Bài giảng môn Giải tích lớp 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số44849

Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ
ứng dụng của đạo hàm

Chương II:

Đ1: sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Tiết theo PPCT : 222, 223
Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích, yêu cầu:
HS biết cách tìm điểm tới hạn, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm điều kiện để hàm số
đồng biến, nghịch biến.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B- Kiểm tra bài cũ:
GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ.
* Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch
biến.

HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi:
* Hàm số y = f(x) gọi là :
- Đồng biến trªn (a; b) nÕu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)< f(x2)

- Nghịch biến trên (a; b) nếu
x1; x2(a; b), x1< x2 f(x1)> f(x2)
* Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu trên
(a; b) nếu nó đồng biến hoặc nghịch
biến.

* Thế nào là hàm số đơn điệu?

C - Giảng bài mới:
1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến,
nghịch biến.

HS đọc SGK (tr 47, 48).

2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu:
GV nêu định lý Lagrăng.

29
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

Định lý Lagrăng: Nếu hàm số f(x) liên tục

trên [a; b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn
tại c (a;b) sao cho:
HS theo dõi, ghi chÐp vµ thõa nhËn
f (b) 
f (a ) f '(c)(b a )
định lý.
f (b) f (a )
(*)
f '(c)
ba
ý nghĩa hình học:
GV đặt câu hỏi: Xét cung AB của đồ thị hàm
số y = f(x) với A(a; f(a)) , B(b; f(b)).

f (b)  f (a )
.
ba

* TÝnh hÖ sè góc của cát tuyến AB.

* Hệ số góc

* Đẳng thøc (*) cã ý nghÜa g× ?

* HƯ sè gãc của tiếp tuyến của cung
AB tại điểm C(c; f(c)) bằng hệ số góc
của cát tuyến AB.

GV khẳng định: đó là ý nghĩa hình học của
định lý Lagrăng.

GV nêu định lý 2.
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm
trên (a; b).
a) Nếu f'(x)< 0,x (a; b) thì f(x) nghịch
HS theo dõi và ghi chép.
biến trên (a; b).
b) NÕu f'(x) > 0,  x  (a; b) thì f(x) đồng
biến trên (a; b).
GV yêu cầu HS.
* HÃy áp dụng định lý Lagrăng để chứng * Ta có x1, x2 (a; b), x1 < x2 theo
minh định lý 2 (đồng thời dựa vào định định lý Lagrăng c (a; b) sao cho:
f ( x2 )  f ( x1 )
nghĩa hàm số đơn điệu).
f '(c)

x2 x1

.

a) Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì f'(c) > 0
nên f(x2) - f(x1) > 0 hàm số đồng
biến.
GV nêu và cho HS thừa nhận mở rộng của
định lý 2:

b) Tương tự phần a).

Định lý 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên
(a; b). Nếu f'(x)0 (hoặc f'(x 0) và đẳng
thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên (a;b) HS theo dõi và ghi chép.

thì hàm số tăng (hoặc giảm) trên (a;b).

30
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV nêu ví dụ:
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch HS lên bảng giải từng ví dụ.
biến của mỗi hàm số sau:
a) y' = 3x2 - 10x + 7

a) y = x3 - 5x2 + 7x + 2

hàm số đồng biến trên (-;1) và
7
; , nghịch biến trên
3

b) y =

7
b) y '  2

 x  5

x2
.
x5

 7
1; .
 3

0, x

5

 hàm số đồng biến trên (-; -5) và
(-5; +).
c) y = x3

c) y' = 3x2 0, x
hàm số đồng biến trên R.

GV yêu cầu HS từ các ví dụ trên hÃy cho biết * Các điểm tại đó đạo hàm bằng 0
các điểm nào có thể làm cho đạo hàm đổi hoặc không xác định.
dấu?
Giáo viên nêu định nghĩa điểm tới hạn.
3) Điểm tới hạn:
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên (a;
b), x0 (a; b). Điểm x0 gọi là điểm tới hạn của HS theo dõi và ghi chép.
hàm số nếu f'(x0) = 0 hoặc f'(x0) không xác
định.

* Ngoài các điểm tới hạn ra còn điểm nào làm * Không còn điểm nào. (c/m phản
cho đạo hàm đổi dấu không? Vì sao?
chứng)
GV khẳng định: Vậy giữa hai điểm tới hạn kề
nhau đạo hàm giữ nguyên một dấu.
* HÃy đưa ra các bước để tìm các khoảng đơn *Các bước tìm khoảng đơn điệu:
điệu của một hàm số.
+ Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn.
+ Xét dấu đạo hàm.
+ Suy ra chiều biến thiên.

31
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

D - Chữa bài tập:
Hướng dẫn - Đáp số

Đề bài
Bài 1 (52). Xét sự đồng biến, nghịch biến của
các hàm số:
a ) y 
2 x 2 3x 5
b) y 
4 3x x 2
1 3

c ) y 
x 3x 2 8 x 2
3
d ) y
x4 2x2 3

Bài 2 (53). Tìm các khoảng đơn điệu của các
hàm số:
a) y

3x 1
1 x

b) y 

x2  2x
x 1

c ) y 
4x 1
d) y 

1
x 1

x
x 4
2

e) y  x ln x

g ) y  x 2e x
h ) y x sin x.

Bµi 3 (53). Chứng minh rằng hàm số y

x
x 1
2

đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến
trên các khoảng (-; -1) vµ (1; +).
Bµi 4 (53). Chøng minh r»ng hµm số
y 2 x x 2 đồng biến trên khoảng (0; 1) và
nghịch biến trên khoảng (1; 2).

32
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ
Đ2: Cực đại - cực tiểu

Tiết theo PPCT : 224, 225
Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích , yêu cầu:
Học sinh biÕt c¸ch ¸p dơng dÊu hiƯu I , dÊu hiƯu II để một hàm số có cực trị: để tìm

các điểm cức trị của hàm số, tìm giá trị của tham số để hàm số có cực trị hoặc cực trị thoả
mÃn điều kiện nào đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp , kiểm tra sĩ số.
B - kiểm tra bài cũ:
HS lên bảng trả lời câu hỏi.

GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1) Nêu điều kiện đủ để một hàm số tăng ,
giảm.
2) Nêu định nghĩa điểm tới hạn và các bước để
xét sự biến thiên của hàm số.
áp dụng để xét sự biến thiên của hàm số:

áp dụng: Ta có y' = 3x2 - 10x + 7

y = x3 - 5x2 + 7x - 9

Bảng biến thiên:
x
y'

-
+

y

1
0 -6

-

c - giảng bài mới:
GV đặt câu hỏi:
* Có nhận xét gì về các điểm (1;-6) và
7 194
của đồ thị hàm số trên ?
;
3 27

GV khẳng định đó là các điểm cực đại, cực
tiểu và nêu định nghĩa.

33
DeThiMau.vn

HS suy nghĩ và trả lời.

7/3
0 +

+
+

194
27


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

1) Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) và điểm
x0 (a; b).
a) Kho¶ng V()=(x0 - ; x0+) ,  > 0 gọi là lân
cận của điểm x0.
b) Điểm x0 gọi là điểm cực đại của y = f(x) nếu
x V()  (a; b) cđa ®iĨm x0, ta cã: f(x) < f(x0),
x x0.
Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0, f(x0) gọi là
giá trị cực đại của hàm số, điểm (x0;f(x0)) gọi là HS theo dõi và ghi chép.
điểm cực đại của đồ thị hàm số.
c) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của y = f(x) nÕu
x  V()  (a; b) cđa ®iĨm x0, ta có: f(x) > f(x0),
x x0.
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0, f(x0) gọi là
giá trị cực tiểu của hàm số, điểm (x0; f(x0)) gọi là
điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
d) Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm

cực trị, giá trị của hàm số tại đó gọi là giá trị cực
trị.
2) Điều kiện để hàm số có cực trị:
Giả thiết hàm sè y = f(x) liªn tơc trªn (a ; b) và
x0 (a ; b).
GV nêu định lý Fecma.
Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm HS theo dõi và ghi chép.
tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì: f'(x0) = 0.
GV đặt các câu hỏi.
* Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x0?

* f'(x0) f'(x0-) = f'(x0+)

* Nêu cách tính f'(x0-) vµ f'(x0+)?

* f ' x0 lim


y
f ( x0 x ) f ( x0 )
lim

x o 
x x o
x

y
f ( x0 x ) f ( x0 )
lim
lim


x o 
x x o
x

 


 

f ' x0



* H·y chøng minh cho tr­êng hợp x0 là điểm cực * Nếu x0 là điểm cực đại.
đại, trường hợp x0 là điểm cực tiểu chứng minh
x0 0 đủ nhỏ ta có:
Chọn
tương tự.
f(x0+x) < f(x0).

34
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
y
x

f ' x0

y
x

f ' x0

+ Với x > 0  0
+ Víi x < 0  0

 

0

 

0





Do  f'(x0)  f'(x0-) = f'(x0+) = 0.
Vậy f'(x0) = 0.
ý nghĩa hình học của định lý Fecma:

GV đặt câu hỏi.
* Khi f'(x0) = 0 thì tiếp tuyến của đồ thị y=f(x) * Tiếp tuyến tại x0 song song với
tại điểm x0 có tính chất gì? Suy ra ý nghĩa hình trục hoành Tiếp tuyến tại ®iĨm
häc cđa ®Þnh lý Fecma.
cùc trÞ song song víi trơc hoành.
GV nhận xét: phát biểu trên và cả SGK là chưa
chính xác vì tiếp tuyến đó có thể trùng Ox.
* Sửa lại như thế nào?

* Tiếp tuyến tại x0 song song hoặc
trùng với trục hoành.

* Khi f'(x0) = 0 thì x0 gọi là điểm gì? Từ đó hÃy * x0 gọi là điểm tới hạn.
chứng minh hệ quả.
Chứng minh:
Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y=f(x) Giả sử x0 là điểm cực trị.
đều là điểm tới hạn.
+ Nếu không f'(x0) x0 là điểm
tới hạn.
+ Nếu f'(x0) thì theo đlý Fecma
f'(x0) = 0 x0 là điểm tới hạn.
* Điều ngược lại có đúng không?

* Không phải mọi điểm tới hạn đều
là điểm cực trị.

Cho ph¶n vÝ dơ.

VD: y = x3 cã x0 = 0 là điểm tới hạn
nhưng lhông là điểm cực trị.

*Có nhận xét gì về dấu của đạo hàm của hàm * Đạo hàm của hàm số y = x3 không
số y= x3 và hàm số y = x3-5x2 +7x+9?
đổi dấu. Đạo hµm cđa hµm sè
y = x3- 5x2 + 7x+ 9 thì đổi dấu hai
lần.
* Từ nhận xét trên hÃy đưa ra dấu hiệu để biết * (HS trả lời)
điểm x0 là cực đại hay cực tiểu.
GV chính xác hoá.
3) Dấu hiệu để hàm số có cực trị:
a) Dấu hiệu I (định lý I): Giả sử y = f(x) có đạo
hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ
tại x0).

35
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

0, x x0 ; x0 

 f '  x0  
+ NÕu 
th× x0 lµ

0, x  x0 ; x0  

 f '  x0  
HS theo dâi, ghi chÐp vµ chứng
một điểm cực đại của hàm số y = f(x).
minh dựa vào định lý Fecma.
0, x x0 ; x0 
 f '  x0  
+ NÕu 
th× x0 lµ
0, x  x0 ; x0  
 f ' x0
một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).
GV yêu cầu HS đưa ra quy tắc để xét cực trị dựa * Quy tắc I:
vào dấu hiệu I.
+ Tính f'(x).
+ Tìm các điểm tới hạn.
+ Xét dấu f'(x).
+ Từ bảng biến thiên cực trị.

b) Dấu hiệu II (định lý II):
Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới
cấp hai tại x0 và f'(x0) = 0, f''(x0) 0 thì x0 là một
điểm cực trị của hàm số.

HS theo dõi và ghi chép.

Hơn nữa:
+ Nếu f''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
+ Nếu f''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.

GV yêu cầu HS đưa ra quy tắc để tìm cực trị dựa * Quy tắc II:
vào dấu hiệu II.
+ Tính f'(x), tìm nghiệm phương
trình f'(x) = 0.
+ Tính f''(x).
+ Xét dấu f''(x) tại các nghiệm
của phương trình f'(x) = 0 để suy ra
cực trị.
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải từng ví dụ.

VD1. (Bài 2.a - SGK - tr60)
Tìm các cực trị của hàm số y = x4 - 2x2 +1.

ĐS: x = -4 là điểm cực đại;
x = 1 là các điểm cực tiểu.

ĐS: x

VD2. (Bài 2.b - SGK - tr60)

6

Tìm các cực trị của hàm số y = sin2x - x.

k 2 là các điểm cực

tiểu ; x

6

đại.

36
DeThiMau.vn

k 2 là các điểm cực


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

D - Chữa bài tập:
Hướng dẫn - Đáp số

Đề bài
Bài 1 (60). áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm
cực trị của các hàm số sau:
a ) y
2 x 3 3x 2 36 x 10
b) y 
x4 2x2 3
c ) y x
d) y 

1

x

x 2 2 x 3
x 1

e) y  x.e x
g ) y x 3 1 x 

2

Bµi 2 (60). áp dụng dấu hiệu II, tìm các điểm
cực trị của các hàm số sau:
a ) y
x4 2x2 1
b) y sin 2 x x
e x  e x
c) y 
2
d ) y sin 2 x cos 2 x
e) y  x 2 ln x

Bµi 3 (60). Chøng minh r»ng hàm số
y 5 x 4 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng
vẫn đạt cực đại tại điểm đó.
Bài 4 (60). Xác định m để hàm số
y

x 2 mx 1
đạt cực đại tại x = 2.
xm

Bài 5 (60). Chứng minh rằng hàm số
y

x 2 2 x m
luôn luôn có một cự đại và
x2 2

một cực tiểu.
Bài 6 (60). Tìm a và b để các cực trị của hµm
5
3

sè y 
a 2 x 3 2ax 2 9 x b đều là những số
dương và x0

5
là điểm cực ®¹i.
9

37
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Đ3: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tiết theo PPCT : 226,227
Tuần dạy :
Năm học :

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một
khoảng, trên một đoạn; áp dụng vào bài toán thực tế.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu hai dấu hiệu để tìm cực trị của 1. Học sinh nhớ lại kiến thức và trả lời.
một hàm số.
2
2. áp dụng để tìm cực trị của hàm sè 2. + y' = 3x - 12x + 9
sau: y = x3 - 6x2 + 9x - 2
+ y' = 0 x =1 hoặc x = 3

+ Bảng biến thiên:
x

-

y'

1
+

0

1
-

0

+
+

2
y
-2
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ = 2;
hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT = -2.
GV vẽ phác dạng đồ thị rồi đặt câu hỏi:
* y = 2 (y = -2) có phải lá giá trị lớn nhất * Không, vì hàm số còn có những giá trị lớn
(giá trị nhỏ nhất) của hàm số không? Vì hơn (nhỏ hơn) giá trị đó.
sao?

38
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

C - Giảng bài mới:
GV nêu định nghĩa.
1. Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm
số y = f(x) trên tập D nÕu:
HS theo dâi vµ ghi chÐp.
x D : f  x M


x0 D : f  x0  M


KÝ hiÖu : M  max f  x  .
D

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm
số y = f(x) trên tập D nếu:
x D : f  x M


x0 D : f  x0  M


KÝ hiÖu : M  min f  x  .

D

2. giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một khoảng:
HS đọc bài toán SGK (tr 61).

GV tóm tắt kết quả:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng
(a; b). Nếu trên (a; b) hàm số có một cực trị
duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu) thì giá trị HS theo dõi và ghi chép.
cực đại đó là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị cực
tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đà cho
trên khoảng (a; b).
GV nêu ví dụ.
Ví dụ 1: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số: HS giải VD (có kèm giải thích dựa vào
kết quả trên).
y = x3 - 6x2 + 9x - 2 (®· xÐt) h·y:
* T×m max f  x 

* max f  x 2 vì trên (0; 2) chỉ có một

0;2

0;2

cực trị là cực đại.
* Tìm max f  x 

* Kh«ng  max f  x vì trên (0; +) có

0;

0;

hai cực trị.
* Tìm min f x

* min f x 2 vì trên (2; +) chỉ có

2;

2;

một cực trị là cực tiểu.

* Tìm min f x

* Không tồn tại min f  x  .

 1;4 

 1;4 

39
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS
HS giải VD.
Gọi x là cạnh của các hình vuông bị cắt

Ví dụ 2: SGK (tr 62)

a
. Nên thể tích khối hộp là:
2
2
a
V x  
x  a 2 x  , x 0;
 2
2
2

V '  x  12 x 8ax a
a
a
V ' x
0
x
; x
(loại)
6

2

0 x

Bảng biến thiên:
x
V'(x)

0

a/6
+

a/2

0

-

2a 3
27

V(x)

Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi các hình
vuông cắt đi có cạnh là a/6.
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên một đoạn:
GV nêu ví dụ.
HS dựa vào bảng biến thiên để giải thích và

VD: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
nêu kết quả.
y = f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 2. T×m :
a) max f ( x ) 2, max f ( x ) 2
a) max f ( x ), max f ( x )
[0;2]
[ 1;4]
[ 1;4]

[0;2]

2, min f ( x )
b) min f ( x ) 

b) min f ( x ), min f ( x ) .

[0;2]

[ 1;4]

[0;2]

[ 1;4]

18 .

Nhận xét: Hàm số liên tục trên [a; b] thì
GV yêu cầu HS so sánh với VD1 (phần 2)
luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
để nêu nhận xét.

trên đoạn đó.
Gv nêu quy tắc tìm max f ( x ), min f ( x ) :
[ a ;b ]

[ a ;b ]

10) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, ..., xn cđa
f(x) trªn [a; b].
20) TÝnh f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
30) T×m sè lín nhÊt M và số nhỏ nhất m
trong các số trên thì:
M max f ( x ) , m min f ( x ) .
[ a ;b ]

[ a ;b ]

40
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

D - Chữa bài tập:
Hướng dẫn - Đáp số

Đề bài
Bài 1 (66). Tìm giá trị lớn nhất của các hàm
số sau:

a ) y 
1 8x 2x2
b) y 
4x

3

3x

4

f ( x)

a ) max f ( x ) f (2) 9
b) max f ( x ) f (1) 1

f ( x)

Bài 2 (66). Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm
số sau:
a)

x 2
y 

b) y 
x2

a ) min f ( x ) f (2) 8

2

f ( x)

x

2
x

f ( x)

(0; )

( x 0)

b) min f ( x ) f (1) 3

( x 0)

(0; )

Bài 3 (66). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của các hàm số sau:
a ) y
x 3 3x 2 9 x 35
b) y 
x 2 3x 2
c ) y 5 4 x
d ) y 
sin 2 x x

f ( x ) trªn [-4; 4].

f ( x ) trªn [-10; 10].

f ( x ) trªn [-1; 1].
 
f ( x ) trên ;
.
2 2

Bài 4 (66). Cho trước chu vi hình chữ nhật là
p = 16cm, dựng hình chữ nhậtcó diện tích lớn
nhất.
Bài 5 (66). Trong tất cả các hình chữ nhật có
diện tích 48m2 , hÃy xác định hình chữ nhật có
chu vi nhỏ nhất.

41
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Đ4: tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

Tiết theo PPCT: 228, 229
Tuần dạy:

Năm học:

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh biết xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số. Từ đó biết tìm
điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có điểm uốn thoả mÃn một số điều kiện nào đó.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
1. HS suy nghĩ và trả lời.
nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn.
2. áp dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 2. ĐS : max f ( x )
[ 7;5]
nhất của hàm số sau trên đoạn [-7;5]
3
2
y = f(x) = 2x - 6x + 6x -10.
min f ( x )
[ 7;5]

C - Giảng bài mới:
1. Khái niệm về tính lồi, lõm, điểm uốn:
GV giới thiệu khái niệm và minh hoạ bằng
hình vẽ trên bảng.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b).

+ Đồ thị y = f(x) gọi là lồi trên (a; b) nếu tiếp
tuyến của đồ thị tại mỗi điểm M(x; f(x)) với x
HS theo dõi và ghi chép, quan sát hình
(a; b) đều nằm về phía trên của đồ thị.
vẽ để nắm định nghĩa.
+ Đồ thị y = f(x) gọi là lõm trên (a; b) nếu tiếp
tuyến của đồ thị tại mỗi điểm M(x; f(x)) với
x(a; b) đều nằm về phía dưới của đồ thị.
+ Cho x0 (a; b), nếu đồ thị y = f(x) là lồi
(lõm) trên (a; x0) và lõm (lồi) trên (x0; b) thì
điểm M0(x0; f(x0)) được gọi là điểm uốn của đồ
thị y = f(x).

42
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa trên có nhận xét gì HS suy nghĩ và trả lời: Tiếp tuyến tại
về tiếp tuyến tại điểm uốn ?
điểm uốn xuyên qua đồ thị.
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn:
GV nêu định lý 1.

Định lý 1 (dấu hiệu lồi, lõm): Cho hàm số y=f(x)
có đạo hàm đến cÊp hai trªn (a; b).
+ NÕu f''(x) < 0, x (a; b) thì đồ thị của hàm
HS theo dõi, ghi chép và thừa nhận
số lồi trên (a; b).
định lý 1.
+ NÕu f''(x) < 0, x  (a; b) th× đồ thị của hàm
số lõm trên (a; b).
GV nêu định lý 2 và yêu cầu HS chứng minh.
Định lý 2 (dấu hiệu điểm uốn): Cho hàm số
y=f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm
HS theo dõi và ghi chép.
x0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có
thể trừ tai x0). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x
đi qua x0 thì điểm M0(x0; f(x0)) là điểm uốn của HS suy nghĩ và chứng minh định lý.
đồ thị hàm số đà cho.
GV yêu cầu HS từ hai định lý vừa nêu đưa ra quy
HS suy nghĩ và trả lời.
tắc tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
hàm số.
GV chính xác hoá.
Quy tắc:
+ Tính y'', tìm nghiệm của y'' và những điểm làm
y'' không xác định.
HS theo dõi và ghi chép.
+ Xét dấu y'', rồi dựa vào định lý 1 và định lý 2
để kết luận.
GV nêu các ví dụ.

HS suy nghĩ và giải các ví dụ.

VD1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của ĐS: Đồ thị hàm số lồi trên (-; 0) và
đồ thị hàm số y = f(x) = x4 - 4x3.
(2; +), lâm trªn (0; 2), cã hai điểm
uốn (0; 0) và (2; -16).
VD2: Tìm a và b để điểm (1; 1) là điểm uốn của ĐS: a = -1/2 , b = 3/2 và đồ thị
đường cong y = ax3 + bx2. Đường cong này còn không còn điểm uốn nào khác.
có điểm uốn nào khác không ?
VD3: Chứng minh rằng hàm số y
điểm uốn thẳng hàng.


6
x
ĐS:
Ba
điểm
uốn
là
(0;
0),
có
ba
6;
2
8
x 2


6

và 6;
.
8


43
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

D - Chữa bài tập:
Hướng dẫn - Đáp số

Đề bài
Bài 1 (70). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
a) y = 3 + 2x - x2 lồi trên khoảng (-; +).
b) y = lnx

lồi trên khoảng (0; +).

c) y = 2x4 + x2 - 1 lõm trên khoảng (-; +).
Bài 2 (70). Chứng minh rằng đồ thị của hàm số
y = 3x2 - x3 lõm trên khoảng (-; 1), lồi trên
khoảng (1; +) và M(1; 2) là điểm uốn.
Bài 3 (70). Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm
uốn của đồ thị của mỗi hàm số sau:
a) y

x3 6 x 4
x4 x2
2
4
2
c) y 
3x 5 5 x 4 3x 2

b) y

Bài 4(70). Tìm a và b để hàm số y=x3- ax2+x+b
nhận điểm (1; 1) làm điểm uốn.
Bài 5 (70). Tìm a để hàm số y = x4 - ax2 + 3
a) Có hai điểm uốn.
b) Không có điểm uốn.
Bài 6 (70). Chøng minh r»ng ®­êng cong
y

x 1
cã ba ®iĨm n cùng nằm trên một
x2 1

đường thẳng.

44
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ
Đ5: tiệm cận

Tiết theo PPCT: 230, 231
Tuần dạy:
Năm học:

I - Mục đích, yêu cầu:
Học sinh nắm vững định nghĩa nhánh vô cực và các loại tiệm cận (tiệm cận đứng,
tiệm cận ngang, tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số. Từ đó biết cách xét nhánh vô cực và
tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số.
II - Tiến hành:
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

A - ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.
B - Kiểm tra bài cũ:
GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ.
1. Nêu định nghĩa tính lồi, lõm và định nghĩa diểm
HS suy nghĩ và trả lời.
uốn của đồ thị hàm số.
2. Nêu dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
hàm số.

C - Giảng bài mới:
1. Định nghĩa:
GV nêu định nghĩa (SGK - tr71) và minh hoạ bằng
hình vẽ.
+ Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M(x; y)

là điểm thay ®ỉi trªn (C). NÕu Ýt nhÊt mét trong hai
täa ®é của M dần tới thì ta nói (C) có một nhánh
HS theo dõi và ghi chép.
vô cực.
Ta cũng nói điểm M dần tới vô cực.
+ Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực, đường thẳng d
được gọi là tiƯm cËn cđa (C) nÕu:
lim d ( M , d )  0 víi M  (C).

M 

2. C¸ch x¸c ®Þnh tiƯm cËn:
a) TiƯm cËn ®øng:

45
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

GV nêu định lý (SGK - tr71).
Định lý: Nếu lim f ( x ) thì đường thẳng d có
x x0

phương trình x = x0 là một tiệm cận của đồ thị (C).

HS theo dõi và ghi chép.

Ta gọi đường thẳng x = x0 là tiƯm cËn ®øng cđa HS tù ®äc chøng minh trong SGK.
đồ thị (C).
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

Ví dụ: Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y f ( x )

2x 1
.
x 3x 2
2

Giải: TXĐ: R\ {1; 2}
Ta có: lim f ( x )
; lim f ( x )
x
1

2

x

2

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận
đứng là hai đường thẳng: x = 1 và
x = 2.
GV nêu chú ý (SGK - tr72).
Chó ý: NÕu lim f ( x )  (hay lim f ( x )  ) th×
x  x0

x x0

đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng bên phải (hay HS theo dõi và ghi chép.
bên trái) của đồ thị hàm số y = f(x).
b) Tiệm cận ngang:
GV nêu định lý (SGK - tr72).
Định lý: Nếu lim f ( x ) y0 thì đường thẳng d có
x

phương trình y = y0 là một tiệm cận của đồ thị (C).

HS theo dõi và ghi chép.

Ta gọi đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của HS tự đọc chứng minh trong SGK.
đồ thị (C).
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
y f ( x )

2x  1

x 3x 2
2

Gi¶i:
Ta cã: lim f ( x ) 2
x

2

Vậy đồ thị hàm số có một tiệm
cận ngang là đường thẳng: y = 2.
GV nªu chó ý (SGK - t72).
Chó ý: NÕu lim f ( x )  y0 (hay lim f ( x ) y0 ) thì
x

x

đường thẳng x = y0 là tiệm cận ngang bên phải (hay HS theo dõi và ghi chép.
bên trái) của đồ thị hàm số y = f(x).
c) Tiệm cận xiên:
GV nêu định lý (SGK - tr73).
Định lý : Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d có
phương trình y = ax + b là một tiệm cận của đồ thị
hàm số y = f(x) lµ: lim  f ( x ) 
( ax b) 0
HS theo dâi vµ ghi chÐp.
x 

46
DeThiMau.vn

Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ

Hoạt động của GV
hoặc
hoặc

Hoạt động của HS

lim f ( x ) 
( ax b) 0

HS tù ®äc chøng minh trong SGK.

x 

lim  f ( x ) 
( ax b) 0 .
x 

Ta gäi ®­êng tiƯm cËn y = ax+ b với a 0 là một
tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x).
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và giải ví dụ.

Ví dụ: Chứng minh rằng đường thẳng y = 3x - 2 là Giải: Ta có

tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y

3x 2 5 x 4
.
x 1

lim  f ( x ) 
(3x 2) lim
x

x

2
0
x 1

Suy ra đpcm.
GV nêu chú ý (SGK - t72).
Chó ý: NÕu lim  f ( x )
( ax b) 0 thì đường thẳng
x

y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên bên phải của
đồ thị (C). Nếu lim f ( x )
( ax b) 0 thì đường HS theo dõi và ghi chép.
x

thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên bên trái
của đồ thị (C). Nếu lim  f ( x ) 
( ax b) 0 thì

x

đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên
hai bên của đồ thị (C).
* Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận
HS đọc SGK (tr75).
xiên:
f x
HS ghi kết quả tóm t¾t.
lim
; b lim f  x  ax
a 
x 

x

x



HS tù ®äc chó ý trong SGK.

Chó ý: SGK (tr75 + 76).
GV nêu ví dụ.

HS suy nghĩ và trình bày lời giải.

Ví dụ: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

ĐS: áp dụng công thức trên ta

được tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số đà cho là: y = -x +1.

2 x 2 3x 1

y
.
2x 1

HS tự đọc các vÝ dô trong SGK
(tr76 + 77).

47
DeThiMau.vn


Giáo án : Giải tích 12

Vũ Thị Phương Thuỳ
Kiểm tra viết giữa chương II
Tiết theo PPCT: 232
Tuần kiểm tra:
Năm học:

I - Mục đích, yêu cầu:
Kiểm tra và đánh giá đúng từng HS về kỹ năng giải các bài toán: xét sự biến thiên và
tìm cực đại - cực tiểu, xét tính lồi - lõm và tìm điểm uốn, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số, tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số; tìm giá trị của tham số để hàm số
thoả mÃn một số điều kiện nào đó.
II - Nội dung:

A - Đề bài:
1. Cho hµm sè y = x4 - 3mx2 + 5 (m là tham số)
a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 .
b) Với m tìm được ở trên, hÃy:
i) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
ii) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số.





iii) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 3; 5 .
2. Tìm m để đồ thị hàm số y

mx 2
3mx 2m 1
có điểm cực đại và điểm cực tiểu
x 1

nằm về hai phía của trục Oy.
3. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số y x 2 9 .
B - Đáp án, biểu điểm:

3 0

1. a) Điều kiện:
m 2
y ''  3   0 

b) i) Hµm số đồng biến trên 3;0 và 3; .

Hàm số nghịch biến trên
; 3 và 0; 3 .
y'

(2đ)

(1,5đ)

ii) Đồ thị hàm số lồi trên (-1; 1), lõm trên (-; -1) và (1; +),
có hai điểm uốn là (1; 0).
(1,5đ)
5; min y
4
iii) max y 
(1®)
  3; 5 
  3; 5 
2. Điều kiện phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trái dấu nhau
m=
(2đ)
3. Tiệm cận xiên trái y = -x, tiệm cận xiên phải y = x.
(2®)

48
DeThiMau.vn