Tài liệu TIỂU LUẬN: PHÂN LOẠI CÁC MỤC TIÊU GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC CỦA BLOOM PHẦN DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN ppt

ĐẠI HỌC HUẾ
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
&۞&




ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN



Đề tài :
PHÂN LOẠI CÁC MỤC TIÊU
GIÁO DỤC TOÁN THEO CÁC MỨC ĐỘ
NHẬN THỨC CỦA BLOOM PHẦN
DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:
Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc Nhóm 6(Toán 4B)





Huế,11/2010.


P
P
h
h
â
â
n
n


t
t
í
í
c
c
h
h

c
c
á
á
c
c


m
m
ụ
ụ
c
c


t
t
i
i
ê
ê
u
u


g
g
i
i

á
á
o
o


d
d
ụ
ụ
c
c


T
T
o
o
á
á
n
n


t
t
h
h
e
e

o
o


c
c
á
á
c
c


m
m
ứ
ứ
c
c


đ
đ
ộ
ộ


n
n
h
h

ậ
ậ
n
n


t
t
h
h
ứ
ứ
c
c


B
B
l
l
o
o
o
o
m
m


t
t

r
r
o
o
n
n
g
g


c
c
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g


“
“


D
D

ã
ã
y
y


s
s
ố
ố
,
,


c
c
ấ
ấ
p
p


s
s
ố
ố


c
c

ộ
ộ
n
n
g
g


v
v
à
à


c
c
ấ
ấ
p
p


s
s
ố
ố


n
n

h
h
â
â
n
n
”
”



Sự phân loại các mục tiêu giáo dục toán theo các mức độ nhận thức của
Bloom bao gồm:
I. Nhận biết: Kiến thức và thông tin
Kỹ thuật và kỹ năng
II. Thông hiểu : chuyển đổi và giải thích
III. Vận dụng: áp dụng giải quyết tình huống mới
IV. Những khả năng bậc cao: bao gồm phân tích, tổng hợp và đánh giá

  

I
I
.
.


N
N
H

H
Ậ
Ậ
N
N


B
B
I
I
Ế
Ế
T
T


1. Kiến thức và thông tin:
Trong phạm trù này học sinh được đòi hỏi chỉ gọi ra được định nghĩa của một sự kiện
và chưa cần phải thông hiểu. Một chú ý quan trọng là kiến thức chỉ khả năng lặp lại chứ
không phải để sử dụng. Những câu hỏi kiểm tra các mục tiêu ở phần này sẽ được đặt ra
một cách chính xác với cách mà kiến thức được học.
Những phạm trù con chính của kiến thức bao gồm:

a) Kiến thức về thuật ngữ:
Học sinh được yêu cầu phải nhận diện và làm quen với ngôn ngữ toán học, tức là phần
lớn các thuật ngữ và ký hiệu tắt được sử dụng bởi các nhà toán học có mục đích giao tiếp.
Ví dụ : Trong chương dãy số, cấp số này học sinh sẽ làm quen với các định nghĩa và các
ký hiệu của:
Dãy số: là một hàm số

u
xác định trên tập hợp các số nguyên dương
*
.
Ký hiệu:
()
n
uu
bởi (u
n
)

và gọi u
n
là số hạng tổng quát của dãy số đó
Ta cũng có thể viết dãy số dưới dạng khai triển: u
1,
u
2
,….,u
n
…
Dãy số tăng: (u
n
) là dãy số tăng nếu với mọi n ta có
1nn
uu



Và một số định nghĩa, ký hiệu khác về dãy số giảm, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn
dưới, cấp số cộng, cấp số nhân.

b) Kiến thức về những sự kiện cụ thể:
Mục tiêu này đòi hỏi học sinh gọi ra được công thức và những mối quan hệ.
Ví dụ: Trong bài cấp số nhân, để dẫn dắt học sinh vào định nghĩa cấp số nhân, người ta đã
đưa ra một bài toán thực tế về việc gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng. Từ đó đưa ra định
nghĩa cấp số nhân.

c) Kiến thức về cách thức và phương tiện sử dụng trong những trường hợp cụ thể:
Phạm trù này bao gồm kiến thức về những qui ước.
Ví dụ: trong chương này người ta qui ước ký hiệu một dãy số là (u
n
).
Số hạng thứ n là u
n.

Ký hiệu d là công sai của cấp số cộng, q là công bội của cấp số nhân
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng hoặc một cấp số nhân là S
n
.


d) Kiến thức về các quy tắc và các tổng quát hoá:
Phạm trù này bao gồm các kiến thức về các định lý toán học và những quy tắc logic cơ
bản.
Ví dụ: Trong chương này học sinh được làm quen với các định lý sau:
Định lý 1: (u
n
) là cấp số cộng thì

11
2
kk
k
uu
u




Trong đó u
k
là số hạng thứ k.
Định lý 2: (u
n
) là cấp số cộng có số hạng đầu là u
1
và công sai d thì số hạng tổng quát
n
u

là : u
n
= u
1
+ (n-1)d.
Định lý 3: (u
n
) là cấp số cộng. S
n

là tổng của n số hạng đầu tiên thì:
 
1
2
n
n
u u n
S



Tương tự ta cũng có các định lý trong bài cấp số nhân:

Định lý 1: (u
n
) là cấp số nhân thì:
2
1k k k
u u u



Trong đó : u
k
là số hạng thứ k
u
k-1
là số hạng thứ k-1
Định lý 2: (u
n

) là cấp số cộng có số hạng đầu là u
1
và công bội q khác 0 thì số hạng tổng
quát
n
u
là :
1
1
n
n
u u q


.
Định lý 3: (u
n
) là cấp số nhân với công bội q khác 1 thì :
 
1
1
1
n
n
uq
S
q




 Cuối giai đoạn này, học sinh có khả năng để:
- Phát biểu định nghĩa dãy số, cấp số.
- Suy luận được thế nào là dãy số vô hạn, dãy số không đổi.
- Các tính chất của các cấp số.
- Tính được tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng hay cấp số nhân.

Sau đây là những câu hỏi kiểm tra kiến thức trong phần nhận biết:

Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
A. 3, 6, 9, 15,17.
B. 3, 5, 9, 12,15.
C. 7, 0, 0, 0,0.
D. 2, 4, 6, 8, 10.
Phân tích: Đây là câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng nhận biết của học sinh. Với câu hỏi
này, học sinh chỉ cần nắm được định nghĩa cấp số cộng là có thể dễ dàng nhận ra đáp án
chính xác.
(Đáp án: D)

Câu 2: Trong các số hạng sau, số hạng thứ 4 của cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu là u
1
và
công bội d là:
A. u
1
d
4

C. u
1
d
3

B. u
1
+ 4d D. u
1
+ 3d
Phân tích: Đối với câu hỏi này học sinh chỉ cần nắm được công thức tính số hạng tổng
quát của cấp số cộng :
 
1
1
n
u u n d  
.
(Đáp án: D)
Câu 3: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?


A. Dãy số (a
n
) xác định bởi
1
1a 
và
1
7

n
n
a
a


1n

B. Dãy số (b
n
) xác định bởi
1
3b 
và
1
n
n
b
b
n



1n

C. Dãy số (c
n
) xác định bởi c
1
=2 và

1
6
n
n
c
c



1n

D. Dãy số (d
n
) mà
1
3
nn
dd



1n

Phân tích: Ở ví dụ này học sinh nắm được định nghĩa cấp số nhân thì sẽ dễ dàng nhận ra
đáp án đúng. ( công bội
1
7
q 
)
(Đáp án: A)

2. Những kỹ thuật và kỹ năng:
Mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và khả năng
thực hiện trực tiếp các phép tính, những đơn giản hoá và các lời giải.
Tương tự với các ví dụ học sinh đã gặp trong lớp, mặc dù có khác nhau về chi tiết. Câu
hỏi có thể không đòi hỏi phải đưa ra quyết định là làm thế nào để tiếp cận bài toán, chỉ cần
sử dụng các kỹ thuật đã học, hoặc có thể là một quy tắc phải được nhắc lại và áp dụng kỹ
thuật đã được học.
Cuối chương này học sinh có khả năng để:
 Biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ
thể,đơn giản.
 Biết cách cho một dãy số, nhận biết được tính tăng,giảm của một dãy số đơn giản.
 Biết cách tìm số hạng tổng quát và tính tổng
n
số hạng đầu tiên của một số cấp số
cộng, cấp số nhân khi biết
1
u
và công sai
d
hoặc công bội
q
.

Sau đây là một vài ví dụ trong đó mục tiêu là kỹ thuật trong chương này:

Câu1: Cho cấp số cộng
()
n
u

có
13
100, 50uu
.Số hạng thứ hai là:
A. 50 B. 75 C. 65 D. 85
Phân tích: Áp dụng tính chất trung bình của cấp số cộng.
(Đáp án: B)

Câu 2: Cho cấp số nhân (u
n
) có
1
2u 
và
2q 
. Số hạng
5
u
là:
A. 32 B. -32 C. 64 D. -64
Phân tích: Ở ví dụ này, để tìm được
5
u
, chỉ cần nắm được công thức tính số hạng tổng
quát cấp số nhân.
(Đáp án: C)


I
I

I
I
.
.


T
T
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G


H
H
I
I
Ể
Ể
U
U


- Thông hiểu là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như: Chuyển đổi dữ liệu từ
dạng này sang dạng khác ,từ mức độ trừu tượng này sang mức độ trừu tượng khác.

- Thông hiểu còn là khả năng giải thích hay suy ra ý nghĩa các dữ liệu, theo đuổi và
mở rộng lập luận.


- Phạm trù này sử dụng kiến thức đã học để trả lời các câu hỏi nhằm xác định xem học
sinh có nắm được ý nghĩa của kiến thức mà chưa cần phải áp dụng hay phân tích.
- Hành vi thể hiện việc hiểu được chia làm 3 loại:
• Chuyển đổi: Là sự chuyển đổi ý tưởng thành các dạng song song.
• Giải thích: Là việc xác định và hiểu các ý tưởng chính trong một giao tiếp.
• Ngoại suy: Là sự mở rộng của việc giải thích, tức là học sinh còn phải chỉ ra
những ứng dụng cụ thể, hệ quả hay những tác động của nó.
- Các hành vi trên được thể hiện cụ thể trong chương này như việc chuyển đổi ngôn
ngữ sang kí hiệu, chuyển đổi các cách cho của cùng một dãy số, việc được các yêu cầu
tính toán để tìm một hướng giai phù hợp tránh lập luận dài dòng, và biết vận dụng các
công thức, đặc biệt là công thức về giá trị trung bình của cấp số cộng và cấp số nhân vì
chúng được áp dụng rất nhiều trong việc giải toán ở chương này.
- Thể hiện của mức độ nhận thức thông hiểu qua chương “Dãy số, cấp số cộng và cấp
số nhân” của Đại số và Giải tích – Hình học 11 Nâng cao như sau:

1. Phương pháp quy nạp toán học:
Ở bài này học sinh cần hiểu rõ vì sao sau bước cơ sở kiểm tra n = 1 đúng, giả sử n =
k đúng và chứng minh n = k+1 đúng thì bài toán được giải quyết ?
Giải thích:
Khi n = 1 đúng thì theo chứng minh n = 2 đúng.
n = 2 đúng kéo theo n = 3 đúng. Tiếp tục như vậy thì rõ ràng ta được điều phải
chứng minh.
Trong bài này, học sinh cần hiểu các bước chứng minh quy nạp và phải biết lúc nào
thì nên dùng phương pháp này. Thông thường người ta sử dụng phương pháp này khi bài
toán yêu cầu chứng minh một mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên dương
của biến n.

*Ví dụ:
Chứng minh rằng tổng n số nguyên dương lẻ đầu tiên bằng bình phương n với mọi n
nguyên dương.
Phân tích: Để chứng minh bài này, học sinh cần chuyển nội dung của phát biểu trên
thành công thức.

2
1 3 5 (2 1)nn     

n

*

Sau đó sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh bài toán.

2. Dãy số:
-Với bài này học sinh cần nắm được các cách cho 1 dãy số.
Có nhiều cách để cho dãy số:
• Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
• Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp).
• Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.
- Ở phần này học sinh cần biết cách chuyển đổi qua lại giữa các cách cho của dãy số,
đặc biệt là chuyển đổi dãy số về số hạng tổng quát. Chẳng hạn để chuyển dãy số cho ở
dạng truy hồi về công thức của số hạng tổng quát, học sinh có thể liệt kê ra một số phần tử
sau đó suy ra số hạng tổng quát và cần phải chứng minh bằng quy nạp.
- Học sinh cần nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cách chứng minh.

*Cần chú ý học sinh là: cũng có những dãy số không tăng không giảm.
Chẳng hạn (
n

u
) với
( 1)
n
n
un
.


- Học xong bài này, học sinh có thể tìm được số hạng tổng quát của một dãy số và suy
ra được dãy số đó là tăng hay giảm hay không tăng không giảm.

*Ví dụ:
Câu 1: Cho dãy số dưới dạng khai triển sau:
1, 10, 25, 46, 73
Số hạng tổng quát của dãy số trên là:
A.
n
u 

32n 

B.
n
u 

2
32n 

C.

n
u 

2
31n 

D.
n
u 

2
31n 

Phân tích : Học sinh cần hiểu số hạng tổng quát là số hạng đại diện cho quy luật của
dãy số đó. Nếu không dự đoán được quy luật của dãy số thì học sinh có thể thử trực tiếp
vào các kết quả trên để chọn ra kết quả chính xác.
(Đáp án : C)
Câu 2: Cho dãy số:


1
1
1
21
nn
u
uu




Tìm số hạng tổng quát.
Phân tích:
-Bằng cách liệt kê các phần tử: 1, 3, 7, 15, 31…
Từ đây có thể dự đoán số hạng tổng quát:

21
n
n
u 

n


.
chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.

Câu 3: Phát biểu nào sau đây là đúng:
A. Dãy số tăng thì bị chặn trên.
B. Dãy số giảm thì bị chặn dưới.
C. Dãy số tăng thì bị chặn dưới, dãy số giảm thì bị chặn trên.
D. Dãy số tăng và dãy số giảm đều bị chặn.
Phân tích:
Căn cứ vào định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn trên, dãy số bị chặn
dưới, dãy số bị chặn ta có:
 Mọi số hạng của dãy số tăng đều lớn hơn u
1.

 Mọi số hạng của dãy số giảm đều bé hơn u
1

.
 Có những dãy số tăng (giảm) nhưng không bị chặn trên (dưới).
(Đáp án: C)

3. Cấp số cộng (CSC):
- Với phương pháp quy nạp đã học ta dễ dàng suy ra số hạng tổng quát:
u
n
= u
1
+ (n -1)d .
-Định lý 3(sgk) cho ta biết:
S
n
= u
1
+ u
2
+ … +u
n
=
1
()
2
n
u u n
(1)
Từ đây có thể dễ dàng suy ra:

S
n
= u
1
+ u
2
+ … +u
n
=
1
[2 ( 1) ]
2
u n d n
(2)
-Học sinh cần nắm rõ hai công thức trên và biết lúc nào thì sử dụng công thức (1) lúc
nào thì sử dụng công thức (2) cho phù hợp.

*Ví dụ:
Câu 1: Trong mỗi câu sau, hãy đánh dấu “x” vào phần kết luận mà em cho là đúng:
a)Mỗi CSC với công sai d>0 là một dãy số:
 Tăng.  Giảm.  Không tăng cũng không giảm.
b)Mỗi CSC với công sai d<0 là một dãy số:
 Tăng.  Giảm.  Không tăng cũng không giảm.
-Dễ thấy a) tăng .
b) giảm.

Câu 2: Cho cấp số cộng (u
n
) biết :
32

n
un

1n
. Tính S
10
?
Phân tích:
-Lúc này ta sử dụng công thức (1) để tính là nhanh hơn. Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra
được
1
u
= 1 và
10
u

= 28.
- Áp dụng công thức (1) ta tính được đáp án.
(Đáp án: 145)

Câu 3: Cho cấp số cộng với:

2
u

= 10 , d =12.
Tính S
30
?
Phân tích:

-Với bài này ta sử dụng công thức (2) để tính là hợp lý.
- Để áp dụng công thức (2) ta cần tính
1
u
từ
2
u
và d.
(Đáp án: 2580)

4. Cấp số nhân (CSN):
Mức độ thông hiểu trong bài này hoàn toàn tương tự trong bài CSC. Vì vậy với bài này
học sinh cần lưu ý một số điều sau:
-Ở cấp số cộng có công sai d thì ở CSN có công bội q

0 và số hạng tổng quát có
dạng:
u
n
= u
n-1
. q ; n
2
.
-Định lý trung bình nhân của CSN là:
u
k
2
= u
k-1

.u
k+1

-Tương tự CSC ta cũng tìm được số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của
CSN:
u
n
= u
1
.q
n-1
.
S
n
=
1
(1 )
1
n
uq
q


; (q

1).
-Ở cấp số cộng nếu ta biết 2 trong 3 số liên tiếp thì ta có thể xác định được một
CSC nhưng ở CSN thì chưa chắc.
-Mỗi CSN có số hạng đầu dương và công bội 0<q<1 là một dãy số giảm.
-Mỗi CSN có số hạng đầu dương và công bội q>1 là một dãy số tăng.

Để kiểm tra mức độ thông hiểu của học sinh trong phần này ta có thể cho các ví dụ
sau:

Câu 1: Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây:
A.
100
2 100
1
1
1

  


    


B. Nếu các số thực a, b, c mà abc
0
, theo thứ tự đó lập thành một CSC với công sai
khác 0 thì các số
1 1 1
,,
a b c
theo thứ tự đó cũng lập thành một CSC.
C. Nếu các số thực a, b, c mà abc
0

, theo thứ tự đó lập thành một CSN thì các số
1 1 1
,,
a b c
theo thứ tự đó cũng lập thành một CSN.

Phân tích:
 Tổng ở câu a là tổng của 101 số hạng đầu tiên của cấp số nhân số hạng đầu
1
1u 
và
công bội

.
 Để kiểm tra 3 số
1 1 1
,,
a b c
có lập thành một cấp số cộng hay không thì cần so sánh
1 1 1 1
,
b a c b

.
 Để kiểm tra 3 số
1 1 1
,,
a b c
có lập thành một cấp số nhân hay không thì cần so sánh
1 1 1 1

: , :
b a c b

(Đáp án: C)

Câu 2: Cho dãy số (u
n
) biết u
99
= -99 , u
101
= 101, dãy số này có phải là 1 cấp số nhân
không?
Phân tích:
_ Để xác định cấp số nhân thì ta cần biết công bội q.
_ Nếu dãy số đã cho là cấp số nhân thì sẽ tồn tại 1 số q sao cho:
u
101
= u
99
q
2
.
_ Rõ ràng là không tồn tại số q nào thỏa đẳng thức trên, từ đó học sinh có thể xác định
dãy số đã cho không phải là cấp số nhân.

Câu 3: Cho cấp số nhân có 9 số hạng, công bội dương
19
4, 1280uu
. Công bội q của

cấp số nhân này là:
A. 2 B.3 C.4 D.5
Phân tích: Học sinh cần biết công thức thể hiện mối liên hệ giữa các số hạng với công
bội q.
(Đáp án: A)

I
I
I
I
I
I
.
.


V
V
Ậ
Ậ
N
N


D
D
Ụ
Ụ
N
N

G
G


Sau khi đã nắm lý thuyết phần dãy số và cấp số, giáo viên cần bổ sung bài tập để học
sinh biết cách vận dụng. Ở đây, vận dụng không phải là làm theo mẫu, tái tạo lại mà phải
áp dụng kiến thức vừa học đó để giải quyết các tình huống mới. Với phạm trù này, giáo


viên cần đảm bảo bài toán không thể giải được nếu chỉ áp dụng các phương pháp thường
gặp.
Phạm trù này là cần thiết vì việc hiểu một khái niệm trừu tượng thì không đảm bảo rằng
học sinh sẽ có khả năng nhận ra sự phù hợp và áp dụng nó một cách đúng đắn vào những
tình huống thực tiễn.
Vậy thì vấn đề ở đây là học sinh vận dụng những gì vừa được học như thế nào? Có thể
quy thành một số nội dung chủ yếu sau:

1. Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để tìm ra công thức tổng quát cho một
công thức nào đó.
Thông thường sau khi học phương pháp quy nạp toán học, nếu bắt gặp bài toán nào yêu
cầu chứng minh đúng với mọi số nguyên dương n, học sinh sẽ áp dụng ngay phương pháp
này. Nhưng đối với những dạng bài toán có yêu cầu khác thì như thế nào? Liệu có áp dụng
được phương pháp này? Để giúp học sinh tránh cách làm máy móc đó, giáo viên cần đưa
bài tập để học sinh tiếp cận với nhiều cách áp dụng phương pháp trên mà không nhất thiết
đề bài toán yêu cầu như trên.
Câu 1: Tìm tổng:
1.2 2.5 (3 1)S n n    

A.
( 1)nn

B.
2 ( 1)nn

C.
2
( 1)nn
D.
1
2 ( 1)
n
nn



*Phân tích: Học sinh sẽ thế số để xem công thức nào là phù hợp. Nhưng muốn tìm đáp
án đúng, HS sẽ phải vận dụng ý nghĩa của phương pháp quy nạp, tức là nếu đúng với
np
thì cũng đúng với
1np
. Điểm yếu là học sinh chỉ thay những số nhỏ để kiểm
chứng.
+ Ở trường hợp (A) và (B), học sinh chỉ thay n là một số cụ thể, như (A): học sinh thay
1n 
, (B) học sinh thay
2n 
. Nếu HS thay
1n 
và
2n 
thì có thể sẽ chọn đáp án (D).

Vì vậy có thể học sinh dừng lại tại đây.
+ Tuy nhiên, nếu HS thay giá trị khác nữa, sẽ nhận ra đáp án đúng, đó là đáp án (C).
(Đáp án: C)
*Phát triển bài toán: Bài này cũng có thể đưa ra ở dạng bài tập tự luận để học sinh biết
cách quan sát từ các trường hợp cụ thể, phát biểu thành công thức tổng quát và chứng
minh tính đúng đắn của công thức đó.
Câu 2: Với
2n 
, chứng minh bất đẳng thức sau:
1 1 1
1
23
n
n
    
(*)
*Phân tích:
Thông thường, trước một bài chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường đưa về
những bất đẳng thức đã biết. Song ở bài tập này, học sinh cần chú ý, (*) đúng với mọi
2n 
nên từ đó các em vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải bất đẳng thức
này.
+ Với
2n 
: ta có
1
1 2 2 1 2
2
    
đúng. Do đó (*) đúng với

2n 
.
Ở bước này các em cần nhận ra:
2 1 1 1 2   
. Cũng có thể dùng máy tính để kiểm tra
tính đúng sai này.
+ Giả sử (*) đúng khi
nk
,
*
,2kk
.
Ở bước này các em cần nhận ra (*) lúc này tương ứng với bất đẳng thức:


1 1 1
1
11
1 1 1. 1 1 . 1
kk
kk
kk
k k k k k k k

   

         
1 1 1
1
23

k
k
    

Chứng minh (*) đúng khi
1nk
, tức là
1 1 1 1
1 1
2 3 1
k
kk
      

.
Khi chứng minh vấn đề này, các em cần phải huy động giả thiết quy nạp vừa cho. Khi đó
sẽ có bất đẳng thức:
1 1 1 1 1
1
2 3 1 1
k
k k k
      


Vấn đề ở đây là học sinh cần nhận ra:
1
1
1
kk

k
  

.(1)
Điều này đòi hỏi học sinh cần vận dụng kiến thức về căn bậc 2 của một số không âm.
Tức là:



(hiển nhiên)
Từ đó có điều phải chứng minh. Tóm lại ta có bất đẳng thức (*) đúng với
2n 
. Việc
chứng minh này ngoài việc giúp học sinh biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp quy
nạp vào các dạng toán, mà còn giúp học sinh huy động các kiến thức đã có nhằm khẳng
định tính đúng đắn của vấn đề cần chứng minh.

2. Vận dụng các kiến thức về định nghĩa dãy số bị chặn trên (dưới), bị chặn, dãy số
tăng (giảm) để xét tính bị chặn, tính đơn điệu của một dãy số:
Ở đây, giáo viên sẽ đưa ra các bài tập để học sinh tùy vào từng trường hợp có cách xác
định phù hợp sau khi đã hiểu các định nghĩa trên.
Chẳng hạn: với việc xét tính đơn điệu, nếu áp dụng định nghĩa tức là ta so sánh u
n
và
u
n+1
, trong một số trường hợp ta phải sử dụng nhiều cách khác nhau, có thể so sánh:
1nn
uu



với
0
hoặc
1
n
n
u
u

với
1
.
Câu 3: Trong các dãy số cho bởi số hạng tổng quát sau, dãy nào là dãy giảm:
I.
3
n
n
an
II.
2
3
n
n
a
n

III.
2
1

n
a n n  

A. I, II. B. II. C. II, III D. III.
* Phân tích: Học sinh có thể nhận ra ngay câu (A) là sai, vì (I) xác định dãy tăng. Để xét
tính đơn điệu, học sinh sẽ sử dụng công thức
1
n
n
a
a

cho (II), còn (III) sử dụng so sánh
n
a

và
1n
a

. Nhưng điểm quan trọng ở đây, học sinh cần nhận ra (II) xác định dãy không tăng
không giảm. Cụ thể:
2
2
21
1
3 ( 1) 1 1
. . 1
33
n

n
n
n
a
n
a n n




  



Từ đây sẽ nhận thấy:
1n 
thì
1
1
n
n
a
a


; còn với
2n 
thì
1
1

n
n
a
a


.
(Đáp án: D)

3. Vận dụng định nghĩa và tính chất cấp số cộng – cấp số nhân để xác định các số hạng
của chúng hoặc tính tổng của n số đầu tiên.


Dạng bài toán vận dụng của cấp số khá phong phú. Điểm mấu chốt là học sinh phải hiểu
ý nghĩa của cấp số cần áp dụng. Từ đó học sinh suy ra được cách biểu thị các số hạng liên
tiếp của cấp số và áp dụng các tính chất của cấp số đó để giải quyết bài toán.
Chẳng hạn:
- Biểu diễn ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng, công sai d:
,,a d a a d

- Biểu diễn ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân, công bội q

0:
, , .
a
a a q
q

Vậy để xác định một cấp số, giáo viên lưu ý học sinh cần tìm u
1

và công sai (hoặc công
bội).
Câu 4: Hãy chọn đáp án đúng:
Sáu số lập thành cấp số cộng có tổng bằng 12, tổng các bình phương bằng
94
. Số hạng
thứ ba của cấp số đó là:
A. -1 B 3 C.3 D. 5
* Phân tích: Ở bài tập này có 2 điểm cần lưu ý:
- Cách biểu diễn số hạng của cấp số:
+ Học sinh có thể đặt cấp số có dạng
, , , 5x x d x d
với d là công sai. Từ đó áp dụng
giả thiết để lập hệ giải ra x và d.
+ Giáo viên có thể gợi ý về cách đặt công sai
2da
, cấp số có dạng :
5 , 3 , , , 3 , 5x a x a x a x a x a x a     
. Với cách đặt này, bài toán mở ra vấn đề khi nào thì
đặt như vậy? Nếu số số hạng của dãy số là số lẻ thì đặt như thế nào? Với cách đặt này,
công việc tính toán sẽ giảm đi rất nhiều nhưng yêu cầu học sinh phải tinh tế, hiểu kỹ bản
chất để nhận ra đặc điểm này.
- Khi giải ra công sai học sinh sẽ thu được hai kết quả. Do đó học sinh phải sử dụng
các kết quả đó để tính ra số hạng thứ ba của cấp số.
Đáp án: (C)
* Dạng cấp số cũng thường được áp dụng để tính nghiệm trong phương trình chứa tham
số.
Câu 5: Xác định m sao cho phương trình:
32
3 2 2 1 0x x x m    

có 3 nghiệm lập thành
một cấp số cộng.
* Phân tích: Để giải được bài này, học sinh cần nắm định lý Viet, và tính chất trung bình
cộng của cấp số. Từ đó học sinh gọi ba nghiệm của phương trình lập thành cấp số cộng
là
1 2 3
,,x x x
.
Sau đó lập hệ :
1 2 3
1 3 2
3
2
x x x
x x x
  




và giải ra được
3
2
m 
.


I
I
V

V
.
.


K
K
H
H
Ả
Ả


N
N
Ă
Ă
N
N
G
G


B
B
Ậ
Ậ
C
C

C
C
A
A
O
O


Đây là một phạm trù rất rộng bao gồm các phạm trù con: phân tích, tổng hợp, đánh giá.
1. Phân tích:
Đây là bước khởi đầu của những quy tắc giải quyết vấn đề, việc phân tích một bài toán
rất quan trọng, việc phân tích thường có các dạng sau:
 Chia nhỏ thông tin và tổ chức chúng lại theo các quan hệ trong bài toán.
 Phân biệt các sự kiện từ giả thiết, xác định những giả thiết cần thiết để chứng
minh quy tắc nào đó.


 Kiểm tra tính nhất quán của các giả thiết với những giả định và thông tin đã
cho.
2. Tổng hợp:
Tổng hợp là sắp xếp các yếu tố hoặc các phần lại với nhau để có một công thức hay
quy luật mà trước đó chưa thấy rõ ràng, từ đó đưa đến sự sáng tạo và tính độc đáo cho một
bộ phận học sinh một cách rõ ràng nhất.
3. Đánh giá:
Đánh giá là khả năng xác định những tiêu chuẩn và giá trị cho một ý tưởng hay sản
phẩm rồi đưa ra một phán xét xác đáng.
Phạm trù này thường xuất hiện khi học sinh được giao một phần việc và đề nghị tìm
sai sót.

Một số mục tiêu thuộc phạm trù các khả năng bậc cao ở phần cấp số- dãy số đối với
học sinh:

1. Phân tích thông tin thành những phần chính và thiết lập mối quan hệ đúng đắn giữa
chúng
Ví dụ:
Tìm
x
và
y
biết
,2 3 , 3x y x y x y   
lập thành một cấp số cộng và
5 , 2,2x y y x y   
lập thành một cấp số nhân.
Phân tích:
 Từ giả thiết
,2 3 , 3x y x y x y   
lập thành một cấp số cộng ta rút ra được mối
quan hệ
(2 3 ) ( ) ( 3 ) (2 3 )x y x y x y x y       




20xy

 Số hạng thứ 3 của cấp số nhân là
20xy
nên suy ra được số hạng đầu tiên

hoặc công bội bằng 0, vì vậy ta có số hạng thứ 2 của cấp số nhân là
2y 
cũng
bằng 0.
 Từ phân tích trên ta tính được
y
và
x
.
(Đáp số:
1, 2xy  
)

2. Đưa ra một kế hoạch giải toán phù hợp
Dạng toán đối với nội dung cấp số chủ yếu liên quan đến xác định số hạng thứ
k
, tìm
công sai của cấp số cộng, công bội của cấp số nhân, tính tổng
n
số hạng đầu tiên.
Ở phạm trù khả năng bậc cao đối với dạng toán này đòi hỏi học sinh phải phân tích yêu
cầu bài toán, tổng hợp các công thức liên quan ( định nghĩa, tính chất, công thức số hạng
tổng quát, công thức tính tổng
n
số hạng đầu tiên) để từ đó có kế hoạch giải toán thông
qua việc xác định đúng các yếu tố cần thiết.
Ví dụ:
Cho cấp số nhân có công bội bằng
1
4

số hạng thứ nhất, tổng 2 số hạng đầu bằng 24.
Tính tổng
7
S
.
Phân tích:
 Để tính tổng
n
số hạng đầu tiên của một cấp số nhân theo công thức ta cần xác
định số hạng đầu
1
u
và công bội
q
.


 Theo giả thiết ta có
1
1
4
qu
và
12
24uu
, như vậy để tính được
1
u
và
q

ta cần
biểu diễn
2
u
theo
1
u
và
q
, theo định nghĩa cấp số nhân thì ta có
21
u u q
.
 Mối quan hệ giữa
1
u
và
q
được thể hiện qua hệ phương trình

1
2
4
4 4 24
uq
qq







giải hệ phương trình này ta tính được
1
u
và
q
từ đó áp dụng công thức tính tổng
7
S
.
( Đáp số:
17
17
2, 8, 1016
3, 12, 6564
q u S
q u S
  


     

)

3. Giải các bài toán liên quan đến tổng quát hóa, quy nạp, chứng minh
Ví dụ:
Chứng minh dãy số
()
n

u
xác định bởi

1
1
2
1
2
n
n
u
u
u










là dãy số giảm.
Phân tích:
 Để chứng minh 1 dãy số là dãy số giảm ta chứng minh
1nn
uu



với mọi
*
n
.
 Đối với dãy số ở trên ta không thể chỉ ra ngay
1nn
uu


với mọi
*
n
, đồng thời
ta cũng không thể kiểm tra với từng số
n
. Việc chứng minh cần sử dụng đến
phương pháp quy nạp, quá trình chứng minh tiến hành qua 2 bước như đã học.

4. Phân tích các bài toán thực tế
Bài toán 1: Một nông dân mua một đôi thỏ để nuôi. Tháng đầu tiên đôi thỏ ấy sinh một đôi
thỏ con, tháng thứ hai sinh một đôi nữa rồi ngừng lại. Các đôi thỏ con đến lượt mình lại
sinh ra hai đôi khác ( mỗi tháng sinh một đôi) rồi cũng ngừng lại. Hỏi cứ mỗi tháng người
nông dân có thêm bao nhiêu đôi thỏ?
Phân tích:
 Đầu tiên người nông dân có 1 đôi thỏ đã mua.
 Tháng thứ nhất đôi thỏ đã mua sinh 1 đôi thỏ mới.
 Tháng thứ hai, cả hai đôi thỏ trên mỗi đôi sinh một đôi thỏ mới, vậy tháng này
người nông dân có 2 đôi thỏ mới.
 Tháng thứ ba, đôi thỏ đầu tiên ngừng sinh, đôi thỏ tháng thứ nhất sinh một đôi, hai
đôi thỏ ở tháng thứ hai sinh hai đôi, vậy người nông dân có 3 đôi thỏ mới.

 Tiếp tục thỏ ở tháng thứ nhất ngừng sinh, thỏ ở tháng thứ hai sinh 2 đôi, thỏ ở tháng
thứ ba sinh 3 đôi, vậy người nông dân có 5 đôi thỏ mới.
 Như vậy ở mỗi tháng chỉ có thỏ ở 2 tháng ngay trước đó sinh thỏ mới, vậy số đôi
thỏ mới mỗi tháng bằng tổng số đôi thỏ mới của 2 tháng trước.
 Số đôi thỏ mới ở mỗi tháng của người nông dân lập thành một dãy số mà hai số
hạng đầu là 1, các số hạng khác kể từ số thứ ba trở đi bằng tổng của hai số hạng
đứng liền trước nó:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,



Dãy số như trên được gọi là dãy số Fibônaci, dãy số này có các tính chất rất lí thú ví
dụ như: lấy ba số liên tiếp bất kì của dãy, ta luôn có tích của số thứ nhất và số thứ ba
bằng bình phương của số thứ hai trừ đi một.

Bài toán 2: Một con amip được đặt trong một cái lọ rỗng. Sau một giây nó tự phân thành
hai con amip. Sau một giây mỗi con amip ấy cũng tự phân thành hai trong khi mỗi thế hệ
amip tự phân, số lượng amip và thể tích của chúng được tăng gấp đôi sau mỗi giây. Sau
một giờ thì cái lọ đầy amip. Hỏi sau bao lâu thì cái lọ đầy một nửa?
Phân tích:
 Sau một giây thể tích amip tăng gấp đôi, vậy trước khi amip đầy lọ một giây thì
lượng amip sẽ đầy nửa lọ. Số giây cần tìm là
3600 1 3599
giây.
 Số lượng và thể tích amip ở đây tăng theo cấp số nhân công bội 2.

5. Lý giải một cách sáng tạo một số câu hỏi phản ứng nhanh
Các câu hỏi phản ứng nhanh có tác dụng kích thích mức độ tập trung, suy luận của học
sinh. Việc đưa ra câu trả lời trong một thời gian chuẩn bị ngắn đòi hỏi khả năng tốt về
phân tích, tổng hợp và đánh giá.

Nội dung dãy số, cấp số được áp dụng khá nhiều trong các cuộc thi kiến thức phổ thông
dưới dạng các câu hỏi trả lời nhanh.
Ví dụ:
1/ Điền vào chỗ trống số thích hợp
2,6,12,…,30,42,56
( Học sinh phải suy luận chọn ra quy luật phù hợp, dãy số này được lập nên theo quy luật
lấy tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Đáp án: 20)
2/ Tính nhanh:

1 2 99 100 99 2 1S         

(Học sinh có thể nhóm 1+99,2+98,…,99+1 như vậy tổng
2
100S 
. Kết quả này được mở
rộng lên việc tính tổng
1 2 ( 1) ( 1) 2 1S n n n          
, tổng
2
Sn
, chứng
minh bằng phương pháp quy nạp.)

6. Phát hiện ra những sai lầm trong lập luận, rút ra kết luận
Việc tự mình phát hiện ra những sai lầm sẽ giúp cho học sinh rút kinh nghiệm và chú ý
để không vấp sai lầm đó về sau, chính vì vậy yêu cầu học sinh nhận xét, đánh giá trong
quá trình dạy và học là rất cần thiết.
Ví dụ:
Dãy số
()

n
u
là dãy số tăng nếu
1nn
uu


với mọi
*
n
.
Một học sinh nêu cách kiểm tra tính tăng giảm của dãy số đó là lập tỉ số
1n
n
u
u

, nếu tỉ số
này lớn hơn 1 thì
1nn
uu


lúc này dãy số là dãy tăng và ngược lại nếu tỉ số này bé hơn 1
thì
1nn
uu


, dãy số là dãy giảm.

Yêu cầu học sinh suy nghĩ và nhận xét cách làm của bạn.
Phân tích:
 Khi nghe lập luận này thì phần lớn học sinh thấy hợp lí.
 Giáo viên có thể gợi ý học sinh xét tính tăng giảm của các dãy số sau theo cách nêu
trên

1,2,3,4,5,6




1, 2, 3, 4, 5, 6     

 Qua 2 ví dụ trên học sinh nhận ra lập luận đã nêu không đúng, sai lầm ở chỗ nếu
dãy số âm thì
1
1
1
n
nn
n
u
uu
u


  
là không chính xác.
 Từ sai lầm trên học sinh có thể hoàn thiện 1 cách xét tính tăng giảm đối với dãy số
dương và sẽ chú ý cẩn thận hơn khi xét tính tăng giảm của 1 dãy số bất kì.

Chú ý:
 Việc xếp 1 câu hỏi vào phạm trù áp dụng hay phạm trù khả năng bậc cao là khá
khó khăn:

 Điều này còn tùy thuộc vào khả năng của học sinh: học sinh có thể tái tạo
được những quy tắc đã thông hiểu để giải một bài toán không quen thuộc
hay là làm ra một điều gì đó hoàn toàn mới đối với bản thân bằng cách khám
phá ra mối quan hệ giữa các quy tắc và thuật toán không liên quan với nhau
trước đây.
 Lời giải cho một bài toán thường đạt được bởi 2 phương pháp khác nhau:
một thuộc phạm trù áp dụng, một thuộc phạm trù khả năng bậc cao
 Các câu hỏi dạng trắc nghiệm khách quan chỉ có một sự áp dụng rất hạn chế vào
phạm trù khả năng bậc cao, việc sử dụng các hình thức đánh giá khác như câu hỏi
có kết thúc mở hoặc câu hỏi trả lời tự do có tác dụng tốt hơn ở phạm trù này.


  



T
T
À
À
I
I


L

L
I
I
Ệ
Ệ
U
U


T
T
H
H
A
A
M
M


K
K
H
H
Ả
Ả
O
O

1. Sách giáo khoa Đại số 11 Nâng cao (NXB Giáo Dục)
2. Sách bài tập Đại số 11 Nâng cao ( NXB Giáo Dục)