Xử lý song song quá trình sinh khóa của hệ thống cấp phát chứng thực số

1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ

Nguyễn Thanh Hào
XỬ LÝ SONG SONG QUÁ TRÌNH SINH KHÓA
CỦA HỆ THỐNG CẤP PHÁT CHỨNG THỰC SỐ
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Công nghệ thông tin
HÀ NỘI - 2010
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
Nguyễn Thanh Hào
XỬ LÝ SONG SONG QUÁ TRÌNH SINH KHÓA
CỦA HỆ THỐNG CẤP PHÁT CHỨNG THỰC SỐ
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HỆ CHÍNH QUY
Ngành: Công nghệ thông tin
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TSKH Phạm Huy Điển
HÀ NỘI - 2010
TÓM TẮT NỘI DUNG
Khóa luận có trình bày về một số vấn đề của an toàn thông tin hiện đại. Các vấn đề
đó đều dẫn đến một nhu cầu bức thiết là phải xây dựng một hệ thống chứng thực số, tạo
điều kiện cho các ứng dụng chữ ký số phát triển. Phần tiếp theo là các lý thuyết về
chứng thực và chữ ký số, hệ thống chứng thực số CA ứng dụng hệ mã RSA mà cốt lõi là
quá trình sinh khóa. Thực chất của quá trình sinh khóa là sinh ra một cặp số nguyên tố
qp,
thỏa mãn được các tính chất là số nguyên tố xác suất mạnh. Với yêu cầu về số
nguyên tố như thế, phần tiếp theo khóa luận có đề cập đến các lý thuyết về số nguyên tố,
việc kiểm tra số nguyên tố, và các tính chất để một số nguyên tố được gọi là mạnh. Với
một khối lượng tính toán trên số nguyên lớn như vậy, xử lý tuần tự là không đáp ứng

được nhu cầu về thời gian, cho nên một phương pháp xử lý song song trên CPU (central
processing unit) đã được nhắc đến. Đó chính là bộ công cụ Visual Studio 2010 của
Microsoft. Phần cuối của khóa luận là các kết quả đạt được và định hướng cho tương
lai.
3
MỤC LỤC
TÓM TẮT NỘI DUNG..................................................................................................3
MỤC LỤC.....................................................................................................................4
LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................5
NỘI DUNG....................................................................................................................7
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại.............................................7
1.1. An toàn thông tin hiện đại................................................................................7
1.2. Chứng thực và chữ ký số.................................................................................7
1.2.1. Hệ mã khóa công khai và việc tạo chữ ký số.............................................7
1.2.2. Chứng thực số.........................................................................................12
1.3. Vai trò của CA và vấn đề then chốt trong thiết lập CA...................................14
1.3.1. Vai trò của CA........................................................................................14
1.3.2. Sử dụng chứng thực số............................................................................14
1.3.3. Các chức năng cơ bản của CA...............................................................15
1.3.4. Vấn đề then chốt trong thiết lập CA........................................................17
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan..........................................................19
2.1. Số nguyên tố và hệ mã khóa công khai RSA..................................................19
2.1.1. Hệ mã khóa công khai RSA....................................................................19
2.1.2. Lý thuyết toán học về số nguyên tố và các vấn đề liên quan....................21
2.2. Việc tính toán số nguyên tố và khái niệm số giả nguyên tố. Kiểm tra số giả
nguyên tố mạnh....................................................................................................23
2.2.1. Thuật toán kiểm tra số nguyên tố thông thường và khái niệm số giả
nguyên tố .........................................................................................................24
2.2.2. Kiểm tra số giả nguyên tố mạnh .............................................................24
2.2.3. Tính nguyên tố mạnh của một số............................................................29

2.3. Chìa khóa an toàn .........................................................................................30
Chương 3. Tính toán song song................................................................................32
3.1. Xử lý song song, cơ hội và thách thức [8]......................................................32
3.1.1. Cơ hội.....................................................................................................33
3.1.2. Những thách thức: Các vấn đề khó khăn gặp phải khi xử lý song song...34
3.1.3. Giải pháp: Các công nghệ song song trong Visual Studio 2010 Microsoft
.........................................................................................................................36
3.2. Lập trình song song với Visual Studio 2010 [8].............................................37
3.2.1. Thư viện ........................................................................................37
3.2.2. Các mô hình lập trình song song và ví dụ................................................38
3.2.3. Kết luận..................................................................................................42
Chương 4. Kết quả triển khai và tính thử nghiệm .....................................................43
4.1. Giới thiệu về chương trình ứng dụng ............................................................43
4.1.1. Mục đích và hoạt động của chương trình................................................43
4.1.2. Một số hình ảnh về chương trình.............................................................44
4.2. Một số thống kê khi chạy chương trình trên chip intel core2duo 2.2 GHZ......47
PHỤ LỤC ....................................................................................................................48
A. Thuật toán Miller-Rabin.......................................................................................48
B. Thuật toán Lucas..................................................................................................48
4
C. Thuật toán kiểm tra nguyên tố mạnh....................................................................49
KẾT LUẬN..................................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................52
LỜI MỞ ĐẦU
Hiện nay, ở các nước phát triển cũng như đang phát triển, mạng máy tính đóng vài
trò quan trọng trong mọi lĩnh vực hoạt động của xã hội, và một khi nó trở thành phương
tiện điều hành các hệ thống thì nhu cầu bảo mật thông tin được đặt lên hàng đầu. Nhu
cầu này không chỉ có ở các bộ máy của nhà nước, mà đã trở thành bức thiết trong nhiều
hoạt động kinh tế xã hội: tài chính, ngân hàng, thương mại … Những ứng dụng trong
dân sự của an toàn thông tin ngày càng được phát triển, mở rộng đặc biệt là chữ ký số.

Khi các văn bản tài liệu đã được số hóa, được chuyển đi rất nhanh trong hệ thống mạng
thì ký tay thông thường là một trở ngại cho các hoạt động trao đổi thông tin. Bên cạnh
đó, một hệ thống chứng thực thông tin, chứng thực số là cần thiết được phát triển khi
mà nhu cầu trao đổi thông tin, xác thực thông tin của các cơ quan, xí nghiệp, ngân hàng,
… ngày càng tăng đi kèm với sự phát triển mạnh của cơ sở hạ tầng mạng. Hệ thống
chứng thực số CA (certificate authority) là một giải pháp cho vấn đề này.
Với CA, mỗi người tham gia vào hệ thống được cấp phát một cặp chìa khóa bí
mật, công khai. Khi muốn gửi thông tin người sử dụng lấy chìa khóa bí mật mã hóa văn
bản và gửi đi, người nhận sẽ lấy chìa khóa công khai của người gửi để giải mã. Đồng
thời với sự chứng thực của hệ thống CA, đoạn thông tin đó sẽ được đảm bảo là thuộc về
người gửi. Ngoài ra, với những giấy tờ, hợp đồng kinh tế, … cần có chữ ký của các bên
liên quan, người ký có thể sử dụng chìa khóa bí mật để mã hóa văn bản. (Hành động này
giống như ký tay trên giấy tờ hành chính thông thường). Như vậy, việc xây dựng hệ
thống CA là quan trọng, cần thiết trong đời sống xã hội mà công nghệ thông tin đóng
vài trò chủ chốt trong giao dịch, buôn bán.
Một ví dụ cụ thể, trung tâm tin học thuộc viện nghiên cứu khoa học và công nghệ
Việt nam đang có dự án xây dựng hệ thống CA để phát triển các ứng dụng của chữ ký
số và chứng thực điện tử. Kết quả của khóa luận này sẽ được dùng trong quá trình rất
quan trọng của hệ thống CA sắp tới được phát triển – cấp phát khóa.
Vấn đề then chốt của hệ thống CA là quá trình cấp phát và chứng thực một khóa
có thuộc về một cá thể nào đó hay không. Quá trình cấp phát khóa về thực chất là sinh
ra một cặp số nguyên tố thỏa mãn các yếu cầu để được là nguyên tố mạnh. Những tính
toán trên số nguyên lớn đòi hỏi thời gian rất lâu để sinh ra một cặp số như vậy, chưa kể
5
đến thời gian kiểm tra thỏa mãn tính nguyên tố mạnh. Hơn thế nữa, một hệ thống CA
khi được triển khai nếu gặp tình trạng có nhiều người sử dụng truy cập tại một thời
điểm và yêu cầu cấp phát khóa, sẽ xảy ra hiện tượng nghẽn mạng, tắc cổ chai nếu phần
sinh khóa không đáng ứng được về thời gian. Hệ thống như thế được xem là không đạt
yêu cầu. Một giải pháp được đưa ra là xử lý song song trong quá trình sinh khóa của hệ
thống CA.

Thời gian trước, công nghệ xử lý song song được thực hiện trên các cụm nhiều
máy chủ do thời ấy một CPU (central processing unit) không có nhiều nhân. Ngày nay,
với sự phát triển vượt bậc của công nghệ phần cứng, các hãng phần cứng nổi tiếng thế
giới đã nghiên cứu và liên tục cho ra đời nhiều bộ xử lý tích hợp nhiều lõi bên trong (2,
4, 8 thậm chí 16 lõi). Đây là một thời điểm thuận lợi để ứng dụng công nghệ xử lý song
song trên một CPU có nhiều nhân. Một phương án khác có lợi hơn về mặt kinh tế là tính
toán trên card đồ họa (graphic card). Card đồ họa tuy có thế mạnh về xử lý vector (xử lý
nhiều bộ số một lúc) nhưng công nghệ song song còn chưa phát triển (chưa có thư viện
cần thiết để sinh được một cặp số nguyên tố lớn và kiểm tra tính nguyên tố mạnh của
chúng). Vì vậy, xử lý song song trên CPU nhiều nhân là một phương án hợp lý, cân đối
về mặt kinh tế và công nghệ hỗ trợ cũng như là tốc độ. Tập đoàn Microsoft mới cho ra
đời bộ công cụ Visual Studio 2010 hỗ trợ xử lý song song trên CPU nhiều nhân, đồng
thời có thư viện xử lý số nguyên lớn. C Sharp (C#) – một ngôn ngữ lập trình trong bộ
công cụ này sẽ được sử dụng để phát triển giai đoạn quan trọng ban đầu của một hệ
thống CA – sinh khóa.
6
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
NỘI DUNG
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
1.1. An toàn thông tin hiện đại
Hiện nay, ở tất cả các nước phát triển cũng như đang phát triển, mạng máy tính
đang đóng vài trò thiết yếu trong mọi lĩnh vực hoạt động của toàn xã hội, và một khi nó
trở thành phương tiện điều hành các hệ thống thì nhu cầu bảo mật thông tin được đặt lên
hàng đầu. Nhu cầu này không chỉ có ở các bộ máy An ninh, Quốc phòng, Quản lý Nhà
nước, mà đã trở thành bức thiết trong nhiều hoạt động kinh tế xã hội: tài chính, ngân
hàng, thương mại …
An toàn thông tin ngày nay không đơn thuần là việc giữ bí mật những thông tin
quan trọng (được áp dụng trong quân đội, bộ quốc phòng, an ninh quốc gia …) mà còn
là chứng thực thông tin (thông tin đó thuộc về một cá nhân, tập thể cụ thể nào đó).
Những ứng dụng của an toàn thông tin dân sự, đặc biệt là chữ ký số ngày càng phát

triển, mở rộng và có phần áp đảo so với quân sự. Bởi lẽ những thành phần tham gia hoạt
động mã hóa thông tin trong quân đội hay bộ quốc phòng chỉ là một nhóm người còn
tham gia vào hoạt động này ở dân sự là tất cả những ai có nhu cầu chứng thực thông tin,
cung cấp, tiếp nhận thông tin trên hệ thống mạng máy tính. Một hệ thống chứng thực
thông tin, chứng thực số là cần thiết được phát triển khi mà nhu cầu trao đổi thông tin,
xác thực thông tin ngày càng tăng đi kèm với sự phát triển mạnh của cơ sở hạ tầng
mạng.
1.2. Chứng thực và chữ ký số
1.2.1. Hệ mã khóa công khai và việc tạo chữ ký số
Nguyên lý hoạt động của hệ mã khóa công khai [4]
Hệ mã khóa công khai (hay còn gọi là các hệ mã phi đối xứng) được phát minh ra
trong những thập kỷ cuối của thế kỷ vừa qua. Nó sử dụng 2 chìa khóa riêng biệt cho
việc lập mã và giải mã văn bản. Chìa dùng cho việc lập mã có thể được công bố cho
mọi người biết (chìa công khai), còn chìa dùng cho việc giải mã thì được giữ bí mật
tuyệt đối. Việc biết được chìa khóa công khai không cho phép tính ra chìa khóa giải mã.
Mỗi cá thể
k
tham gia vào hệ thống được cấp phát riêng một cặp chìa khóa
( , )
k k
E D
,
trong đó
k
E
là chìa khóa lập mã, còn
k
D
là chìa khóa giải mã. Khi mã hóa một văn bản
P

(bằng chìa
k
E
) ta sẽ được một văn bản mã ký hiệu là
( )
k
C E P
=
. Văn bản này chỉ
có thể được giải mã bằng chìa khóa
k
D
(cùng cặp với
k
E
), nghĩa là
( ) ( ( ))
k k k
D C D E P P
= =
.
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Khi một cá thể
i
nào đó muốn giử thông điệp
M
cho đối tác
k
thì anh ta dùng
chìa khóa lập mã

k
E
của đối tác
k
(đã được biết công khai) để mã hóa văn bản và gửi
đi dưới dạng thông điệp mã
( )
k
C E M
=
. Khi đối tác
k
nhận được thông điệp này thì
dùng chìa khóa giải mã của mình (là
k
D
) để giải mã ra theo nguyên lý đã nêu
( ) ( ( ))
k k k
D C D E M M
= =
.
Các cá thể khác trong hệ thống, nếu nhận được văn bản mã
C
, thì cũng không thể nào
giải mã ra
M
, vì họ không có chìa khóa giải mã
k
D

của cá thể
K
.
Ký điện tử trong hệ mã khóa công khai [3][5][13]
Với hệ mã khóa công khai, một quy trình ký văn bản điện tử được thiết lập dựa
trên ý tưởng của hai nhà khoa học Diffie và Hellman [5][13]:
 Người gửi (chủ nhân văn bản) ký văn bản bằng cách mã hóa nó với khóa bí mật
của mình rồi gửi cho người nhận.
 Người nhận văn bản (đã ký) tiến hành kiểm tra chữ ký bằng cách sử dụng chìa
khóa công khai của người gửi để giải mã văn bản. Nếu giải mã thành công thì
văn bản ký là đúng của người gửi.
Giao thức này mang đầy đủ các thuộc tính của thủ tục ký thông thường. Thật vậy:
 Chữ ký là sản phẩm của người đã chủ động tạo ra nó, tức là người đã dùng chiếc
chìa khóa bí mật của mình để mã hóa văn bản.
 Chữ ký cho biết chủ nhân của nó chính là người sở hữu chiếc chìa khóa bí mật đã
được dùng để mã văn bản (kiểm tra bằng cách cho giải mã bằng chìa khóa công
khai của người đó). Không ai làm giả được “chữ ký” vì rằng chỉ có duy nhất một
người có chìa khóa bí mật đã dùng để “ký” (mã hóa).
 Chữ ký cho văn bản này không thể “tái sử dụng” cho văn bản khác. Thật vậy,
việc biết chữ ký (văn bản mã) không cho phép tìm ra được chìa khóa bí mật của
người gửi (để có thể ký một văn bản khác).
 Văn bản đã ký không thể thay đổi (xuyên tạc) được nội dụng. Thật vậy, nếu đã
mở ra để thay đổi thì không thể “ký lại” được nữa, vì không có chiếc chìa khóa
bí mật của “người đã ký” (như đã nói ở trên).
 Người ký văn bản không thể thoái thác việc mình “đã ký”, vì ngoài ông ta ra
không còn ai có cái chìa khóa đã được dùng để “ký” văn bản.
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Rõ ràng, về mặt logic thì quy trình ký như trên là rất hợp lý. Mọi thành viên tham gia sử
dụng một hệ mã khóa công khai đều có được khả năng ký văn bản điện tử (bằng chìa
khóa bí mật của riêng mình) và kiểm tra chữ ký của những người khác (bằng chìa khóa

công khai mà họ đã công bố).
Việc dùng chìa khóa bí mật để mã hóa văn bản được gọi là ký điện tử, và kết quả
tạo ra là một dữ liệu dạng số, sẽ được gọi là chữ ký số [6]..
Trong thực tiễn triển khai, mọi người đều biết tốc độ mã hoá của các hệ mã
khoá công khai là vô cùng chậm. Cho nên, việc ký một văn bản dài (như thông tư, nghị
định, văn kiện,...) theo quy trình nêu trên là không khả thi trên thực tiễn.
Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng một hàm “chiết xuất” đặc trưng văn
bản. Hàm này nhận giá trị đầu vào là văn bản (độ dài tùy ý) và cho đầu ra là một dãy số
có độ dài xác định, gọi là mã băm (message digest). Hàm chiết xuất có thuộc tính quan
trọng là rất “nhạy” đối với các thay đổi của văn bản, theo đó chỉ cần một thay đổi cực
nhỏ trong văn bản (như thay dấu chấm, dấu phẩy,…) cũng sẽ kéo theo sự thay đổi rõ rệt
trong giá trị mã băm của nó. Chính vì vậy mã băm có tính đặc trưng rất cao, và thường
được gọi là đặc trưng văn bản. Để nhận biết sự toàn vẹn của một văn bản người ta chỉ
cần xem đặc trưng của nó có bị thay đổi hay không. Hai thuộc tính quan trọng khác của
hàm chiết xuất là tính một chiều và tốc độ nhanh. Tính một chiều thể hiện ở chỗ không
thể tạo ra được một văn bản có mã băm (đặc trưng) là một xâu số cho trước, và do đó
không thể mạo ra một “văn bản giả” có cùng đặc trưng với một văn bản cho trước. Tốc
độ nhanh có nghĩa là thời gian tính đặc trưng cho văn bản là không đáng kể [3][13].
Rõ ràng, việc đặc trưng văn bản không bị thay đổi cũng đồng nghĩa với việc bản
thân văn bản không bị thay đổi. Từ đây ta có một quy trình ký các văn bản dựa vào đặc
trưng của nó. Theo quy trình này, khi một cá thể A muốn ký một văn bản
P
thì cần phải
thực hiện các bước sau đây [3][13]:
 Tính đặc trưng văn bản của
P
(bằng hàm chiết xuất có sẵn trên hệ thống).
 Dùng chìa khóa bí mật của mình để mã hóa dãy số đặc trưng văn bản thu được ở
bước trên. Đặc trưng văn bản sau khi được mã (bằng chìa bí mật của A) thì được
gọi là chữ ký số (của ông A đối với văn bản

P
).
Tức là tuân theo sơ đồ sau:
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Hình 1.1: Quy trình ký điện tử [13]
Dễ dàng thấy rằng chữ ký số được tạo ra trong quy trình trên có đầy đủ các thuộc
tính đã nêu trong mục đầu. Thời gian tạo chữ ký được giảm đi rất nhiều và gần như
không phụ thuộc vào độ dài của văn bản. Thật vậy, do thời gian tính đặc trưng văn bản
là không đáng kể, thời gian tạo chữ ký chỉ còn là việc mã hóa đặc trưng của văn bản (có
độ dài như nhau với mọi văn bản, và nhỏ hơn độ dài văn bản nhiều lần).
Một người nào đó, nhận được văn bản
P
cùng với chữ ký số đi kèm, muốn tiến
hành kiểm tra thì cần tiến hành các bước sau [3][13]:
 Tính đặc trưng của văn bản
P
(bằng hàm chiết xuất có sẵn trên hệ thống).
 Giải mã chữ ký số (bằng chìa khóa công khai của ông A) để có một đặc trưng
nữa của
P
, rồi so sánh nó với đặc trưng thu được ở bước trên. Nếu chúng khớp
nhau thì chứng tỏ văn bản nhận được chính là văn bản đã được ông A ký và nội
dung của nó không bị thay đổi so với khi ký.
Tức là tuân theo sơ đồ sau:
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Hình 1.2: Quy trình kiểm tra chữ số ký số [13]
Như vậy, chữ ký số không phải là một nét vẽ ngoằn ngoèo khó bắt chước (như chữ
ký tay thông thường trên giấy) mà là một dãy số được tạo nên từ đặc trưng của văn bản
bằng phép mã hóa với chìa khóa bí mật của người ký.
So với thủ tục ký thông thường (trên văn bản giấy), thủ tục ký điện tử có những ưu

thế vượt trội. Hơn thế:
 Chữ ký số là chính xác tuyệt đối (không còn mối e ngại về việc chữ ký không
giống nhau trong mỗi lần ký, như khi phải ký bằng tay).
 Trong khi việc kiểm định chữ ký viết tay, con dấu giả,… là không đơn giản (vì
thường đòi hỏi phương tiện kỹ thuật đặc biệt) thì chữ ký số có thể được kiểm
định một cách dễ dàng và chính xác (bằng thiết bị luôn có sẵn trong chương
trình). Mọi sự giả mạo, gian lận vì thế đều bị phát hiện tức khắc.
Như vậy, bằng việc triển khai giải pháp ký điện tử ta có thể nói lời kết thúc cho
các loại văn bằng chứng chỉ giả, mở đường cho các dịch vụ giao dịch trực tuyến với độ
tin cậy cao. Tuy nhiên, điều này chỉ có thể đạt được nếu như mỗi người sở hữu đúng
cặp chìa khóa công khai và bí mật của chính mình. Nếu như có một ông B nào đó có thể
đánh lừa được mọi người rằng cặp chìa khóa công khai (mà ông đang có) là của ông A,
thì sẽ xảy ra hiện tượng “mạo danh” vô cùng nguy hiểm. Một mặt, ông B sẽ đọc được
tất cả các tin mật mà người khác muốn gửi cho ông A nếu tin được mã bằng chìa khóa
công khai của ông B, và mặt khác ông B có thể ký các văn bản “vô tội vạ” và đánh lừa
mọi người rằng ông A đã ký những văn bản đó. Tóm lại, để cho chữ ký số có thể phát
huy được thế mạnh của mình thì trước hết cần phải có giải pháp xác định một cách
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
chính xác “ai là ai” trên toàn hệ thống. Một giải pháp như vậy có thể có được bằng việc
dùng một “bên thứ ba đáng tin cậy”, một bộ máy trung thực đảm nhiệm việc cấp phát
cho mỗi thực thể (người, máy tính, phương tiện,…) một định danh duy nhất và gắn cho
mỗi định danh một cặp chìa khóa (bí mật – công khai) duy nhất, để rồi vào mọi lúc, mọi
nơi bất kỳ ai cũng có thể thông qua nó để kiểm định xem một chìa khóa công khai nafon
đó thuộc về thực thể có định danh nào. Bộ máy trung thực đó còn được gọi là Cơ quan
thẩm quyền cấp chứng thực, gọi tắt là CA (Certificate Authority).
1.2.2. Chứng thực số
Khái niệm chứng thực số [3][7][13]
Trong mật mã học, chứng thực số (còn gọi là chứng thực điện tử) là một chứng
thực sử dụng chữ ký số để gắn một chìa khóa công khai với một thực thể (một cá nhân,
hay một máy chủ, hoặc một công ty…). Nói cách khác, chứng thực số là phương tiện

giúp người ta khẳng định được một chìa khóa công khai nào đó thuộc về thực thể nào
[7].
Một chứng thực số chuẩn mực thường bao gồm chìa khóa công khai và một số
thông tin về thực thể sở hữu chìa khóa đó (tên, địa chỉ,…). Như vậy, thông tin trên
chứng thực số không chỉ cho biết một chìa khóa công khai nào đó thuộc về ai, ta còn có
thể biết được các thông tin liên quan khác, mà đôi khi cũng rất quan trọng trong một hệ
thống cụ thể, như là danh phận, chức vụ,… của người sở hữu [3].
Trong một mô hình với hạ tầng khóa công khai (PKI) chuẩn mực, chữ ký trong
chứng thực thuộc về nhà cung cấp chứng thực số (Cerfiticate Authority, viết tắt là CA).
Chữ ký trong chứng thực là sự đảm bảo của người ký về mối liên hệ giữa chìa khóa
công khai và thực thể được chứng nhận.
Nội dung của chứng thực số theo chuẩn X.509 [3][13]
Tiêu chuẩn về chứng thực số trên cơ sở hạ tầng khóa công khai phổ biến nhất hiện
nay là X.509 được ban hành bởi ITU-T (International Telegraph Union – Telecom, tổ
chức viễn thông quốc tế (về lĩnh vực viễn thông), thuộc liên hợp quốc). Bao gồm:
 Version: Chỉ định phiên bản của chứng nhận X.509.
 Serial Number: Số loạt phát hành được gán bởi CA. Mỗi CA nên gán một mã số
loạt duy nhất cho mỗi giấy chứng nhận mà nó phát hành.
 Signature Algorithm: Thuật toán chữ ký và chỉ rõ thuật toán mã hóa được CA sử
dụng để ký giấy chứng nhân. Trong chứng nhận X.509 thường là sự kết hợp giữa
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
thuật toán băm (chẳng hạn như MD5) và thuật toán khóa công khai (chẳng hạn
như RSA).
 Issuer Name: Tên tổ chức CA phát hành chứng thực. Hai CA khác nhau không
được sử dụng cùng một tên phát hành.
 Validity Period: gồm hai giá trị chỉ định khoảng thời gian mà giấy chứng nhận có
hiệu lực: not-before và not-after. Not-before: thời gian chứng nhận bắt đầu có
hiệu lực; Not-after: thời gian chứng nhận hết hiệu lực.
Các giá trị thời gian này được đo theo chuẩn thời gian Quốc tế, chính xác đến
từng giây.

 Subject Name: Tên chủ thể được cấp chứng thực.
 Public Key: Chìa khóa công khai của chủ thể được cấp chứng thực.
 Issuer Unique ID & Subject Unique ID: Được đưa vào sử dụng từ X.509 phiên
bản 2, dùng để xác định hai tổ chức CA hoặc hai chủ thể khi chúng có cùng DN.
RFC 2459 đề nghị không nên sử dụng hai trường này.
 Extensions: Chứa các thông tin bổ sung cần thiết mà người thao tác CA muốn đặt
vào chứng nhận. (Mới được đưa ra trong X.509 phiên bản 3).
 Signature: chữ ký số được tổ chức CA áp dụng.
Tổ chức CA tạo chữ ký bằng khóa bí mật với kiểu thuật toán mã được quy định
trong trường thuật toán chữ ký.
Chữ ký bao gồm tất cả các phần khác trong giấy chứng nhận. (Qua đó thể hiện CA
chứng nhận cho tất cả các thông tin khác trong giấy chứng thực, chứ không chỉ cho tên
chủ thể và khóa công khai).
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Hình 1.3: Những nội dung thông tin cơ bản theo chuẩn X.509 [13]
1.3. Vai trò của CA và vấn đề then chốt trong thiết lập CA
1.3.1. Vai trò của CA
Chứng thực số là tiền đề cho nhiều ứng dụng của mật mã khóa công khai. Đối với
các hệ mã đối xứng (bí mật), việc trao đổi chìa khóa (bí mật) giữa những người sử dụng
trên quy mô rộng là vô cùng khó khăn, hầu như không thể thực hiện được. Với các hệ
mã hóa khóa công khai, người ta có thể thoát ra khỏi khó khăn này. Trên nguyên tắc,
nếu cá nhân A muốn người khác giử thông tin mật cho mình thì chỉ cần công bố chìa
khóa công khai của chính mình. Bất kỳ ai có được chìa khóa này đều có thể gửi thông
tin mật cho A. Tuy nhiên, khi ấy lại nảy sinh một vấn đề khác. Thật vậy, nếu chìa khóa
công khai của A không được chứng thực, một người nào đó (D) cũng có khả năng đưa
ra một chìa khóa công khai khác và giả mạo rằng đó là chìa khóa của A. Bằng cách làm
như vậy kẻ “mạo danh” này có thể đọc được một số thông tin mà người khác gửi cho A.
Nếu như chìa khóa công khai của A có trong một chứng thực số (được chứng thực bởi
một bên thứ 3, chẳng hạn như là T, với công nghệ chữ số) thì bất kỳ ai tin tưởng vào T
cũng có thể kiểm tra chìa khóa công khai của A. Nói cách khác, kẻ mạo danh D ắt sẽ bị

lật tẩy. Trong mô hình hạ tầng khóa công khai thì T chính là nhà cung cấp chứng số (CA
– Certificate Authority).
1.3.2. Sử dụng chứng thực số
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Khi áp dụng chứng thực số ở quy mô lớn, có rất nhiều CA cùng hoạt động. Vì vậy
một cá thể A có thể không quen thuộc (không đủ tin tưởng) với CA của một cá thể B
khác. Do đó chứng thực của B có thể phải bao gồm chữ ký của CA ở mức cao hơn. Quá
trình này dẫn đén việc hình thành một mạng lưới quan hệ phức tạp và phân tầng giữa
các CA. Trong tiêu chuẩn X.509 về hệ thống hạ tầng khóa công khai, mạng lưới CA tạo
thành cây từ trên xuống với gốc là một CA trung tâm mà không cần được chứng thực
bởi một bên thứ 3 nào khác.
Cũng giống như giấy CMND, một chứng thực điện tử cũng có thời hạn lưu hành
nhất định, và có thể bị thu hồi trước thời han. Một chứng thực số có thể bị thu hồi nếu
như chìa khóa bí mật (cùng cặp với chìa khóa công khai của nó) đã bị lộ, hoặc mối liên
hệ giữa khóa công khai và chủ thể sở hữu đã thay đổi. Điều này có thể xảy ra ở mức độ
không thường xuyên, nhưng người sử dụng phải luôn kiểm tra tính pháp lý của chứng
thực số mỗi khi sử dụng. Việc kiểm tra có thể thực hiện bằng cách so sánh chứng thực
với danh sách các chứng thực bị thu hồi (Certificate Revocation List – CRL). Việc đảm
bảo danh sách này luôn chính xác và được cập nhật kịp thời là chức năng cơ bản của hạ
tầng khóa công khai tập trung [13].
1.3.3. Các chức năng cơ bản của CA
Hình 1.4: Các chức năng của hệ thống CA [13]
Cấp phát chứng thực [13]
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Cấp phát chứng thực là nhiệm vụ đầu tiên của một CA. Công việc này được thực
hiện trên cơ sở một yêu cầu được đưa ra từ phía người dùng. Trong các hệ thống không
lớn lắm, các yêu cầu này được trực tiếp gửi cho CA để trực tiếp xử lý, còn với các hệ
thống lớn thường có thêm một khâu trung gian (đăng ký – registration) nhận yêu cầu từ
phía người dùng chuyển cho CA và nhận chứng thực từ CA trả về cho người dùng. Để
tạo ra một chứng thực số, CA phải sinh được một cặp chìa khóa phi đối xứng có độ an

toàn cao để gán cho chủ thể (người yêu cầu) và tuân thủ một số quy định nghiêm ngặt
trong việc cấp phát (ví dụ tránh để xảy ra nhầm lẫn cấp một chứng thực cho hai chủ thể
khác nhau, hoặc tránh dùng hai định danh quá giống nhau có thể dẫn đến khả năng mạo
danh). Thông tin ghi trong chứng thực là những thông tin cơ bản nhất về chủ thể và cơ
quan cấp chứng thực (như trong giấy CMND), ngoài ra có một thông tin mang tính đặc
thù cho chứng thực số (vốn không có trong CMND thông thường) đó là chìa khóa công
khai. Đây chính là chìa khóa mà người khác dùng để kiểm tra chữ ký số của chủ nhân
mang chứng thực. Để không thể xảy ra khả năng mạo nhận chìa khóa (như đã thấy với
hiện tượng mạo danh), người phát hành chứng thực (tức là CA) sẽ dùng chìa khóa bí
mật của mình ký lên cụm thông tin có trong chứng thực (trong đó có tên chủ thể cùng
chìa khóa công khai). Chữ ký được đặt ngay dưới cụm thông tin đã được ký để người
khác dể dàng kiểm tra (xem sơ đồ kèm theo).
Hình 1.5: Sơ đồ minh họa chức năng cấp phát chứng thực của CA [13]
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
Kiểm tra chứng thực [13]
Để kiểm tra một chứng thực của người dùng, người ta cần phải có được
thông tin chính xác về chìa khoá công khai của CA. Tốt nhất là lấy từ trong Chứng
thực số của chính CA. Người ta dùng chìa khoá này để giải mã phần chữ ký số có
trong chứng thực của người dùng rồi lấy kết quả tìm được đem so với mã băm của
phần thông tin công khai trong chứng thực số (tức là phần còn lại từ chứng thực số sau
khi đã bỏ đi phần chữ ký số). Sơ đồ minh họa:
Hình 1.6: Sơ đồ minh họa chức năng kiểm tra chứng thực của CA [13]
Các chứng năng còn lại của CA mang tính kỹ thuật thuần túy, ta không đề cập đến
ở đây.
1.3.4. Vấn đề then chốt trong thiết lập CA
Bước đầu tiên và cũng là quan trọng nhất của một hệ thống chứng thực số CA là
cấp phát khóa. Các hệ thống CA có thể sử dụng nhiều thuật toán tạo chữ ký số khác
Chương 1. Những vấn đề của an toàn thông tin hiện đại
nhau của hệ mã phi đối xứng. Trong các hệ mã phi đối xứng thì hệ mã RSA được sử
dụng rộng rãi và phổ biến nhất. Hệ mã RSA có độ bảo mật cao, luôn là thách thức cho

giới thám mã. Nước ta đã đưa ra chuẩn chữ ký số, trong đó RSA được sử dụng như một
hệ mã chuẩn trong một thời gian dài sắp tới. Việc sinh khóa trong hệ mã RSA về thực
chất là tạo ra một cặp số lớn
qp,
là các số nguyên tố mạnh. Để sinh được một cặp số
nguyên tố như vậy, chúng ta phải tìm hiểu các lý thuyết toán học có liên quan đến số
nguyên tố, số giả nguyên tố như: các định lý của số nguyên tố, kiểm tra số nguyên tố và
số giả nguyên tố, và cách kiểm tra số giả nguyên tố mạnh sẽ được đề cập ở chương tiếp
theo.
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
2.1. Số nguyên tố và hệ mã khóa công khai RSA
2.1.1. Hệ mã khóa công khai RSA
Trước khi đi vào các lý thuyết toán học có liên quan đến việc sinh, kiểm tra số
nguyên tố để làm khóa cho CA, ta tìm hiểu kỹ hơn về hệ mã RSA được ứng dụng trong
hệ thống chứng thực số.
Hệ mã đối xứng và hệ mã phi đối xứng [1]
Khái niệm mã đối xứng được dùng để chỉ các hệ mã mà trong đó, khi biết khóa lập
mã, ta có thể tìm ra khóa giải mã, đồng thời, việc giải mã cùng đòi hỏi thời gian như
việc lập mã. Cho đến những năm cuối của thập niêm 70 của thế kỉ 20, người ta mới chỉ
biết đến một loại mã như vậy. Đối với các hệ mã này, cần phải giữ bí mật khóa lập mã,
vì để lộ nó cũng tức là để lộ cách giải mã. Do đó, chỉ những người hoàn toàn chia sẻ
mọi thông tin mật với nhau mới có thể trao đổi với nhau bằng mật mã. Điều này giải
thích nguyên nhân của việc cho đến rất gần đây mật mã thường chỉ được dùng trong
quân sự, ngoại giao, tức là khi những đối tượng cần trao đổi thông tin mật với nhau là
khá it, hơn nữa, lại cùng chung quyền lợi nên sẵn sàng bảo vệ bí mật cho nhau trong quá
trình trao đổi thông tin.
Sự phát triển của xã hội dẫn đến việc ngày nay mật mã không những chỉ được
dùng trong bí mật quân sự và ngoại giao, mà còn dùng, và có thể chủ yếu là dùng trong
bí mật kinh tế, tài chính, thương mại. Vì thế xuất hiện những đòi hỏi mới đối với các hệ

mật mã hiện đại, khác về nguyên tắc so với mật mã thường dùng trước đây. Không
giống như các hoạt động quân sự hoặc ngoại giao, trong hoạt động kinh doanh, số lượng
đơn vị phải cùng trao đổi thông tin thường là rất lớn. Thậm chí, những người có quyền
lợi cạnh tranh nhau cũng có nhu cầu trao đổi những thông tin mặt với nhau. Bởi thế,
những mật mã đối xứng khó có thể thích hợp. Hiển nhiên, muốn gửi một thông báo mật
cho một đối tượng nào đó, ta cần phải biết khóa lập mã của họ, vì thế, những người
cùng dùng một chìa trong hệ mã đối xứng đều biết hết bí mật của nhau. Các hệ thống
mật mã hiện đại, mật mã khóa công khai, hay còn gọi là mã phi đối xứng, khắc phục
được những nhược điểm đó: mỗi người tham gia trong hệ thống chỉ cần giữ bí mật chìa
khóa giải mã của mình (còn gọi là chìa khóa bí mật), trong khi khóa lập mã được thông
báo công khai (và thường được gọi là chìa khóa công khai). Việc biết khóa lập mã
không cho phép tìm ra khóa giải mã trong một thời gian chấp nhận được, ngay cả khi sử
dụng những máy tính hiện đại nhất. Những hệ mã phi đối xứng tìm thấy đầu tiên là
những mật mã dùng các hàm số học.
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
Hệ mã RSA [1]
Trong các hệ mã phi đối xứng thì hệ mã RSA (phát minh năm 1978 bởi Rivest,
Shamir và Adleman) được sử dụng rộng rãi và phổ biến nhất. Hệ mã RSA có độ bảo
mật cao, luôn là thách thức cho giới thám mã. Nước ta đã đưa ra chuẩn chữ ký số, trong
đó RSA được sử dụng như một hệ mã chuẩn trong một thời gian dài sắp tới.
Hệ RSA được xây dựng trên cơ sở mã mũ, trong đó khóa lập mã (công khai) là cặp
),( en
, gồm số mũ
e
và modulo
n
. Khóa giải mã (bí mật) là cặp
),( dn
. Với
d

là số
nghịch đảo của
e
modulo
)(n
φ
. Số
n
là tích của hai số nguyên tố rất lớn
qp,
nào đó,
qpn .=
, còn
e
được chọn là số nguyên tố cùng nhau với
)(n
φ
, trong đó
)(n
φ
là giá trị
hàm Euler của
n
. Để mã hóa một thông báo, trước tiên ta chuyển nó sang dạng số và
nhóm thành các khối với độ dài lớn nhất có thể (tùy thuộc khả năng tính toán và tốc độ
yêu cầu) với một số chẵn chữ số. Để mã hóa một khối
P
trong văn bản, ta tính
)(mod:)( nPCPE
e

≡=
.
Khi ấy, do một hệ quả của Định lý Euler (sẽ được trình bày ở phần sau), quá trình giải
mã không đòi hỏi phải “khai căn bậc
e
modulo
n
” của khối văn bản mã, nếu như biết
được số nghịch đảo
d
của
e
modulo
)(n
φ
, tức là thỏa mãn
))((mod1 ned
φ
≡
. Nghịch
đảo này tồn tại theo điều kiện
1))(,( =ne
φ
và, do hệ quả đã nêu, ta có
( )
)(mod:)( nPPPCCD
de
d
ed
≡≡≡=

,
khi
1),( =nP
. Chú ý rằng, xác suất để
P
và
n
không nguyên tố cùng nhau là hết sức
nhỏ, vì điều này chỉ có thể xảy ra khi
P
là bội của
p
hoặc
q
. Thông thường
P
chỉ là
những “khối văn bản” có độ dài không lớn, nói chung là nhỏ hơn hẳn
p
và
q
, cho nên
điều kiện
1),( =nP
là luôn xảy ra, và công thức trên cho thấy việc giải mã một khối
trong văn bản mật cũng chính là việc nâng lên lũy thừa bậc
d
rồi rút gọn theo modulo
n
. Cặp

),( dn
được gọi là khóa giải mã.
Việc biết chìa khóa lập mã
),( en
không dẫn đến việc tìm được chìa khóa giải mã
),( dn
. Để có thể tìm được
d
thì ta phải tìm được
)(n
φ
. Việc tìm
)(n
φ
không dễ hơn với
việc phân tích
n
ra tích của hai số nguyên tố rất lớn là
p
và
q
. Thật vậy, ta có:
1)( +−=+ nnqp
φ
;
( ) ( )
nqppqqpqp 44
22
−+=−+=−
.

Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
Từ các công thức đó để tìm được
p
và
q
thì với khả năng của con người, thậm chí là
máy tính có tốc độ xử lý cao là không thể.
Độ an toàn của RSA [1]
Nếu ta chọn các số
p
và
q
khoảng 100 chữ số thập phân, thì
n
sẽ có khoảng 200
chữ số thập phân. Để phân tích một số nguyên cỡ lớn như thế, với các thuật toán nhanh
nhất hiện này và với những máy tính hiện đại nhất, ta mất hàng tỷ năm!
Sau khi tìm ra hệ mã, Rivesst, Shamir và Adleman có viết một bài báo công bố
phát minh dưới dạng một thông báo khoa học của MIT và, trên cột Martin Gardner’s
của tờ báo Scienfitic American, họ có đưa ra lời thách thức bạn đọc bẻ khóa một mẩu
tin nhỏ đã được mã hóa với:
n=114381625757888867669235779976146612010218296721242362562561842935706
935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541
e = 9007.
Mẩu tin
“first solver wins one hundred dollars”
xuất hiện trong dạng mã hóa (với A = 01, B=02, C=03 …) chỉ được giải mã vào ngày
26/4/1994, bằng một cố gắng tổng lực mang tính quốc tế (qua Internet) với việc sử dụng
1600 workstations, mainframes, và supercomputers tấn công trong 8 tháng liên tục để
phân tích số nêu trên ra thừa số nguyên tố.

Thực tế này cho thấy rằng thuật toán RSA là rất an toàn, vì không mấy khi có điều
kiện để huy động một lực lượng tính toán hùng hậu như thế vào một công việc giải mã
một mẩu tin.
Có một vài điều cần chú ý khi chọn các số
p
và
q
để tránh rơi vào trường hợp
tích
pq
bị phân tích nhanh nhờ những thuật toán đặc biệt:
p
và
q
cần chọn sao cho
1−p
và
1−q
không chỉ có toàn các ước nguyên tố nhỏ (có phân tích “vụn”). Ngoài ra,
ước chung lớn nhất
)1,1( −− qp
phải là số nhỏ,
p
và
q
phải có số chữ số trong khai
triển thập phân khác nhau không nhiều.
2.1.2. Lý thuyết toán học về số nguyên tố và các vấn đề liên quan
Số nguyên tố [2]
Số nguyên tố là số nguyên lớn hơn 1, không chia hết cho số nguyên dương nào

ngoài 1 và chính nó. Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp
số.
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
Các Định lý về số nguyên tố [2]
Mọi hợp số
n
đều có ước nguyên tố nhỏ hơn
n
.
Mọi số nguyên tố lớn hơn 1 đều phân tích được một cách duy nhất thành tích các
số nguyên tố, trong đó các thừa số được viết với thứ tự không giảm.
Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu năm 1773:
Với mỗi số thực dương
x
cho trước, ta ký hiệu
)(x
π
là số các số nguyên tố không
vượt quá x. Khi đó, ta có:
1
log
/)(
lim
=
∞→
x
x
x
x
π

.
Ước chung lớn nhất [2]
Ước chung lớn nhất của 2 số tự nhiên
ba,
là số lớn nhất trong tập các ước chung
của 2 số đó, được ký hiệu là
),gcd( ba
hay đơn giản là
),( ba
.
Khi 2 số tự nhiên có ước chung lớn nhất là 1 thì chúng được gọi là nguyên tố cùng nhau.
Phi hàm Euler [1]
Với
Ν∈n
, số lượng các số tự nhiên bé hơn
n
và nguyên tố cùng nhau với
n
được
ký hiệu là
)(n
φ
. Ví dụ:
4)5( =
φ
,
2)6( =
φ
,
6)7( =

φ
.
Rõ ràng, khi
p
là số nguyên tố thì mọi số tự nhiên bé hơn nó đều là nguyên tố
cùng nhau với nó và do đó ta có
1)( −= pp
φ
. Tổng quát hơn, khi
p
là số nguyên tố và
r
là một số tự nhiên bất kỳ thì
)/11()1()(
1
ppppp
rrr
−=−=
−
φ
.
Có thể chứng minh được rằng khi
nm,
là các số nguyên tố cùng nhau thì ta có
)().().( nmnm
φφφ
=
và do đó để tính
φ
của một số tự nhiên nào đó người ta phân tích nó ra các thừa số

nguyên tố rồi áp dụng các công thức trên. Ví dụ:
192)15)(13(3)12(2)5().3().2()5.3.2()720(
32424
=−−−===
φφφφφ
.
Phép tính đồng dư [1]
Giả sử m là một số nguyên dương. Ta nói hai số nguyên
a
và
b
là đồng dư với
nhau theo modulo
m
nếu hiệu
ba −
chia hết cho
m
. Ký hiệu
)(modmba ≡
.
Phép tính đồng dư theo modulo
m
dẫn đến việc tách tập số nguyên ra thành
m

lớp, mỗi lớp chứa các số nguyên đồng dư với nhau theo
mmod
. Tập các lớp này được
ký hiệu là

ΖΖ m/
(
Z
là tập các số nguyên) và chứa đúng
m
phần tử. Mỗi lớp trong tập
ΖΖ m/
có đúng 1 số nằm trong đoạn
]1,0[ −m
, cho nên mỗi số nguyên trong đoạn này
được xem “đại diện” của một lớp.
Một số tính chất của phép tính đồng dư:
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan

)(modmaa ≡
;
 Nếu
)(modmba ≡
thì
)(modmab ≡
;
 Nếu
)(modmba ≡
và
)(modmcb ≡
thì
)(modmca ≡
;
 Nếu
)(modmba ≡

,
)(modmdc ≡
thì
)(modmdbca ±≡±
,
)(mod.. mdbca ≡
;
Như vậy, ta có thể tự do thực hiện các phép tính số học thông thường trên tập
ΖΖ
m/
.
Nếu
x
là một phần tử trong
ΖΖ m/
và
1),gcd( =mx
thì tồn tại các số
vu,
sao cho
1=+ vmux
, tức là
)(mod1. mxu ≡
, nên người ta nói
x
có nghịch đảo (trong
ΖΖ m/
) là
u
, và thường ký hiệu phần tử nghịch đảo này là

1−
x
, hay
x/1
.
Định lý Fermat (bé)[2]: Nếu
p
là một số nguyên tố còn
a
là một số nguyên thì
)(mod paa
p
≡
. Nếu
a
không chia hết cho
p
(tức là
0)(mod ≠pa
) thì
)(mod1
1
pa
p
≡
−
.
Ví dụ. Dễ dàng thấy rằng
)7(mod44
7

≡
;
)7(mod14
17
≡
−
;
)7(mod014
17
≡
−
.
Thặng dư bình phương [1]
Cho số nguyên tố
p
. Số nguyên
pa ≤
được gọi là thặng dư bình phương
)(mod p

nếu như tồn tại số nguyên
x
thỏa mãn phương trình
)(mod
2
pax ≡
.
Ký hiệu Legendre [1]
Với số nguyên tố
2>p

và số nguyên bất kỳ
a
người ta ký hiệu
pa
p
a
paL
p
mod:),(
2
1−
=






=
Và chỉ ra rằng
),( paL
sẽ bằng 0 khi
a
chia hết cho
p
, bằng 1 khi
a
là một thặng dư
bình phương
)(mod p

và bằng -1 trong trường hợp còn lại.
Có thể mở rộng khái niệm ký hiệu trên ra cho trường hợp
p
không phải là nguyên
tố, nhưng chỉ xét những số
a
trong tập thặng dư rút gọn của
p
(tức là những thặng dư
nguyên tố cùng nhau với
p
).
Ký hiệu Jacobi [1]
Với số nguyên
k
pppn ....
21
=
, trong đó
i
p
,
ki ,...,1=
, là các số nguyên tố, còn
a

nằm trong tập thặng dư rút gọn của
n
, ta ký hiệu
),(...),(),(

1 k
paxLxpaLnaJ =
.
Như vậy trong trường hợp riêng khi
n
là số nguyên tố thì ký hiệu Jacobi trùng với ký
hiệu Legendre.
2.2. Việc tính toán số nguyên tố và khái niệm số giả nguyên tố. Kiểm tra số
giả nguyên tố mạnh.
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
2.2.1. Thuật toán kiểm tra số nguyên tố thông thường và khái niệm số giả nguyên
tố
Thuật toán: Sàng Eratosthenes [2]
Để kiểm tra
n
có phải là số nguyên tố hay không, ta thực hiện phép chia cho tất cả
các số nguyên tố không vượt quá
n
.
Độ phức tạp: Theo định lý số nguyên tố của Gauss, số các số nguyên tố không vượt quá
n
là vào khoảng
n
n
n
n
log
2
log
=

. Để chia
n
cho
m
, ta cần
)log(log
22
mnO
phép tính
bít. Như vậy, nếu
n
vào cỡ khoảng 100 chữ số thập phân, số các phép tính bit phải dùng
sẽ vào cỡ
50
10
. Với những máy tính thực hiện một triệu phép tính một giây, thời gian
cần thiết sẽ vào khoảng
36
10.1,3
năm! Điều này dẫn đến một phương án khác thay thế:
số giả nguyên tố.
Số giả nguyên tố [2]
Theo định lý Fermat, nếu
n
là số nguyên tố và
b
là số nguyên tùy ý, thì
)(modnbb
n
≡

. Do đó nếu tồn tại số
b
sao cho
)(mod nbb
n
≠
thì
n
phải là hợp số. Như
vậy, nếu một số nguyên thỏa mãn các giả thiết của định lý Fermat bé thì “có nhiều khả
năng” nó là một số nguyên tố! Ta có định nghĩa sau:
Giả sử
b
là một số nguyên dương. Nếu
n
là hợp số nguyên dương và
)(modnbb
n
≡
, thì
n
được gọi là số giả nguyên tố cơ sở
b
.
Nói chung các số giả nguyên tố ít hơn nhiều so với các số nguyên tố. Chẳng hạn,
có tất cả 455052512 số nguyên tố bé hơn
10
10
, nhưng chỉ có 14884 số giả nguyên tố cơ
sở 2 trong khoảng đó. Sự kiện này giải thích cách nói ở trên: Các số thỏa mãn định lý

Fermat bé có nhiều khả năng là số nguyên tố.
2.2.2. Kiểm tra số giả nguyên tố mạnh
Kiểm tra Miller [2]
Giả sử
n
là số nguyên dương lẻ,
tn
s
21 =−
, trong đó
s
là số nguyên không âm,
t

là số nguyên dương lẻ. Ta nói
n
trải qua được kiểm tra Miller cơ sở
b
, nếu
)(mod1 nb
t
≡
, hoặc
)(mod1
2
nb
t
j
−≡
, với

j
nào đó,
10 −≤≤ sj
.
Số nguyên
n
được gọi là giả nguyên tố mạnh cơ sở
b
nếu nó là hợp số và trải qua
được kiểm tra Miller cơ sở
b
.
Chương 2. Một số công cụ toán học liên quan
Cách làm trên có thể kiểm tra nguyên tố những số không lớn lắm. Đối với những
số lớn, ta có thể dùng thuật toán xác suất dựa trên định lý :
Nếu
n
là một hợp số dương lẻ thì tồn tại không quá
4
1−n

b
,
11 −≤≤ nb
, sao cho
n
trải qua được kiểm tra Miller đối với các cơ sở đó.
Từ định lý trên suy ra rằng, nếu số
b
được chọn ngẫu nhiên trong khoảng

11 −≤≤ nb
thì
n
trải qua kiểm tra Miller cơ sở
b
với xác suất bé hơn
4
1
. Như vậy, nếu
ta chọn
k
số ngẫu nhiên thì xác suất để
n
trải qua kiểm tra Miller đối với
k
cơ sở đó sẽ
bé hơn
k
4
1
. Khi
k
đủ lớn, với dụ
20=k
, xác suất đó quá nhỏ, nên với
n
trải qua 20 cơ
sở ngẫu nhiên thì có thể tin “gần chắc chắn” rằng
n
là số nguyên tố. Từ đó ta có thuật

toán xác suất sau:
Thuật toán Miller-Rabin [9], [11]
RGB là bộ sinh bít ngẫu nhiên
Input:
1.
w
The odd integer to be tested for primality. This will be
either
p
or
q
, or one of the auxiliary primes
121
,, qpp

or
2
q
.
2.
iterations
The number of iterations of the test to be performed; the
value shall be consistent with Table 3 or 4.
Output:
1.
status
The status returned from the validation procedure, where
status is either PROBABLY PRIME or COMPOSITE.
Process:
1. Let

a
be the largest integer such that
a
2

divides
1−w
.
2.
a
wm 2/)1( −=
.
3.
)(wlenwlen =
.
4. For
1
=
i
to
iterations
do
4.1 Obtain a string
b
of
wlen
bits from an RBG.
Comment: Ensure that
11
−<<

wb
.
4.2 If
))1()1(( −≥≤ wborb
, then go to step 4.1.
4.3
wbz
m
mod=
.
4.4 If
))1()1(( −== wzorz
, then go to step 4.7.
4.5 For
1=j
to
1−a
do
4.5.1
wzz mod
2
=
.
4.5.2 If
)1( −= wz
, then go to step 4.7.
4.5.3 If
)1( =z
, then go to step 4.6.
4.6 Return COMPOSITE.