Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9

I. PHNG PHP QUY NP
cm mt mnh ph thuc s t nhiờn n N ta khụng th th trc tip vi mi s t nhiờn c vỡ
tp hp s t nhiờn l vụ hn. Song ta cú th tin hnh cỏc bc kim tra nh sau
Bc 1 : Trc ht ta kim tra rng mnh ỳng vi n=0
Bc 2 : Ri ta chng rng : T gii thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn n=k 0 bt kỡ suy ra nú
ỳng vi n=k+1 .
Vớ d : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2 ta cú ng thc :
a
n
-b
n
=(a-b)(a
n-1
+a
n-2
b + + b
n-1
)
Chng minh
Ta chng minh bng phng phỏp qui np .
* Khi n=2 ta cú a
2
-b
2
=(a-b)(a+b) l ỳng
* Gi s ng thc ỳng khi n=k . Tc l ta cú : a
k
-b
k
=(a-b)(a

k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)
Ta cn chng minh ỳng vi n=k+1 . Tc l C/m a
k+1
-b
k+1
=(a-b)(a
k
+a
k-1
b + + b
k
) .
Tht vy ta cú :
VT = a
k+1
- b
k+1
= a
k+1
-a
k
b + a
k
b -b
k+1

= a
k
(a-b)+ b(a
k
-b
k
) = a
k
(a-b) + b(a-b)(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)
= (a-b)[ a
k
+ b(a
k-1
+a
k-2
b + + b
k-1
)] = (a-b)(a
k
+a
k-1
b + + b
k
) = VP

Vy theo gi thit quy np ng thc ỳng vi mi n 2
Bi 1: Chng minh vi mi s t nhiờn n 1 ta cú ng thc : 1+2+3+4+ n =
2
1)n(n
+
Bi 2: Chng minh rng vi mi n N
*
ta cú : 1
2
+2
2
+3
2
+ 4
2
+5
2
++n
2
=
6
1++
)1)(2nn(n
Bi 3: Chng minh rng vi mi n N biu thc U
n
=13
n
-1 chia ht 6.
Bi 4 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 3 ta cú 2
n

> 2n+1
Bi 5: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú:
2n 2
4.3 32n 36 64
+
+
M
Bi 6 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: (n+1)(n+2)(2n)
M
1.3.5(2n-1)
Bi 7 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n
3
+2n
M
3
Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú:
n
16 15n 1 225

M
A. CHIA HT S NGUYấN
1. nh ngha: Cho hai s nguyờn bt kỡ a v b (b

0). Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn (q, r) sao
cho a = bq + r vi
0 r b
<
.
* Nu r = 0 thỡ a chia ht cho b: a
M

b

a = kb a, b, k

Ơ
* Nu r

0 phộp chia a cho b l cú d
2. Tớnh cht ca qua h chia ht:
a
M
a
a
M
b v b
M
a thỡ a = b
a
M
b v b
M
c thỡ a
M
c
a
M
m thỡ ka
M
m v a
k

M
m
a
M
m, b
M
m thỡ a

b
M
m
a

b
M
m m a
M
m thỡ b
M
m
a
M
m, b
M
n thỡ ab
M
nm
a
M

m thỡ a
n

M
m
n

a
n

M
m, m nguyờn t thỡ a
M
m
a
M
m, a
M
n m (n, m) = 1 thỡ a
M
mn
a
M
m, a
M
n, a
M
k; n, m, k nguyờn t sỏnh ụi thỡ a
M

mnk
a
M
m, b
M
m thỡ a

b
M
m
* Trong n s nguyờn liờn tip (nN
*
) cú mt v
ch mt s chia ht cho n.
* Trong n+1 s nguyờn bt kỡ (nN
*
) chia cho n
thỡ cú hai s chia cho n cú cựng s d.
* chng t A(n) chia ht cho mt s nguyờn t
p ta cú th xột mi trng hp v s d ca n chia
cho p.
* chng t A(n) chia ht cho hp s m, ta phõn
tớch m thnh tớchcỏc thac s ụi mt nguyờn t
cựng nhau ri ln lt chng t A(n) chia ht cho
tng tha s ú.
* CM f(x) chia ht cho m thụng thng ta phõn
tớch f(x) thnh nhõn t ri xột s d khi chia x cho
m.
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 1

PHNG PHP GII :
1/ Phng phỏp 1 : A(n) chia ht cho p; ta xột s d khi chia n cho p
Vớ d : A(n) = n(n
2
+1)(n
2
+4) chia ht cho 5
n chia cho 5 cú s d l r =0,1,2,3,4,5
a/ Vi r = 0 thỡ n chia ht cho 5 => A(n) chia ht cho 5
b/ Vi r = 1 => n = 5k+1 => n
2
= 25k
2
+10k +1 thỡ (n
2
+4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
c/ Vi r = 2 => n = 5k+2 => n
2
= 25k
2
+20k +4 thỡ (n
2
+1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
d/ Vi r = 3 => n = 5k+3 => n
2
= 25k
2
+30k +9 thỡ (n
2
+1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5

e/ Vi r = 4 => n = 5k+4 => n
2
= 25k
2
+40k +16 thỡ (n
2
+4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5
2/ Phng phỏp 2 : A(n) chia ht cho m; ta phõn tớch m = p.q
a/ (p,q) = 1 ta chng minh: A(n) chia ht cho p, A(n) chia ht cho q => A(n) chia ht cho p.q
b/ Nu p v q khụng nguyờn t cựng nhau ta phõn tớch A(n) = B(n).C(n) v chng minh B(n) chia ht
cho p, C(n) chia ht cho q => , A(n) chia ht cho p.q
3/ Phng phỏp 3 : chng minh A(n)
M
m cú th bin i A(n) thnh tng nhiu hng t v chng minh
mi hng t chia ht cho n.
4/ Phng phỏp 4 : chng minh A(n)
M
m ta phõn tớch A(n) thnh nhõn t, trong ú cú mt nhõn t
bng m hoc chia ht cho m: A(n) = m.B(n)
+ Thng ta s dng cỏc hng ng thc :
a
n
b
n

M
a b ( a

b) n bt k.
a

n
b
n

M
a b ( a

- b) n chn.
a
n
+ b
n

M
a + b ( a

- b) n l.
5/ Chng minh bng quy np toỏn hc :
Bi 1. Chng minh rng :
a) n
5
- 5n
3
+ 4n
M
120 ; vi

n

Z

b) n
3
-3n
2
-n+3
M
48 ; vi

n l
c) n
4
+ 4n
3
-4n
2
-16n
M
384 vi

n chn
Bi 2. CMR: a)
4 2
n n 12

M

b)
2
n(n 2)(25n 1) 24+ M
c) Ch s tn cựng ca s t nhiờn n v n

5
l ging nhau.
d)
3 3
(a b) 6 (a b ) 6+ +M M
e) Cho n > 2 v (n, 6) = 1. CMR
2
n 1 24

M

g)
2n 1 n 2
3 2 7
+ +
+
M
f)
2n 2 6n 1
3 2 11
+ +
+
M
B, CHIA HT A THC :
1. Ta s dng nh lý B zu :
S d trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a bng giỏ tr ca a thc f(x) ti x = a.
T ú ta cú cỏc h qu : a thc f(x)
M
( x a) < = > f(a) = 0 tc l khi a l nghim ca a thc
T ú suy ra :

a thc f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ chia ht cho x 1
a thc f(x) cú tng cỏc h s ca s hng bc chn bng tng cỏc h s ca s hng bc l thỡ
f(x)
M
( x + 1)
2.a thc bc 2 tr lờn :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú nhõn t chi ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Xột giỏ tr riờng.
3/ Chng minh a thc chia ht cho a thc khỏc :
Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú 1 tha s chia ht cho a thc chia.
Cỏch 2 : Bin i a thc b chia thnh tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia.
Cỏch 3 : S dng bin i tng ng : chng minh f(x)
M
g(x) ta chng minh : f(x) + g(x)
M
g(x)
hoc f(x) - g(x)
M
g(x).
Cỏch 4 : Chng t rng mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia
Bi 1. Xỏc nh cỏc hng s a ; b sao cho:
a) 4x
2
- 6x + a
M
(x-3)
b) 2x
2
+ x + a
M

(x+3)
c) x
3
+ ax
2
- 4
M
(x
2
+ 4x + 4)
d) 10x
2
- 7x + a
M
(2x - 3)
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 2

e) 2x
2
+ ax + 1 chia cho x - 3 d 4
g) ax
5
+ 5x
4
- 9
M
(x-1)
Bi 2 Tỡm cỏc hng s a v b sao cho x
3
+ ax + b chia cho x + 1 thỡ d 7, chia cho x - 3 thỡ d -5

Bi 3 Tỡm n

Z :
a/ n
2
+ 2n 4
M
11
b/ 2n
3
+ n
2
+ 7n +1
M
2n 1
c/ n
3
2
M
n 2
d/ n
3
- 3n
2
+ 3n - 1
M
n
2
+n + 1
e/n

4
2n
3
+ 2n
2
2n + 1
M
n
4
1
Bi 4: Tỡm s d phộp chia x
99
+ x
55
+ x
11
+x + 7 cho x + 1
Bi 5: CMR : a/ x
50
+ x
10
+ 1
M
x
20
+ x
10
+ 1
b/ x
2

- x
9
x
1945

M
x
2
- x + 1
c/ x
10
- 10x + 9
M
(x 1)
2
d/ 8x
9
- 9x
8
+ 1
M
(x 1)
2
I. MT S DNG PHNG TRèNH VI NGHIM NGUYấN

1. Dng 1: Phng trỡnh bc nht.
a. Phng trỡnh dng: ax + by = c (a,b,c nguyờn)
* Cỏch gii: - Tỏch cỏ h s v tng cỏc s chia ht cho a hoc b (S no cú GTT ln hn)
- S dng du hiu v tớnh cht chia ht ca mt tng tỡm ra mt n .
Thay nghim va tỡm c vo phng trỡnh ban u tỡm nghim cũn li.

- Kt lun nghim
Bi tp mu: Tỡm nghim nguyờn ca phng
trỡnh: 2x + 3y = 11
Gii:
Cỏch 1: 2x + 3y = 11
1 y
x y 5
2

= + +

x nguyờn khi
1 y 2 hay y = 2t + 1 t

M Â

x = 4 3t
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh:
x 4 3t
y 2t 1
=


= +

t

Z
Cỏch 2: 2x + 3y = 11
d = (a, b) = (2, 3) = 1

nghim riờng: (x
0,
y
0)
= (4, 1)
1
1
a
a
d
b
b
d

=




=


nghim tng quỏt
0 1
0 1
x x b t
y y a t
=

= +


Vy nghim phng trỡnh l:
x 4 3t
y 2t 1
=


= +



Vớ d 1 Gii phng trỡnh: 11x + 18 y = 120
Hng dn gii
11x + 18 y = 120 ú 11x + 22y 4y = 121 1
ú 11(x + 2y -11 ) = 4y 1
4y 1
M
11 => 12y 3
M
11
ú y 3
M
11 => y = 11t + 3 (t
Z

)
x = 6 18 t.
Vy nghim pt l:

6 18
11 3
x t
y t
=


= +

(t
Z

)
Vớ d 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng
trỡnh: 12x + 7y = 45 (1)
Hng dn gii
Theo cỏch gii trờn ta tỡm c nghim nguyờn
ca phng trỡnh (1) l
7 12
27 12
x t
y t
=


=


Vi iu kin nghim nguyờn dng ta cú:
7 12 0

27 12 0
x t
y t
= >


= >

=> t = 2
Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l
2
3
x
y
=


=

b. Phng trỡnh dng: ax + by +cz= d (a,b,c,d
nguyờn)
Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh:
6x + 15y + 10 z = 3 (1)
Hng dn gii
(1) ú 3(2x +5y +3 z-1) = - z
=> z
M
3 => z = 3t (t
Z

)
Thay vo phng trỡnh ta cú:
2x + 5y + 10t = 1 (t
Z

)
Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham
s) ta c:
Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 1 2t; 3k)
Vi t; k nguyờn tu ý
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 3

.
Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn.
Dạng ax
2
+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5x – 3y = 2xy – 11 (1)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Rút y theo x: y =
5 11 5
2
2 3 2 3
x x
x x
+ +
= +

+ +

(Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0)
Vì y nguyên => x + 5
M
2x + 3 => …. 7
M
2x + 3
Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2);
(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng.
Cách 2. Đưa về phương trình ước số:
Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là
số đã biết. Đặt ĐK để có x nguyên.
Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình.
x
2
+ 2y
2
+3xy –x – y + 3 =0 (1)
Hướng dẫn giải
Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên.
3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x(x+1)(x+2)(x+3) = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) ó (x
2

+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = y
2

Đặt a = x
2
+ 3x (ĐK: a
2
≥ −
(*)
Ta có: a
2
– 1 = y
2
GiảI phương trình này bằng cách
đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương
trình (1)
Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x
3
- y
3
= xy + 8 (1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 2
. 8x y x xy y
− + + =
Ta có x khác y vì

nếu x = y => x
2
+ 8 = 0 Vô lý.
Vì x; y nguyên =>
1x y
− ≥
=>
2 2
8x xy y xy
+ + ≤ +
=> x
2
+ xy + y
2

8xy
≤ +

(2)
Nếu xy + 8 < 0=> (2) ó (x + y)
2

≤
-8. Vô nghiệm.
N ếu xy +8 > 0 => (2) ó x
2
+ y
2

≤

8
=> x
2
, y
2

{ }
0;1;4
∈
Từ đó tìm được Hai nghiệm
nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0)
4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức.
Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
1 1 1 1
6 6x y xy
+ + =
(1)
Hướng dẫn giải
Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số
Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)
Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho
−
−
17
9
x
x
là bình
phương của một phân số.
Hướng dẫn giải

Giả sử
−
−
17
9
x
x
=
 
 ÷
 
2
a
b
Với a, b nguyên, b khác 0
và (a, b) = 1.
Nếu a = 0 => x = 17.
Nếu a khác 0. Ta có (a
2
, b
2
) = 1 => x – 17 = a
2
.k; x
– 9 = b
2
.k (k nguyên)
Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k
Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình
x =17; 18; 8

5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ.
Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
2
x
+ 3 = y
2
(1)
Hướng dẫn giải
 Nếu x = 0 => y
2
= 4 => y = 2 hoặc y = -2.
 Nếu x = 1 => y
2
= 5 Vô nghiệm nguyên.
 Nếu x
≥
2
=> 2
x

M
4 Do đó vế tráI chia cho
4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y
2
chia 4 dư 1
=> Vô lý.
 Vậy nghiệm nguyên của (1) là:
(0; 2); (0; -2)
II. BÀI TẬP:
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) 2x + 3y = 11
b) 3x + 5y = 10
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của
phương trình: 4x + 5y = 65
3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một
số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11.
4. Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho
100 dư 1, chia cho 98 dư 11.
5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả
hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người.
Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?
Boài döôõng hoïc sinh THCS 4

I. Tớnh cht c bn ca BT :
a) a < b, b < c

a < c
b) a < b

a +c < b+ c.
c) a< b

a.c < b.c (vi c > 0)
a< b

a.c > b.c (vi c < 0)
d) a < b v c < d

a+c < b + d.
e) 0 < a < b v 0 < c < d

a.c < b.d
f)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+ + +
< <
Â
0 <
( )
2 2
n
n n
a b a b
+
< <
Â
g)
( )
2 1 2 1
n
n n
a b a b
+
+ +
< <
Â

( )
2 2
0 n
n n
a b a b
+
< < <
Â
II. BT Cauchy: (Cụsi)

a,b 0
2
a b
ab
+

ng thc
2
a b
ab
+
=
xy ra khi v ch khi a = b.
a, b, c 0
3
+ +

a b c
abc

H qu:
1
a + 2
a

,
a 0
>
III. Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i
a) |x|

0, |x|

x, |x|

-x
b) |x|

a

-a

x

a ( vi a > 0)
|x|

a

x

-a hoc x

a
c) |a|-|b|

|a+b|

|a| + |b|.
II. BT Bunhinacụpxki
Cho a, b, x, y l cỏc s thc, ta cú:
++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
ng thc xy ra khi:
a b
x y
=
Tng quỏt: Cho 2n s thc:
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
a a a b b b
Ta cú:
1 1 2 2
| | + + +
n n
a b a b a b

2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
( )( )
n n
a a a b b b
+ + + + + +
Du = xy ra khi v ch khi:
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
III. BT Becnuli
Cho a > -1, n

N
*
:
(1+ + a)
n


1 + na.
ng thc xy ra khi
a = 0 hoc n = 1

Bt ng thc Cụ-si m rng:
Cho n s khụng õm: a
1
; a
2; ;
a
n
Ta cú:
1 2 1 2
a
a
n n
a a n a a a+ + +
Du = xy ra khi v ch khi
1 2
a
n
a a= = =
Bi 1:
Cho hai s dng a v b . Chng minh : (a+b)(
b
1
a
1
+
) 4
Gii:
Vỡ a, b l hai s dng nờn ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú:
(a+b) 2 ab
1 1 1

+ 2
a b ab
1 1 1
(a+b) 2 .2 =4
a ab
ab
b



+
ữ

Du = xy ra khi v ch khi:a= b.
Bi 2: Vi mi a, b,x,y, thuc
Ă
.
Chng minh rng:
( ) ( )
2 2 2
| |ax by a b x y
2
+ + +
p dng :
1. Cho x
2
+ y
2
=1 , chng minh -
2

x+y
2

Boi dửụừng hoùc sinh THCS 5

2. Cho x+2y = 2 , chứng minh x
2
+ y
2
≥
5
4
Bài 3
Cho ba số dương a, b, c.
Chứng minh rằng:
( )
1 1 1
9a b c
a b c
 
+ + + + ≥
 ÷
 
Bài 4: Cho
3
ab+bc+ca
, , 0. C/m:
3
a b c abc
≥ ≥

Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m:
ab bc ca
a b c
c a b
+ + ≥ + +
Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm:
( )( )
dbcacdab
++≤+
Bài 9: CM bất đẳng thức:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba

+++≥+++
Bài 10: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
Bài 11: CM với mọi n nguyên dương thì:
2
1
2
1

2
1
1
1
>++
+

+
+
nnn
Bài 12: Cho a
3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
≤
2.
Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn






−
0;
3
4
Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.

CMR: 2a
2
+ 3b
2

≥
5.
Bài 15: Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1.
CM: a
2
+ 4b
2

≥

5
1
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: CM:
3
1
2222
22222
<
++−
+++−
Bài 17: Chứng minh:
a)
≥++ ))((
2222

yxba
(ax + by)
2

b)
2420 ≤−+−< xx
Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm:

2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Boài döôõng hoïc sinh THCS 6

Bài 19: Cho
100
1

3
1

2
1
1 ++++=S
.
CMR: S không là số tự nhiên.
Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR:
yxyx
+
≥+
411
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi
2
cba
P
++
=
.







++≥
−
+
−

+
−
cbacpbpap
111
2
111

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 21: a) CM x > 1 ta có:
2
1
≥
−x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
11
22
−
+
−
=
a
b
b
a
P
Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a
2
+ b
2

+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì

9
111
≥






++
cba
.
Bài 24: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca
≤
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a
2

+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)
2
+ ( b - 2)
2
= 5. Cm: a + 2b
≤
10.
Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
≤+≤
ba
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
3
211
≥
+

++
baba
Bài 29: CMR nếu:
a)
51
≤≤
a
thì
105413 ≤−+− aa
b) a + b
2;01;0
=+≥+≥
bab
thì
2211 ≤+++ ba
Bài 30: Cho biểu thức
4 3 4 3
5 4 3 2
3 1
1 1
4

1
P
x x x x x x
x x x x x
= − −
− + − + − −
−
− + − + −

CMR:
9
32
0 << P
với
1
±≠∀
x
.
Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và
1
a
b
<

:
a a k
Cmr
b b k
+
<
+
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+

+
+
+
+
< 2.
Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR :
9
1
1
1
1 ≥






+






+
ba
Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
Boài döôõng hoïc sinh THCS 7

+++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
1) nh ngha: L s cú dng
2
,n nÂ
.
2) Tớnh cht:
1. S chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, s chớnh phng l khi chia cho 8 d 1
2. Nu a=3k thỡ
( )

2
0 mod9a

; Nu
3a k

thỡ
( )
2
1 mod3a

3. Gia cỏc bỡnh phng ca hai s nguyờn liờn tip khụng cú s chớnh phng no
4. S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng th cú ch s tn cựng
bng 2, 3, 7, 8
5. Nu hiu ca hai s nguyờn bng 2n thỡ tớch ca chỳng thờm n
2
s l s chớnh phng.
6. Nu ab chớnh phng, (a,b)=1 thỡ a chớnh phng v b chớnh phng.
HD: G/s ab= c
2
v gi d=(a,c) suy ra a=a
1
d; c=c
1
d, (c
1
, d
1
)=1do ú ab=c
1

2
d
+ Do
( )
2 2
1 1 1 1 1
a d c c , 1b vi a c
=
M M
+ Do
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 1
, , 1 ;
c
c d b c bvi b d b a b c a d
b
= = = = =M M
7. Nu mt s chớnh phng chia ht cho p, p- nguyờn t thỡ s chớnh phng ú chia ht cho p
2
. Do
ú nu mt s a chia ht cho s nguyờn t p nhng s a khụng chia ht cho p
2
thỡ a khụng l s
chớnh phng.
2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn.
3. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 4n hoc 4n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú
dng 4n + 2 hoc 4n + 3 (n

N).
4. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 3n hoc 3n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú
dng 3n + 2 (n

N).
5. S chớnh phng tn cựng bng 1 hoc 9 thỡ ch s hng chc l ch s chn.
S chớnh phng tn cựng bng 5 thỡ ch s hng chc l 2
S chớnh phng tn cựng bng 4 thỡ ch s hng chc l ch s chn.
S chớnh phng tn cựng bng 6 thỡ ch s hng chc l ch s l.
6. S chớnh phng chia ht cho 2 thỡ chia ht cho 4.
S chớnh phng chia ht cho 3 thỡ chia ht cho 9.
S chớnh phng chia ht cho 5 thỡ chia ht cho 25.
S chớnh phng chia ht cho 8 thỡ chia ht cho 16.
III. MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG
A. DNG1 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG
Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
l s chớnh phng.
Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)( x
2
+ 5xy + 6y
2

) + y
4

t x
2
+ 5xy + 5y
2
= t ( t

Z) thỡ
A = (t - y
2
)( t + y
2
) + y
4
= t
2
y
4
+ y
4
= t
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2)2

Boi dửụừng hoùc sinh THCS 8

V ì x, y, z
∈
Z nên x
2

∈
Z, 5xy
∈
Z, 5y
2

∈
Z
⇒
x
2
+ 5xy + 5y
2

∈
Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n
∈
N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n
2

+ 3n)( n
2
+ 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n
2
+ 3n = t (t
∈
N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t
2
+ 2t + 1 = ( t + 1 )
2

= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vì n
∈
N nên n
2
+ 3n + 1
∈
N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương .
Ta có k(k+1)(k+2) =
4
1
k(k+1)(k+2).4 =
4

1
k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]
=
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒
S =
4
1
.1.2.3.4 -
4
1
.0.1.2.3 +
4
1
.2.3.4.5 -
4
1
.1.2.3.4 +…+
4
1
k(k+1)(k+2)(k+3) -
4
1
k(k+1)(k+2)(k-1) =
4

1
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2
⇒
k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng
tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10
n
+ 8 . 11…1 + 1

n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số
= 4.
9
110
−
n
. 10
n
+ 8.
9
110
−
n
+ 1
=
9
9810.810.410.4

2
+−+−
nnn
=
9
110.410.4
2
++
nn
=








+
3
110.2
n
Ta thấy 2.10
n
+1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3
n-1 chữ số 0
⇒










+
3
110.2
n

∈
Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương:
A = 11…1 + 44…4 + 1

2n chữ số 1 n chữ số 4

B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
Boài döôõng hoïc sinh THCS 9
2
2


2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6
Kết quả: A =









+
3
210
n
; B =








+
3
810
n
;
Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:

a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0
b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5
a. A = 224.10
2n
+ 99…9.10
n+2

+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ ( 10
n-2
– 1 ) . 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 224.10
2n
+ 10
2n
– 10
n+2
+ 10
n+1
+ 9
= 225.10
2n
– 90.10
n
+ 9
= ( 15.10
n
– 3 )
2

⇒
A là số chính phương
B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:
a. n
2
+ 2n + 12 b. n ( n+3 )
c. 13n + 3 d. n
2
+ n + 1589
Giải
a. Vì n
2
+ 2n + 12 là số chính phương nên đặt n
2
+ 2n + 12 = k
2
(k
∈
N)

⇒
(n
2
+ 2n + 1) + 11 = k
2

⇔
k

2
– (n+1)
2
= 11
⇔
(k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
⇔
k+n+1 = 11
⇔
k = 6
k – n - 1 = 1 n = 4
b. Đặt n(n+3) = a
2
(n
∈
N)
⇒
n
2
+ 3n = a
2

⇔
4n
2
+ 12n = 4a
2

⇔
(4n
2
+ 12n + 9) – 9 = 4a
2

⇔
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9

⇔
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết
(2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
⇔
2n + 3 + 2a = 9
⇔
n = 1
2n + 3 – 2a = 1 a = 2
c. Đặt 13n + 3 = y
2
( y
∈
N)
⇒
13(n – 1) = y
2

– 16

⇔
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒
(y + 4)(y – 4)
M
13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4
M
13 hoặc y – 4
M
13
⇒
y = 13k
±
4 (Với k
∈
N)
⇒
13(n – 1) = (13k
±
4 )
2
– 16 = 13k.(13k
±
8)
⇒
n = 13k
2

±
8k + 1
Vậy n = 13k
2

±
8k + 1 (Với k
∈
N) thì 13n + 3 là số chính phương.
a. Đặt n
2
+ n + 1589 = m
2
(m
∈
N)
⇒
(4n
2
+ 1)
2
+ 6355 = 4m
2
Boài döôõng hoïc sinh THCS 10


⇔
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)
(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
a. a
2
+ a + 43
b. a
2
+ 81
c. a
2
+ 31a + 1984
Kết quả: a. 2; 42; 13
b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .
Với n = 1 thì 1! = 1 = 1
2
là số chính phương .
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3
2
là số chính phương
Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó
1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương .
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tìm n
∈
N để các số sau là số chính phương:
a. n
2

+ 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c. n
2
+ 4n + 97
d. 2
n
+ 15
Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n
2
là số chính phương.
Giả sử 2006 + n
2
là số chính phương thì 2006 + n
2
= m
2
(m
∈
N)
Từ đó suy ra m
2
– n
2
= 2006
⇔
(m + n)(m - n) = 2006
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
⇒

2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2)
⇒
m + n và m – n là 2 số chẵn

⇒
(m + n)(m - n)
M
4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

⇒
Điều giả sử sai.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n
2
là số chính phương.
Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81;
121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84.
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương.
Boài döôõng hoïc sinh THCS 11
2

Vậy n = 40
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta
được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k
2
. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m

2
với k, m
∈
N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d
∈
N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9
⇒
Ta có A = abcd = k
2

B = abcd + 1111 = m
2

⇒
m
2
– k
2
= 1111
⇔
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương.
Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do đó m – k == 11
⇔
m = 56
⇔
A = 2025
m + k = 101 n = 45 B = 3136

Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau
1 đơn vị.
Đặt abcd = k
2
ta có ab – cd = 1 và k
∈
N, 32 ≤ k < 100
Suy ra 101cd = k
2
– 100 = (k-10)(k+10)
⇒
k +10
M
101 hoặc k-10
M
101
Mà (k-10; 101) = 1
⇒
k +10
M
101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110
⇒
k+10 = 101
⇒
k = 91
⇒
abcd = 91
2
= 8281

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n
2
với a, b
∈
N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n
2
= aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb
M
11
⇒
a + b
M
11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18
⇒
a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n
2
= 11
2
(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương .
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn
⇒
b = 4
Số cần tìm là 7744
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd =

x
2
= y
3
Với x, y
∈
N
Vì y
3
= x
2
nên y cũng là một số chính phương .
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999
⇒
10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương
⇒
y = 16
⇒
abcd = 4096
Boài döôõng hoïc sinh THCS 12

Bi tp
1. Chng minh rng tng ca hai s chn liờn tip khụng chớnh phng.
HD:
( )
2 (2 2) 4 2 2 mod 4n n n
+ + = +
2. Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca 2 hoc 3 s nguyờn l khụng chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 mod 4
2 1 2 1 2 1 3 mod8
n k
n k l
+ + +
+ + + + +
3. Chng minh rng mt s chn bt kỡ khụng phi l bi ca 4 thỡ khụng th phõn tớch thnh hiu 2 s
chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1k a b a b a b
+ = = +
Do v trỏi chn nờn hai s a v b cú cựng tớnh chn l suy ra (a-b) v (a+b) cựng chn. Khi ú v phi
chia ht cho 4.
4. Chng minh phng trỡnh 13x
2
+2 =y
2
khụng cú nghim nguyờn.
HD: + x v y cựng tớnh chn l
+ Khi y chn:
( ) ( )
VP 0 mod 4 ;VT 2 mod4 ;

+ Khi y l :
( ) ( )

VP 1 mod8 ;VT 7 mod8 ;

5. Tỡm
n

Ơ

2 8 5
n
n
+ +
l chớnh phng.
HD: +
( )
3 2 8 5 5 mod8
n
n n
+ +
+ n=2: 25 l chớnh phng.
+ n=0 hoc 1 thỡ khụng tho món
6. Chng minh rng khụng tn ti
n

Ơ
24n+41 l chớnh phng.
HD: G/s 24n+41=t
2
+ Nu t chia ht cho 3 thỡ 24n+41=3(8n+13)+2 khụng chia ht cho 3
+ Nu t khụng chia ht cho 3 thỡ
( ) ( ) ( )

2
1 mod3 3 8 13 2 1 mod3t n
+ +

7. Chng minh khụng tn ti
n

Ơ
7.10
n
+4 l chớnh phng.
HD:
( )
7.10 4 2 mod3
n
+
8. Chng minh rng tớch ca 2 s t nhiờn khỏc khụng liờn tip khụng chớnh phng.
HD: cú n
2
< n(n+1) < n
2
+2n+1 = (n+1)
2
9. Tỡm
n

Ơ
n
2
+ 3n l chớnh phng.

HD: D thy n = 0;1 ỳng.
Ngoi ra, cú n
2
+2n+1< n
2
+3n < n
2
+4n+4 hay (n+1)
2
< n
2
+3n< (n+2)
2
10. Tỡm
n

Ơ
n
2
+ 3 chia ht cho 5.
11. Tỡm
n

Ơ
n! + 97 l chớnh phng.
HD: Nu
5n

thỡ n!+97 cú tn cựng l 7 nờn khụng chớnh phng.
Nu n = 4 thỡ 24+97 = 121= n

2
Nu
0 3n

thỡ u khụng tho món.
12. Chng minh rng tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip thờm 1 l s chớnh phng.
13. Tng cỏc ch s ca mt s chớnh phng cú th bng 1994 hoc 1995 c hay khụng?
HD: a)
( )
( ) mod3N S N

. Vỡ
( )
1994 2 mod3

nờn nu S(N)=1994 thỡ
( )
2 mod3N

b) vỡ 1995 chia ht cho 3, nhng 1995 khụng chia ht cho 9 nờn tng cỏc ch s ca 1 s chớnh
phng khụng th bng 1995.
14. Chng minh rng tng bỡnh phng ca 5 s nguyờn liờn tip khụng chớnh phng.
HD:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1 2 5 2 5n n n n n n
+ + + + + + = +
M

nhng khụng chia ht cho 25.
15. Chng minh rng khụng tn ti
n

Ơ
n
2
+n+2 chia ht cho 3.
HD: G/s
n

Ơ
n
2
+n+2=3k khi ú n
2
+n+2-3k = 0 cú nghim nguyờn dng
Cú
( )
3 4 3 2k
= +
l s chớnh phng. iu ny vụ lớ vỡ
( )
2 mod3

16. Gi N=2.3.4P
n
l tớch ca n s nguyờn t u tiờn. Chng minh rng c 3 s N, N-1, N+1 u
khụng l s chớnh phng.
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 13

HD: Nu N chn nhng khụng chia ht cho 4 nờn N khụng chớnh phng.
Nu N+1=k
2
thỡ k l khi ú
N=(k-1)(k+1) 4!M
Nu
( )
1 2 mod3N

th ỡ N-1 khụng chớnh phng.
17. Chng minh rng tng bỡnh phng ca 2 s l khụng chớnh phng.
18. Chng minh rng s chớnh phng cú cha ch s l hng chc thỡ ch s hng n v luụn bng
6.
HD: xột (10n+b)
2
= 20n(5n+b) + b
2
; Vi
9b

ch s hng chc ca 20n(5n+b) chn do ú ch s
hng chc ca b
2
l nờn b=4; 6.
19. Chng minh rng mi s chớnh phng l u cú ch s hng chc l chn.
HD: Xột (10a+b)
2
= 20a(5a+b)+b
2

vi b l,
2
9 1;3;5;7;9 01;09;25;49;81b b b
= =

PCM
20. Chng minh rng mt s chớnh phng ln hn 100 cú tn cựng l 5 thỡ ch s hng trm l chn.
HD: Xột (10a+5)
2
=100a(a+1)+25. Vỡ a(a+1) chn . Ta cú PCM.
21. Tỡm
,x y

Ơ
2
x
+ 5
y
chớnh phng.
HD: G/s
( )
2 2
2 5
y
k k
+ =
Â
+ Nu x=0 thỡ 1+5
y
=k

2
suy ra k chn
( )
1 5 2 mod4
y
+
+ Nu
0x

k l v k khụng chia ht cho 5.
y=0:
( ) ( )
2
2
2 1 2 1 2 4 1 1, 3, 0
x x
k m m m m x y
+ = = + = + = = =

0y

, vỡ k khụng chia ht cho 5 nờn
( )
2
1 mod5k

T gi thit suy ra
( )
2 mod5
x

x chn, x=2n
V t gi thit suy ra
( )
2 5
5 ( 2 ) 2 , ; ,
2 5
n a
y n n
n b
k
k k a b y a b
k

+ =
= + + =

=

Ơ
( )
1 1
2 5 5 1 5 1, 0 2 5 1
n b a b b n y
b hay a y
+ +
= = = = =
+ Nu y=2t thỡ 2
n+1
=25

t
-1 chia ht cho 3
+ Nu y l thỡ 2
n+1
=4(5
y-1
+5
y-2
++ 5+1)
nu y>1 thỡ 5
y-1
+5
y-2
++5+1 l.
Vy y=1 suy ra x=2. ỏp s x=1; y=2.
22. Tỡm 1 s cú 2 ch s bit:
a) Tng ca s ú v s vit theo th t ngc li l s chớnh phng.
b) Hiu bỡnh phng ca s ú v s vit theo th t ngc li l s chớnh phng.
HD:a)
( )
11 11ab ba a b+ = + M
, vỡ s chớnh phng chia ht cho 11 thỡ chia ht cho 121 nờn (a+b)
chia ht cho 11. do ú a+b chia ht cho 11.
+)
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
10 10 99 11ab ba a b b a a b = + + = M

Vỡ 0<(a-b)<8,
2 2
2 18 11 9.11.11.( )a b a b ab ba a b + + = =
chớnh phng hay (a-b)
chớnh phng, suy ra hoc a-b=1 hoc a-b=4
S: s 65
23. Tỡm s chớnh phng
abcd
bit
1ab cd
=
HD:
2
100 100(1 ) 100 101n abcd ab cd cd cd cd
= = + = + + = +
( ) ( )
10 10 101n n cd + =
.
Vỡ n<100 v 101 l nguyờn t nờn n+10=101 suy ra n=91.
24. (V Balan) Chng minh rng nu a, b l cỏc s nguyờn tho món h thc 2a
2
+a = 3b
2
+ b thỡ a - b v
2a + 2b+ 1 l cỏc s chớnh phng.
HD: Cú 2a
2
-2b
2
+a-b=b

2
(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b
2
.
Gi d l c dng ca a-b v 2a+2b+1 thỡ d chia ht (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1).
Mt khỏc (1)
2 2
(1) \ \ \1 1d b d b d d =
.
Vy (a-b, 2a+2b+1)=1. T ú ta c PCM
* Lu ý: T gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a
2
nờn (3a+3b+1) l chớnh phng
Boi dửụừng hoùc sinh THCS 14

25. (HSGQG 1995) Tìm p nguyên tố sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p
4
là số chính phương.
Bài 1: Cho biểu thức P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
−

+
−
−
+
+
a) Rút gọn P. b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn:
x
2
+ y = y
2
+ x.
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y
2
x ++
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
yx
y-x
+

Biết x
2
-2y
2
= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức P =

3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
−
−
+
−+
−
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
1
b) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a
1
−
−

+
+
+
−
−+
−+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
2
a 4 a -4 a 4 a -4
8 16
1-
a
a
P
=
+ + −
+

a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P =

















−
−
+−
−
−
1a
2
1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
P =

















−
−
−
−
−
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2

x4
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có
m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =
















+
−
−
+
++

−
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =
x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
−
−−

+
+
−
−
+










a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Boài döôõng hoïc sinh THCS 15

Bài 11: Rút gọn P.
P =
2
224
22
22
22
22
b
baa4

:
baa
baa
baa
baa
−
−+
−−
−
−−
−+










Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x

1x
2x
















−
++
+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6x5x

10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−
−+−
+
52.549
347.32
4
63
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức
P =
1x
1xx

xx
1xx
xx
22
++
+−
+
−
++
−
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
P =
1x
)12(x
x
x2x
1xx
xx
2
−
−
+
+
−
++
−
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để b. thức Q =

P
x2
nhận g trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−
+
−
−
−+









a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và
tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5310
53
5310
53
−+
−
−
++
+
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
7474
−−+

b) B =
5210452104
+−+++
c) C =
532154154
−−−++
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P =
123412724

−−++−++
xxxx
Với
2
1
≤ x ≤ 5.
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:

1
2
3
11
2
3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−

−
+
++
+
Bài 23: Cho x =
3
725
3
725
−−+
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x
3
+ 3x
Bài 24:Cho E =
yx
xy1
yx
xy1
−
−
−
+
+
Tính giá trị của E biết:
x =
222.222.84 +−+++
y =
45272183
2012283
+−

+−
Bài 25:Tính P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071
+
+
+
Bài 26:Rút gọn biểu thức sau:
P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
1
2005 2009
+
Bài 27:Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x
3
+ y

3

- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x =
3
223
3
223
−++
y =
3
21217
3
21217
−++
Bài 28:Cho biểu thức
A =






−









+
+
−
−
−
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154
−
Bài 29:Cho biểu thức

A =
( ) ( )
( )






−
−⋅
−−
−++−−
1
1
1
14
1414
2
x
xx
xxxx
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30:Cho biểu thức
P =
xxx
x
xx
x

+
+
+++
+−
+
−+−
−+
1
1
11
11
11
11
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2
.
Bài 31:Cho biểu thức
P =
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−

+
xxxxx
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32:Cho biểu thức
Boài döôõng hoïc sinh THCS 16

P =
a
a
a
a
aa
a
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33:Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:Cho biểu thức
P =
x
x

yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35:Cho biểu thức
P =
yxxy
yyxxyx
yx
yxyx
33
33
:

11211
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x
2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.

c) Tìm m sao cho nghiệm số x
1,
x
2
của phương trình thỏa mãn
điều kiện
2
1
x
+
2
2
x
≥
10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )



−+<+
>
acbcabac
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0

luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện:
a
2
+ ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có
hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ px + q = 0. Tìm p, q
biết rằng phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn:



=−
=−
35
5
3
2
3
1
21

xx
xx
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương
trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0
luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0
( a
≠
0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a
2
+ b
2
– c
2
)x
2
- 4abx + (a
2
+ b
2
– c
2
) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax

2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0)
có nghiệm nếu
4
2
+≥
a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác
định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
2
1
x
-
2
2
x
=
9
5
Bài 10: Cho phương trình:
x
2
– 2(m + 4)x +m

2
– 8 = 0. Xác định m để phương
trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
a) A = x
1
+ x
2
-3x
1
x
2
đạt GTLN
b) B = x
1
2
+ x
2
2
- đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,

x
2
không

phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương
trình bậc 2: 3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị
của biểu thức: S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bài 12: Cho phương trình : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Có
hai nghiệm là x
1
,

x
2.

Không giải phương trình trên
hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
Bài 13: Cho pt: x
2
– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm
với mọi giá trị của a.
Boài döôõng hoïc sinh THCS 17

2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x

2
thỏa mãn điều kiện: x
1
2
+ x
2
2
= 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai
nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện: x
1
< 1 <

x
2
.
Bài 14: Cho phương trình:
x
2
– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với
mọi giá trị của m.
b) Gọi x
1

,

x
2
là hai nghiệm của phương
trình (1) .
Tìm GTNN của M = x
1
2
+ x
2
2
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
111
=+
ba
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải
có nghiệm:
x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình:
x
2
– 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương
trình (1) theo m.

b) Tìm m sao cho 10x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt
GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0,
tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình:
x
2
– (m - 1)x + m
2
+ m – 2 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn luôn có
nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x
1
2

+ x
2
2
đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình:
x
2
– 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với
mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2

≥
10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
E = x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2:
x
2
+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a
2
+ b
2
là một hợp số.
.
Giải phương trình:
Bài 1: x
3

+ 2x
2
+ 2
2
x + 2
2
.
Bài 2: (x + 1)
4
= 2(x
4
+ 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x
2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)
4
+ (x + 8)
4
= 272
Bài 7: a) (x +
2
)
4
+ (x + 1)
4
= 33 + 12
2
b) (x - 2)

6
+ (x - 4)
6
= 64
Bài 8: a) x
4
- 10x
3
+ 26x
2
- 10x + 1 = 0
b) x
4
+ 3x
3
- 14x
2
- 6x + 4 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x
4
= 24x + 32
b) x
3
+ 3x
2

- 3x + 1 = 0
Bài 10:
198
35
=−+−
xx
Bài 11:
1
253
7
23
2
22
=
++
−
+−
xx
x
xx
x
Bài 12: x
2
+
( )
12
2
4
2
2

=
+x
x
Bài 13:20
0
1
4
48
1
2
5
1
2
2
2
22
=
−
−
+






−
+
−







+
−
x
x
x
x
x
x
Bài 14: a)
4
1
7
13
3
22
−=
++
+
+−
xx
x
xx
x
b)
1512

4
156
1510
22
2
+−
=
+−
+−
xx
x
xx
xx
c)
4
1
56
55
54
53
2
2
2
2
−=
+−
+−
−
+−
+−

xx
xx
xx
xx
Bài 15: a) x
2
+
( )
40
9
81
2
2
=
+
x
x
b) x
2
+
( )
15
1
2
2
=
+x
x
Bài 16: a)
9

40
2
11
22
=






−
−
+






−
x
x
x
x
b)
0
1
4
2

5
1
2
1
2
2
2
22
=
−
−
−






−
−
+






+
+
x

x
x
x
x
x
c) x.
15
1
8
1
8
=






−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
Boài döôõng hoïc sinh THCS 18

Bài 17: x
2
+
2
1






−
x
x
= 8( Đề thi HSG V1
2004)
Bài 18:
23151 −=−−− xxx
Bài 19:
271
33
=−++ xx
Bài 20:
21212
=−−+−+
xxxx
Bài 21: 3x
2
+ 21x + 18 + 2
277

2
=++
xx
Bài 22: a) (x - 2)
4
+ (x - 3)
4
= 1
b) x
4
+ 2x
3
- 6x
2
+ 2x + 1 = 0
c) x
4
+ 10x
3
+ 26x
2
+ 1 = 0
Bài 23: (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2
( Đề thi HSG V1 2003)

Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x
2
+ 3x - 4)(x
2
+ x - 6) = 24
Bài 25: a) x
3
- 6x + 4 = 0
b) x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Bài 26: a) x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x - 12 = 0
b) x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = 0

Bài 27:
0
4
3
10
48
3
2
2
=






−−+
x
x
x
x
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a
2
+
b
2
) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x
2
+ 2) = 5

1
3
+
x
( Đề thi HSG 1998)
Bài 29:
3
53
14
5 =
−+
−
−−
x
x
x
Bài 30: x
4
- 4
3
x -5 = 0 ( Đề thi HSG
2000)
Bài 31:
05
2
4
2
4
=−
−

+
x
x
x
( Đề thi
HSG V2 2003)
Bài 32: a) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
b) (x
2
- x + 1)
4
- 10(x
2
- x + 1)
2

+9x
4
= 0
Bài 33: (x + 3
x
+ 2)(x + 9
x
+18) =

168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
b) 3
8
3
+
x
= 2x
2
- 6x + 4
c)
2
32
4
2 =
+−
+−
x
x
Bài 35:
0321
333
=+++++ xxx
Bài 36: Cho phương trình: x
4
-4x
3

+8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4
nghiệm phân biệt.
Bài 37: Cho phương trình (x + a)
4
+ (x +
b)
4
= c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình
có nghiệm.
Bài 38: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+
4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương
trình: 4x
4
+ 8x
2
y + 3y
2
- 4y - 15 = 0.
Bài 40: x
2
+ 9x

+ 20 = 2
103
+
x
Bài 41: x
2
+ 3x

+ 1 = (x + 3)
1
2
+
x
Bài 42: x
2
+
2006+x
=2006
.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+
−

Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
yx
yx
+
−
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
M =
222
z
xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a

3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của
biểu thức:
P =






+






+






+
a

c
c
b
b
a
111
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x
+ y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2007

+ y
2007

+ z

2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của biểu thức:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a
100
+ b
100
=

a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102

Tính giá trị của biểu thức P = a
2007
+ b
2007
Bài 8: Cho
1=+
b
y
a
x
và
2
−=
ab
xy
. Tính
3
3
3
3
b
y
a
x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu
thức
Boài döôõng hoïc sinh THCS 19

P =

222222222
111
cbabcaacb
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2
+ y
2
= 1.
Chứng minh rằng:
a) bx
2
= ay
2
;
b)

10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xzzyzyxyx
++
+
++
+
++
1
1
1
1
1
1

= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c

3
+ (c – a)b
3
+ (b – c)a
3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị
của biểu thức:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
−−
+
−−
+
−−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác.
Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác
đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau
thì:

accbbabcac
ba

abcb
bc
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap
−−−
=−
−

+
−
+
−
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1.
Chứng minh :
3
)2(2
11
2233
+
−
=
−
+
−
ba
ab
a
b
b
a
Bài 18: Cho
1
=++
c
z
b
y
a

x
và
0=++
z
c
y
b
x
a
Tính giá trị biểu thức A =
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
0
=
−
+
−
+

−
ba
c
ac
b
cb
a
Tính giá trị của P =
222
)()()( ca
c
ac
b
cb
a
−
+
−
+
−
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x

2
– y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh
rằng biểu thức
A = a
4
(b – c) + b
4
(c – a) + c
4
(a – b) luôn
khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a
+ b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều
kiện: 9y(y – x) = 4x
2
.
Tính giá trị biểu thức: A =
yx

yx
+
−
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x
2
– y
2
= 2xy.
Tính giá trị của phân thức A =
22
6
2
yxyx
xy
++−
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả
mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
Tính giá trị của biểu thức: P =
222
222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax
−+−+−
++
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P =
))(())(())((
333
xzyz

z
zyxy
y
zxyx
x
−−
+
−−
+
−−
Bài 27:Cho





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx

Tính giá trị của biểu thức: P = x
2007

+ y
2007

+ z
2007
.
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam
giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =
[ ]
[ ]
22
22
)()(
)()(
bcacba
cbacba
−−++
−++−
Bài 29: Cho biểu thức P = (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
– 4b
2

c
2
.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh
của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:





=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương
trình:






=++

=++
1
1
333
222
zyx
zyx
Boài döôõng hoïc sinh THCS 20

Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi
HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
432
48632
++
++++
b) Tính giá trị biểu thức: Q =
yx
yx
+
−

Biết x
2
– 2y
2
= xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề
thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x

5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
)
(Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều
kiện: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a
3
và b
3
+ c
3
. (Đề thi HSG tỉnh
2006-2007)

Bài 35: 1) Giải phương trình: x
3
-6x – 40 = 0
2) Tính A =
33
2142021420 −++
(Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
2
+
y
2
= 1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x +
y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của
P =
2 2
1 1
1 1
x y
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
Bài 3) Cho P =
( )
2

2
2 1
1
x x
x
+ +
+
. Tìm GTNN, GTLN của
P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) biết x,y
≥
0, x + y =
10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
B = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2
≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x
2
+ y
2
. Biết x

2
(x
2
+2y
2
– 3) + (y
2
– 2)
2
= 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P =
2
2
1
1
x x
x x
− +
+ +
Bài 8) Tìm GTLN của A = x +
2 x
−
Bài 9) Tìm GTLN của P =
x y z
y z x
+ +
với x, y, z
> 0.
Bài 10) Tìm GTLN của

P =
2 2
( 1990) ( 1991)x x
− + −
Bài 11) Cho M =
3 4 1 15 8 1a a a a
+ − − + + − −
a) Tìm điều kiện của a để M được xác
định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A
tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
.
Tìm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tìm GTNN của P =
2 1
1 x x
+
−
Boài döôõng hoïc sinh THCS 21

Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x
2
+ 4y
2

= 25. Tìm GTLN
và GTNN của biểu thức P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x
2
+ 2y
2
.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y
≤
1.
Tìm GTNN của biểu thức
P =
2 2
1
x y
+
+
2
xy
+ 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =
2
2
1
1
x x
x
+ +
+

Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y
≤
1.
Tìm GTNN của biểu thức
A =
2 2
1 2
x y xy
+
+
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức P =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức P = 2(x
4
+ y
4

) +
1
4xy
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu
thức P =
1 1
1 1
x y
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn:
x
2
+ y
2
= 4.
Tìm GTNN của biểu thức
P =
2
2
1 1
x y
y x
 
 

+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm
GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2
1 1 1
a b c
a b c
     
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1.
Tìm GTNN của:
P = a
3
+ b
3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P =
1 1
1 1a b
+
+ +
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN
của P =

2 2
x y
x y
+
−
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm
GTNN của
P = 8(x
4
+ y
4
) +
1
xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức:
x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
S = x
x
+ y
y
biết
x
+

y
= 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức
P =
2
2
2 2008x x
x
− +
Boài döôõng hoïc sinh THCS 22