Tài liệu Luận văn tốt nghiệp: Tiếp cận lý thuyết tập thô do Z.Pawlak pdf







Luận văn tốt nghiệp

Tiếp cận lý thuyết tập thô do Z.Pawlak








1
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ 2
Bảng các ký hiệu 3
Danh sách bảng 4
Phần mở đầu 6
Chương 1. Các khái niệm cơ bản 10
1.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Hệ thống thông tin và tập thô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Hệ thống thông tin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Quan hệ không phân biệt được . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Các tập xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Các tính chất của xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.5. Độ chính xác của xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Bảng quyết định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Rút gọn và lõi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2. Ma trận và hàm phân biệt được . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3. Luật quyết định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4. Phụ thuộc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2
1.4.1. Hàm thành viên thô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2. Phụ thuộc hàm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.3. Rút gọn xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2. Một số thuật toán tìm tập rút gọn 31
2.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Thuật toán sử dụng các phép toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1. Tập lõi trong bảng quyết định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2. Đặc trưng của tập rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3. Các thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Thuật toán dựa vào số cặp phân biệt được . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1. Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2. Cơ sở toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.3. Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Thuật toán tìm rút gọn xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.2. Sai số của rút gọn xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.3. Các thuật toán tìm rút gọn xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . 54
Chương 3. Khám phá phụ thuộc đa trị 58
3.1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2. Khảo sát phụ thuộc bằng Ma trận phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1. Phụ thuộc và phụ thuộc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.2. Đặc trưng phụ thuộc bằng ma trận phụ thuộc . . . . . . . . . 63
3
3.3. Thuật toán kiểm định và tìm kiếm phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1. Thuật toán tính độ dầy đặc của dãy ma trận . . . . . . . . . . 69
3.3.2. Thuật toán kiểm định phụ thuộc xấp xỉ . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3. Thuật toán tìm kiếm phụ thuộc tối tiểu vế phải . . . . . . . . 75
3.4. Mở rộng phụ thuộc hàm và phụ thuộc đa trị . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1. Quan hệ tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.2. Phụ thuộc mở rộng và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.4.3. Đặc trưng β−phụ thuộc bằng ma trận phụ thuộc . . . . . . . 84
3.4.4. Thuật toán kiểm định β−phụ thuộc đa trị . . . . . . . . . . . 88
3.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Phần Kết luận 92
Tài liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4
Chương
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ
Hệ thống thông tin ()
Tập thô (Rough Set)
Quan hệ không phân biệt được
Tập xấp xỉ dưới
Tập xấp xỉ trên
Bảng quyết định
Rút gọn
Lõi
Ma trận phân biệt được
Hàm phân biệt được
Luật quyết định
Phụ thuộc hàm

Phụ thuộc đa trị
Phụ thuộc xấp xỉ
5
Chương
BẢNG CÁC KÝ HIỆU
A = (U, A): Hệ thống thông tin.
u(a): Giá trị của đối tượng u tại thuộc tính a.
IND(B): Quan hệ B−không phân biệt đượ c.
IND(B|V ): Quan hệ B−không phân biệt được cảm sinh trên tập V .
[u]
B
: Lớp tương đương chứa u của quan hệ IND(B).
U/B: Tập hợp thương của quan hệ IND(B).
V/B: Tập hợp thương của quan hệ IND(B|V ).
BV : B−xấp xỉ dưới của V .
BV : B−xấp xỉ trên của V .
POS
B
(D) : B−miền khẳng định của D.
T = (U, C ∪ D): Bảng quyết định.
Lower
[B]/[D]
: B−xấp xỉ dưới tương ứng với D của U.
Upper
[B]/[D]
: B−xấp xỉ trên tương ứng với D của U.
Boundary
[B]/[D]
: B−biên tương ứng với D của U.
k(R, D): Độ phụ thuộc của tập thuộc tính quyết định D vào tập con các thuộc

6
tính điều kiện R.
m(c
j
, R): Khả năng đóng góp của thuộc tính c
j
vào R.
ω
V
B
(c
j
): Số cặp đối tượng của V bằng nhau trên tập thuộc tính B nhưng khác
nhau tại thuộc tính c
j
.
ω
V
B
(D): Số cặp đối tượng của V bằng nhau trên tập thuộc tính B nhưng khác
nhau trên tập thuộc tính D.
ω
V
(c
j
): Số cặp đối tượng của V khác nhau tại thuộc tính c
j
.
ω
V

(D): Số cặp đối tượng của V khác nhau trên tập thuộc tính D.
ω
B
(c
j
): Số cặp đối tượng của U bằng nhau trên tập thuộc tính B nhưng khác
nhau tại thuộc tính c
j
.
ω
B
(D): Số cặp đối tượng của U bằng nhau trên tập thuộc tính B nhưng khác
nhau trên tập thuộc tính D.
X →
Y
: Y không phụ thuộc hàm vào X trên U.
X →/→ Y : Y không phụ thuộc đa trị vào X trên U.
X→
V
Y : Y phụ thuộc hàm vào X đúng trên tập con V ⊆ U.
X→→
V
Y : Y phụ thuộc đa trị vào X đúng trên tập con V ⊆ U.
X
α,β
−→ Y : Y là (α, β)− phụ thuộc hàm vào X trên U.
X
α,β
→→ Y : Y là (α, β)− phụ thuộc đa trị vào X trên U.
7

Danh sách bảng
1.1 Bảng dữ liệu các đồ chơi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Các triệu chứng của bệnh nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Bảng quyết định về bệnh cúm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Bảng rút gọn thứ nhất của hệ thống bệnh cúm (R
1
). . . . . . . . . . 19
1.5 Bảng rút gọn thứ hai của hệ thống bệnh cúm (R
2
). . . . . . . . . . . 19
1.6 Dữ liệu bảng quyết định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Ma trận phân biệt được M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Bảng chọn ứng cử viên và o ng ạch giảng dạy. . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 Bảng dữ liệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Bảng thông tin về các xe hơi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Bảng dữ liệu các đồ chơi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Bảng chọn lựa giáo viên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Bảng dữ liệu cho ví dụ rút gọn xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1 Bảng dữ liệu sinh viên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Dữ liệu của hệ thống. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 Bảng dữ liệu về các lập trình viên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8
3.4 Quan hệ tương tự trên I
b
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5 Quan hệ tương tự trên I
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 Dữ liệu của hệ thống. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7 Các quan hệ tương tự trên I

X
, I
Y
và I
Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.8 Bảng dữ liệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.9 Các quan hệ tương tự trên I
Y
và I
Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9
Chương
PHẦN MỞ ĐẦU
Lý thuyết tập thô do Zdzisaw Pawlak [24] đề xuất vào những năm đầu thập
niên tám mươi của thế kỷ hai mươi đã được áp dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực của khoa học máy tính. Lý thuyết tập thô được phát triển trên một nền
tảng toá n học vững chắc và cung cấp những công cụ hữu ích để giải quyết các bài
toán phân lớp dữ liệu, phát hiện luật v.v đặc biệt thích hợp đối với những bà i
toán chứa dữ liệu mơ hồ không chắc chắn.
Mười lă m năm trở lại đây đã đánh dấu sự phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực
khai phá dữ liệu và phát hiện tri thức trong cơ sở dữ liệu. Trong xu thế đó, nhiều
nhóm khoa học trên thế giới đã nghiên cứu, phát triển lý thuyết tập thô vào lĩnh vực
nghiên cứu và ứng dụng nổi bật này. Về phương diện nghiên cứu phát triển ứng dụng
lý thuyết tập thô vào các lĩnh vực như ngân hàng, tài chính, sinh học (biểu thị gen),
có thể kể đến các công trình nghiên cứu [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 19, 20, 23, 27].
Về phương diện nghiên cứu phát triển mô hình và giải pháp theo tiếp cận tập thô
có thể kể đến các công trình [14, 26] quan tâm đến các bài toán tính toán lõi và rút
gọn, hoặc các công trình [15, 16, 17, 25, 31, 32] nghiên cứu tìm kiếm các ràng buộc

trong dữ liệu.
Lý thuyết tập thô cho phép trình diễn một mô hình hình thức về tri thức từ
bảng dữ liệu đơn thuần. Mô hình này được xác định như họ các mối quan hệ "không
10
phân biệt được", nhờ đó tri thức được định nghĩa một cách rõ ràng dưới dạng toán
học và có thể được phân tích và xử lý bằng những công cụ mạnh mẽ và hiệu quả
của toán học.
Trong lý thuyết tập thô, mô hình biểu diễn dữ liệu được trình bày thông qua hệ
thông tin hay bảng quyết định và ý tưởng chính trong việc phân tích dữ liệu xuất
phát từ khái niệm "không phân biệt được". Với cách tiếp cận như vậy, lý thuyết tập
thô cho phép phát hiện tri thức từ những bảng dữ liệu lớn với dữ liệu đa dạng, phức
tạp, chưa tinh lọc nhằm phát hiện ra những quy luật tiềm ẩn từ khối dữ liệu này.
Tri thức được biểu diễn dưới dạng các mẫu mô tả mối quan hệ bị che dấu trong
dữ liệu. Trong lý thuyết tập thô, chất lượng của thông tin được đo thông qua các
khái niệm xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới. Nhằm thu hẹp nhiều nhất kích thước dữ liệu
đến miền thông tin chính xác, ý tưởng rút gọn được sử dụng để cho phép loại bỏ
những thông tin dư thừa, không cần thiết mà vẫn giữ được c ác tính chất xấp xỉ
cơ bản của hệ thống. Nếu tìm được những quy luật chung nhất biểu diễn dữ liệu,
người ta có thể tính toán độ mạnh của các thuộc tính hoặc độ phụ thuộc giữa chúng
trong hệ thông tin. Vì vâỵ vấn đề phát hiện luật theo tiếp cận tập thô được đặt ra
là hoàn toàn tự nhiên.
Mục tiêu của đề tài luận án là nghiên cứu khía cạnh đại số và logic của bài
toán phát hiện luật theo tiếp cận tập thô. Đây là một hướng nghiên cứu rất rộng,
bao gồm nhiều vấn đề đang được các nhà khoa học nghiên cứu xem xét. Luận án
chỉ tập trung vào hai vấn đề, một là tìm các tập rút gọn của bảng quyết định, hai
là vấn đề phát hiện các mối ràng buộc có trong dữ liệu. Cả hai vấn đề này đều được
phân tích và xem xét dựa vào các công cụ của lý thuyết tập thô mà nền tả ng là
quan hệ "không phân biệt được".
Với mục tiêu đó, nội dung luận án được trình bày trong ba chương. Chương
Một trình bày một cách tổng quan về các khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập thô

như là hệ thống thông tin, quan hệ không phân biệt được, xấp xỉ dưới, xấp xỉ trên,
bảng quyết định, rút gọn, lõi, ma trận phân biệt được. Các khái niệm liên quan tới
11
xấp xỉ cũng được giới thiệu sơ bộ trong chương này như hàm thành viên thô, phụ
thuộc hàm xấp xỉ, rút gọn xấp xỉ.
Chương Hai trình bày các thuật toán tìm tập rút gọn của bảng quyết định.
Các thuật toán này được chia làm hai nhóm. Nhóm thứ nhất bao gồm hai thuật
toán (Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3) dựa vào khái niệm độ phụ thuộc của tập
thuộc tính quyết định vào tập con các thuộc tính điều kiện; và với khái niệm mới
này, chúng tôi đã đưa ra đánh giá về khả năng đóng góp của một thuộc tính khi
tham gia đó ng vai trò thành viên của tập rút gọn. Nhóm thứ hai chỉ bao gồm một
thuật toán (Thuật toán 2.4) tìm tập rút gọn dựa theo ý tưởng xây dựng ma trận
phân biệt được, tuy nhiên ở đây, các phần tử của ma trận (là các tập hợp) không
hề được tính toán. Thay vào đó, chúng tôi phân tích các đối tượng có giá trị quyết
định khác nhau có mối tương quan như thế nào đối với các giá trị trên tập thuộc
tính điều kiện. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đưa ra tiêu chuẩn của tập rút gọn dựa
vào số cặp đối tượng phân biệt được bởi một tập các thuộc tính. Cả ba thuật toán
được xây dựng trong chương này đều là các thuật toán heuristic và có độ phức tạp
tính toán theo thời gian là đa thức, do đó có thể áp dụng được trên bảng dữ liệu
với kích thước lớn.
Nội dung của Chương Ba tập trung vào vấn đề thứ hai liên quan tới khái niệm
phụ thuộc trong lý thuyết cơ sở dữ liệu quan hệ. Cụ thể là, trong chương này chúng
tôi khảo sát các phụ thuộc hàm và phụ thuộc đa trị tiềm ẩn trong bảng dữ liệu có
sẵn. Để kiểm chứng phụ thuộc đa trị đúng trên tập các đối tượng, chúng tôi đã mô
tả đặc trưng của phụ thuộc đa trị bằng một họ các ma trận phụ thuộc. Do dữ liệu
trong thực tế thường rất lớn và có thể bị nhiễu, nên các phụ thuộc đúng tiềm ẩ n
trong dữ liệu có thể khó phát hiện. Vì vậy chúng tôi đã nghiên cứu các phụ thuộc đa
trị đúng trên hầu hết các đối tượng trong bảng, gọi là phụ thuộc xấp xỉ, đồng thời
đưa ra đánh giá về sai số của phụ thuộc dựa vào khái niệm độ dầy đặc của họ các
ma trận phụ thuộc. Phần cuối của Chương Ba, chúng tôi xây dựng các phụ thuộc

hàm và phụ thuộc đa trị mở rộng bằng cách thay quan hệ bằng nhau trên các giá
12
trị thuộc tính bởi quan hệ tương tự. Một điều khá thú vị là các phụ thuộc mở rộng
này cũng được đặc trưng bởi họ các ma trận phụ thuộc tương ứng.
Chương Chương 1.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Giới thiệu
Ngay từ khi xuất hiện, lý thuyết tập thô do Zdzisaw Pawlak [24] khởi xướng
vào những năm đầu thập niên tám mươi của thế kỷ hai mươi đã ngay lập tức thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và thực nghiệm trên toàn thế giới. Khả
năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau cho thấy vai trò quan trọng của lý
thuyết này trong việc nghiên cứu và ứng dụng công nghệ thông tin trong thời đại
mới.
Lý thuyết tập thô có thể được xem xét theo hai phương diện là mô hình và thực
hành. Theo phương diện mô hình, lý thuyết tập thô cho một cách tiếp cận mới cho
tính mơ hồ. Các khái niệm mơ hồ được đặc trưng bởi một "miền biên" chứa tất cả
các phần tử mà không thể gộp vào miền các đối tượng quan sát hoặc phần bù của
miền này. Lý thuyết tập thô được nghiên cứu và phát triển nhằm hiểu tốt hơn ý
tưởng của tính mơ hồ. Nó cũng xét đến một vài ý tưởng của Gottfried Leibniz (tính
không phân biệt được), George Boole (các phương pháp suy luận), Jan Lukasiewicz
(các logic đa trị) và Thomas Bayes (suy luận quy nạp). Về phương diện thực hành,
lý thuyết tập thô là ý tưởng nền tảng cho trí tuệ nhân tạo và khoa học nhận thức,
đặc biệt cho học máy, phát hiện tri thức, phân tích quyết định, suy luận quy nạp
14
và nhận dạng mẫu. Nó là rất quan trọng cho các nghiên cứu về hệ trợ giúp quyết
định và khai phá dữ liệu. Thực tế tiếp cận lý thuyết tập thô là một cá ch tiếp cận
mới cho việc phân tích dữ liệu.
Bản chất toán học chặt chẽ làm cho các nội dung cơ sở của lý thuyết tập thô có
thể được nắm bắt và ứng dụng một cách dễ dàng. Các hệ thống phần mềm sử dụng
lý thuyết tập thô (điển hình như ROSETTA) đã được cài đặt và nhiều ứng dụng

quan trọng trong đời sống của phương pháp luận này đã được xây dựng, chẳng hạn
trong y học, dược học, kỹ thuật, ngân hàng, nhận dạng mẫu, biểu thị gien v.v
Bản chất toán học chặt chẽ làm cho lý thuyết này không mâu thuẫn mà còn
bổ sung cho các phương pháp đã có và dĩ nhiên cũng có thể được sử dụng đồ ng thời
với các cách tiếp cận khác.
Mục đích chính của sự phân tích tập thô là đưa ra các tập xấp xỉ để biểu diễn
các đối tượng không thể được phân lớp một cách chắc chắn bằng cách dùng tri thức
có sẵn. Theo cách tiếp cận của lý thuyết tập thô, mọi tập thô được liên kết với hai
tập "rõ" là xấp xỉ dưới và xấp xỉ trên của nó. Xấp xỉ dưới bao gồm cá c đối tượng
chắc chắn thuộc, còn xấp xỉ trên chứa tất cả các đối tượng có khả năng thuộc về
tập đó. Các tập xấp xỉ là cơ sở để đưa ra các kết luận từ dữ liệu.
1.2. Hệ thống thông tin và tập thô
1.2.1. Hệ thống thông tin
Hệ thống thông tin là một cặp A = (U, A), với U là tập hữu hạn, khác rỗng,
được gọi là tập vũ trụ các đối tượng và A là tập hữu hạ n khác rỗng các thuộc tính.
Với mỗi u ∈ U và a ∈ A, ta ký hiệu u(a) là giá trị của đối tượng u tại thuộc tính a.
Nếu gọi I
a
là tập tất cả các gía trị của thuộc tính a, thì u(a) ∈ I
a
với mọi u ∈ U.
Bây giờ, nếu B = {b
1
, b
2
, · · · , b
k
} ⊆ A là một tập con các thuộc tính thì ta sẽ ký
hiệu b ộ các giá trị u(b
i

) bở i u(B). Như vậy, nếu u và v là hai đối tượng, thì ta sẽ
15
viết u(B) = v(B) nếu u(b
i
) = v(b
i
), với mọi i = 1, · · · , k.
1.2.2. Quan hệ không phân biệt được
Cho hệ thống thông tin A = (U, A). Với mỗi tập con các thuộc tính B ⊆ A,
tồn tại một quan hệ hai ngôi trên U, ký hiệu IND(B), xác định bởi:
IND(B) = {(u, v) ∈ U × U | u(B) = v(B)}.
IND(B) được gọi là quan hệ B−không phân biệt được. Dễ kiểm chứng được rằng
đây là một quan hệ tương đương trên U. Với V ⊆ U, ta ký hiệu IND(B|V ) là quan
hệ tương đương trên V , cảm sinh bởi IND(B), tức là:
IND(B|V ) = {(u, v) ∈ V × V | u(B) = v(B)}.
Nếu (u, v) ∈ IND(B) thì hai đối tượng u và v không phân biệt được bở i các
thuộc tính trong B. Lớp tương đương chứa phần tử u được ký hiệu [u]
B
. Khi đó
quan hệ IND(B) được xác định hoàn toàn bởi các lớp tương đương [u]
B
, u ∈ U . Tập
hợp thương của quan hệ IND(B) được ký hiệu [IND(B)] hay đơn giản là U/B, tức
là [IND(B)] = U/B = {[u]
B
| u ∈ U} và tập hợp thương của quan hệ IND(B|V ) là
[IND(B|V )] hay V/B.
Ví dụ 1.1. Xét tập 10 đồ chơi với các thuộc tính: Màu sắc, Kích thước, Hình dáng
được cho trong Bảng 1.1. Lúc đó
U/{Màu sắc} = {{u

1
, u
2
, u
6
, u
10
}, {u
3
, u
5
, u
9
}, {u
4
, u
7
, u
8
}}
U/{Kích thước} = {{u
1
, u
5
, u
8
, u
9
}, {u
3

, u
4
, u
10
}, {u
2
, u
6
, u
7
}}
U/{Hình dáng} = {{u
1
, u
2
, u
6
, u
10
}, {u
3
, u
4
, u
9
}, {u
5
, u
7
, u

8
}}
U/{Màu sắc, Hình dáng} = {{u
1
, u
2
, u
6
, u
10
}, {u
3
, u
9
}, {u
4
}, {u
5
}, {u
7
, u
8
}}
Như vậy các đồ chơi u
1
, u
2
không phân biệt được về màu sắc và hình dáng,
nhưng phân biệt được về kích thước. Tương tự, các đồ chơi u
3

, u
4
không phân biệt
nhau về kích thước và hình dáng, nhưng phân biệt được về màu sắc, v.v
16
U Màu sắc Kích thước Hình dáng
u
1
Xanh To Tròn
u
2
Xanh Nhỏ Tròn
u
3
Vàng Vừa Vuông
u
4
Đỏ Vừa Vuông
u
5
Vàng To Tam giác
u
6
Xanh Nhỏ Tròn
u
7
Đỏ Nhỏ Tam giác
u
8
Đỏ To Tam giác

u
9
Vàng To Vuông
u
10
Xanh Vừa Tròn
Bảng 1.1: Bảng dữ liệu các đồ chơi.
1.2.3. Các tập xấp xỉ
Cho hệ thống thông tin A = (U, A), B ⊆ A và V ⊆ U. Với cá c tri thức được
cho bởi tập thuộc tính B, liệu chúng ta có thể biểu diễn tập đối tượng V bằng các
tri thức có sẵn này hay không? Hay nói cách khác, với một tập thuộc tính B cho
trước, chúng ta có các lớp tương đương của quan hệ IND(B), thế thì một tập đối
tượng V có thể diễn đạt thông qua các lớp tương đương này như thế nào? Trong lý
thuyết tập thô, để biểu diễn V bằng tri thức có sẵn B người ta xấp xỉ chúng bởi
hợp của một số hữu hạn các lớp tương đương của IND(B). Có hai cách xấp xỉ: Cách
thứ nhất là cho tương ứng bởi "miền trong" và cách thứ hai có thể xấp xỉ bởi "bao
đóng" của V . Hai giá trị xấp xỉ này được gọi tương ứng là B−xấp xỉ dưới và B−xấp
xỉ trên của V , ký hiệu lần lượt là BV và BV , cụ thể cá c tập xấp xỉ này được xác
định như sau
BV = {u ∈ U | [u]
B
⊆ V },
BV = {u ∈ U | [u]
B
∩ V = ∅}.
17
Với các xấp xỉ trên, ta gọi B−miền biên của V là tập BN
B
(V ) = BV \ BV
và B−miền ngòai của V là tập U \ BV . Dễ thấy B−miền biên của V là tập chứa

các đối tượng không chắc chắn thuộc hay không thuộc V , còn B−miền ngòai của V
chứa các đối tượng chắc chắn không thuộc V . Với ký hiệu tập thương của quan hệ
tương đương IND(B) trên U là U/B, các xấp xỉ trên và dưới của V có thể viết lại:
B
V = ∪{W ∈ U/B | W ⊆ V },
BV = ∪{W ∈ U/B | W ∩ V = ∅}.
Bây giờ nếu B, D ⊆ A, ta sẽ gọi B−miền khẳng định của D là tập được xác
định như sau
POS
B
(D) =

V ∈U/D
(BV ).
Rõ ràng POS
B
(D) là tập tất cả đối tượng u sao cho với mọi v ∈ U mà u(B) =
v(B) ta đều có u(D) = v(D). Nói cách khác, POS
B
(D) = {u ∈ U | [u]
B
⊆ [u]
D
}.
Ví dụ 1.2. Xét hệ thống thông tin biểu diễn các triệu chứng cúm của các bệnh
nhân cho ở Bảng 1.2.
U Đau đầu Thân nhiệt Cảm cúm
u
1
Có Bình thường Không

u
2
Có Cao Có
u
3
Có Rất cao Có
u
4
Không Bình thường Không
u
5
Không Cao Không
u
6
Không Rất cao Có
u
7
Không Cao Có
u
8
Không Rất cao Không
Bảng 1.2: Các triệu chứng của bệnh nhân.
18
Các lớp không phân biệt được bởi B = {Đau đầu, Thân nhiệt } là: {u
1
}, {u
2
}, {u
3
},

{u
4
}, {u
5
, u
7
}, {u
6
, u
8
}. Đặt V = {u | u(Cảm cúm) = Có } = {u
2
, u
3
, u
6
, u
7
}. Lúc
đó,
BV = {u
2
, u
3
} và BV = {u
2
, u
3
, u
6

, u
7
, u
5
, u
8
}. Như vậy, B−miền biên của V
là tập hợp BN
B
(V ) = {u
5
, u
6
, u
7
, u
8
}. Nếu đặt D = {Cảm cúm} thì
U/D = {V
1
= {u
1
, u
4
, u
5
, u
8
} ; V
2

= {u
2
, u
3
, u
6
, u
7
}},
B
V
1
= {u
1
, u
4
} ; BV
2
= {u
2
, u
3
},
POS
B
(D) =

V ∈U/D
(BV ) = {u
1

, u
2
, u
3
, u
4
}.
1.2.4. Các tính chất của xấp xỉ
Định lý 1.1. [24] Cho V ⊆ U và B ⊆ A. Khi đó:
a) BV ⊆ V ⊆ BV.
b) B∅ = B∅ = ∅, BU = BU = U.
c) B(V ∪ W ) = BV ∪ BW.
d) B(V ∪ W ) ⊇ BV ∪ BW.
e) V ⊆ W ⇒ BV ⊆ BW và BV ⊆ BW.
f) B(V ∩ W ) = BV ∩ BW.
g) B(V ∩ W ) ⊆ BV ∩ BW.
h) B(U \ V ) = U \ BV.
i) B(U \ V ) = U \ BV.
j) B(BV ) = B(BV ) = BV.
k) B(BV ) = B(B(V ) = BV.
19
Với các khái niệm của tập xấp xỉ đối với phân hoạch IND(B), các tập thô đượ c
chia thành bốn lớp cơ bản:
1) Tập V là B−xác định thô nếu BV = ∅ và BV = U.
2) Tập V là B−không xác định trong nếu BV = ∅ và BV = U.
3) Tập V là B−không xác định ngòai nếu BV = ∅ và BV = U.
4) Tập V là B− không xác định hoàn tòan nếu BV = ∅ và BV = U.
1.2.5. Độ chính xác của xấp xỉ
Với mỗi B ⊆ A và V ⊆ U, đại lượng đo lường sự chính xác của xấp xỉ tập V
đối với phân hoạch trên B là giá trị

α
B
(V ) =
Card(BV )
Card(BV )
Rõ ràng 0 ≤ α
B
(V ) ≤ 1. Nếu α
B
(V ) = 1, ta nói V là chính xác đối với B, còn
nếu α
B
(V ) < 1, V được gọi là thô đối với B.
1.3. Bảng quyết định
Một lớp đặc biệt của các hệ thống thông tin có vai trò quan trọng trong nhiều
ứng dụng là bảng quyết định. Bảng quyết định là một hệ thống thông tin T với tập
thuộc tính A được chia thành hai tập khác rỗng rời nhau C và D, lần lượt được gọi
là tập thuộc tính điều kiện và tập thuộc tính quyết định. Tức là T = (U, C ∪ D) với
C ∩ D = ∅. Trong trường hợp không sợ bị nhầm lẫn, người ta ký hiệu T = (C, D).
Bảng quyết định là mô hình thường gặp trong thực tế, khi mà giá trị dữ liệu tại
các thuộc tính điều kiện có thể cung cấp cho ta thông tin về giá trị của thuộc tính
quyết định. Bả ng quyết định được gọi là nhất quán nếu D phụ thuộc hàm vào C,
20
tức là với mọi u, v ∈ U, u(C) = v(C) kéo theo u(D) = v(D). Ngược lại thì gọi là
không nhất quán hay mâu thuẫn.
Dễ thấy bảng quyết định là nhất quán khi và chỉ khi POS
C
(D) = U. Trong
trường hợp bảng không nhất quán thì POS
C

(D) chính là tập hợp con cực đại của
U sao cho phụ thuộc hàm C → D đúng.
1.3.1. Rút gọn và lõi
Trong bảng quyết định, các thuộc tính điều kiện được phân thành ba nhóm:
Thuộc tính lõi, thuộc tính rút gọn và thuộc tính không cần thiết. Thuộc tính lõi là
thuộc tính cốt yếu, không thể thiếu trong việc phân hoạch chính xác tập dữ liệu.
Thuộc tính không cần thiết là những thuộc tính dư thừa; nghĩa là có thể loại bỏ
một thuộc tính như vậy (không phải tất cả!) mà không ảnh hưởng đến việc phân
lớp dữ liệu. Thuộc tính của tập rút gọn nằm giữa hai tập thuộc tính trên, với một
tổ hợp thuộc tính nào đó, nó là thuộc tính dư thừa và với một tổ hợp các thuộc tính
khác nó có thể là cốt yếu.
Chúng ta sẽ đưa ra các định nghĩa chính xác trong phần tiếp theo.
Cho T = (U, C ∪D) là một bảng quyết định, thuộc tính c ∈ C được gọi là không
cần thiết trong bảng quyết định T nếu POS
C
(D) = POS
(C\{c})
(D). Nói cách khác,
c ∈ C là không cần thiết khi và chỉ khi trên POS
C
(D) phụ thuộc hàm C \ {c} → D
nghiệm đúng; ngược lại, c được gọi là cần thiết.
Bảng quyết định T được gọi là độc lập nếu mọi thuộc tính c ∈ C đều cần thiết.
Tập tất cả các thuộc tính cần thiết trong T được gọi là lõi và được ký hiệu Core(C).
Lúc đó, một thuộc tính cần thiết còn được gọi là thuộc tính lõi.
Tập các thuộc tính R ⊆ C được gọi là một rút gọn của tập thuộc tính điều
kiện C nếu T

= (U, R ∪ D) là độc lập và POS
R

(D) = POS
C
(D). Nói cách khác, R
là tập rút gọn nếu nó là tập tối tiểu thỏa mãn POS
R
(D) = POS
C
(D). Rõ ràng là
có thể có nhiều tập rút gọn của C. Ta ký hiệu Red(C) là tập tất cả các rút gọn của
21
C trong T. Một thuộc tính là cần thiết khi và chỉ khi nó thuộc vào mọi tập rút gọn
của C. Điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2. [11, 26, 28] Core(C) =

R∈ Red(C)
R.
Ví dụ 1.3. Xét bảng quyết định về bệnh cúm cho ở Bảng 1.3. Bảng này có hai
tập rút gọn là R
1
={Đau cơ, Thân nhiệt} và R
2
= {Đau đầu, Thân nhiệt}. Như vậy
tập lõi là Core= {Thân nhiệt} và Thân nhiệt là thuộ c tính cần thiết duy nhất. Các
thuộc tính Đau đầu, Đau cơ đều không cần thiết theo nghĩa là, từ bảng dữ liệu, có
thể loại bỏ một trong hai thuộc tính này mà vẫn chẩn đoán đúng bệnh. Tức là
POS
{Đau cơ, Thân nhiệt}
({Cảm cúm}) = POS
C
({Cảm cúm}),

POS
{ Đau đầu, Thân nhiệt}
({Cảm cúm}) = POS
C
({Cảm cúm}).
U Đau đầu Đau cơ Thân nhiệt Cảm cúm
u
1
Có Có Bình thường Không
u
2
Có Có Cao Có
u
3
Có Có Rất cao Có
u
4
Không Có Bình thường Không
u
5
Không Không Cao Không
u
6
Không Có Rất cao Có
Bảng 1.3: Bảng quyết định về bệnh cúm.
1.3.2. Ma trận và hàm phân biệt được
Xét bảng quyết đinh T = (U, C ∪ D) với U = {u
1
, u
2

, · · · , u
n
}. Ma trận phân
biệt được của T, ký hiệu M(T) = (m
ij
)
n×n
, là một ma trận đố i xứng mà mỗi phần
22
U Đau cơ Thân nhiệt Cảm cúm
u
1
, u
4
Có Bình thường Không
u
2
Có Cao Có
u
3
, u
6
Có Rất cao Có
u
5
Không Cao Không
Bảng 1.4: Bảng rút gọn thứ nhất của hệ thống bệnh cúm (R
1
).
U Đau đầu Thân nhiệt Cảm cúm

u
1
Có Bình thường Không
u
2
Có Cao Có
u
3
Có Rất cao Có
u
4
Không Bình thường Không
u
5
Không Cao Không
u
6
Không Rất cao Có
Bảng 1.5: Bảng rút gọn thứ hai của hệ thống bệnh cúm (R
2
).
23
U c
1
c
2
c
3
c
4

d
u
1
1 0 2 1 1
u
2
1 0 2 0 1
u
3
1 2 0 0 2
u
4
1 2 2 1 0
u
5
2 1 0 0 2
u
6
2 1 1 0 2
u
7
2 1 2 1 1
Bảng 1.6: Dữ liệu bảng quyết định.
tử của nó là một tập hợp các thuộc tính được xác định như sau [24, 26, 27, 28]
m
ij
=






∅ nếu u
i
(D) = u
j
(D),
{c ∈ C | u
i
(c) = u
j
(c)} nếu u
i
(D) = u
j
(D).
Như vậy, m
ij
là tập hợp gồm tất cả thuộc tính điều kiện có thể xếp các đối tượng
u
i
và u
j
vào các lớp tương đương khác nhau đối với quan hệ không phân biệt được
trên mỗi thuộc tính của tập thuộc tính này. Hay nói cách khác hai đối tượng u
i
và
u
j
mà u

i
(D) = u
j
(D) có thể phân biệt với nhau bởi một thuộc tính bất kỳ trong tập
m
ij
. Nếu m
ij
= ∅ thì u
i
và u
j
bằng nhau trên tập thuộc tính D hoặc, trong trường
hợp bảng quyết định đã cho là không nhất quán, hai đối tượng u
i
và u
j
có cùng giá
trị trên tập thuộc tính điều kiện nhưng khác nhau trên tập thuộc tính quyết định.
Ví dụ 1.4. Cho bảng quyết định như trong Bảng 1.6 với tập thuộc tính điều kiện
C = {c
1
, c
2
, c
3
, c
4
} và tập thuộc tính quyết định D = {d}. Ta có ma trận phân biệt
được tương ứng cho trong Bảng 1.7. Chú ý rằng, đây là ma trận đối xứng nên chúng

ta chỉ trình bày ma trận tam giác dưới.
Do bảng quyết định trong ví dụ này là nhất quán, nên m
12
= ∅ trong Bảng 1.7
cho thấy hai đối tượng u
1
và u
2
có cùng giá trị quyết định (u
1
(d) = u
2
(d) = 1) hay
24
U u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
u
7
u
1

∅
u
2
∅ ∅
u
3
{c
2
, c
3
, c
4
} {c
2
, c
3
} ∅
u
4
{c
2
} {c
2
, c
4
} {c
3
, c
4
} ∅

u
5
{c
1
, c
2
, c
3
, c
4
} {c
1
, c
2
, c
3
} ∅ {c
1
, c
2
, c
3
, c
4
} ∅
u
6
{c
1
, c

2
, c
3
, c
4
} {c
1
, c
2
, c
3
} ∅ {c
1
, c
2
, c
3
, c
4
} ∅ ∅
u
7
∅ ∅ {c
1
, c
2
, c
3
, c
4

} {c
1
, c
2
} {c
3
, c
4
} {c
3
, c
4
} ∅
Bảng 1.7: Ma trận phân biệt được M.
nói cách khác u
1
và u
2
cùng thuộc một lớ p tương đương của phân hoạch IND(D).
Trong khi đó m
32
= {c
2
, c
3
}, điều này nói lên rằng hai đối tượng u
2
và u
3
có

giá trị quyết định khác nhau và chúng có thể phân biệt với nhau bởi các thuộc
tính c
2
hoặc c
3
nhưng không phân biệt được bởi các thuộc tính c
1
, c
4
. Thật vậy,
u
2
(d) = 1 = 2 = u
3
(d) và u
2
(c
2
) = 0 = 2 = u
3
(c
2
), u
2
(c
3
) = 2 = 0 = u
3
(c
3

),
u
2
(c
1
) = u
3
(c
1
) = 1, u
2
(c
4
) = u
3
(c
4
) = 0.
Để tìm tập rút gọn dựa vào ma trận phân biệt được, người ta đưa vào khái
niệm hàm phân biệt được f
T
[18, 27] được xác định như sau
f
T
(u
i
) =

j=i


m
ij
, với mỗi u
i
∈ U,
trong đó, mỗi thuộc tính cho tương ứng một biến logic cùng tên và
(1)

m
ij
là biểu thức tuyển của tất cả các biến c ∈ m
ij
, nếu m
ij
= ∅.
(2)

m
ij
= tr ue nếu m
ij
= ∅ và u
i
(D) = u
j
(D).
(3)

m
ij

= false nếu m
ij
= ∅ và u
i
(D) = u
j
(D).
Như vậy f
T
(u
i
) chứa những bộ thuộc tính có thể phân biệt u
i
với các đối tượng
khác trong T. Do đó,

f
T
(u
i
) sẽ xác định tất cả các rút gọn của bảng quyết định.
Trong ví dụ trên ta có