MỘT GIẢI THUẬT DI TRUYỀN GIẢI BÀI TOÁN CẮT VẬT TƯ MỘT CHIỀU VỚI NHIỀU KÍCH CỠ VẬT LIỆU THÔ

B
Ộ GIÁO DỤC
& ĐÀO T
ẠO
VI
ỆN KH
& CN VI
ỆT NAM
VI
ỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHAN TH
Ị HOÀI PHƯƠNG
M
ỘT
GI
ẢI THUẬT DI TRUYỀN
GI
ẢI BÀI TOÁN CẮT VẬT TƯ MỘT CHIỀU
V
ỚI NHIỀU KÍCH CỠ VẬT LIỆU THÔ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà N
ội
– 2011
B
Ộ GIÁO DỤC
& ĐÀO T
ẠO
VI
ỆN KH & CN VIỆT NAM
VI

ỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHAN TH
Ị HOÀI PH
ƯƠNG
M
ỘT GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
GIẢI BÀI TOÁN CẮT VẬT TƯ MỘT CHIỀU
V
ỚI NHIỀU KÍCH C
Ỡ VẬT LIỆU THÔ
Chuyên ngành: Đ
ảm bảo toán học cho máy tính
và h
ệ thống tính toán
Mã s
ố
: 62 46 35 01
LU
ẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯ
ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
:
1. PGS.TS. LƯƠNG CHI MAI
2. TS. NGUYỄN VĂN HÙNG
Hà N
ội
– 2011
L
ỜI
CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công tr
ình nghiên c
ứu của riêng tôi. Các kết quả được viết
chung v
ới các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận
án.
Các k
ết quả nêu trong luận án là trung thực và ch
ưa từng được ai công bố trong
b
ất kỳ
công trình nào.
Tác gi
ả
Phan Th
ị Hoài Phương
L
ỜI CẢM
ƠN
Lu
ận án
được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lương Chi
Mai và TS. Nguy
ễn Văn Hùng. Tr
ước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu s
ắc đến cô
Lương Chi Mai và th
ầy Nguyễn V
ăn Hùng, những ng
ười thầy

đ
ã tận tình
hư
ớng dẫn,
ch
ỉ bảo, giúp đỡ tôi học tập và nghiên cứu.
Xin trân tr
ọng cảm
ơn Ban lãnh
đạo Viện Công nghệ thông tin và bộ phận quản lý
nghiên c
ứu sinh đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận
l
ợi để tôi hoàn thành luận
án này.
Tôi xin trân tr
ọng cảm ơn
Ban lãnh
đạo Học Viện Công nghệ Bưu chính viễn th
ông
đ
ã tạo điều kiện
cho tôi h
ọc tập, nghiên cứu
và th
ực hiện luận án.
Tôi cũng xin cảm ơn Bộ phận kỹ thuật Nhà máy ống thép Việt -Đức đã cho phép tôi
thu th
ập số liệu và triển khai mô hình thử nghiệm ứng dụng giải bài toán cắt vật tư.
Cu

ối cùng tôi xin
dành t
ặng
lu
ận án này cho những ng
ười thân yêu: bố mẹ, chồng,
con gái và con trai c
ủa tôi như muốn nói một lời cảm
ơn chân thành nh
ất vì sự giúp
đ
ỡ,
s
ự
động vi
ên không gi
ới hạn
đ
ối với tôi.
H
ọ chính là n
ơi khơi nguồn và cũng là
đích hư
ớng tới trong học tập và nghiên cứu của tôi.
i
M
ỤC LỤC
M
Ở
ĐẦU

1
Chương 1. CÁC KI
ẾN THỨC CƠ SỞ LIÊN QUAN
9
1.1. Bài toán c
ắt vật t
ư một chiều với một loại vật liệu thô và thuật giải
9
1.1.1. Mô hình Gilmore-Gomory 10
1.1.2. Mô hình Arc-flow c
ủa Valerio de Carvalho
13
1.2. Gi
ải thuật di truyền
19
1.3. K
ết luận
25
Chương 2. BÀI TOÁN C
ẮT VẬT TƯ MỘT CHIỀU VỚI NHIỀU KÍCH THƯỚC
V
ẬT LIỆU THÔ: MÔ HÌNH VÀ GIẢI PHÁP
26
2.1. Phát bi
ểu bài toán cắt vật tư một chiều với nhiều kích thước vật liệu thô theo
Gilmore và Gomory 26
2.2. Phát biểu mới của bài toán OneDCSP_M 28
2.3. Gi
ải thuật di truyền lai ghép giải bài toán
OneDCSP_M 32

2.4. K
ết quả tính toán
40
2.5. K
ết luận
50
Chương 3. H
Ệ THỐNG
ĐA TÁC TỬ GMAS
-OneDCSP_M GI
ẢI BÀI TOÁN
OneDCSP_M 52
3.1. Yêu c
ầu của hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 54
3.2. Thiết kế hệ thống GMAS-OneDCSP_M 55
3.2.1. Ki
ến trúc hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 55
3.2.2. Thi
ết kế chi tiết hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 58
3.3. Đánh giá tính hi
ệu quả của hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 65
3.4. K
ết luận
67
K
ẾT LUẬN VÀ H

ƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
68
DANH M
ỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA
TÁC GI
Ả
70
TÀI LI
ỆU THAM KHẢO
71
PH
Ụ LỤC
78
ii
DANH M
ỤC THUẬT NGỮ
Thu
ật ngữ tiếng Việt
Thu
ật ngữ
ti
ếng Anh
Bài toán ch
ủ
Master Problem – MP
Bài toán ch
ủ giới hạn
Restricted Master Problem – RMP
Bài toán con đ
ịnh giá

Subproblem – pricing problem
Đi
ểm cực
Extreme point
Gi
ải thuật di truyền
Genetic Algorithm – GA
Giá suy gi
ảm
Reduced cost
L
ập
trình ti
ến hóa
Evolutionary Programming-EP
N
ới lỏng tuyến tính liên tục
Linear continuous relaxation
N
ới lỏng tuyến tính liên tục mạnh
Strong linear continuous relaxation
N
ới lỏng tuyến tính liên tục yếu
Weak linear continuous relaxation
Phương pháp nhánh c
ận
Branch and Bound – B&B
Phương pháp phân nhánh và đ
ịnh giá
Branch and Price – B&P

Phương pháp phân nhánh, đ
ịnh giá và
c
ắt
Branch and Price and Cut
Phương pháp t
ạo sinh cột
Column Generation
Tia c
ực
Extreme ray
Tính ch
ất làm tròn nguyên
Integer Round-Up Property – IRUP
Tính ch
ất làm tròn nguyên cải biên
Modified Integer Round-Up Property –
MIRUP
Tính toán ti
ến hóa
Evolutionary Computation
Thu
ật toán tiến hóa
Evolutionary Algorithm- EA
iii
DANH M
ỤC CÁC KÝ HIỆU, CỤM TỪ VIẾT TẮT
Ký hi
ệu
Thu

ật ngữ
AF
Thu
ật toán dựa trên mô hình luồng cung (Arc
-Flow model) c
ủa
Carvalho gi
ải bài toán
OneDCSP_S
A-Team
Asynchronous Team- Ki
ến trúc không đồng bộ sử dụng trong hệ
đa tác tử
C&P
Cutting and Packing – C
ắt vật tư và đóng hàng
CSP
Cutting Stock Problem -Bài toán c
ắt vật tư
FIPA
Foundation for Intelligent Physical Agents
GA-AF
Genetic Algorithm- Arc-Flow Model – Thu
ật toán lai ghép giải
thu
ật di truyền và thuật toán AF
GMAS-
OneDCSP_M
Genetic Multi Agent System- H
ệ thống gen đa tác tử giải bài toán

OneDCSP_M
JADE
Java Agent DEvelopment Framework
LP
Linear Programming – Quy ho
ạch tuyến tính
OneDCSP
One Dimension Cutting Stock Problem-Bài toán c
ắt vật t
ư một
chi
ều
OneDCSP_M
One Dimensional Cutting Stock Problem with Multiple Stock
Sizes -Bài toán c
ắt vật t
ư một chiều với nhiều kích thước vật liệu
thô
OneDCSP_M-
Solver
Tác t
ử giải bài toán
OneDCSP_M
OneDCSP_S
One Dimensional Cutting Stock Problem with Single Stock Sizes
-Bài toán c
ắt vật tư một chiều với một loại kích thước vật liệu thô
OneDCSP_S
LP
N

ới lỏng tuyến tính của bài toán
OneDCSP_S
OneDCSP_S-
Solver
Tác t
ử giải bài toán
OneDCSP_S
iv
DANH M
ỤC CÁC BẢNG BIỂU
B
ảng 2.1 Tổng kết chất l
ượng nghiệm so với kết quả của Belov
-Scheithauer 44
B
ảng 2.2 Kết quả tính toán của Silvio A. Araujo và đồng sự
45
B
ảng 2.3 Phân bố
độ chênh lệch nghiệm so với kết quả của Belov
-Scheithauer 46
B
ảng 2.4 Thống kê thời gian tính toán
48
B
ảng 2.5 Thống kê phân bố thời gian tính toán
49
v
DANH M
ỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 0.1 S
ơ đ
ồ các cách tiếp cận giải bài toán cắt vật tư một chiều
…………………. 6
Hình 1-1 Các phương án c
ắt trong bài toán
OneDCSP_S 10
Hình 1-2 Ví d
ụ về mạng lưới và phương án cắt với
L=9 và các l
i
{4,3,2} 13
Hình 1-3 M
ột thế hệ mới
được hình thành qua pha chọn lọc và pha tái tổ hợp.
22
Hình 2-1 Các phương án c
ắt trong bài toán
OneDCSP_M 27
Hình 2-2 Bi
ểu
đồ thống kê độ chênh lệch so với kết quả của Belov
-Scheithauer 47
Hình 2-3 Bi
ểu đồ thống kê phân bổ thời gian tính toán
50
Hình 3-1 Ki
ến trúc của A
-Team 53
Hình 3-2 Bi

ểu đồ tương tác giữa người dùng và hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 55
Hình 3-3 Ki
ến trúc hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 56
Hình 3-4 C
ấu trúc bộ nhớ chung tương ứng với mỗi bài toán
OneDCSP_M 59
Hình 3-5 Bi
ểu đồ Use Case của hệ thống GMAS
-OneDCSP_M 63
1
MỞ
Đ
ẦU
Dân s
ố thế gi
ới t
ăng nhanh và
đ
ời sống vật chất của con người không ngừng
nâng cao. Đi
ều
đó dẫn tới nhu cầu về tài nguyên thiên nhiên ngày càng lớn. Chúng
ta đã và đang chứng kiến sự cạn kiệt của tài nguyên thiên nhiên, nhất là những
ngu
ồn tài nguyên không tái tạo
được
như khoáng s
ản.

Để phát triển bền vững, việc
s
ử dụng tài nguyên một cách hiệu quả luôn là vấn đề thời sự của toàn nhân loại.
Trong các ngành kinh t
ế
như ch
ế tạo máy, xây dựng, dệt may… việc sử dụng hiệu
qu
ả tài nguyên thể hiện bởi việc sử dụng hiệu quả cá
c lo
ại vật liệu thô phục vụ cho
m
ục
đích
kinh t
ế
.
L
ĩnh vực cắt vật tư và đóng hàng (Cutting & Packing
-C&P) bao g
ồm nhiều bài
toán t
ổ hợp, hình học, các mô hình và thuật toán lý thuyết cũng như thực tiễn liên
k
ết với nhau. Mục tiêu chính của lĩnh vực này là
s
ắp xếp một cách hiệu quả các đối
tư
ợng được mô tả bằng ngôn ngữ hình học trong một miền lớn hơn. Các bài toán
sau đây là các bài toán đi

ển hình cho chủ đề này: Cắt vật tư và bài toán phế thải,
x
ếp
thùng (bin packing), bài toán s
ắp
ba lô (knapsack), cân bằng luồng (line balancing),
bài toán phân ph
ối bộ nhớ và lập lịch cho bộ
đa xử lý (
memory allocation and
multiprocessor scheduling problem)… Các bài toán c
ắt vật tư và đóng hàng được
phát bi
ểu và xử lý trong nhiều ngành khoa học khác nhau nh
ư khoa học quản
lý,
khoa h
ọc kỹ thuật, khoa học máy tính và công nghệ thông tin, toán học và vận trù
h
ọc. Chúng là các bài toán thực tế
đặt ra cho các ngành công nghiệp như công
nghiệp kính, thép, giấy, da, may mặc, vận tải và hậu cần.
T
ừ giữa thế kỷ tr
ước đã có nhiều cá
ch ti
ếp cận giải các bài toán cắt vật t
ư và
đóng hàng đư
ợc đề xuất. Công trình khởi nguồn cho chủ đề này do

L.V.Kantorovich đưa ra năm 1939 khi ông đ
ề xuất áp dụng các mô hình toán học
để
2
tổ chức và lập kế hoạch sản xuất. Các mô hình này được phát biểu dướ i dạng các
bài toán Quy ho
ạch
nguyên và đư
ợc chỉ ra thuộc lớp các bài toán NP
-hard. Mô hình
có m
ột số nhược điểm như có
n
ới lỏng
liên t
ục yếu và tính đối xứng nên việc áp
d
ụng nó trong các bài toán thực tiễn tỏ ra không hiệu quả.
Đ
ể khắc phục nhược điểm củ
a mô hình trên, m
ột mô hình
khác cùng v
ới k
ỹ thuật
gi
ải hiệu quả bài toán cắt vật t
ư một chiều được Gilmore và Gomory đề xuất vào
nh
ững năm 60 thế k

ỷ trư
ớc. Trong kỹ thuật này, các tác giả sử dụng công cụ quy
ho
ạch tuyến tính để giải bài toán
n
ới lỏng
liên t
ục dẫn xuất từ bài toán quy hoạch
nguyên. Nghi
ệm của bài toán quy hoạch nguyên ban đầu sẽ nhận được bằng các kỹ
thu
ật làm tròn nghiệm của bài toán
n
ới lỏng
liên t
ục khi bài toán đảm bảo tính chất
làm tròn nguyên (Integer Round-Up Property-IRUP). Đ
ề xuất
c
ủa Gilmore và
Gomory đ
ặc biệt hiệu quả khi giải các bài toán cắt vật tư nhờ kỹ thuật tạo sinh cột
v
ới việc giải Bài t
oán x
ếp ba lô
như m
ột bài toán con
. Sau này k
ỹ thuật tạo sin

h c
ột
tr
ở thành kỹ thuật được ưa
chu
ộng nhất khi người ta đề cập tới việc giải
các bài toán
quy ho
ạch cỡ lớn.
Do tính khoa h
ọc cũng như thực tiễn cao của chủ đề c
ắt v
ật tư và đóng hàng nên
vào năm 1988 H. Dyckhoff và G. Waescher đ
ã thành l
ập Special Interest Group on
Cutting and Packing (SICUP), bước quan trọng để hỗ trợ nghiên cứu quốc tế về chủ
đ
ề này. Một trong những
đóng góp
n
ổi bật
c
ủa H.Dyckhoff vào n
ăm 1990 cho việc
phát tri
ển các nghiên cứu lý thuyết cũng như ứng dụng trong lĩnh vực này là việc
đưa ra phân lo
ại
(Typology) các bài toán c

ắt vật t
ư và đóng hàng dựa trên điều t
ra
các đ
ặc tính của cấu trúc hình học, cấu trúc logic và ngữ cảnh xuất hiện của chúng
trong th
ực tế. S
ự phân lo
ại này
được G.
Waescher và các đ
ồng nghiệp tiếp tục hoàn
thi
ện vào năm 2007.
Vi
ệc phân loại được thực hiện dựa trên
b
ốn
tiêu chí:
3
1. Số chiều của bài toán: có thể là 1, 2, 3 hoặc lớn hơn
2. Ki
ểu gán (Kind of assignment)
: Có hai ki
ểu gán
là cực đ
ại hóa
đầu ra
(Output Maximization) ho
ặc c

ực tiểu hóa
đầu vào (Input Minimization)
3. Phân lo
ại các
đối tượng
nh
ỏ (Assortment of small items)
: đồng nhất, tương
đ
ố
i không thu
ần nhất (weakly heterogeneous assortment)
, hoàn toàn không
thu
ần nhất (Strongly heterogeneous assortment)
4. Phân lo
ại các đối tượng
l
ớn (Assortment of large objects):
- M
ột đối tượng lớn
(có th
ể được xem xét chi tiết hơn
ph
ụ thuộc vào các
chi
ều
c
ủa
đ

ối tượng được cố định hay có thể biến đổi
)
- M
ột số đối tượng lớn với các chiều cố định. Trường hợp này có thể được
chia thành các bài toán v
ới các
đ
ối tượng lớn đồng nhất
, tương đ
ối đồng
nh
ất và hoàn toàn không đồng nhất.
Trong các kiểu bài toán cắt vật tư thì Bài toán cắt vật tư một chiều (One
Dimensional Cutting Stock Problem – OneDCSP) gi
ữ một vị trí quan trọng và
chi
ếm gần một nửa tổng số công trình
đã được công bố về chủ đề này. Có nhiều lý
do gi
ải thích về mối qua
n tâm c
ủa cộng đồng nghiên cứu dành ch
o bài toán này
trong đó có th
ể dẫn ra nhận xét của Gilmore và Gomory khi nói rằng
, nhi
ều bài toán
c
ắt vật tư nhiều chiều có thể được xử lý bằng một quy trình nhiều công
đo

ạn
d
ựa
trên n
ền tảng bài toán cắt vật t
ư một chiều. Từ công trình khởi đầu của Gilmor
e và
Gomory, hàng loạt các biến thể khác nhau của bài toán OneDCSP đã được phát biểu
và gi
ải quyết bằng các cách tiếp cận khác nhau.
Bài toán c
ắt vật tư một chiều với nhiều kích thước vật liệu thô (One
-Dimensional
Cutting Stock Problem with Multiple Stock sizes – OneDCSP_M) là m
ở rộng
t
ự
nhiên c
ủa
bài toán c
ắt vật tư một chiều với một loại vật tư
OneDCSP. Cho đ
ến nay
có r
ất ít công trình nghiên cứu về bài toán này
được công bố. Theo phân loại của
Waescher, bài toán OneDCSP_M đư
ợc chia thành hai lớp con: lớ
p không ràng bu
ộc

s
ố lượng của từng loại vật tư đầu vào và lớp có
ràng bu
ộc này.
4
Có thể thấy hầu hết các công trình liên quan đến bài toán OneDCSP_M đều
hư
ớng tới giải các bài toán thuộc lớp thứ hai
. Chúng ta có th
ể khái quát các cách
ti
ếp cận được đề xuấ
t đ
ể giải bài toán này như sau.
Bài toán c
ắt vật t
ư
OneDCSP_M là bài toán quy ho
ạch nguyên và thuộc lớp NP
-
khó vì v
ậy không tồn tại thuật toán bảo đảm cho nghiệm tối ưu trong thời gian đa
th
ức. Cho
đến nay các phương pháp giải chính xác bài toán quy hoạch
nguyên này
và các bi
ến thể của nó đều được xây dựng theo
lư
ợc đồ phân nhánh và định giá

(Branch and Price – B&P) d
ựa trên nới lỏng tuyến tính liên tục của mô hình do
Gilmore-Gomory đ
ề xuất vào năm 1963 [
26,27] và sau này là mô hình arc-flow c
ủa
Valerio de Carvalho [55]. G
ần đây, Belov
[11], Carvalho và đ
ồng nghiệp [
56] đ
ã
đưa vào s
ử dụng các lát cắt trong lược đồ trên để tạo nên
lư
ợc đồ phân nhánh định
giá và c
ắt
nh
ằm cải thiện tốc độ tính toán khi giải bài toán. Việc cải biên các lược
đồ trên áp dụng giải các biến thể khác nhau của bài toán cũng đã được đề xuất
[12,13,14,30,44,58].
Do các phương pháp chính xác gi
ải bài toán cắt vật t
ư đòi hỏi chi phí thời gian
khá t
ốn kém đối với các bài toán có kích thước trung bình hoặc lớn nên nhiều tác
gi
ả
đã đề xuất

các gi
ải thuật heuristic khác nhau nhằm tìm kiếm nghiệm có chất
lư
ợng tốt trong
kho
ảng
th
ời gian chấp nhận
đư
ợc. Các giải thuật heuristic
không s
ử
d
ụng nới lỏng tuyến tính liên tục của bài toán mà dựa vào cấu trúc của bài toán
để
điều khiển quá trình tìm kiếm.
Các gi
ải thuật heuristic
đầu tiên được đề xuất để giải các bài toán cắt vật tư
thư
ờng dựa trên các phương pháp tìm kiếm cục bộ như First
-Fit, Next-Fit, Best-Fit
và Worst-Fit Decreasing đ
ể xây dựng các ph
ương án cắt
[52]. Ý t
ư
ởng chính của
nh
ững

phương pháp này là sau khi s
ắp xếp danh sách
các thành ph
ẩm theo thứ tự
kích thư
ớc
gi
ảm dần
, các phương án c
ắt
được
xây d
ựng theo các chiến l
ược khác
nhau. Phương pháp First-Fit Decreasing tìm thành ph
ẩm phù hợp để xếp vào
phương án c
ắt, còn phương pháp Nex
t-Fit tìm ch
ỗ trống trên các phương án cắt để
đ
ặt thành phẩm. Phương pháp Best
-Fit h
ạn chế phần dư thừa của mỗi phương án cắt
5
bằng cách tìm không gian nhỏ nhất có thể để đặt các thành phẩm, trong khi phương
pháp Worst-Fit thì l
ại
đặt thành phẩm vào không g
ian l

ớn nhất tìm
được nhằm để lại
nguyên li
ệu nhiều nhất cho các bước lặp tiếp theo.
M
ột vấn
đề nảy sinh là các phương pháp dựa trên tìm kiếm cục bộ như vậy
thư
ờng rất nhanh chóng rơi vào các cực trị địa phương. Để hạn chế khả năng không
mong mu
ốn này, mộ
t s
ố tác giả
đề xuất áp dụng các Metaheuristic vào việc giải bài
toán. Yang dùng gi
ải thuật tham lam trong đó s
ử d
ụng một hàm mục tiêu phụ thuộc
vào m
ột số lượng nhỏ các điều ki
ện c
ắt để hỗ tr
ợ phát hi
ện nghiệm tốt nhất trong
quá trình tìm ki
ếm cục bộ tại
t
ừng b
ư
ớ

c c
ủa quá trình giải bài toán
[60]. Trong [20],
Eshghi và c
ộng sự
s
ử dụng giải thuật đàn kiến với các quy tắc xác suất định nghĩa
trư
ớc dựa trên đó đàn kiến có thể lựa chọn các phương án cắt để tìm ra phương án
c
ắt tốt nhất. Giải thuật tôi luy
ện mô ph
ỏng đư
ợc s
ử dụng trong các công trình
[33,32].
M
ột lớp đặc biệt các giải thuật metaheuristic giải bài toán cắt vật tư là lớp các
gi
ải thuật di truyền
(Genetic Algorithm-GA). Các gi
ải thuật này
được xây dựng
theo
hai cách ti
ếp cận
: cách ti
ếp cận đơn hàn
g và cách ti
ếp cận dựa trên nhóm.

Trong cách ti
ếp cận
đơn hàng, các thành ph
ẩm
được sử dụng một cách độc lập
khi t
ạo ra các phương án cắt
. Cách ti
ếp cận này khá gần gũi với định nghĩa của bài
toán nhưng ít đư
ợc áp dụng trong thực tiễn vì các gen mã hóa ng
hi
ệm của bài toán
thường bị phá vỡ dưới tác động của các toán tử lai ghép. Toyoda và đồng nghiệp
[51,53] đ
ề xuất các toán tử lai ghép khác nhau trong giải thuật di truyền của mình
đ
ể giải bài toán cắt vật tư.
Falkenauer đ
ã đề xuất mô hình dựa trên nhóm
[21], trong
đó các phương án c
ắt
được xây dựng dựa trên các nhóm thành phẩm đã được phân
chia nh
ằm khắc phục sự ảnh hưởng của các toán tử di truyền đến cấu trúc nghiệm.
Yakawa và đ
ồng nghiệp cũng
đưa ra
toán t

ử lai ghép
đặc biệt gắn vào mô hình giải
thu
ật di
truy
ền dựa trên nhóm do Falkenauer đề xuất [
59].
M
ột đề xuất sử dụng ý tưởng lập trình tiến hóa (Evolutionary Programming
-EP)
gi
ải bài toán cắt vật tư cũng được đề xuất
[39]. Trong l
ập trình tiến hóa
, phép tìm
ki
ếm được thực hiện
nh
ờ
các toán t
ử đột biến
mà không s
ử dụng toán tử lai ghép.
6
Liang đã đưa ra hai toán tử đột biến mới và chỉ ra tính ưu việt của các toán tử này.
Khác v
ới lập trình tiến hóa, giải thuật di truyền sử dụng cả toán tử lai ghép trong
quá trình tìm ki
ếm.
Raymond Chiong và đ

ồng nghiệp
[43] đ
ã tiến hành so sánh hai
cách ti
ếp cận EP và GA và kết hợp tính
ưu việt của cả hai cách tiếp cận để xây dựng
m
ột giải thuật di truyền cho bài toán cắt vật tư. Trong [
48], Araujo và đ
ồng nghiệp
s
ử dụng giải thuật heuistic First
-Fit decreasing đ
ể
xây d
ựng
các phương án c
ắt tạo ra
các cá th
ể (nghiệm chấp nhận được) ở mức thấp.
Ở mức cao, các tác gi
ả đề xuất
thu
ật toán tiến hóa (Evolutionary Algorithm
-EA) v
ới toán tử lựa chọn tham lam
ng
ẫu nhiên
. Vi
ệc tạo ra các cá thể mới được thực hiện

nh
ờ
quá trình trao
đ
ổi các
phương án c
ắt giữ
a các cá th
ể trong
m
ột pha
đư
ợc đặt tên là co
-operation.
M
ới đây, việc lai ghép giải thuật di truyền với các phương pháp sử dụng nới lỏng
tuy
ến tính liên tục cũng được
tác gi
ả luận án
đ
ề xuất trong [
1,2].
Các cách tiếp cận giải bài toán cắt vật tư có thể mô tả theo sơ đồ sau.
Hình 0.1 S
ơ đồ các cách tiếp cận giải bài toán cắt vật tư một chiều
Các cách ti
ếp cận giải bài
toán OneDCSP
Cách ti

ếp cận chính
xác
D
ựa trên mô hình nới
l
ỏng liên tục
K
ỹ thuật B&P
Cách ti
ếp cận heuristic
Cách ti
ếp cận lai ghép
D
ựa trên
Metaheuristic
và ti
ếp cận chính xác
Pure-heuristic
D
ựa trên tìm
ki
ếm cục b
ộ
Metaheuristic
S
ử dụng công cụ
toán h
ọc
để hạn chế
cực trị địa phương

- Phương pháp t
ạo
sinh c
ột của
Gilmore&Gomory
- Mô hình arc-flow
c
ủa Carvalho
- Các thu
ật toán cải
biên (Belov,…)
- First-Fit
Decreasing
- Next-Fit
Decreasing
- Best-Fit
Decreasing
- Worst-Fit
Decreasing
- Gi
ải thuật di truyền
- L
ập trình tiến hóa
- Thu
ật toán tiến hóa
- Gi
ải thuật
đàn kiến
- Mô ph
ỏng tôi luyện

- Tabu Search
Thu
ật toán
GA-AF
7
Theo hiểu biết của tác giả, cho đến nay chưa có một công trình nào liên quan đến
gi
ải bài toán
OneDCSP_M thu
ộc lớ
p th
ứ nhất (không có hạn chế về số l
ượng vật
li
ệu thô) được công bố. Bài toán này cũng chính là đối tượng nghiên cứu đặt ra cho
b
ản
lu
ận án
này.
Lu
ận án này
nh
ằm đóng g
óp m
ột phương pháp
hi
ệu quả để giải
bài toán
OneDCSP_M xu

ất phát từ mô hình của Gilmore
và Gomory, v
ới
điều kiện
ngu
ồn
nguyên li
ệu không bị giới hạn
. Nh
ững đóng góp chính của tác giả
trong lu
ận án
này
bao g
ồm:
- Ti
ến hành phân tích mối liên quan ngữ nghĩa của
bài toán OneDCSP_M v
ới
bài toán c
ắt trên một loại vật liệu thô
(One Dimensional Cutting Stock
Problem with Single Stock Sizes - OneDCSP_S). T
ừ đó đưa ra một cách
phát bi
ểu mới của bài toán cắt vật tư với nhiều kích cỡ vật liệu thô
OneDCSP_M
- Trên cơ s
ở phát biểu mới của bài
toán OneDCSP_M và nh

ững mối liên quan
ng
ữ nghĩa với bài toán
OneDCSP_S, đ
ề xuất lai ghép
gi
ải thuật di truyền
v
ới
k
ỹ thuật
phân nhánh và đ
ịnh giá
theo mô hình Arc-Flow t
ạo nên
thu
ật
toán GA-AF gi
ải hiệu quả bài toán
OneDCSP_M. Tính đúng đ
ắn của thuật
toán đư
ợc chứng minh bằng lý thuyết.
Tính hi
ệu quả được kiểm chứng trên
m
ột số l
ượng tương đối lớn các bài toán
m
ẫu

.
- Để nâng cao hiệu quả khi giải các bài toán thực tế, thuật toán GA-AF được
cài đ
ặt d
ưới dạng một hệ thống đa tác tử
th
ực hiện các tính toán song song
và phân tán nh
ằm
t
ận dụng tài nguyên tính toán của mạng cục bộ
(LAN).
Tính đúng đ
ắn của hệ thống
được chứng minh chặt chẽ.
Tính hi
ệu quả của
h
ệ thống được phân tích bằng toán học cũng như trong môi trường triển
khai th
ực tiễn
.
Các k
ết quả được chính được trình bày trong
4 công trình công b
ố trên tạp chí
chuyên ngành và h
ội thảo quốc tế
.
C

ấu
trúc c
ủa Luận án như sau:
8
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận chung, luận án được chia làm 3 chương.
Chương 1 trình bày các công c
ụ toán học
cơ s
ở nhằm giải quyết bài toán
đặt ra ở
chương sau. Ph
ần thứ nhất của chương trình bày
các mô hình và thu
ật giải
chính
xác cho bài toán c
ắt vật t
ư với một loại vật liệu thô. Phần thứ hai
trình bày tóm t
ắt
m
ột số vấn đề cơ bản của
gi
ải thuật di truyền.
Trong chương 2, tác gi
ả
phân tích m
ối liên quan ngữ nghĩa giữa bài toán
OneDCSP_M và bài toán OneDCSP_S. K
ết quả cho thấy việc cắt vật tư với nhiều

kích thư
ớc vật liệu thô sẽ mang lại hiệu quả hơn so với trường hợp chỉ có một loại
v
ật liệu thô
và từ
đ
ó đề xuất một mô hình m
ới cho bài toán
OneDCSP_M. Các phân
tích đó c
ũng làm cơ sở cho việc lai ghép
gi
ả
i thu
ật di truyền
(GA) v
ới
thu
ật toán
phân nhánh và đ
ịnh giá theo
mô hình Arc-Flow (AF) c
ủa Carvalho
đ
ể tạo nên thuật
toán m
ới GA
-AF gi
ải bài toán
OneDCSP_M. Tính đúng đ

ắn của thuật toán GA
-AF
được chứng minh chặt chẽ. Tính hiệu quả của thuật toán cũng được kiểm chứng trên
t
ập
các bài toán m
ẫu do Belov
[11] đưa ra.
Phát bi
ểu mới
c
ủa bài toán
OneDCSP_M trong chương 2 đ
ã phân rã bài toán
thành nhi
ều bài toán con có thể giải quyết một cách độc lập bằng
thu
ật toán phân
nhánh và đ
ịnh giá
theo mô hình AF. T
ừ
đó
, trong chương 3, tác gi
ả
đã cài đặt thuật
toán dư
ới dạng một hệ thống đa tác tử
GMAS-OneDCSP_M nh
ằm n

âng cao hi
ệu
qu
ả trong ứng dụn
g th
ực tiễn.
Tính đúng đ
ắn của hệ thống
được chứng minh
; hi
ệu
quả của nó được phân tích chặt chẽ và được kiểm chứng bằng việc triển khai thử
nghi
ệm
trong môi trư
ờng công nghiệp.
9
Chương 1. CÁC KI
ẾN THỨC C
Ơ SỞ LIÊN QUAN
Chương này trình bày tóm t
ắt
nh
ững công cụ toán học liên quan làm cơ sở
cho
vi
ệc xây dựng giải pháp cho
bài toán OneDCSP_M đư
ợc
đưa ra trong các Chương

tiếp theo. Phần thứ nhất giới thiệu bài toán cắt vật tư một chiều với một loại vật liệu
thô OneDCSP_S v
ới hai mô hình giải bài toán: mô hình của Gilmore
-Gomory và
mô hình Arc-Flow c
ủa Carvalho.
Ph
ần tiếp theo của chương đề cập những nội dung
cơ b
ản của
thu
ật toán di truyền.
1.1. Bài toán c
ắt vật tư một chiều với một loại vật liệu thô và thuật giải
Bài toán c
ắt vật tư một chiều kinh điển (bài toán cắt vật tư
m
ột
chi
ều với một loại
v
ật liệu thô
– One Dimensional Cutting Stock Problem with Single Stock Length
OneDCSP_S) đư
ợc xác định b
ởi các dữ liệu sau:
(m,L,l=(l
1
,…,l
m

),b=(b
1
,…,b
m
)),
trong đó :
- m là s
ố dạng vật liệu thành phẩm được cắt từ vật liệu thô
- L là b
ề rộng của tấm vật liệu thô
- Đối với mỗi dạng vật liệu thành phẩm j :
+ l
j
là b
ề rộng
+ b
j
là đơn hàng cho lo
ại vật
li
ệu thành phẩm đó.
Bài toán đặt ra là tìm cách cắt sao cho số lượng tấm vật liệu thô sử dụng là ít nhất
mà v
ẫn đáp ứng được
yêu c
ầu của
đơn hàng.
Ở
đây, các khái ni
ệm vật liệu thô, vật tư, nguyên liệu đầu vào của bài toán được

hi
ểu với nghĩa tương đương.
Tương t
ự, hai thuật ngữ
thành ph
ẩm và sản phẩm cũng
mang ý ngh
ĩa t
ương
đương.
10
Hình 1-1 Các phương án c
ắt trong bài toán
OneDCSP_S
Bài toán OneDCSP l
ầ
n đ
ầu tiên được
Kantorovich [35] phát bi
ểu dưới dạng bài
toán quy ho
ạch nguyên và
được chứng minh thuộc lớp bài toán NP
-Hard. Sau đó
nhi
ều tác giả đã xây dựng các mô hình khác như mô hình của Gilmore
-Gomory
[26], mô hình Arc-flow c
ủa Valerio de Carvalho [
55], mô hình Node-flow c

ủa
Belov [14]…nh
ằm khắc phục tính nới lỏng liên tục yếu cũng như tính đối xứng của
mô hình Kantorovich, đ
ồng thời tận dụ
ng các thông tin c
ấu trúc của không gian
nghi
ệm nhằm xây dựng các thuật toán giải chính xác cho bài toán. Sau đây là hai
mô hình g
ốc thường được sử dụng khi nghiên cứu bài toán.
1.1.1. Mô hình Gilmore-Gomory
Đ
ịnh nghĩa 1.1
M
ột phương án cắt
là m
ột véc tơ cột
 
1
, ,
j m
j mj
a a a

 
, j=1,…,n
v
ới
a

ij
là s
ố lần thành phẩm thứ
i đư
ợc cắt theo phương án cắt
j t
ừ tấm vật
li
ệu thô. Ph
ương án cắt gọi là chấp nhận
đư
ợc
n
ếu nó thỏa mãn
đi
ều ki
ện:



m
i
iji
Lal
1
(1.1)
Gi
ả sử
njx
j

, ,1, 
là s
ố lần phương án cắt chấp nhận được
th
ứ
j đư
ợc sử dụng
trong nghi
ệm. Khi
đó mô hình
bài toán c
ắt vật t
ư một chiều với một loại vật liệu thô
c
ủa Gilmore và Gomory được phát biểu như sau:
xxblLmSOneDCSP
n
j
j
minmin),,,(_
1



(1.2)
L
l
i
Phương án cắt j
a

ij
L
l
i
a
i1
. . .
. . .
Phương án cắt 1
11
trên miền ràng buộc:
1
n
ij j i
j
a x b



i=1,…,m (1.3)
j
x


, j=1,…,n (1.4)
Mô hình (1.1)-(1.4) là bài toán quy ho
ạch nguyên với số l
ượng biến
n tăng theo
hàm mũ của m. Mô hình này khắc phục được tính đối xứng của mô hình

Kantorovich và có n
ới lỏng liên tục mạnh với dự
đoá
n v
ề tính chất làm tròn nguyên
c
ải biên (
Modified Integer Round-Up Property – MIRUP) như sau:
“S
ự sai khác giữa giá trị tối
ưu của bài toán
),,,(_ blLmSOneDCSP
và giá tr
ị tối
ưu c
ủa bài toán
n
ới lỏng
liên t
ục của nó luôn luôn nhỏ h
ơn 2”
Trong th
ực tế
ngư
ời ta chưa chỉ ra được các ví dụ có sự sai khác lớn hơn 7/6
[44].
Hơn n
ữa
, nh
ững ví dụ có sai khác nhỏ h

ơn 1 chiếm đa số. Những bài toán như vậy
đư
ợc gọi là các bài toán có tính chất làm tròn nguyên (
Integer Round-Up Property –
IRUP). Nh
ững bài toán có
sai khác l
ớn h
ơn hoặc bằng 1 được gọi là những bài toán
non-IRUP.
Trên cơ s
ở dự
đoán đó, Gilmore và Gomory đề xuất cách tiếp cận giải bài toán
(1.1)-(1.4) g
ồm 2 bước: 1/ giải bài toán nới lỏng liên tục của
(1.1)-(1.4); 2/ Làm
tròn s
ố nghiệm tối
ưu của bài
toán n
ới lỏng liên tục
để nhận được nghiệm của bài
toán (1.1)-(1.4).
Đ
ể giải bài toán nới lỏng liên tục của
(1.1)-(1.4) v
ới số l
ượng biến
n r
ất lớn,

Gilmore và Gomory l
ần đầu tiên đề xuất sử dụng kỹ thuật tạo sinh cột
, trong đó m
ỗi
bi
ến chỉ được sinh ra
khi nó th
ực sự cần thiết cho việc cải thiện nghiệm tìm được
trư
ớc đó. Sau khi thêm vào các biến
ph
ụ
(slacks) ta có th
ể đưa bài toán
(1.1)-(1.4)
v
ề dạng chuẩn:
 
_ ( , , , ) min : ,
n
OneDCSP S m L l b x Ax b x

  
(1.5)
12
Nới lỏng liên tục của (1.5) nhận được bằng cách loại bỏ ràng buộc nguyên trên
các bi
ến và
được gọi là bài toán chủ (Master Problem
- MP) s

ẽ có dạng:
 
_ ( , , , ) min : ,
LP n
OneDCSP S m L l b x Ax b x

   
(1.6)
Xu
ất phát, kỹ thuật tạo sinh cột sẽ làm việc với một tập con các cột
c
ủa
A đư
ợc
g
ọi là bài toán chủ hạn chế (
Restricted Master Problem - RMP). RMP có th
ể được
kh
ởi tạo dễ dàng, ví dụ bởi cơ sở
ki
ến thiết
ban đ
ầu của phương pháp đơn hình. Giả
s
ử
A’ là các c
ột trong
A đư
ợc lựa chọn. Khi đó RMP có dạng:

 
_ ( , , , ) min : ' ,
LP n
OneDCSP S m L l b x A x b x

   
(1.7)
Nh
ận xét rằng giá suy giảm của một biến ứng với ph
ương án cắt chấp nhận được
a trong (1.7) đư
ợc xác
định bởi công thức
ua1
, v
ới
m
u


là các giá tr
ị biến
đối
ng
ẫu tối ưu của
(1.7). Do v
ậy việc tìm kiếm cột có thể đóng góp cải thiện giá trị
hàm m
ục tiêu chính là việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán con định giá (
hay là bài

toán x
ếp ba lô
):
 
max : ,
m
ua al L a

 
(1.8)
Nghi
ệm tối ưu của (1.8) sẽ lần lượt được thêm vào RMP nếu giá trị tối ưu tương
ứng của (1.8) lớn h
ơn 1. N
ếu (1.8) không có nghiệm tối ưu như vậy thì nghiệm tối
ưu của bài toán RMP (1.7) chính là nghiệm tối ưu của bài toán MP (1.6).
Trên cơ s
ở ý t
ưởn
g v
ừa trình bày, ph
ương pháp tạo sinh cột giải bài toán quy
ho
ạch tuyến tính cỡ lớn được Gilmore
-Gomory nhúng vào lư
ợc đồ nhánh cận
(Brand and Bound) đ
ể tạo nên
lư
ợc

đồ phân nhánh và định giá
(Branch and Price)
cho vi
ệc
gi
ải bài toán quy hoạch nguyên
OneDCSP_S. Đ
ã có nhiều chiến lược phân
nhánh heuristic khác nhau đư
ợc
đề xuất. Một số chiến lược đó có thể tra cứu trong
[44,58].
13
1.1.2. Mô hình Arc-flow c
ủa Valerio de Carvalho
Valerio de Carvalho [55] l
ần
đầu tiên đề xuất phát biểu lại bài toán
(1.1)-(1.4)
dư
ới dạng một mô hình dựa trên mạng lưới (network
-based model) r
ất sáng sủa với
tên g
ọi Arc
-Flow Model như sau.
Chúng ta xây d
ựng một mạng lưới không chu trình
G=(N,A)
Trong đó:

- N={0,1,…,L} là t
ập các nút
;
-
    
LNuvumiluvNNvuA
i
\/),(, ,1,/),( 
là t
ập các cung
.
Các cung n
ối mỗi cặp nút liên tiếp từ 0 tới
L không ph
ủ bất cứ một thành phẩm
nào. M
ột sản phẩm thứ
i đư
ợc biểu diễn một số lần trên mạng lưới bởi các cung có
đ
ộ dài
v-u=l
i
, i=1,…,m.
Ta ký hi
ệu các biến quyết định
x
uv
là s
ố lượng

các cung thành ph
ẩm có kích
thư
ớc
v-u đư
ợc cắt từ bất cứ tấm vật liệu thô nào tại
nút cách biên trái c
ủa tấm vật
tư u đơn v
ị
.
M
ột
đường đi từ nút khởi đầu 0 tới nút kết thúc
L ch
ứa ít nhất một cung có
độ
dài
l
i
(i=1,…,m) s
ẽ mã hóa một phương án cắt chấp nhận được.
Hình 1-2 Ví d
ụ về mạng l
ưới và phương án cắt với
L=9 và các l
i
{4,3,2}
0
1

2
3
4
5
6
7
8
9
4
2
2
14
Với cách xác định mạng lưới như vậy , bài toán OneDCSP_S sẽ có độ phức tạp
tính toán gi
ả
đa thức (Pseudo
-polynomial) O(mL) và tr
ở thành bài toán tìm luồng
c
ực tiểu sau:
Min z (1.9)
trên mi
ền ràn
g bu
ộc:
i
Aluu
luu
bx
i

i




),(
,
v
ới
i {1,…,m} (1.10)
zx
Avo
v


),(
,0
(1.11)
0
),(),(


 Atv
vt
Avu
uv
xx
v {1,…,L-1} (1.12)
zx
ALu

uL


),(
(1.13)
uv
x


(u,v)A (1.14)
N
ếu ta áp dụng phân rã Dantzig
-Wolfe (bi
ểu diễn một
điểm trong đa diện bằng tổ
h
ợp lồi của các điểm cực cộng với một tổ hợp tuyến tính không âm của các tia cực)
vào bài toán (1.9)-(1.14) và gi
ữ ràng buộc (1.10) trong bài toán chủ thì bài toán con
xác đ
ịnh
b
ởi (1.11)
-(1.14) là bài toán lu
ồng với không gian nghiệm tương ứng với
các lu
ồng chấp nhận được giữa nút khởi đầu 0 và nút kết thúc
L. Bài toán con này
th
ể hiện ràng buộc bảo toàn luồng (flow conservation con

strain) v
ới lượng cung cấp
v
ật tư chưa biết
z từ
điểm khởi đầu và đáp ứng yêu cầu tại điểm kết thúc. Cho các
nhân t
ử đối ngẫu

i
, i=1,…,m gán v
ới ràng buộc (1.10), bài toán con định
giá tr
ở
thành:




Aluu
luui
i
i
xzMin
),(
,

(1.15)
trên mi
ền ràng buộc (1.11)

-(1.14)
Th
ực chất, biến
z có th
ể được coi như cung phản hồi từ nút kết thúc
L t
ới nút
kh
ởi đầu 0 (cũng có thể ký hiệu là
x
w0
) và các nghi
ệm của bài toán con như là luồng
15
chu trình được tạo nên bởi đường đi từ nút khởi đầu 0 tới nút kết thúc L và cung x
w0
.
Như v
ậy có một t
ương ứng 1
-1 gi
ữa các chu trình và các
đường đi. Nếu chúng ta coi
các nghi
ệm của bài toán con như các chu trình, các ràng buộc của bài toán con xác
đ
ịnh một hệ thuần nhất và không giới nội.
Do đó, đa di
ện t
ương ứng có một điểm

c
ực duy nhất là nghiệm 0 và một số hữu hạn các tia cực là các chu trình có hướng,
m
ỗi chu trình t
ương ứng với một phương án cắt chấp nhận được. Bài toán con chỉ
sinh ra các tia c
ực và việc thay thế chúng vào (1.9) và (
1.10) s
ẽ tạo nên mô hình
Gilmore-Gomory (1.2)-(1.4) g
ồm tổ hợp tuyến tính không âm của các phương án
c
ắt và không có ràng buộc lồi. Do hai mô hình là tương đương nên các cận dưới của
các n
ới lỏng tuyến tính liên tục của chúng là bằng nhau, tức là mô hình a
rc flow
c
ũng có nới lỏng tuyến tính mạnh sau khi áp dụng phân rã Dantzig
-Wolfe.
Bài toán con đ
ịnh giá (1.15) với miền ràng buộc (1.11)
-(1.14) là bài toán tìm
đường đi ngắn nhất trên một mạng lưới có kích thước giả đa thức và có thể được
gi
ải bởi thuật t
oán quy ho
ạch động và nghiệm tối ưu của nó cũng là nghiệm tối ưu
c
ủa bài toán xếp ba lô (1.8) [
55].

Ưu đi
ểm của mô hình
này là hoàn toàn không làm thay đ
ổi cấu trúc của bài toán
ch
ủ và các bài toán con khi tạo nới lỏng tuyến tính liên tục cũng nh
ư trong qu
á trình
th
ực hiện chiến lược phân nhánh và định giá.
Ta nh
ận
th
ấy
r
ằng, mô hình trên có nh
ược điểm là tính đối xứng. Để loại bỏ điều
đó, Valerio de Carvalho đề xuất các thành phẩm được cắt theo chiều giảm của kích
thư
ớc, tức là các cung t
ương ứng với các t
hành ph
ẩm có kích th
ước lớn hơn sẽ được
x
ếp ở gần nút 0 hơn và phế thải được dồn về phía nút
L.
T
ừ
đó, Valerio de Carvalho đã đề xuất thuật toán giải chính xác bài toán

OneDCSP_S v
ới ý tưởng chính như sau:
Chi
ến l
ược phân nhánh:
Gi
ả sử
x
pq
là m
ột biến lu
ồng trong mô hình arc flow. Như v
ậy,
m
ột phương án cắt
trong mô hình Gilmore-Gomory tương
ứng sẽ đóng góp cho biến luồng
x
pq
n
ếu nó
có m
ột thành phẩm kích thước
q-p đư
ợc cắt từ điểm bắt đầu là
p. Nếu ta ký hiệu
16
A(p,q) là tập tất cả các phương án cắt trong mô hình của Gilmore-Gomory chứa
thành ph
ẩm có

độ dài
q-p t
ại
điểm có khoảng cách
p t
ừ biên trái của vật liệu và các
x
j
là các bi
ến quyết định của mô hình này, ta có thể xác định giá trị của biến luồng
x
pq
như sau:



),( qpAj
jpq
xx

(1.16)
N
ếu
 không nguyên, ta t
ạo 2 nhánh tương ứng với các bất đẳng thức
x
pq
≤ 
và x
pq

≥  đ
ối với một cung đơn tại vị trí (
p,q). Nói cách khác các ràng bu
ộc phân
nhánh ch
ỉ tác
động tớ
i các phương án c
ắt có cung tại vị trí (
p,q). Khi đó ta có bài
toán OneDCSP_S trên nút w b
ất kỳ có dạng sau:

Jj
j
xMin
(1.17)
trên mi
ền ràng buộc:



Jj
ijij
bxa
, i=1,…,m (1.18)
 




Jj
wl
ijj
l
j
Glxx ,

(1.19)
 



Jj
wl
ijj
l
j
Hlxx ,

(1.20)
x
j
≥0, jJ (1.21)
ở
đây
G
w
và H
w
là các t

ập hợp chỉ số của các ràng
bu
ộc phân nhánh có dạng ≤ và ≥
tương
ứng;
l
ij
x
là các giá tr
ị không nguyên của luồng 0<
l
ij
x
<b
i
;
l
j

=1 n
ếu cung
(i,i+l
i
) thu
ộc phương án cắt
j và b
ằng 0 nếu ngược lại;
J là t
ập tất cả các phương án
c

ắt chấp nhận
được. Ta thấy (1.17)
-(1.18) chính là mô hình c
ủa Gilmore
-Gomory;
(1.19)-(1.20) là các ràng bu
ộc phân nhánh.
Như v
ậy
, m
ỗi nút của cây sẽ t
ương ứng với cùng một mô hình Gilmore
-Gomory
(phân rã Dantzig-Wolfe c
ủa mô hình Arc flow) (1.17)
-(1.18) v
ới việc bổ sung các
ràng bu
ộc phân nhánh dựa trên các biến luồng (1.19)
-(1.20).