Bộ đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 năm 2011 doc

Bài tập tự Luyện
111EQUATION CHAPTER 1 SECTION 1ĐỀ SỐ 1
Câu 1: Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
. Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2: Giải phương trình: a,
1
a b x+ +
=
1
a
+
1
b
+
1
x
(x là ẩn số);

b,
2
2
( )(1 )b c a
x a
− +
+
+
2
2
( )(1 )c a b
x b
− +
+
+
2
2
( )(1 )a b c
x c
− +
+
= 0; (a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3: Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
+
+

=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +
Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x
2
– 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho
∆
ABC; AB = 3AC. Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ SỐ 2
Câu 1: Cho a,b,c thoả mãn:
a b c
c
+ −
=
b c a
a
+ −
=
c a b
b
+ −
.Tính giá trị M = (1 +

b
a
)(1 +
c
b
)(1 +
a
c
)
Câu 2: Xác định a, b để đa thức f(x) = 6x
4
– 7x
3
+ ax
2
+ 3x +2 Chia hết cho y(x) = x
2
– x + b
Câu 3: Giải các PT: a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680. b, 4x
2
+ 4y – 4xy +5y
2
+ 1 = 0
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của
nó.
Câu 5: Cho
∆
ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC. Tính góc
µ

A
của
ABCV
b, Nếu AB < BC. Tính góc
µ
A
của
HBCV
.
ĐỀ SỐ 3
Câu 1:Phân tích thành nhân tử: a, a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc; b, (x-y)
3
+(y-z)
3
+ (z-x)
3
Câu 2: Cho A =
2 2
2
(1 )
1
x x
x
−

+
:
3 3
1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x
 
− +
+ −
 
− +
 
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
1
2
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
2
( 10)
x

x +
Câu 4: a, Cho a,b,c > 0, CMR: 1 <
a
a b+
+
b
b c+
+
c
c a+
< 2; b, Cho x,y
≠
0 CMR:
2
2
x
y
+
2
2
y
x
≥

x
y
+
y
x
Câu 5: Cho

ABCV
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
ACMV
b, CMR: AM
⊥
AB
Bài tập tự Luyện
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
MNPV
đều.
ĐỀ SỐ 4
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a
8
+ a
4
+1; b, a
10
+ a
5
+1
Câu 2: a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A =
2 2 2
1
b c a+ −
+
2 2 2
1
c a b+ −
+

2 2 2
1
a b c+ −
b, Cho biểu thức: M =
2
2 3
2 15
x
x x
−
+ −
+ Rút gọn M
+ Tìm x
∈
Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3: a, Cho abc = 1 và a
3
> 36, CMR:
2
3
a
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ca; b, CMR: a
2
+ b
2
+1

≥
ab + a + b
Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất P = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
(b+c) + b
2
(c+a) + c
2
(a+b)
Câu 5: a, Tìm x,y,x
∈
Z biết: x
2
+ 2y
2
+ z
2
- 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3

Câu 6: Cho
ABCV
. H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc
µ
A
và
µ
D
của tứ giác ABDC.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, (x
2
– x +2)
2
+ (x-2)
2
; b, 6x
5
+15x
4
+ 20x
3
+15x
2
+ 6x +1
Câu 2: a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a
2
+ b

2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của A = a
4
+ b
4
+ c
4
b, Cho a, b, c
≠
0. Tính giá trị của D = x
2009
+ y
2010
+ z
2011
Biết x,y,z thoả mãn:
2 2 2
2 2 2
x y z
a b c
+ +
+ +
=
2
2
x
a
+

2
2
y
b
+
2
2
z
c
Câu 3: a, Cho a,b > 0, CMR:
1
a
+
1
b

≥

4
a b+
; b, Cho a,b,c,d > 0. CMR:
a d
d b
−
+
+
d b
b c
−
+

+
b c
c a
−
+
+
c a
a d
−
+

≥
0
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
với x,y > 0;
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
2
( 2010)
x
x +
với x > 0
Câu 5: a, Tìm nghiệm
∈
Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y; b, Tìm nghiệm

∈
Z của PT: x
2
+ x + 6 =
y
2
Câu 6: Cho
ABCV
M là một điểm
∈
miền trong của
ABCV
. D, E, F là trung điểm AB, AC,
BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
Bài tập tự Luyện
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 6
Câu 1: Cho
a
x y+
=
13
x z+
và
2
169
( )x z+
=
27

( )(2 )z y x y z
−
− + +
Tính giá trị của biểu thức A =
3 2
2 12 17 2
2
a a a
a
− + −
−
Câu 2: Cho x
2
– x = 3, Tính giá trị của biểu thức M = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 2
Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 10, Tìm giá trị nhỏ nhất của N =
1
x
+
1
y
Câu 4: a, Cho 0
≤
a, b, c

≤
1. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2

≤
1+ a
2
b + b
2
c + c
2
a
b, Cho 0 <a
0
<a
1
< < a
1997
. CMR:
0 1 1997
2 5 8 1997


a a a
a a a a
+ + +

+ + + +
< 3
Câu 5: a,Tìm a để PT
4 3x−
= 5 – a có nghiệm
∈
Z
+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2
x
x y z+ +
+
2
y
y x z+ +
+
2
z
z x y+ +
=
3
4
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc
·
MAB
cắt BC tại P, kẻ phân
giác góc
·

MAD
cắt CD tại Q. CMR PQ
⊥
AM
ĐỀ SỐ 7
Câu 1: Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
+
2 2 2
2
c a b
ac
+ −
+
2 2 2
2
a b c
ab
+ −
= 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm giá trị lớn nhất A =
3 3
1
1x y+ +
+

3 3
1
1y z+ +
+
3 3
1
1z x+ +
Câu 3: Cho M = a
5
– 5a
3
+4a với a
∈
Z
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M
M
120
∀
a
∈
Z
Câu 4: Cho N
≥
1, n
∈
N a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n =
( 1)
2
n n +

;
b, CMR: 1
2
+2
2
+ 3
2
+ +n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: x
2
= y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6: Giải BPT:
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
>
2
4 5
2
x x
x

+ +
+
- 1
Bài tập tự Luyện
Câu 7: Cho 0
≤
a, b, c
≤
2 và a+b+c = 3.CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
≤
5
Câu 8: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD
một góc 15
0
cắt AD tại E. CMR:
BCEV
cân.
ĐỀ SỐ 8
Câu 1: Cho A =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n
n n n

+ −
+ + +
a, Rút gọn A
b, Nếu n
∈
Z thì A là phân số tối giản.
Câu 2: Cho x, y > 0 và x+y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 -
2
1
x
)(1 -
2
1
y
)
Câu 3:
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0
≤
a, b , c
≤
1. CMR: a + b
2
+c

3
– ab – bc – ca
≤
1
Câu 4: Tìm x, y, z biết: x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5: Cho n
∈
Z và n
≥
1. CMR: 1
3
+ 2
3
+3
3
+ +n
3
=
2 2
( 1)
4
n n+ +
Câu 6: Giải bất phương trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7: Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong
nhóm 94.
Câu 8: Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN. CMR: AK
= BC
ĐỀ SỐ 9
Câu 1: Cho M =
a

b c+
+
b
a c+
+
c
a b+
; N =
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2. CMR:
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+

2
c
a b+

≥
1
Câu 3: Cho x, y, z
≥
0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x
2
– 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số
ab
sao cho
ab
a b−
là số nguyên tố
Câu 5: Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A =
a
a b c+ +
+
b
a b d+ +
+
c
b c d+ +
+

d
a c d+ +
không phải là số nguyên.
Câu 6:Cho
ABCV
cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao
cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP. CMR: BC
⊥
PC
Bài tập tự Luyện
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x
2
+
2
1
x
+
2
4
y
= 4 (x
≠
0). Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
ĐỀ SỐ 10
Câu 1: Cho a, b, c > 0 và P =
3
2 2
a
a ab b+ +
+

3
2 2
b
b bc c+ +
+
3
2 2
c
c ac a+ +
Q =
3
2 2
b
a ab b+ +
+
3
2 2
c
b bc c+ +
+
3
2 2
a
c ac a+ +
a, CMR: P = Q ; b, CMR: P
≥

3
a b c+ +
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a

2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:
abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)
≥
0
Câu 3:CMR
∀
x, y
∈
Z thì: A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m
2
+ n
2
= m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x
2
y = (x
2
+1)(x
2
+y
2

)
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A =
2
4 3
1
x
x
+
+
Câu 6: Cho x =
2 2 2
2
b c a
ab
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )
a b c
b c a
− −
+ −
Tính giá trị: M =
1
x y
xy
+
−

Câu 7: Giải BPT:
1 x a x− < −
(x là ẩn số)
Câu 8: Cho
ABCV
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P
là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE. Tính PQ theo BC
ĐỀ SỐ 11
Câu 1: Cho x =
a b
a b
−
+
; y =
b c
b c
−
+
; z =
c a
c a
−
+
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =
4
2 2
1
( 1)
x

x
+
+
Câu 3:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1. CMR: b+c
≥
16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
Câu 4: Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m
2
– 1
Câu 5:
Bài tập tự Luyện
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x
2
+ y
2
+ z
2
= xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6: Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung
điểm của AD, BC. CMR: E, O, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 12
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:

f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000
b, Cho:
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c
− − −
= =
. CMR:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
= =
Câu 4: CMR:
1
9
+
1
25
+ +
2
1

(2 1)n +
<
1
4
Với n
∈
N và n
≥
1
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M =
2 2
2 2
x xy y
x y
+ +
+
(x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x
2
+ 4x = 19 – 3y
2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x
2
+ y
2
+ z
2
= 1999
Câu 7:

Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF
⊥
DE
b, CMR: CM = EF; CM
⊥
EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
ĐỀ SỐ 13
Câu 1: a, Rút gọn: A = (1-
2
4
1
)(1-
2
4
3
) (1-
2
4
199
)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a
2
. Tính : M =
a b
a b
−
+
Câu 2: a, Cho a, b, c > o. CMR:

2
a
b c+
+
2
b
c a+
+
2
c
a b+

≥

2
a b c+ +
b, Cho ab
≥
1. CMR:
2
1
1a +
+
2
1
1b +

≥

2

1ab +
Bài tập tự Luyện
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 và
1
1x −
=
2
2y −
=
3
3z −
Câu 4: a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
2
2 1
2
x
x
+
+
; b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
2
2
6 5 9x x− −
Câu 5: Giải BPT: mx
2
– 4 > 4x + m
2
– 4m
Câu 6: a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) (k là số nguyên dương cho trước).
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.

Câu 7: Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ
BCFV
đều, về phía trong
hình vuông trên cạnh AB vẽ
ABEV
đều. CMR: D, E, F thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 14
Câu 1: Cho A = (
2
2 2 3 2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y
−
− +
+ + − +
a, Tìm ĐKXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2:
a, Giải PT: x
4
+ 2x
3
– 2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)
2
Câu 3: Cho a, b, c > 0. CMR:

3
2
a b c
b c a c a b
+ + ≥
+ + +
Câu 4: CM: A = n
6
– n
4
+2n
3
+2n
2
không là số chính phương với n
∈
N và n >1
Câu 5: Cho f(x) = x
2
+ nx + b thoả mãn
1
( ) ; 1
2
f x x≤ ≤
. Xác định f(x)
Câu 6: Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1. Tìm giá trị lớn nhất : A =
4 2 2 4
x y
x y x y
+

+ +
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ
đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F. CMR: OE = OF
ĐỀ SỐ 15
Câu 1: Cho xyz = 1 và x+y+z =
1 1 1
x y z
+ +
= 0. Tính giá trị M =
6 6 6
3 3 3
x y z
x y z
+ +
+ +
Câu 2: Cho a ≠ 0 ;
±
1 và
1 2
1 2 3
1 2
1 11
; ;
2 1 1
x xa
x x x
a x x
− −−
= = =
+ + +

Tìm a nếu x
1997
= 3
Câu 3: Tìm m để phương trình có nghiệm âm :
( 2) 3( 1)
1
1
m x m
x
+ − −
=
+
Câu 4: Với n
∈
N và n >1. CMR:
1 1 1 1
1
2 1 2 2n n n
< + + + <
+ +
Bài tập tự Luyện
Câu 5: Cho M = 3x
2
- 2x + 3y
2
– 2y + 6x +1 Tìm giá trị M biết: xy = 1 và
x y+
đạt giá trị
nhỏ nhất.
Câu 6: Tìm x, y

∈
N biết: 2
x
+ 1 = y
2
Câu 7: Cho
ABCV
(AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của
ABCV
.
Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E. So sánh S
ADMV
và S
CEMV
ĐỀ SỐ 16
Câu 1: Cho (a
2
+ b
2
+ c
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
. CMR:

x y z
a b c
= =
với abc ≠ 0
Câu 2: Cho abc ≠ 0 và
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + − − +
CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + − − +
Câu 3: Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng
thời lớn hơn
1
4
Câu 4: Cho x
3
+ y
3
+ 3(x
2
+y
2
) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0. Tìm giá trị lớn nhất A =
1 1

x y
+
Câu 5:
a, CMR PT: 3x
5
– x
3
+ 6x
2
– 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6: Cho n
∈
N và n >1 CMR: 1 +
2 2 2
1 1 1
2
2 3 n
+ + + <
Câu 7:
Cho
ABCV
về phía ngoài
ABCV
vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của
ABCV
vuông góc với EF và AI =
1
2

EF
Câu 8: CMR:
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân số tối giản (với n
∈
N).
ĐỀ SỐ 17
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Bài tập tự Luyện
Câu 2: Cho x > 0 và x
2
+
2
1
x
= 7. Tính giá trị của M = x
5
+
5

1
x
Câu 3: Cho x, y thoả mãn 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 72 Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x
2
+ y
2
Câu 4:
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c
≤
1 CMR:
2 2 2
1 1 1
9
2 2 2a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = 2; ab+bc+ca = 1. CMR: 0
≤
a, b, c
≤

4
3
Câu 5:
Tính tổng S = 1+2x+3x
2

+4x
3
+ + nx
n-1
(x≠1)
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên của PT:
xy xz yz
z y x
+ +
= 3
Câu 7: Cho
ABCV
biết đường cao AH và trung tuyến AM chia góc
·
BAC
thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của
ABCV
ĐỀ SỐ 18
Câu 1: Rút gọn: M =
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a bc b ac c ab
a b a c b a b c a c a b
− − −
+ +
+ + + + + +
Câu 2: Cho: x =
2 2 2
( )( )

;
2 ( )( )
b c a a b c a c b
y
bc a b c b c a
+ − + − + −
=
+ + + −
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)
3
Câu 3: Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1 8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2 32d(1-a) > 3
Câu 4:
Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: Nếu x = m; y = n Với m, n
∈
N thì P.Q là số chẵn.
Câu 5: a, CMR PT: 2x
2
– 4y
2
= 10 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n > 1 sao cho: A = 1
2
+ 2
2
+ +n
2
là một số chính phương.

Câu 6:
Cho
ABCV
vuông cân ở A, qua A vẽ đường thẳng d sao cho B, C thuộc cùng nửa mặt phẳng có bờ
là d, vẽ BH, CK cùng vuông góc với d (H, K là chân đường vuông góc).
a, CMR: AH = CK
b, Gọi M là trung điểm BC. Xác định dạng
MHKV
ĐỀ SỐ 19
Câu 1: Cho a, b, c ≠ 0; a
2
+ 2bc ≠ 0; b
2
+ 2ca ≠ 0; c
2
+ 2ab ≠ 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= (a+b+c)
2
CMR: S =
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a bc b ac c ab

+ + =
+ + +
Bài tập tự Luyện
M =
2 2 2
1
2 2 2
bc ca ab
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
Câu 2: a, Cho a, b, c > 0 CMR:
2 2 2 2 2 2
1 1 1a b b c a c
a b b c a c a b c
+ + +
+ + ≤ + +
+ + +
b, Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR: a+b+c+
1
abc

≥
1 1 1
a b c
+ +

+ abc
Câu 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A =
1 2 5 3 8x x x+ + + + −
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
(x,y > 0)
Câu 4: a,Tìm nghiệm
∈
Z
+
của:
1 1 1
2
x y z
+ + =
b, Tìm nghiệm
∈
Z của: x
4
+ x
2
+ 4 = y
2
– y
Câu 5: Cho

ABCV
, đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE. Gọi M là trung điểm của
BC, N là trung điểm của DE. CMR: MN // đường phân giác trong của góc
µ
A
của
ABCV
Câu 6: Tìm các số nguyên dương n và số nguyên tố P sao cho P =
( 1)
1
2
n n +
−
ĐỀ SỐ 20
Câu 1: a, Cho a+b+c = 1; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 và
x y z
a b c
= =
; abc ≠ 0. CMR: xy + yz + xz = 0
b, Cho x, y, z > 0 và 2x
2
+ 3y
2
– 2z

2
= 0 , CMR: z là số lớn nhất.
Câu 2: a, Cho a, b, c ≠ 0. CMR:
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
b, Cho n
∈
N, n > 1. CMR:
2 2
1 1 1 1

5 13 ( 1) 2n n
+ + + <
+
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất với a, b, c > 0
a, P =
a b c a b c a b c
b c c a a b c b a
+ + +
+ + + + +
+ + +
b, Q =
a b c d
b c d a c d a b d a b c
+ + +
+ + + + + + + +
Câu 5: Tìm các số chính phương sao cho chia nó cho 39 được thương số nguyên tố và dư 1

Câu 6:
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F, G là trung điểm của AC,
BD.
a, CMR: S
EFGV
=
1
4
ABCD
S
b, Gọi M là giao điểm của AD, BC. Chứng minh FG đi qua trung điểm ME.
ĐỀ SỐ 21
Bài tập tự Luyện
Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc
CMR: a(b
2
-1)( c
2
-1) + b(a
2
-1)( c
2
-1) + c(a
2
-1)( b
2
-1) = 4abc
Câu 2: Cho n là số nguyên tố
CMR: A = n
4

– 14n
3
+71n
2
– 154n + 120 chia hết cho 24.
Câu 3:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 4x
2
y = (x
2
+1)(x
2
+y
2
)
Câu 4: Tìm a, b để M = x
4
- 6x
3
+ax
2
+bx + 1 là bình phương của một đa thức khác.
Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của PT: P = x
2
+y
2
và biết x
2
+y
2

+xy = 4
Câu 6: Tìm các số a, b, c thoả mãn đồng thời các BĐT:
a b c< −
;
b a c< −
;
c a b< −
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC. Các đường chéo AC và BD vuông góc
với nhau tại I. Trên AD lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài trung bình của hình
thang ABCD.
CMR:
MACV
cân tại M
ĐỀ SỐ 22
Câu 1: Cho x
3
+ x = 1. Tính A =
4 3 2
5 2
2 3 5
2
x x x x
x x x
− + − +
− − +
Câu 2: Giải BPT:
2 2
1 4 3x x− + − =
Câu 3: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn:
x = 1 -

1 2y−
y = 1 -
1 2z−
z = 1 -
1 2x−
Tìm số lớn nhất trong ba số x, y, z.
Câu 4: Cho x, y thoả mãn: x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
3
+y
3
+xy
Câu 5: CMR:
2 2 2
1 1 1 5

1 2 3n
+ + + <
Câu 6: Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau: x+y+z+t = xyzt
Câu 7: Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm trong hình vuông sao cho:
·
MAB
=
·
MBA
= 15
0
. CMR:
MCAV
đều
ĐỀ SỐ 23

Câu 1: a, Cho a
2
+ b
2
+ c
2
=
ab bc ca+ +
. CMR: a = b = c
b, Cho (a
2
+ b
2
)( x
2
+ y
2
) = (ax+by)
2
. CMR:
a b
x y
=
với x, y ≠ 0
Bài tập tự Luyện
c, Rút gọn: A = (x
2
-x+1)(x
4
-x

2
+1)(x
8
-x
4
+1)(x
16
-x
8
+1)(x
32
-x
16
+1)
Câu 2: a, Tìm số nguyên dương n để n
5
+1 chia hết cho n
3
+1
b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax
3
+bx
2
+c chia hết cho x+2 và chia cho x
2
-1 thi dư x+5.
c, Nếu n là tổng 2 số chính phương thì n
2
cũng là tổng 2 số chính phương.
Câu 3: a, Cho A = 11 1 (n chữ số 1), b = 100 05 (n-1 chữ số 0). CMR: ab + 1 là số chính phương.

b, Tìm nghiệm tự nhiên của PT: x+y+1 = xyz
Câu 4: a, Cho x, y
∈
N Tìm giá trị lớn nhất của A =
8 ( )
x y
x y x y
+
+ − +
b, Cho x, y, z > 0 x+y+z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất B =
x y
xyz
+
Câu 5: a, MCR:
7 1 1 1 1 1 5
1
12 2 3 4 99 100 6
< − + − + + − <
b, MCR:
1 1 1 1
1 ( ; 0)
2 3 4 2 1 2
n
n
n N n+ + − + + > ∈ >
−
Câu 6: Cho
ABCV
vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc
·

ABD
=
1
3
·
ABC
,
E là điểm trên AB sao cho góc
·
ACE
=
1
3
·
ACB
. F là giao điểm của BD và CE, K và H là điểm đối xứng
của F qua BC, CA. CMR: H, D, K thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 24
Câu 1: Cho M =
2
3 2 2
25 2
( ):( )
10 25 2
x y
x x y y
− −
− + − −
Tính giá trị M biết: x
2

+9y
2
-4xy = 2xy-
3x −
Câu 2: a, Cho a+b = ab. Tính (a
3
+b
3
-a
3
b
3
)
3
+ 27a
6
b
6
.
b, Cho a, b thoả mãn:
2
2
a b
a b a b
+ =
+ −
Tìm các giá trị có thể của N =
3
5
a b

a b
−
+
Câu 3: a, Tìm số tự nhiên n để n
4
+4 là số nguyên tố.
b, Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của số tự nhiên.
Câu 4: a, Cho
1; 1999; 1 1999a a c b< − < − <
. CMR:
3998ab c− <
b, Chứng tỏ có ít nhất một bất đẳng thức sau là sai: a(a+b) < 0; 2a > b
2
+1
c, Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT sau là đúng
a
3
b
5
(c-a)
7
(c-b)
9

≤
0; bc
5
(c-b)
9
(a-c)

13
≤
0; c
9
a
7
(b-c)
5
(b-a)
3
≤
0
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = (x+5)
4
+ (x+1)
4
Câu 6: Cho
ABCV
có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D,E,F là trung điểm của
BC, CA, AB, Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC.
a, CM: PQRE, PEDQ là hình chữ nhật.
b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm.
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 25
Câu 1: Cho A = 4x
2
+8x+3; B = 6x
2
+3x

a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B
b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau.
Câu 2: Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời
x
2
+2y = -1
y
2
+2z = -1
z
2
+2x = -1
Tính giá trị của A = x
2001
+ y
2002
+ z
2003
Câu 3: CMR PT: 2x
2
-4y
2
= 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 4: Cho 2 đường thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy về hai phía của O
hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB. MA,
MB cắt nhau với oy ở C và D. Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD.
a, CMR: MF + ME =
1
2
(AC+BD)

b, Đường thẳng CF cắt ox tại P. Chứng minh P là một điểm cố định khi M di chuyển trên đường
trung trực của AB.
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số, Mẫu số là tổng các chữ số của tử số.
ĐỀ SỐ 26
Câu 1: Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x
2
. Tính:
x y
x y
−
+
Câu 2: Cho a, b, c thoả mãn: abc = 1 và
2 2 2
2 2 2
a b c a c b
b c a c b a
+ + = + +
CMR: Có ít nhất 1 phân số là bình phương của một trong 2 số còn lại.
Câu 3: Tìm các nghiệm nguyên thoả mãn 2 BPT: 16 + 5x > 3+ 11 và
7 3
6
4 2 2
x x
+ < +
Câu 4: Cho A =
2 2 2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x c

a b a c b a b c c a c b
− − −
+ +
− − − − − −
a, A thay đổi như thế nào nếu ta hoán vị 2 trong 3 số a, b, c.
b, Tìm A nếu x=a.
c, Tìm A nếu b =
;
3 4
a a
c =
d, Nếu a-b = b-c > 0. Tìm x nếu phân thức thứ nhất bằng phân thức thứ 3. Tìm giá trị của phân thức
thứ nhất và phân thức thứ 3.
Bài tập tự Luyện
Câu 5: Cho
a b c
≥ ≥
> 0. CMR:
2 2 2 2 2 2
3 4
a b c b a c
a b c
c a b
− − −
+ + ≥ − +
Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, trên tia CP lấy M sao cho
PM = CP, Kẻ ME AD; MF AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC
b, CMR: E,F,P thẳng hàng.
Câu 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1, trên AB, AD lấy M,N sao cho

·
MCN
= 45
0
. Tính chu vi
AMNV
ĐỀ SỐ 27
Câu 1: Cho M = x
3
+x
2
-9x-9; N = (x-2)
2
– (x-4)
2
a, Rút gọn A =
M
N
b, CMR: Nếu x chẵn
⇒
A tối giản.
Câu 2: Tìm số có 4 chữ số
abcd
thỏa mãn: 665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
Câu 3: CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10
≥
1
Câu 4: Cho số chính phương M gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi số của M một đơn vị thì được một
số N là số chính phương. Tìm hai số M, N.
Câu 5: So sánh A, B biết: A = 2

0
+2
1
+ +2
100
+90
10
; B = 2
101
+10
20
Câu 6: Cho
ABCV
, đường cao AF, BK, CL cắt nhau tại H. Từ A kẻ Ax
⊥
AB, từ C kẻ Cy
⊥
BC. Gọi P
là giao của Ax và Cy. Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA.
a, CMR:
ODEV
đồng dạng với
HABV
b, Gọi G là trọng tâm của
ABCV
CMR: O, G, H thẳng hàng.
ĐỀ SỐ 28
Câu 1: Rút gọn: A =
2 2 2
2 2 2

( ) ( ) ( )
x y z
x z z x x y
+ +
− + − + −
, với x+y+z = 0
Câu 2: a, CMR: M =
7 2
8
1
1
n n
n n
+ +
+ +
không tối giản
n Z
+
∀ ∈
b, CMR: Nếu các chữ số a, b, c
≠
0 thoả mãn:
ab
:
bc
= a:c Thì:
abbb
:
bbbc
= a:c

Câu 3: a, Rút gọn: P =
4 4 4 4 4
4 4 4
(1 4)(5 4)(9 4)(13 4) (21 4)
(3 4)(7 4) (23 4)
+ + + + + + +
+ + + + +
b, Cho Q =
1
1,00 1
(mẫu có 99 chữ số 0). Tìm giá trị của Q với 200 chữ số thập phân.
Câu 4: a, Cho a, b, c
≥
0. CMR: a
4
+b
4
+c
4

≥
abc(a+b+c).
b, CMR: Nếu a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác thì: a
2
+b
2
+c
2
< 2(ab+ac+bc).
Câu 5: Cho x, y thoả mãn: x

2
+y
2
= 4+xy. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A = x
2
+y
2
Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh là 1. Trên AB, AD lấy P, Q sao cho
APQV
cân có chu vi là 2.
Bài tập tự Luyện
a, CMR: PQ + QD = PQ
b, CMR:
·
PCQ
= 45
0
ĐỀ SỐ 29
Câu 1:Cho A =
2 2 2
2 2 2
4 4 4
; ; .
2 2 2
bc a ca b ab c
B C
bc a ca b ab c
− − −
= =
+ + +

CMR: Nếu a+b+c = 0 thì:
a, ABC = 1
b, A + B + C = 3
Câu 2: Cho n
∈
N, n > 0 CMR:
2 2 2
1 2 1
1 1,65
2 3 n
+ + + + <
Câu 3: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương.
a, CMR: A =
a b c d
a b c a b d b c d a c d
+ + +
+ + + + + + + +
không là số nguyên.
b, Tìm 5 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của số này bằng tổng các lập phương của 4 số còn
lại.
Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn. xyz = 1;
1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Có 1 trong 3 số x, y, z là lớn hơn 1.
Câu 5: Cho
ABCV
, đường thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM tại E, F, N.
a, CMR:

2AB AC AM
AE AF MN
+ =
b, Giả sử d // BC. Trên tia đối của tia FB lấy K, KN cắt AB tại P, KM cắt AC tại Q. CMR: PQ // BC
Câu 6:
Cho hình thang có độ dài hai đường chéo là 3,5. Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm 2 đáy là 2.
Tìm diện tích hình thang?
ĐỀ SỐ 30
Câu 1: CMR:
; 1n N n∀ ∈ ≥
thì
2 2
1 1 1 1 9

5 13 25 ( 1) 20n n
+ + + + <
+
Câu 2: Cho: (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2
= (x+y-2z)
2
+(y+z-2z)
2
+(x+z-2y)
2
CMR: x = y = z.

Câu 3:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x
3
(x
2
-7)
2
-36x.
b, CMR: A
M
210 với mọi x
∈
N
Câu 4: Cho:
0 , , 1a b c≤ ≤
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của: P = a+b+c-ab-bc-ca
Câu 5: Cho
ABCV
vuông tại B, trên tia đối tia BA lấy D sao cho: AD = 3AB. Đường thẳng vuông góc
với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại E. CMR:
BDEV
cân
ĐỀ SỐ 31
Bài tập tự Luyện
Câu 1: Cho a+b+c = 0 CMR:
( )( ) 9
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =

− − −
Câu 2: Tìm x, y, z biết:
2 2 2
x y z+ +
≤
xy+3y+2z -4
Câu 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
1
a b b c c a
a b b c c a
− − −
+ + <
+ + +
Câu 4: a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 27 Tìm a, b, c sao cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn nhất.
b, Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phương của 1 số bằng tổng các lập phương của 3 số còn lại.
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x
2
+ (x+y)
2
= (x+9)
2
Câu 6: Cho lục giác lồi ABCDEF, các đường thẳng AB, EF cắt nhau tại P, EF và CD cắt nhau tại Q, CD
và AB cắt nhau tại R. Các đường thẳng BC và DE; DE và FA; FA và BC cắt nhau tại S,T,U.
CMR: Nếu
AB CD EF
PR QR QP
= =
thì
BC DE FA
US TT TU

= =
ĐỀ SỐ 32
Câu 1: a, CMR: 6
2k-1
+1 chia hết cho 7 với
; 0K N n∈ >
b, CMR: Số a = 11 1 + 44 4 + 1 là bình phương của một số tự nhiên.
(Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4).
Câu 2: a, Tìm số dư của phép chia: x
2002
+x+1 chia cho x
2
-1
b, Tìm số nguyên dương x, y sao cho : 3(x
3
-y
3
) = 2001.
Câu 3: a, Cho a, b, c > o. CMR:
1 1 1 9
2( )a b b c c a a b c
+ + ≥
+ + + + +
b, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: y = x
3
-6x
2
+21x+18 Với
1
1

2
x− ≤ ≤
.
Câu 4: Cho
ABCV
(AB = AC). Biết
·
BAC
= 20
0
, và AB = AC = b; BC = a
CMR:a
3
+ b
3
= 3ab
2
ĐỀ SỐ 33
Câu 1: Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)
1999
+ b
2000
+ (c+1)
2001
Câu 2: Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR:
Nếu : x
2
– yz = a
y

2
– zx = b
z
2
– xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
a, Cho n
∈
N, CMR: A = 10
n
+ 18n – 1 chia hết cho 27.
b, CMR: n
5
m – nm
5
chia hết cho 30 với mọi m,n
∈
Z.
Bài tập tự Luyện
Câu 4: a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M =
2
4 3
1
x
x
+
+
b, Tìm giá trị lớn nhất của: N =
2

2 2
8 6x xy
x y
+
+
Câu 5: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác. Xác định dạng của tam giác để:
A =
a b c
b c a a c b a b c
+ +
+ − + − + −
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6: Cho hình vuông ABCD. Tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông
(M
∈
AB; N
∈
BC; P
∈
CD; Q
∈
DA)
a, CMR:
( )
4
ABCD
AC
S MN MP PQ QM≤ + + +
b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.
c, Xác định M, N, P, Q để

MNPQ
S
đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 34
Câu 1: Phân tích số 1328 thành tổng của 2 số nguyên x, y sao cho:
x chia hết cho 23, y chia hết cho 29. Tính x, y khi x-y = 52.
Câu 2: Cho f(x) =
5 3
2
30 6 15
x x x
− +
;
a, Phân tích f(x) thành tích.
b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với mọi x
∈
Z.
Câu 3: Có bao nhiêu số
abc
với
1 6;1 6;1 6a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
thoả mãn abc là số chẵn.
Câu 4: Cho
ABCV
, trung tuyến AM. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc AB, AC sao cho ME = MF.
CMR:
ABCV
là tam giác cân tại đỉnh A trong các trường hợp:
a, ME, MF là phân giác trong của
;AMB AMCV V

b, ME, MF là trung tuyến của
;AMB AMCV V
ĐỀ SỐ 35
Câu 1:
a, Cho các số a, b, c là 3 số khác nhau.
CMR:
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b a c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
b, Tìm x, y, z biết:
x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz.
Câu 2: Giải PT:
1 2 3 4
58 57 56 55
x x x x+ + + +
+ = +
Bài tập tự Luyện
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất. A =
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
(x, y, z > 0; xyz = 1).
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của PT: x(x
2

+x+1) = 4y(y+1)
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Lấy M
∈
AC, kẻ ME
⊥
AB, MF
⊥
BC. Tìm vị trí của M để
DEF
S
nhỏ
nhất.
Câu 6:
Cho
ABCV
có
µ
A
= 50
0
;
µ
B
= 20
0
. Trên phân giác BE của
·
ABC
lấy F sao cho

·
FAB
= 20
0
. Gọi I là
trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M. CMR: AI
2
+ EI
2
= EA + (MF +
2
EK
).
ĐỀ SỐ 36
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tìm giá trị B = a
4
+b
4
+c
4
.
b, Cho x > 0 và x
2

+
2
1
x
= 7. CMR: x
5
+
5
1
x
là số nguyên.
Câu 2: Cho a, b, c > 0. CMR:
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
Câu 3: Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất: A =
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )a b c
a b c
+ + + + +
Câu 4: Xác định a, b sao cho f(x) = ax
4
+bx
3
+1 chia hết cho g(x) = (x-1)
2
.

Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT:
1 1 1
1
x y z
+ + =
Câu 6:
CHo
ABCV
, trung tuyến AM. Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC
tại E, F.
a, CMR: Khi D di động trên BC thì DE + DF có giá trị không đổi.
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K.
CMR: K là trung tuyến của EF.
ĐỀ SỐ 37
Câu 1:
Cho S = (n+1)(n+2) (n+n) CMR: Với mọi n
∈
N thì S chia hết cho 2
n
.
Câu 2:
Cho f(x) = x
2
+nx+b thoả mãn:
1
( )
2
f x ≤
khi
1x ≤

. Xác định f(x).
Bài tập tự Luyện
Câu 3: Cho:
2 , , , 3a b c d≤ ≤
, CMR:
2 ( ) 3 3
3 ( ) 3 2
a c d d
b d c c
− +
≤ ≤
− +
Câu 4:
Cho tứ giác lồi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB
≥
AC.BD
Câu 5:
Cho
ABCV
, O là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh của
ABCV
tại A
1
, B
1
, C
1
. Tìm vị trí của O để: P =
1 1 1
OA OB OC

OA OB OC
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
ĐỀ SỐ 38
Câu 1:
a, Giải PT:
4
1
a b x a c x b c x x
c b a a b c
+ − + − + −
+ + + =
+ +
b, Tìm các số a, b, c, d, e biết:
2a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
= a(b+c+d+e)
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 1+x+x
2
+x
3

= y
3
Câu 3:
a, Với điều kiện nào của x thì A tối giản, không tối giản.
A =
3 2
2 2
9 9
( 2) ( 4)
x x x
x x
+ − −
− − −
b, CMR: Nếu a
2
-bc = x; b
2
-ac = y; c
2
-ab = z;
Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z
Câu 4:
Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH. Ex cắt FG, GH tại M, N; Ey cắt FG,
GH tại P, Q
a, CMR:
,NEP MMQV V
vuông cân
b, Gọi R là giao của PN, QM. Gọi I, K là trung điểm của NP. QM. Tứ giác EKRI là hình gì?
c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng.
Câu 5:

Cho
ABCV
có diện tích là S. Trên AB lấy BB
1
= AB. Trên BC lấy CC
1
= BC, trên AC lấy AA
1
=
AC.
Tìm tỷ số
1 1 1
A B C
S
V
và
ABC
S
V
theo S.
ĐỀ SỐ 39
Câu 1:
a, Tìm các số a, b, c, d biết:
Bài tập tự Luyện
a
2
+b
2
+c
2

+d
2
-ab-bc-cd- d+
2
5
= 0.
b, CMR: Với mọi n
∈
N; n > 0 thì :
A = n
4
+ 2n
3
+ 2n
2
+ 2n + 1 không là số chính phương
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT: x
7
– x
5
+x
4
– x
3
– x
2
+ x = 1992.
Câu 3:
Cho x, y, z, t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A =
x y z t y z t x z t x y t x y z
y z t x z t x y t x y z x y z t
+ + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + + +
Câu 4:
a, Cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Trong các BĐT sau có ít nhất một BĐT là sai.
(a+b+c)
2

≤
9ab; (a+b+c)
2

≤
9bc; (a+b+c)
2

≤
9ac.
b, Cho n
∈
N; n > 0. CMR:
1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( )
1 3 2 1 2 4 2n n n n
+ + + ≥ + + +
+ −
Câu 5:

Cho
ABCV
, từ D trên AB kẻ Dx//BC cắt AC tại E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx tại F. AC cắt BF tại I.
a, Chứng tỏ ta có thể chọn vị trí D để BF là phân giác góc
µ
B
b, CMR: Nếu D là trung điểm của AB thì CI = 2IE.
c, Với D là điểm bất kỳ trên AB. CMR: IC
2
= IE.IA.
ĐỀ SỐ 40
Câu 1: Tìm tổng S
n
= 7 + 77 + +
77 7
uuuuuuux
(n chữ số)
Câu 2: CMR: S = 1+2+3+ +n (n
∈
N) có tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6 hoặc 8.
Câu 3: a, CMR: 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +

b, CMR: Với n
∈
N thì:
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
là số nguyên.
Câu 4: CMR: Nếu n
∈
Z thì:
5 3
7
5 3 15
n n n
+ +
là số nguyên tố.
Câu 5: Cho a, b, c > 0 CMR:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
+ + ≥ + +
+ + + + + +
Câu 6: Cho
ABCV
vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Từ M vẽ góc 45
0
, hai cạnh của góc cắt AB, AC
tại E, F.
a, Xác định vị trí của E, F để

MEF
S
V
đạt giá trị lớn nhất.
b,
MEF
S
V
lớn nhất là bao nhiêu?
ĐỀ SỐ 41
Bài tập tự Luyện
Câu 1: a, Cho a+b+c = 0. CMR:
( )( ) 0
a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
− − −
+ + + + =
− − −
b, CMR với mọi x, y
∈
Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y
4
là số chính phương.
Câu 2: Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
< xy + 3y -3

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y =
2
4 3
1
x
x
+
+
Câu 4: x, y
∈
Z
+
: x
2
+ (x+y)
2
= (x+9)
2
Câu 5: CMR: A = 10
n
+ 18n -1 chia hết cho 27 (n
∈
N)
Câu 6: Cho
ABCV
, trên BC, CA, AB lấy M, N, P sao cho:
;(0 1)
BM CN AP
k k
MC NA PM

= = = < ≠
và kẻ các đoạn AM, BN, CP.
Tìm diện tích tam giác tạo bởi các đoạn AM, BN, CP. Biết
ABC
S S=
V
Câu 7: Tìm số nguyên x, y :
2 3 5x y+ =
ĐỀ SỐ 42
Câu 1:
Cho 3 số x, y, z: xyz = 1; và
1 1 1
x y z
x y z
+ + < + +
CMR: Có đúng 1 trong 3 số lớn hơn 1.
Câu 2:
Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời:
x+y
≥
25
y
≤
2x+18
y
≥
x
2
+4x
Câu 3:

Giải PT:
2 3
3 4 1x x− + − =
Câu 4:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a
4
+b
4
+c
4
< 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
)
Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c.
Câu 5:
Cho 2 đường thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O. Trên Ox lấy về 2 phía của điểm O
hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của AB. MA, MB cắt Oy ở C,
và D. Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB.
a, CMR:
, ,MA BFO OEAV V V

đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng.
b, CMR: OEFM là hình bình hành.
c, Đường thẳng EF cắt Ox tại P. CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng trung
trực AB.
d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì?
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 43
Câu 1: Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn:
0
a b c
b c c a a b
+ + =
+ + +
CMR:
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
Câu 2: Cho a, b, c
≠
0 và
0
x y z
a b c x y z
a b c
+ + = + + = + + =
. CMR: xa

2
+ yb
2
+ zc
2
= 0.
Câu 3: Giải PT: a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680; b,
2
2
2
2 7
2 4
2 3
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
Câu 4: Cho a, b, c thoả mãn:
1 1 1
2
1 1 1a b c
+ + ≥
+ + +
. CMR: abc
1
8
≤
.

Câu 5: Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B.
a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a).
b,
2
2
CA OA
DB OB
=
c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho
2
8
3
AOB
a
S =
V
. Tính CA + DB theo a.
ĐỀ SỐ 44
Câu 1: Cho a > b > 0. So sánh A, B: A =
2 1 2 1
2 2
1 1
;
1 1
n n
n n
a a a b b b
B
a a a b b b

− −
+ + + + + + + +
=
+ + + + + + + +
Câu 2:
a, Cho x+y+z = 0
CMR: 2(x
5
+y
5
+z
5
) = 5xyz(x
2
+y
2
+z
2
)
b, Cho a, b, c
≠
0. Tính giá trị M = x
2003
+y
2003
+z
2003
.
Biết z, y, z:
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
+ +
= + +
+ +
Câu 3:
a, Cho a, y, z
0≥
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
0
≥
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0.
CMR: Cả 3 số đều dương.
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x
100
– 10x
10
+10.
Câu 5: Với giá trị nào của A thì PT:
2 1 3x a x− + = +
có nghiệm duy nhất.
Câu 6:
Cho
ABCV
đường thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E.
a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có
DEF
S
V

không lớn hơn
1
4
ABC
S
V
b, Xác định vị trí D, E để
DEF
S
V
lớn nhất.
Bài tập tự Luyện
ĐỀ SỐ 45
Câu 1:
a, Cho
1 1 1 1
a b c abc
+ + =
CMR:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
(với n là số nguyên dương lẻ; a, b, c
≠
0)
b, Cho abcd = 1. Tính giá trị:
M =
1 1 1 1

1 1 1 1abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d
+ + +
+ + + + + + + + + + + +
Câu 2: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất: P =
2 2
2 2
ab a b
a b ab
+
+
+
Câu 3:
a, Cho a, b
∈
Q và a, b không đồng thời bằng không. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + >
+ + +
b, Cho a, b, c thỏa mãn: a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. CMR:

1
1
2
ab bc ca− ≤ + + ≤
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên của PT:
a, xy – 2 = x + y
b, 3xy + x – y = 1
Câu 5: Giải PT: x
4
+3x
3
+4x
2
+3x+1 = 0
Câu 6:Cho
ABCV
có đường cao là AA
1
, BB
1
, CC
1
, hình chiếu của A
1
lên AB, AC BB
1,
CC
1
là H, I, K, P.
CMR: H, I, K, P thẳng hàng.

ĐỀ SỐ 46
Câu 1: Cho a, b, c
0≠
; a
3
+b
3
+c
3
= 3abc. Tính giá trị biểu thức: P =
(1 )(1 )(1 )
a b c
b c a
+ + +
Câu 2: a, Tìm giá trị lớn nhất của M =
2
2
3 6 10
2 3
x x
x x
+ +
+ +
b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x
2
+ 26y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59.
Câu 3: Cho a+b+c+d = 1 CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd
1

2
≤
b, Cho 3 số dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR: có ít nhất 1 mệnh đề sau là sai:
a(1-b) >
1
4
; b(1-c) >
1
4
; c(1-a) >
1
4
Câu 4:
a, Tìm x, y
Z∈
:x
2
+ (x+1) = y
4
+ (y+1)
4
b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2)
CMR: 4N+1 là số chính phương với mọi n
∈
Z
+
c, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x
2
– (x+y)
2

= -(x+y)
2
Câu 5: Xác định a, b, c để: f(x) = x
4
+ax
2
+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)
3.
Bài tập tự Luyện
Câu 6: Cho O là trực tâm của
ABCV
(có 3 góc nhọn). Trên OB, OC lấy B
1
, C
1
sao cho:
·
1
AB C
=
·
0
1
90AC B =
. CMR: AB
1 =
AC
1
ĐỀ SỐ 47
Câu 1:

a, CMR: Nếu (y-z)
2
+(z-x)
2
+(x-y)
2
= (y+z-2x)
2
+(z+x-2y)
2
+(y+x-2z)
2
thì x = y = z.
b, Cho x
2
-y = a; y
2
-z = b; z
2
-x = c.
Tính P = x
3
(z-y
2
) + y
3
(x-z
2
) + z
3

(y-x
2
) + xyz(xyz-1)
Câu 2:
Tìm x để: P =
4 3 2
2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3: CMR:
2 2
1 1 1 1
1
1 1n n n n
+ + + + >
+ −
với n
N∈
; n > 0.
Câu 4: Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2(x+y+z) + y = 3xyz.
Câu 5:
Cho
ABCV
, trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm
ABCV

, một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC tại M,
N. CMR:
3
AB AC
AM CM
+ =
Câu 6: Cho
ABCV
, một hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho: M
∈
AB; N
∈
AC; P
∈
BC, Q
∈
BC.
Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ
ĐỀ SỐ 48
Câu 1:
a, Cho x+y=a; x
2
+y
2
=b; x
3
+y
3
= c.
CMR: a

3
-3ab+2c = 0.
b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau đúng với mọi x.
3
4 2
2
1 1 1 1
x x a b cx d
x x x x
+ +
= + +
− + − +
Câu 2: Cho a, b, c
0
≠
. Giải PT:
1 1 1
2( )
x a x b x c
bc ac ab a b c
− − −
+ + = + +
Câu 3: a, Cho a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. CMR:
2
a b c
b c c a a b
+ + <
+ + +
b, Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1. CMR:
2 2 2

1 1 1 3
1 1 1 1a b c abc
+ + ≥
+ + + +
Câu 4: Cho x, y, z thoả mãn: xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x
4
+y
4
+z
4
Câu 5: Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x – 3y = 2xy – 11
Câu 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Giao điểm của AC, BD là O, đường thẳng qua O và song song
AB cắt AD, BC tại M, N.
a, CMR:
1 1 2
AB CD MN
+ =
Bài tập tự Luyện
b, Cho
2 2
; ;
AOB COD
S a S b= =
V V
Tính
ABCD
S
c, Tìm điểm K trên BD sao cho đường thẳng qua K và song song AB bị hai cạnh bên và 2 đường
chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau.