng trong các s !y t n t i m t s có
t ng các ch s chia h t cho 10.
Bài 6. Ch ng minh r ng trong 39 s t nhiên liên ti p, t n t i m t s có t ng các ch s
chia h t cho 11.
Bài 7. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t p > 5, luôn t n t i s n = 111…1 th a
n ⋮ p.
Bài 8. Ch ng minh r ng v i m i n nguyên dương cho trư c, ln t n t i s có d ng
A = 111...1000...0 th a A ⋮ n.
p

p

Bài 9. Cho 2006 s t nhiên đơi m t khác nhau và nh hơn 4010. Ch ng minh r ng t n
t i 3 s th a t ng hai s này b ng s kia.
Bài 10. Các s t& 1 ñ n 10 ñư c x p ng.u nhiên chung quanh m t đư ng trịn. Ch ng
minh r ng có ít nh!t ba s liên ti p mà t ng c a chúng ít nh!t là 17.
C. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG ð ðO.
ð i v i ñ dài, di n tích, th% tích có m t ngun lý tương t nguyên lý Dirichlet
ñ i v i t p h p theo m t nghĩa nào đó. Ta t m g i đó là ngun lý Dirichlet đ i v i ñ
dài, di n tích, th% tích.
Trư c h t ta xét trư ng h p ñ dài:
Trên ñư ng th"ng cho đo n AB có đ dài a và m t s ño n AiBi ( i = 1, n ) có t ng
đ dài là b. Khi đó:
+ N u b < a thì bên trong đo n AB có m t đi%m M n m bên ngồi t!t c các ño n
AiBi.

+ N u b > a và ño n AB ch a t!t c các ño n AiBi thì t n t i ít nh!t hai đo n con
AiBi có đi%m trong chung.
M t cách t ng qt:
+ N u b < ka thì bên trong đo n AB t n t i ñi%m M thu c khơng q k – 1 đo n
con.
+ N u b > ka và ño n AB ch a t!t c các đo n AiBi thì có ít nh!t k + 1 đo n con
AiBi có đi%m trong chung.
Tương t ta có th% phát bi%u nguyên lý Dirichlet cho trư ng h p thay ño n AB
b i cung AB nào ñó các ño n AiBi b ng cung Ai Bi c a cùng m t đư ng trịn.
Cũng hồn tồn tương t ta có th% phát bi%u nguyên lý Dirichlet đ i v i di n tích
hình (H) và các hình (H1), (H2),…, (Hn) n m trong m t ph"ng (ho c n m trên m t c u),
cũng như ñ i v i th% tích kh i (V) và các kh i (V1), V2),…,(Vn) trong khơng gian.
Ngồi ra m t s bài tốn ta c n đ n khái ni m lân c n c a m t hình trong m t
ph"ng. C th% ta có đ$nh nghĩa sau.
ð nh nghĩa. Trong m t ph"ng cho hình (H) và m t s dương d. Ta g i lân c n d c a
hình (H) là t p h p t!t c các hình trịn có tâm thu c (H) và bán kính b ng d ( đây đ%
đơn gi n ta xét hình trịn đóng, t c là k% c biên).
Như v y lân c n d c a hình (H) là t p h p t!t c các ñi%m M có kho ng cách t&
M ñ n ñi%m g n nh!t c a (H) không vư t quá d.
Sau đây chúng ta xét m t s bài tốn ngun lý Dirichlet trong đ đo:
Bài tốn 1. Trong hình vuông c nh b ng 1 v# m t s đư ng trịn có t ng chu vi b ng 10.
Ch ng minh r ng t n t i ñư ng th"ng c t ít nh!t 4 đư ng trịn trong s đư ng trịn đã
v#.
Gi i.
6
DeThiMau.vn


Gi s hình vng c nh b ng 1 đã cho là ABCD mà trong đó đã v# n đư ng trịn (Oi).
Chi u t!t c các đư ng trịn (Oi) lên c nh AB. Hình chi u c a ñư ng tròn (Oi) trên c nh

AB là ño n th"ng AiBi b ng đư ng kính di c a nó. Khi đó ta có:
n
n
n
10
π
d
=
10
⇔
π
A
B
=
10
⇒
∑ i
∑ i i
∑ Ai Bi = > 3 = 3 AB (1)
i =1

i =1

π

i =1

Vì các ño n AiBi ch a trong ño n AB nên t& (1) suy ra t n t i ñi%m M là đi%m trong
chung c a ít nh!t 4 đo n AiBi nào đó. Khi đó đư ng th"ng (d) đi qua M, vng góc v i
AB c t ít nh!t 4 đư ng trịn có hình chi u là 4 đo n AiBi nói trên (đpcm).

Bài tốn 2. Trong hình vng c nh b ng 10 k- 12 đo n th"ng b!t kỳ, m)i đo n có đ dài
b ng 1. Ch ng minh r ng ta có th% d ng đư c m t hình trịn có bán kính b ng 1 n m
trong hình vng đã cho và khơng có đi%m chung v i b!t kỳ đo n nào trong 12 ño n !y.
Gi i.
Xét lân c n 1 c a ño n AiBi. Nh n th!y lân c n 1 c a ño n AiBi là m t hình g m hai
hình vng c nh b ng 1 (chung c nh AiBi, n m v hai phía c a AiBi ) và
M
N
hai n a hình trịn n m ngồi hình ch nh t MNPQ, có tâm là Ai, Bi
và bán kính b ng 1. Lân c n 1 c a ño n AiBi như v y có di n tích
Ai
Bi
b ng 2 + π.
Xét hình vng c nh b ng 10 ch a 12 ño n th"ng AiBi ( i = 1,10 )
Q
P
A
B
m)i đo n có đ dài b ng 1. D ng hình vng EFIJ n m trong
F
hình vng ABCD, có c nh song song v i c nh c a ABCD
E
và cách các c nh c a ABCD m t kho ng b ng 1 (Hình v#).
V i m)i đo n AiBi ta d ng lân c n c a nó. T ng di n tích c a
12 lân c n 1 là 12(2 + π ) <12.5,15 = 61,8 . Trong khi đó di n
tích EFIJ là 64 > 61,8. Do v y 12 lân c n 1 c a các ño n đã
I
J
cho khơng ph kín h t EFIJ. Suy ra t n t i ñi%m O thu c EFIJ
th a O n m ngoài t!t c các lân c n 1 c a các đo n AiBi .

D
C
T& đó hình trịn tâm O bán kính b ng 1 n m trong ABCD (vì có tâm n m trong EFIJ) và
khơng có ñi%m chung v i b!t kỳ ño n nào trong 12 ño n ñã cho (ñpcm).
M t s bài t p.
Bài 1. Trong hình vng c nh b ng 8 l!y 100 ñi%m b!t kỳ. Ch ng minh r ng có ít nh!t 4
đi%m n m trong m t hình trịn bán kính b ng 1.
Bài 2. Trên đo n th"ng có đ dài b ng 100 ngư i ta l!y m t s ño n th"ng r i nhau và
tơ các đi%m c a chúng b ng màu đ . Cho bi t kho ng cách gi a hai ñi%m ñư c tô ñ b!t
kỳ luôn khác 1. Ch ng minh r ng t ng ñ dài các ño n tơ đ khơng vư t q 50.
Bài 3. Trong m t hình trịn bán kính R < 9 k- 36 đo n th"ng, m)i đo n có đ dài b ng 1.
Ch ng minh r ng v i m t phương (d) b!t kỳ cho trư c luôn t n t i m t ñư ng th"ng
song song ho c vng góc v i (d) và c t ít nh!t 2 trong 36 ño n th"ng trên.
Bài 4. Trong m t ph"ng v# 4 góc nh n. Ch ng minh r ng 4 mi n góc nh n khơng th%
ph kín tồn b m t ph"ng.
Bài 5. Trong hình (H) có di n tích 100cm2 k- m t đư ng g!p khúc có đ dài 48cm.
Ch ng minh r ng trong (H) ln t n t i đi%m M có kho ng cách đ n đi%m g n nh!t c a
(H) l n hơn 1cm.
Bài 6. Trong hình trịn bán kính b ng 1 k- m t s dây cung. Bi t r ng m)i đư ng kính
c a đư ng trịn c t khơng q k dây cung. Ch ng minh r ng t ng ñ dài các dây cung
bé hơn kπ .
7
DeThiMau.vn


Bài 7. Trong hình vng c nh b ng 100 v# m t s đư ng trịn có bán kính b ng 1. Bi t
r ng m)i ño n th"ng có đ dài b ng 10 và n m trong hình vng đã cho đ u c t ít nh!t
m t đư ng trịn trong s các đư ng trịn nói trên. Ch ng minh r ng s đư ng trịn đã v#
khơng ít hơn 416.
Bài 8. Trong hình trịn có di n tích S l!y 17 đi%m b!t kỳ. Ch ng minh r ng trong 17

đi%m !y có 3 ñi%m th"ng hàng ho c l p thành m t tam giác có di n tích bé hơn

S
.
15

Bài 9. Cho m t s h u h n hình trịn mà t p h p c a chúng là m t hình có di n tích
b ng 1. Ch ng minh r ng ta có th% ch n trong s các hình trịn đó m t s hình đơi m t
n m ngồi nhau và có t ng di n tích khơng nh hơn

1
.
9

Bài 10. Trong hình vng c nh b ng 50 ta d ng m t ñư ng g!p khúc có tính ch!t:
kho ng cách t& m t đi%m b!t kỳ c a hình vng đ n đi%m g n nh!t c a ñư ng g!p khúc
nh hơn ho c b ng 1. Ch ng minh r ng ñ dài c a ñư ng g!p khúc !y l n hơn 1248.
D. NGUN LÝ DIRIHLET TRONG HÌNH H C.
Bài tốn 1. Cho 2007 ñi%m trên m t ph"ng, bi t r ng m)i nhóm 3 đi%m b!t kỳ c a các
đi%m đó bao gi cũng có th% ch n ra 2 đi%m có kho ng cách bé hơn 1. Ch ng minh r ng
trong các đi%m trên có ít nh!t 1004 đi%m n m trong m t đư ng trịn bán kính b ng 1.
Gi i.
Ta có 2007 = 2. 1003 + 1
G i A là m t ñi%m trong 2007 đi%m đã cho. V# đư ng trịn tâm A bán kính b ng 1 (ký
hi u (A, 1)). N u t!t c 2006 đi%m cịn l i đ u n m trong đư ng trịn (A, 1), thì hi%n
nhiên bài tốn đã đư c gi i.
Gi s có đi%m B n m ngồi đư ng trịn (A, 1), t c là AB > 1. Khi đó d ng đư ng tròn
(B, 1), ta ch ng minh t!t c 2007 ñi%m ñã cho n m trong (A, 1) ho c (B, 1).
Th t v y, l!y C b!t kỳ và ta xét nhóm 3 đi%m A, B, C. Theo gi thi t AB > 1 nên
AC < 1 ho c BC < 1, khi đó C n m trong đư ng trịn (A, 1) ho c đư ng trịn (B, 1). Như

v y 2007 ñi%m ñã cho n m trong hai đư ng trịn (A, 1) và (B, 1). Theo ngun lý
Dirichlet ph i có m t đư ng trịn ch a ít nh!t 1004 đi%m (đpcm).
Bài tốn 2. Cho 6 ñi%m trong m t ph"ng sao cho b!t kỳ 3 ñi%m nào cũng là ñ'nh c a m t
tam giác mà các c nh c a nó đ u có chi u dài khác nhau. Ch ng minh r ng luôn t n t i
m t c nh v&a là c nh nh nh!t c a tam giác này, v&a là c nh l n nh!t c a tam giác
khác.
Gi i.
Ta tơ màu đ c nh nh nh!t c a tam giác và tô màu xanh 2 c nh còn l i. Ta ch ng minh
t n t i m t tam giác có 3 c nh cùng màu ñ .
Th t v y t& ñi%m A trong 6 ñi%m ñã cho, n i v i 5 ñi%m còn l i ta đư c 5 c nh. Do ch'
có hai màu nên trong 5 c nh này ph i có ít nh!t 3 c nh cùng màu, gi s là 3 c nh AB,
AC và AD.
N u AB, AC, AD cùng màu đ , khi đó do tam giác BCD có m t c nh màu đ ch"ng h n
là BC nên d.n đ n tam giác ABC có các c nh cùng màu ñ .
N u AB, AC, AD cùng màu xanh thì tam giác BCD có 3 c nh cùng màu đ .
V i tam giác có 3 c nh cùng màu đ thì c nh l n nh!t c a tam giác !y chính là c nh
th a u c u bài tốn (đpcm).
Bài tốn 3. Cho m t ña giác l i 17 ñ'nh. Ngư i ta dùng 3 màu xanh, vàng, đ đ% tơ h t
t!t c các c nh và các ñư ng chéo c a ña giác !y. Ch ng minh r ng ln t n t i m t tam
giác có ba ñ'nh là ñ'nh c a ña giác mà các c nh c a nó đư c tơ b i cùng m t màu.
8
DeThiMau.vn


Gi i.
G i A là m t đ'nh nào đó c a ña giác. N i A v i các ñ'nh còn l i ta ñư c t!t c 16 c nh
(ñư c hi%u là c nh ho c ñư ng chéo c a đa giác). Do ch' có ba màu nên trong s 16
c nh !y ph i có ít nh!t 6 c nh đư c tơ b i m t màu. Không m!t t ng quát ta g i 6 c nh
!y là AAi ( i = 1, 6 ) đư c tơ b i màu xanh. Khi ñó có hai trư ng h p:
TH1: N u t n t i 1 c nh AiAk ( i, k = 1, 6; i ≠ k ) đư c tơ b i màu xanh thì tam giác AAiAk

th a yêu c u bài toán.
TH2: N u m i c nh AiAk ( i, k = 1, 6; i ≠ k ) ch' đư c tơ b i hai màu vàng và đ thì trong 5
c nh A1Ai ( i = 2, 6 ) có ít nh!t 3 c nh đư c tô b i cùng m t màu. Không m!t t ng quát
gi s ba c nh !y là A1A2, A1A3, A1A4 đư c tơ b i màu đ . Khi đó ta xét tam giác
A2A3A4: N u t n t i m t c nh c a tam giác này đư c tơ b i màu đ , ch"ng h n đó là
c nh A2A3, thì tam giác A1A2A3 th a yêu c u bài toán. Ngư c l i m i c nh c a tam giác
A2A3A4 ñư c tơ b i màu vàng thì tam giác này cũng th a yêu c u bài toán.
V y trong m i trư ng h p ta ln có tam giác th a yêu c u c a bài toán (đpcm).
M t s bài t p.
Bài 1. Trong hình vng c nh b ng 4 cho trư c 33 ñi%m, trong đó khơng có 3 đi%m nào
th"ng hàng. Ngư i ta v# các đư ng trịn có bán kính đ u b ng 2 và có tâm là các đi%m
đã cho. H i có hay khơng 3 đi%m trong s các đi%m nói trên sao cho chúng đ u thu c
vào ph n chung c a 3 hình trịn có tâm cũng chính là ba đi%m !y?
Bài 2. Cho m t hình vng và 9 đư ng th"ng, trong đó c m)i đư ng th"ng đ u chia
hình vng thành hai t giác có t0 s di n tích là

2
. Ch ng minh r ng trong s 9 ñư ng
3

th"ng !y có ít nh!t ba đư ng đ ng quy.
Bài 3. Trong đư ng trịn đư ng kính b ng 5 ta l!y 10 ñi%m tùy ý. Ch ng minh r ng
trong 10 ñi%m !y t n t i hai ñi%m v i kho ng cách gi a chúng bé hơn 2.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD và 25 ñư ng th"ng th a m)i ñư ng trong chúng chia
ABCD thành 2 hình thang có t0 s di n tích b ng

1
. Ch ng minh r ng trong 25 ñư ng
3

th"ng !y, t n t i 7 ñư ng ñ ng quy t i m t ñi%m.
Bài 5. Trên m t đư ng trịn ngư i ta tơ màu xanh m t s cung sao cho hai cung màu
xanh b!t kỳ khơng có đi%m chung và t ng đ dài các cung đư c tơ màu xanh nh hơn
n a chu vi đư ng trịn. Ch ng minh r ng có ít nh!t m t đư ng kính c a đư ng trịn mà
hai đ u c a nó khơng b$ tơ màu.
Bài 6. Trong hình vng có c nh b ng 1 có 101 đi%m tùy ý. Ch ng minh r ng có ít nh!t
5 đi%m n m trong hình trịn bán kính b ng

1
.
7

Bài 7. Cho đư ng trịn bán kính b ng 1 và n đi%m A1, A2,…, An trên m t ph ng. Ch ng
minh r ng trên đư ng trịn có th% tìm đư c ñi%m M sao cho MA1 + MA2 + …+ MAn ≥ n.
Bài 8. Trong m t ph"ng cho 6 hình trịn sao cho tâm c a m)i hình trịn n m ngồi t!t c
các hình trịn khác. Ch ng minh r ng khơng có đi%m chung nào cho c 6 hình trịn đó.
Bài 9. Cho m t c u tâm O bán kính R = 1.
a. Tìm s đi%m l n nh!t có th% đ t trên m t c u sao cho kho ng cách gi a 2 đi%m
b!t kỳ trong chúng khơng bé hơn 2 .
b. Tìm s đi%m l n nh!t có th% đ t trên m t c u sao cho kho ng cách gi a 2 ñi%m
b!t kỳ trong chúng l n hơn 2 .
9
DeThiMau.vn


Bài 10. Trong m t ph"ng v i h t a ñ Oxy cho n – giác l i A1A2…An có t!t c các đ'nh
đ u là đi%m ngun. Bi t r ng hình n – giác đó (bao g m t!t c các ñi%m thu c mi n
trong và thu c biên) không ch a b!t c m t ñi%m nguyên nào khác ngoài các ñ'nh Ai
( i = 1, n ). Tìm giá tr$ l n nh!t có th% có c a s n.
E. NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG DÃY S

VÀ SUY LU N LOGIC.

Bài toán 1. Cho 100 s t nhiên a1, a2,…, a100 th a : ai ≤ 100 (i = 1,100) ,

100

∑a

i

= 200 .

i =1

Ch ng minh r ng trong các s đó ln t n t i m t s s có t ng b ng 100.
Gi i.
a. N u t!t c các s ñ u b ng nhau thì t& gi thi t a1 = a2 = … = a100 = 2. Khi đó ta ch'
c n ch n 50 s thì t ng c a chúng s# th a yêu c u bài toán.
b. N u a1 ≠ a2 ta xây d ng dãy g m 100 s
S1 = a1, S2 = a2, S3 = a1 + a2, …, S100 = a1 + a2 + …+ a99.
+ N u t n t i Si ⋮100 (i = 1,100) . Khi đó do 0 < Si < 200 nên Si = 100 th a yêu c u
bài toán.
+ N u m i Si (i = 1,100) đ u khơng chia h t cho 100 thì theo ngun lý Dirichlet

(

t n t i ít nh!t hai s Si , Sk i, k = 1,100; i ≠ k

)

sao cho Si ≡ Sk (mod 100). Gi s Sk > Si,

khi đó ta có Sk – Si ⋮ 100. M t khác do 0 < Si < 200 nên suy ra Sk – Si = 100 th a u c u
bài tốn.
V y bài tốn đư c ch ng minh.
Bài toán 2. Cho 69 s nguyên dương phân bi t không vư t quá 100. Ch ng minh r ng
có th% ch n đư c 4 s a, b, c, d trong các s !y sao cho a < b < c và a + b + c = d.
Gi i.
Không m!t t ng quát g i a1, a2, …, a69 là các s ñã cho th a 1 ≤ a1 < a2 < … < a69 ≤ 100.
Suy ra a1 ≤ 32. Ta thành l p 2 dãy s :
1 < a2 + a1 < a3 + a1 < … < a69 + a1 ≤ 132 và 1 < a3 – a2 < a4 – a2 <… < a69 – a2 <100
Hai dãy trên g m 134 s mà s h ng trên m)i dãy ñ u khác nhau. V y t n t i ít nh!t hai
s
hai dãy trên b ng nhau hay t n t i i, j∈{3; 4;...;69} sao cho: ai + a1 = aj – a2.
Suy ra a1 + a2 + ai = aj và a1 < a2 < ai (đpcm).
Bài tốn 3. Trên bàn c 10 × 10 chúng ta vi t các s t& 1 ñ n 100. M)i m t hàng chúng
ta ch n s l n th 3. Ch ng minh r ng t n t i ít nh!t m t hàng có t ng các s trong
hàng !y nh hơn t ng các s l n th 3 ñã ñư c ch n.
Gi i.
Ta ký hi u các s l n th 3 trên m)i hàng là a0, a1, …, a9 trong đó a0 > a1 > … > a9.
Khi đó s ph n t l n hơn a0 nhi u nh!t là 20 (bao g m 2 s l n hơn a0, 2 s l n hơn a1,
…, 2 s l n hơn a9).
Suy ra a0 ≥ 80. L p lu n tương t ta cũng có a1 ≥ 78.
Vì a2 > a3 > … > a8 ≥ a9 + 1 ⇒ ai ≥ a9 + 9 – i (i = 2,8)
T& đó a0 + a1 + a2 +… + a9 ≥ 80 + 78 + (a9 + 7) + (a9 + 6) + … + a9 + 1 + a9
≥ 8a9 + 180 (1)
Xét t ng S các s thu c hàng có ch a a9 là s l n th 3. Ta có:
S ≤ 100 + 99 + a9 + a9 – 1 + a9 – 2 + … + a9 – 7 ≤ 8a9 + 171 (2)
(1) và (2) cho ta S < a0 + a1 +… + a9 (ñpcm).

10
DeThiMau.vn


M t s bài t p.
Bài 1. Xét A là m t t p con c a t p h p các s t nhiên sao cho trong 1999 s t nhiên
liên ti p b!t kỳ ln có m t s n m trong A. Ch ng minh r ng luôn t n t i hai s trong
A th a s này chia h t cho s kia.
Bài 2. Gi s a1, a2, …, an là dãy s th c cho trư c. Ch ng minh r ng luôn t n t i m t
s th c x sao cho t!t c các s a1 + x, a2 + x, …, an + x đ u là s vơ t0.
Bài 3. Cho 8 s th c x1, x2, …, x8 tùy ý. Xét 6 s sau ñây:
x1x3 + x2x4, x1x5 + x2x6, x1x7 + x2x8, x3x5 + x4x6, x3x7 + x4x8, x5x7 + x6x8.
Ch ng minh r ng trong 6 s !y có ít nh!t m t s khơng âm.
Bài 4. Trong m t tr i hè qu c t có 21 b n thi u nhi đ n t& các châu l c: Á, Âu, M1,
ð i Dương. Bi t r ng m)i b n nói đư c m t trong hai th ti ng Anh, Pháp. Ch ng minh
r ng luôn t n t i 3 b n cùng m t châu l c nói chuy n đư c v i nhau mà khơng c n đ n
phiên d$ch.
Bài 5. Ch ng minh r ng trong 6 ngư i b!t kỳ luôn t n t i 3 ngư i đơi m t quen nhau
ho c đơi m t khơng quen nhau.
B i 6. Có 2006 con th nh t vào 1003 cái chu ng, m)i chu ng nh t 2 con. Sau m)i
ngày ngư i ta l i thay đ i v$ trí c a th sao cho khơng có 2 con nào đã chung
chu ng trư c ñó l i n m chung chu ng m t l n n a. H i t i đa có bao nhiêu ngày làm
ñư c như v y.
Bài 7. Dãy s t nhiên (an) ñư c xác ñ$nh b i:
 a1 = 2

 an +1 = (n + 1)an + 1, n ∈ N *
Trong m t ph"ng cho an + 1 đi%m khác nhau, trong đó khơng có ba ñi%m nào
th"ng hàng. T!t c các ño n th"ng n i nh ng đi%m này đư c tơ b i n màu ñã cho.
Ch ng minh r ng v i m i n = 1, 2,… t n t i tam giác có các đ'nh là các đi%m

trong các đi%m ñã cho mà nh ng c nh c a nó ñư c tô b i cùng m t màu.
Bài 8. Gi s m)i ñi%m c a m t ph"ng ñư c tô b i m t trong hai màu xanh ho c đ .
Ch ng minh r ng ln t n t i m t hình ch nh t có b n đ'nh đư c tơ b i cùng
m t màu.
Bài 9. Cho 5 ñi%m A, B, C, D, E trong đó khơng có ba đi%m nào th"ng hàng thu c m t
ph"ng v i h t a ñ Oxy. Bi t r ng m)i đi%m đ u có các t a ñ là nh ng s nguyên.
Ch ng minh r ng có ít nh!t ba tam giác t o thành có di n tích là s ngun.
Bài 10. Gi s s h u t0

r
v i r, s ∈ N và 0 < r < s, ñ oc vi t dư i d ng th p phân:
s

r
= 0, k1 , k2 , k3 ,...
s
Ch ng minh r ng trong dãy s
r
l1 = 10. − k1
s
r
l2 = 102. − (10k1 + k2 )
s
r
l3 = 103. − (102 k1 + 10k2 + k3 )
s
.......................................
có ít nh!t hai s gi ng nhau.
11
DeThiMau.vn

TÀI LI U THAM KH O
[1] Báo Toán h c và Tu i tr-.
[2] Các chuyên ñ v S h c c a GS. Phan Huy Kh i.
[3] Chuyên ñ nguyên lý Dirichlet c a TS. Nguy+n H u ði%n.
[4] Các bài toán ch n l c c a GS. Phan ð c Chính.
[5] Chun đ ngun lý Dirichlet c a PGS. Nguy+n Văn Xoa, PTS. Nguy+n Vũ Lương.
[6] Graph c a GS Hồng Chúng.
[7] Chun đ S h c và Hình h c c a Ths. Nguy+n Vũ Thanh.

12
DeThiMau.vn


PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
Tr/n Di1u Minh
Phương pháp sai phân là phương pháp ñư c áp d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh
v c khoa h c và k1 thu t, n i dung c a nó là đưa bài toán c n xét v vi c gi i phương
trình sai phân ho c h phương trình sai phân. Trong ph n này chúng ta ñ c p t i vi c
gi i m t s phương trình sai phân cơ b n v i m c đích đi tìm s h ng t ng quát c a m t
dãy s mà ch y u là đi tìm nghi m t ng quát c a phương trinh sai phân tuy n tính và
kh o sát m t vài d ng phương trình sai phân mà ta có th% tuy n tính hố.
1. ð nh nghĩa.
Phương trình sai phân tuy n tính c a hàm un theo bi n n là m t bi%u th c tuy n
tính gi a các giá tr$ c a hàm un t i các ñi%m khác nhau
un+ k + a1un + k −1 + ... + ak un = f n (1)
Trong đó
ai – h ng s ho c hàm s theo n
fn – hàm s c a n

un – là giá tr$ c n tìm đư c g i là 2n
+ Phương trình (1) đư c g i là phương trình tuy n tính c!p k, đ% tìm un ph i cho
trư c k giá tr$ liên ti p c a un.
+ fn ≡ 0, (1) đư c g i là phương trình sai phân tuy n tính thu n nh!t
+ fn ≡/ 0, (1) đư c g i là phương trình sai phân tuy n tính khơng thu n nh!t
+ fn ≡ 0, ai = const (1) ñư c g i là phương trình sai phân tuy n tính thu n nh!t
c!p k v i các h s h ng. Khi đó (1) tr thành
un+ k + a1un + k +1 + ... + ak un = 0 (2)
+ Hàm s un theo n th a (1) ñư c g i là nghi m c a phương trình sai phân tuy n
tính (1).
2. Nghi m.
2.1. Nghi m c a phương trình thu n nh t (2).
Hàm s un theo n th a (1) ñư c g i là nghi m c a phương trình sai phân tuy n
tính (1)
• Nghi m t ng quát: Hàm s uɶn ph thu c k tham s , th a (2) ñư c g i là
nghi m t ng quát.
• Nghi m riêng un* : Nghi m t ng quát uɶn ñư c g i là nghi m riêng n u v i m i
t p giá tr$ ban ñ u u1, u2,…, uk ta ñ u xác ñ$nh ñư c duy nh!t các tham s c1,
c2,…, ck ñ% uɶn v&a th a (2) v&a th a uɶ1 = u1 , uɶ2 = u2 , …, uɶk = uk .
2.2. ð nh lý.
Nghi m t ng quát un c a (1) b ng t ng uɶn và un* , v i un* là m t nghi m riêng b!t
kỳ c a (1).
2.3. ð nh lý.
N u un1 , un2 ,..., unk là k nghi m ñ c l p tuy n tính c a (2) t c là t&

C1un1 + C2un2 + ... + Ck unk = 0
13
DeThiMau.vn

suy ra C1 = C2 = … = Ck = 0 thì nghi m t ng quát c a (2) là
k

uɶn = ∑ ci uni
i =1

trong đó ci = const.
2.4. Phương trình đ c trưng c a (1), (2).
Là phương trình d ng: xk + a1xk−1 +…+ ak = 0 (3)
2.5. Nghi m t ng quát c a phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t (2)
2.5.1. ð nh lý.
N u (3) có k nghi m th c khác nhau λ1, λ2, …, λk thì nghi m t ng quát c a (2) là
k

un = ∑ ci λin
i =1

2.5.2. ð nh lý.
N u (3) có nghi m λj b i m thì nghi m t ng quát c a (2) là
m −1

un = ∑ c j ni λ jn +
i =0

k

∑ cλ

n
i i

j ≠ i =1

2.5.3. ð nh lý
N u (3) có nghi m ph c λ j = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ )
a
b
thì (3) cũng có nghi m ph c liên h p λ j = a − bi = r (cos ϕ − i sin ϕ )

trong đó r = λ j = a 2 + b 2 , ϕ = acgumenλ j t c là tgϕ =

Khi ñó λ jn = r n (cos nϕ − i sin nϕ ) ; λ jn = r n (cos nϕ − i sin nϕ ) là các nghi m c a (3).
Do đó nghi m t ng qt c a (2) là
k

un =

∑ cλ

n
i i

+ r n (c j1 cos nϕ + c j 2 sin nϕ )

j ≠i =1

Chú ý: N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m ph c λj b i m thì nó cũng có nghi m
ph c liên h p b i m λ j . Khi đó nghi m t ng quát c a (2) là
k

un =

∑ cλ

n
i i

+ r n ( A1 + A2 n + ... + Am n m−1 )cos nϕ

j ≠ i =1

+ r n ( B1 + B2 n + ... + Bm n m−1 )sin nϕ
3. Các trư ng h p ñ c bi t.
Các trư ng h p đ c bi t tìm nghi m riêng c a phương trình khơng thu n nh!t (1)
3.1. fn là ña th c b c m c a n.
+ N u các nghi m λ1, λ2, …, λk c a (3) khác 1 thì nghi m riêng có d ng
*
un = Qm (n) , Qm là ña th c cùng b c c a fn
+ N u (3) có nghi m λ = 1 b i s thì nghi m riêng có d ng un* = n s Qm (n)
3.2. f n = Pm (n).β n v i Pm(n) là ña th c b c m c a n
+ N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m th c khác β thì nghi m riêng có
d ng un* = Qm (n).β n , Qm(n) là ña th c cùng b c fn
+ N u phương trình đ c trưng (3) có nghi m λ = β b i s thì nghi m riêng
*
s
un = n Qm ( n).β n
14
DeThiMau.vn

3.3. f n = α cos nx + β sin nx , α,β ∈ IR,
Nghi m riêng có d ng
un* = a cos nx + b sin nx
3.4. f n = f n + f n + ... + f n
1

2

k

Ta tìm nghi m riêng un*

i

ng v i các hàm f n và nghi m riêng c a (1) là
i

k

un* = ∑ un*i
i =1

Bài toán 1.
1. Cho dãy (un) xác ñ$nh b i
u0 = 2, u1 = 3 và un+1 = 3un − 2un−1 (n = 2,3,…).
Tìm un.
2. Cho dãy (un) xác ñ$nh b i
u1 = 1, u2 = 2un+1 − 2un + un−1 = 1 (n = 2,3,..).
Tìm un.
Bài tốn 2. Tìm nghi m t ng qt c a các phương trình sai phân

a) xn+4 −10xn+3 + 35xn+2 − 50xn+1 + 24xn = 48.5n
b) xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n)
π
π
c) xn+3 – 2xn+2 − xn+1 + 2xn = (2− 2 ) cosn + 2sinn
4

4

Gi i.
a) Phương trình đ c trưng λ4 − 10λ3 + 35λ2 − 50λ + 24 = 0 có 4 nghi m 1,2, 3, 4 ñ u khác
5; pm(n) là ña th c b c 0 nên nghi m riêng có d ng xn* = a.5 n
Thay vào phương trình sai phân và chia 2 v cho 5n ta ñư c
a.54 − 10a.53 + 35a.52 − 50a.5 + 24a = 48
⇒a=2
⇒ nghi m riêng x *n = 2,5n

Do đó nghi m t ng quát xn = c11n + c22n + c33n + c44n +2,5n
b) Phương trình đ c trưng λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0 có nghi m λ1 = 2 (b i 2), λ2 = 3 ,
pm(n) = 24 − 24n
Do đó nghi m riêng có d ng xn* = n2(an + b)2n
Th x n* vào phương trình v i ư c lư ng cho 2n ta ñư c:
8 [a(n + 3) + b] (n + 3)2 – 28 [a(n + 2) + b](n + 2)2 + 32[a(n + 1) + b](n + 1)2 –
− 2(an + b)n2 = 24 − 24n
ð ng nh!t h s suy ra a = 1, b = 0
⇒ x n* = n3.2n
π
π
c) Nghi m riêng d ng x n* = a cos n +b sin n
4

4

thay x n* vào phương trình và rút g n, ta đư c:
π
π
π
π
[(2 − 2 )a − 2b]cos n + [2a − (2 − 2 )b]sin n = (2 − 2 )cosn + 2sinn
4

So sánh h s c a cos n

π
4

và sin n

4

π
4

4

4

π
hai v ta ñư c a = 1, b = 0, và x n* = cos n .
4

15
DeThiMau.vn


Bài t p.
Tìm nghi m t ng quát c a các phương trình sai phân sau:
1.
un +3 − 7un + 2 + 16un +1 − 12un = 0
2.
un +3 − 5un + 2 + 8un +1 − 6un = 0
3.
un +3 − 7un + 2 + 16un +1 − 12un = n + 1
un + 4 − un +3 − 3un + 2 + 5un +1 − 2un = 1
4.
5.
un +3 − 7un + 2 + 16un +1 − 12un = 2 n (24 − 24n)
un + 4 − 10un +3 + 35un + 2 − 50un +1 + 24un = 48.5n
6.
nπ
nπ
un +3 − 2un + 2 − un +1 + 2un = (2 − 2)cos
+ 2sin
7.
8.

4
4
3
nπ

3
nπ
un + 4 − 3un + 3 + 3un + 2 − 3un +1 + 2un = sin
−
cos
+ 10.2n + 2
2
3
2
3

M t s bài tốn sai phân khơng tuy n tính, ta bi n đ i đưa v bài tốn sai
phân tuy n tính đư c g i là tuy n tính hóa.
M t s phương trình sai phân h s bi n thiên đơi khi cũng có th% bi n đ i đ%
đưa v d ng phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng s . Sau ñây là m t s ví d
minh h a:
Bài tốn 3. Cho dãy (xn) xác ñ$nh b i
x1 = x2 = 1, x n =

x n2−1 + 1
, n = 3,4,...
xn−2

Tìm (xn).

Gi i.
Ta có th% tuy n tính hóa như sau
Tìm xn = a1xn−1 + a2xn−2 + b
t& công th c xác đ$nh dãy ta có: x3 = 3, x4 = 11, x5 = 41
thay: x3, x4, x5 vào xn ta ñư c

a1 + a2 + b = 3
3a1 + a2 + b = 11
11a1 + 3a2 + b = 41
gi i h ta ñư c: a1 = 4, b = 0, a2 = − 1
và x n = 4 x n −1 − x n − 2
bây gi ta ch ng minh b ng quy n p r ng:
x n = 4 x n −1 − x n − 2 chính là d ng tuy n tính c a dãy ñã cho (Vi c ch ng minh này dành
cho b n đ c).
Chú ý. Bài tốn trên đư c phát bi u t ng quát như sau:
Cho dãy (xn) xác ñ$nh b i
x1 = a, x2 = b, xn =

xn2−1 + c
, n = 3, 4,...
xn − 2

b2 + c
a+
a x −x
có d ng tuy n tính xn =
n −1
n−2
b

16
DeThiMau.vn


Bài tốn 4. Dãy (xn) xác đ$nh b i x0 = 0, x1 = 1
x n +1 = 5 x n + 24 x n2 + 1

n∈Z*

Tìm xn?
Gi i. Ta có th% tuy n tính hóa như sau: Tìm x n +1 = a1 x n + a 2 x n −1 + b
Cho n = 1, 2, 3 ta ñư c x2 = 10, x3 = 99, x4 = 980
t& đó a1 + b = 10
10a1 + a2 + b = 99
99a1 + 10a2 + b = 980
Gi i h ta ñư c a1 =10, a2 = − 1, b = 0
và xn+1 = 10xn − xn−1
(Ch ng minh ñi u ki n ñ b n ñ c t ch ng minh)
Bài tốn 5. Dãy (xn) xác đ$nh b i
xn +1 =

1
c
( xn + ) , x0 = a > c > 0 (c > 0).
2
xn

Tìm xn?
Gi i. Ta có th% tuy n tính hóa như sau

1
c
2
( xn + ) − c
x n2 − 2 c x n + c  x n − c 
xn

x n +1 − c 2

= 2
=
=


1
c
x n +1 + c
( xn + ) + c xn + 2 c xn + c  xn + c 
2
xn
ñ t yn =

xn − c
xn + c

ta suy ra: yn+1= y n2 v i y0=

a− c

a+ c
B ng qui n p ta ch ng minh ñư c yn> 0 ∀n ∈ N
T& y n +1 = y n2 ⇔ log m y n +1 = 2 log m y n

ð t Un = logmyn ta ñư c h th c tuy n tính: Un+1 = 2Un v i U0 = logmy0 = log m a − c
(Ch ng minh ñi u ki n ñ b n ñ c t ch ng minh).

a+ c

Bài t p.
1. Dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, xn+3 = xn5+ 2 xn3+1 xn−2 .
Tìm xn?
2.

Dãy (xn) xác đ$nh b i x1 = 0, x n + 2 =

n(n + 1)(n + 2)
( x n + 1) .
(n + 3)(n + 4)(n + 5)

Tìm xn?
3.

Dãy (xn) xác ñ$nh b i x1 = x2 = 1, x n + 2 =

4.

Tìm xn?
Dãy (xn) xác đ$nh b i
x1 =

x n x n+1
2 x n − x n +1

2(n + 1)(n + 2)
n(n + 2)
3(n + 2) 2
2

1
, n = 1,2,...
.x n +1 +
xn +
, x2 = , xn+ 2 =
n+3
(n + 1)(n + 3)
n(n + 3)
3
2

Tìm xn?
17
DeThiMau.vn


PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Tr/n Di1u Minh
Lý thuy t phương trình hàm là m t trong nh ng lĩnh v c nghiên c u quan tr ng
c a gi i tích tốn h c. Các d ng tốn v phương trình hàm r!t phong phú, bao g m các
lo i phương trình tuy n tính và phương trình phi tuy n, phương trình m t 2n hàm và
phương trình nhi u 2n hàm. Trong các kỳ thi h c sinh gi i Toán thư ng xu!t hi n các
d ng toán khác nhau liên quan t i phương trình hàm. Nh m trao ñ i kinh nghi m gi ng
d y lo i tốn này, chúng tơi trình bày m t ph n nh các bài tốn liên quan t i phương
trình hàm c th% là gi i các phương trình hàm trong l p các hàm liên t c. Hy v ng r ng
qua đó chúng ta phát hi n ra nh ng cách gi i ñ c s c hơn, thú v$ hơn và tìm đư c thu t
tốn gi i nh ng bài toán t ng quát khác.
I. M t s ki n th c v t p h p s và hàm s .
1. T p h p các s th c.
1.1. Nguyên lý Archimède.

∀ε > 0, ∀x > 0 ln ∃k ∈ N*: kε > x.
1.2. Tính trù m t.
T p h p A ⊂ IR ñư c g i là trù m t trong IR khi và ch' khi ∀x,y ∈ IR: x < y ñ u
∃a ∈ A : x < a < y.
Nh n xét.
(i)
Q là trù m t trong IR, nói cách khác “Gi a hai s th c tùy ý ln có ít nh t
m t s h u t ”.
(ii)
∀x ∈ IR, ∃ dãy h u t' (xn) : xn → x.
m

(iii) T p h p A =  n , m ∈ , n ∈ ℕ  là trù m t trong IR.
2

m
Suy ra ∀x ∈ IR, ∃ dãy (xn) v i xn = n h i t v x.
2
2. Hàm s .
2.1. Hàm s c ng tính, nhân tính trên t p h p.
2.1.1. Hàm s f(x) ñư c g i là c ng tính trên t p xác ñ$nh D n u như ∀x,y ∈ D
thì x + y ∈ D và f(x + y) = f(x) + f(y).
2.1.2. Hàm s f(x) ñư c g i là nhân tính trên t p xác đ$nh D n u như ∀x,y ∈ D
thì xy ∈ D và f(xy) = f(x)f(y).
2.2. Hàm s c ng tính, nhân tính và tính đơn ñi u.
2.2.1. Hàm s f : IR → IR c ng tính và th a x ≥ 0 thì f(x) ≥ 0 (ho c f(x) ≤ 0) thì
f(x) là hàm s tăng (ho c gi m).
2.2.2. N u f(x) ñơn đi u và c ng tính trên IR thì nó có d ng f(x) = kx.
2.2.3. N u hàm f : IR+ → IR+ đơn đi u và nhân tính thì f(x) có d ng f(x) = xα,
∀α ∈ IR.

2.3. Hàm s liên t c.
2.3.1. N u hàm s f là đơn ánh, liên t c trên (a;b) thì nó ñơn ñi u th c s trên
(a;b).
18
DeThiMau.vn


2.3.2. N u hàm f : IR → IR liên t c và c ng tính thì f(x) = kx, k ∈ IR (phương
trình hàm Cauchy).
2.3.3. N u hàm f : IR+ → IR+ liên t c và nhân tính thì f(x) = xα, ∀α ∈ IR.
 x + y  f ( x) + f ( y )
, ∀x,y ∈ IR thì
2.3.4. N u hàm f liên t c trên IR và f 
=
2
 2 
f(x) = ax + b, a,b ∈ IR.
II. ð c trưng hàm c a m t s hàm s sơ c"p.
ð% ñ$nh hư ng, g i ý và d đốn cơng th c nghi m c a phương trình hàm,
chúng ta xét m t vài tính ch!t hàm tiêu bi%u c a m t s d ng hàm s quen bi t.
1. Hàm s b c nh t
 x + y  f ( x) + f ( y )
f(x) = ax + b (ab ≠ 0) có tính ch!t f 
, ∀x,y ∈ IR.
=
2
 2 
2. Hàm s tuy n tính
f(x) = ax (a ≠ 0) có tính ch!t f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR.
3. Hàm s mũ

f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1) có tính ch!t f(x + y) = f(x).f(y), ∀x,y ∈ IR.
4. Hàm s logarit
f(x) = loga|x| (a > 0, a ≠ 1) có tính ch!t f(xy) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR*.
5. Hàm s lũy th a
f(x) = |x|a có tính ch!t f(xy) = f(x).f(y), ∀x,y ∈ IR*.
6. Hàm s lư ng giác
Hàm s y = sinx có tính ch!t f(3x) = 3f(x) − 4f 3(x), ∀x ∈ IR.
Hàm s y = cosx có tính ch!t f(x) = 2f 2(x) − 1, ∀x ∈ IR.
ho c f(x + y) + f(x − y) = 2f(x).f(y), ∀x ∈ IR.
Hàm s y = tgx có tính ch!t
f ( x) + f ( y )
(2k + 1)π
f ( x + y) =
, ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠
,k ∈ .
1 − f ( x). f ( y )
2
Hàm s y = cotgx có tiính ch!t
f ( x). f ( y ) − 1
, ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠ kπ , k ∈ .
f ( x + y) =
f ( x) + f ( y )
7. Hàm s lư ng giác ngư c.
Hàm s y = arcsinx có tính ch!t

)

(

f ( x) + f ( y ) = f x 1 − y 2 + y 1 − x 2 , ∀x, y ∈ [−1;1].

Hàm s y = arccosx có tính ch!t

)

(

f ( x) + f ( y ) = f xy − (1 − x 2 )(1 − y 2 ) , ∀x, y ∈ [−1;1].
Hàm s y = arctgx có tính ch!t

 x+ y 
f ( x) + f ( y ) = f 
 , ∀x, y ∈ ℝ, xy ≠ 1.
 1 − xy 
Hàm s y = arccotgx có tính ch!t
 xy − 1 
f ( x) + f ( y ) = f 
 , ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≠ 1.
 x+ y 
19
DeThiMau.vn


8. M t vài hàm s thông d ng khác.
Hàm s f(x) = cxn có tính ch!t

f

(

n

)

x n + y n = f ( x) + f ( y ), x, y ≥ 0

Hàm s f(x) = cx2 có tính ch!t
f ( x + y ) − f ( x − y ) = 4 f ( x). f ( y )
ho c f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2[ f ( x) + f ( y )]
c
Hàm s f ( x) = có tính ch!t
x
f ( x). f ( y )
f ( x + y) =
f ( x) + f ( y )
III. Phương trình hàm trong l#p các hàm liên t$c.
Trong ph n này, chúng ta xét m t s bài tốn gi i phương trình hàm có s d ng
tính liên t c c a hàm s . Vi c v n d ng khái ni m liên t c đ% gi i địi h i ph i n m
v ng b n ch!t. M t l p các bài tốn đưa v phương trình hàm Cauchy nên vi c n m
v ng cơng th c và có k1 thu t, thu t bi n ñ i các ñi u ki n ñã cho ñ% ñưa v ñi u ki n
c a phương trình hàm Cauchy là đi u h t s c c n thi t. M t s bài tốn tr nên đơn gi n
ho c có cách gi i ñơn gi n hơn n u ta bi t khai thác, bi n ñ i các ñi u ki n tương ng
như ph c t p v thành d ng quen thu c.
M t s nh n xét c n lưu ý
(a)
N u f c ng tính và liên t c trên IR (ho c IR+) thì f(x) = kx.
(b)
N u hàm f liên t c trên IR (ho c IR+) và th a
 x + y  f ( x) + f ( y )
f
, ∀x,y ∈ IR thì f(x) = ax + b.

=
2
 2 
(c)
N u hàm f liên t c và nhân tính trên IR+ thì f(x) = xα, ∀α ∈ IR.
(d)
N u hàm s f là đơn ánh, liên t c trên thì f ñơn ñi u th c s .
(e)
N u ta có cơng th c c a f trên X ⊂ IR và X trù m t trong IR thì ta cũng có
cơng th c c a f trên IR.
Bài tốn 1 (Phương trình hàm Cauchy).
Tìm các hàm liên t c f(x) trên IR th a ñi u ki n
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y ∈ IR
(1)
Gi i.
T& (1) ta có: f(0) = 0, f(−x) = − f(x) và f(2x) = 2f(x), ∀x ∈ IR b ng quy n p suy ra
f(nx) = nf(x), ∀x ∈ IR, n ∈ N.
T& f(−x) = − f(x) suy ra f(mx) = mf(x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ IR.
p
V i x ∈ Q, ∃p ∈ Z, q ∈ N* sao cho x = . Khi đó
q
f(p) = f(p.1) = pf(1)
 p
 p
f ( p ) = f  q.  = qf  
 q
q

 p p
suy ra f ( x) = f   = f (1) = xf (1)

q q
20
DeThiMau.vn