Giải bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 10 (năm 2015) Trường THPT chuyên cao bằng45149

GIẢI BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 10 (2015)
THPT CHUYÊN CAO BNG

Cõu 1 ( 4,0 im ):
Giải hệ phơng trình:
x 2  8 y 3  2 xy(1  2 y )

2
 3

2 y  1
 x  4x  1 
3

Giải:
ĐK: từ pt (2) ,suy ra x> 0
(1)  x( x  2 y )  4 y 2 (2 y  x)  ( x  2 y )( x  4 y 2 )  0  x  2 y ( vì x+4y2> 0 )
Thay vào phương trình (2) có 3 x 3  4 x  x 2  2 x  4 (*)
Ap dụng bất dẳng thức AM-GM tacó
x2  4
x2  4 3 2
3
 x  x 2  2x  4 
 ( x  4)  2 x  x  ( x 2  4 x)  2 x 
4
4
4
4
2
3 x 4
3

 (
 2 x)  .2 x 3  4 x  3 x 3  4 x
2
2
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 2. Hệ phương trình có nghiệm x(2,1)
Câu 2 ( 4,0 điểm ):
Cho tam giác nhọn ABC, phân giác trong góc A cắt BC tại D. Gọi E, F là
hình chiếu vng góc của D trên AB và AC, K là giao điểm của CE và BF, H là
giao điểm của BF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEK.
Chứng minh DH  BF.
Giải:
A
*) Gọi I = AK  BC
Ta có AI, BF, CE đồng quy
FA IC EB

. .
1
FC IB EA
E
F
Mà AE = AF
K
H
IC FC DC cos C


Nên

IB EB DB cos B
C
IC b cos C sin B.cos C
I
D



B
IB c cos B sin C.cos B
IC sin B.cos C


a
sin A
 IC  b cos C  AK  BC

ThuVienDeThi.com


*) A, E, H, K cùng thuộc một đường tròn  BE.BA  BH .BK
A, E, D, I cùng thuộc một đường tròn  BE.BA  BD.BI
 BK .BH  BD.BI  HKID nội tiếp.
Mà góc DIK vng nên góc DHK vuông.  Vậy DH  BF (ĐPCM)
Câu 3 ( 4,0 điểm):
Cho a; b; c  0 thỏa mãn a  b  c  abc  4 . Chứng minh rằng
a
b
c
2

a  b  c 



2
bc
ac
ab
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta được
2

a
b
c
a  b  c
T



cb
ac
ab a bc b ac c ab









Lại có a b  c  b a  c  c a  b  a  b  c 2ab  2bc  2ac 
Suy ra:

2

T

a  b  c  a  b  c
2ab  bc  ac 

(*)

Ta sẽ chứng minh

a  b  c  ab  bc  ca (1)
S2
Đặt a  b  S ; ab  P; ( P  )
4
4S
Từ giả thiết suy ra c 
 S  4.
P 1
4S
S 4  S 
2
 PP  1  S  S  2  (2)
P
Vậy (1)  S 

P 1
P 1
Nếu P  1  S  0  VT  0  VP .

S2
S2  S2


Nếu P  1  S  0 . Ta có PP  1  S 
). Suy ra
 1  S  (vì P 
4
4  4


S2
S  22  S  22
PP  1  S 
16

(vì S  4 ).

Vậy: a  b  c  ab  bc  ac . Từ (*) suy ra

T

abc
2

Câu 4 ( 4,0 điểm):

Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho tích của hai số bất kỳ cộng 1
chia hết cho số còn lại.
Giải:

ThuVienDeThi.com


Gọi a, b, c là ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện

ab  1 c, bc  1 a, ca  1 b
Dễ thấy a, b, c là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau ( vì nếu có hai số khơng
ngun tố cùng nhau chẳng hạn a và b thì ( a, b) >1. Khi đó (ac, b) = d >1
 suy ra ac +1 khơng chia hết cho d , do đó ac + 1 cũng không chia hết cho b ),
 suy ra các số đó là khác nhau.
Số S = ab + bc + ca + 1 chia hết cho các số a, b, c nên S chia hết cho abc
( vì các số a, b, c là ba số đơi một nguyên tố cùng nhau). Vì vậy S  abc .
* Khơng mất tính tổng qt, giả sử 2 a  b  c.
Nếu b  4 , khi đó c  5 , abc  2.4.5  40 và
40
abc abc abc
abc


 1  abc 
 1  abc 
 1  abc .
5
4
2
20

20
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ b  4 , do đó a  2, b  3 . Vì ab  1  7 chia

S  ab  bc  ca  1 

hết cho 7 nên c  7 .
Vậy bài tốn chỉ có một bộ ba số duy nhất thỏa mãn điều kiện là 2, 3, 7.
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho 2015 tập hợp, mỗi tập hợp có 45 phần tử và hai tập bất kì có đúng một
phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại một phần tử thuộc tất cả 2015 tập hợp
trên.
H D Giải:
Xét tập A trong số 2015 tập đã cho. A giao với 2014 tập còn lại nên tồn tại a  A là
2014 
phần tử chung của khơng ít hơn 
  1  45 tập còn lại.
 45 

Vậy a thuộc các tập A, A1 , A2 ,..., A45 và trong 46 tập này khơng có hai tập nào có
phần tử chung khác a.
Ta sẽ chứng minh a thuộc tập B bất kì trong 20105 tập đã cho.
Thật vậy, nếu a  B thì B có với mỗi tập A, A1 , A2 ,..., A45 một phần tử chung khác
a, suy ra B có khơng ít hơn 46 phần tử, mâu thuẫn. Bài toán được chứng minh.

PHH sưu tầm & GT

-

12/2015 - nguồn THPT chuyên Cao Bằng

ThuVienDeThi.com