Chuyên đề Kinh nghiệm dạy học “công thức khoảng cách” chương trình hình học 1244879

KINH NGHIỆM DẠY HỌC
“CÔNG THỨC KHOẢNG CÁCH” _ CHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC 12

Là giáo viên bộ môn với mục đích là truyền thụ từng đơn vị kiến thức
một cách hiệu quả đến học sinh. Trước một đơn vị kiến thức dạy cho học
sinh bản thân tôi luôn suy nghó làm và làm như thế nào để các em học sinh
có thể tiếp cận, khắc sâu và vận dụng linh hoạt trong quá trình học.
Trong chuyên đề này tôi trình bày kinh nghiệm của mình trong việc
dạy học 2 công thức tính khoảng cách.
1)

 
υ , ΜΑ
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: δ ( Α, )    
υ

2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

  
υ , υ ∋  ΜΜ ∋


δ (,  ∋) 
 
υ , υ ∋ 





(  qua M coù VTCP υ ,  ∋ qua M’ coù VTCP υ ∋ )

Hai công thức trên chắc chắn đa số học sinh trung bình, trung bình khá sẽ
gặp nhiều khó khăn để nhớ cũng như vận dụng linh hoạt trong các trường
hợp có liên quan.
Với một số kinh nghiệm nhỏ mà tôi trình bày sau đây, rất mong nhận được
sự góp ý và bổ sung của đồng nghiệp để nội dung được hoàn thiện hơn. Xin
chân thành cảm ơn.

−1−
DeThiMau.vn


KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG VÀ KHOẢNG
CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.

1.

Kiến thức liên quan đã học




a) Với hai vectơ α và β không cùng phương, xây dựng được hình bình
 

 

hành duy nhất, tính được tích có hướng  α, β  và  α, β  là diện tích của hình
bình hành đó.

α
β
 



b) Với ba vectơ α , β và χ không đồng phẳng , xây dựng được hình hộp
  

  

duy nhất, tính được tích hỗn tạp  α, β  .χ vaø  α, β  .χ laø thể tích khối hợp đó.

α

2.

β

Dạy học công thức

χ

Bước 1: Xác định khoảng cách cần tìm
δ ( Α, )  ?

Α


Từ giả thiết có điểm A và đường thẳng  nhận được hai vectơ  xây
dựng được hình bình hành  khoảng cách cần tìm là chiều cao hình bình
hành
δ (,  ∋)  ?

Từ giả thiết có hai đường thẳng  và  ’ nhận được ba vectơ  xây
dựng được hình hộp  khoảng cách cần tìm là chiều cao khối hộp đó
Chốt lại, Từ giả thiết đề toán ta thu được hình bình hành hoặc hình
hộp khi đó khoảng cách cần tính là chiều cao của hình đó.
−2−
DeThiMau.vn


Bước 2: Xác định công thức tính
+ δ ( Α, ) là chiều cao của hình bình hành thu được nên bằng tỉ số diện
tích hình bình hành và độ dài cạnh đáy.
+ δ (,  ∋) là chiều cao của hình hộp thu được nên bằng tỉ số giữa thể
tích khối hộp và diện tích mặt đáy khối hộp đó.
* Từ đó viết được công thức:
1)

 
υ , ΜΑ
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: δ ( Α, )    
υ

2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng cheùo nhau:

  
υ , υ ∋  ΜΜ ∋


δ (,  ∋) 
 
υ , υ ∋ 







(  qua M coù VTCP υ ,  ∋ qua M’ có VTCP υ ∋ )
p dụng : Xác định công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau AB và CD.


Ta có : Đthẳng AB qua A có VTCP ΑΒ


Đthẳng CD qua C có VTCP ΧD
 



 thu được 3 vectơ ΑΒ , ΧD và ΑΧ

  

 ΑΒ, ΧD  ΑΧ
Công thức: δ ( ΑΒ, ΧD)    
 ΑΒ, ΧD 



------------------------------

−3−
DeThiMau.vn


1/ Kinh nghiệm khi viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A
và cắt hai đường thẳng phân biệt d , d’.
Bài toán 1: Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm A(1,-2,2)
 ξ  1  τ
ξ  3 ψ  2 ζ 1
đồng thời cắt hai đường thẳng d:  ψ  0
, t  R và d’:


1

2
3
ζ  τ


Giải:


Từ ptđt d  VTCP của d: υ = (-1, 0, 1) vaø M(-1, 0, 0)  d


Từ ptđt d’  VTCP của d’: υ ∋ = (1, -2, 3) vaø M’(-3, 2, -1)  d’
+ Đường thẳng  phải tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng   và  
Trong đó,   là mp qua A và chứa đường thẳng d
 VTPT   : ν  υ , ΜΑ = (2, 4, 2) suy ra pt   : x +2y + z +1 = 0






 

  laø mp qua A và chứa đường thẳng d’
−4−
DeThiMau.vn


 VTPT   : ν∋  υ ∋, Μ ∋ Α = (6, 9, 4) suy ra pt   :6x+ 9y +4z +4 = 0




 





ξ  2 ψ  ζ  1  0
6 ξ  9 ψ  4 ζ  4  0

+ Vậy phương trình đường thẳng  : 
Nhận xét:






+ VTCP đt  : υ  =(-1, 2, -3), dễ nhận thấy υ  và υ ∋ cùng phương suy ra 
không cắt d’(trường hợp này   song song với d’), do đó kết luận của bài
giải là sai.
.A d’

 
d

 



+ Từ đó nhận thấy đường thẳng  (nếu có) là giao tuyến của hai mặt
phẳng   và   , “nếu có” ở đây vì khi   song song với d’ hoặc   song
song với d thì  không tồn tại, do đó sẽ mắc sai lầm khi ta không kiểm tra
lại phương trình thu được.
Khắc phục khi gặp bài toán thuộc dạng này

Cách 1: Ta giải như trên nhưng khi nhận được phương trình của đt  , ta






kiểm tra: Nếu vectơ υ  cùng phương với υ hoặc υ ∋ thì đt  không tồn tại,
ngoài ra thì pt  là phương trình đường thẳng phải tìm.
Cách 2: Ta tìm pt đường thẳng  thông qua hai điểm M, M’ của nó, trong


   

đó M  d; M’  d’ sao cho ΜΑ và Μ ∋ Α cùng phương.
p dụng cách này cho bài toán 1 ta có lời giải như sau:
Gọi M(-1-t, 0 , t)  d vaø M’(-3+t’, 2-2t’, -1+3t’)  d’. Hai điểm M và M’


   

thuộc đt  khi và chỉ khi ΜΑ =(-2-t, 2, t-2) và Μ ∋ Α =(-4+t’, 4-2t’,-3+3t’)
cùng phương  hệ sau có nghieäm:
  4  τ ∋ 4  2τ ∋

ττ ∋τ ∋2τ  0
  2  τ
2

hệ này vô nghiệm


ττ
∋

τ
∋

2
τ

1

0
4

2
τ
∋

3

3
τ
∋



 2
τ2

Vậy đường thẳng  không tồn tại
(Đối với cách giải này ta thường gặp khó khăn trong việc giải hệ để xác
định t và t’ cũng như xác định toạ độ của M và M’).
2/ Kinh nghiệm khi viết phương trình của đường thẳng  cắt hai đường
thẳng phân biệt d1 , d2 và song song với đường thẳng d3.
Phương pháp giải:
+ Đường thẳng  phải tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng   và  
−5−
DeThiMau.vn