Tài liệu Luận văn:Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng ppt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
Dương Thị Thu Thuý
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐA THỨC THỰC
VÀ ÁP DỤNG
Luận văn thạc sỹ toán học
Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số
: 60 46 40
Người hướng dẫn khoa học
:
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Quy Nhơn, năm 2008
0
Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8
2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20
Kết luận 23
Tài liệu tham khảo 24
1
Lời nói đầu
Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong
đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh)
khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một

nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số
thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những
kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi
là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa
vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát
khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức
biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là
định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo
hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức
P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P

(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k
nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
F
1
(x)=
x

x
1
P (t)dt (1)
có đủ k +1 nghiệm thực?
Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ
cho một nguyên hàm cấp s (s>1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
F
s
(x)=
x


x
s
F
s−1
(x)dt (2)
có đủ k + s nghiệm thực?
2
Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý
đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp
đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị
của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được
thoả mãn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương
Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến
thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai
là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm
kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo,
tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ
ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên
hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa
thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm
đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18
1.19 ).
Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương
này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có
dạng đặc biệt và đưa ra cách "nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận
được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình
bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối
cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số
dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt
nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong
suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào
tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy
Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này.
3
Hệ thống các ký hiệu
sử dụng trong luận văn
- deg f (x) là bậc của đa thức f(x).
- F
0
(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f (x) ứng với hằng số c =0,
tức là F
0
(x) thoả mãn điều kiện F
0
(0) = 0.
- F
c
(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là F
c
(x)=F
0
(x)+c với c ∈ R.
- F

0,k
(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c =0,
tức là F
0,k
(x) thoả mãn điều kiện F
0,k
(0) = 0.
- F
c,k
(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c,
tức là F
c,k
(x)=F
0,k
(x)+c với c ∈ R.
- H
n
là tập hợp đa thức với hệ số thực P
n
(x) bậc n (n>0) với hệ số tự do bằng 1
(P
n
(0) = 1) và có các nghiệm đều thực.
- M
k
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f (x).
- R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực.
- sign a là dấu của số thực a, tức là
sign a :=










+ khi a>0
0 khi a =0
− khi a<0.
4
Chương 1
Định lý dạng Viète và các tính chất
liên quan
1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức
Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng
P
n
(x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a

0
,
trong đó các hệ số a
n
,a
n−1
, ,a
0
là những số thực (hoặc phức)
và a
n
=0,n∈ N.
Ta kí hiệu
i.Bậc của đa thức P
n
(x) là deg P
n
(x). Do vậy deg P
n
(x)=n.
ii. a
n
- hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức.
Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức P
n
(x) với các hệ số của nó
đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là
R[x].
Định nghĩa 1.2. Cho đa thức
P

n
(x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
(a
n
=0),
số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức P
n
(x) nếu P
n
(α)=0. Nếu tồn tại k ∈
N,k>1, sao cho P
n
(x)
.
.
.(x − α)
k
nhưng P
n

(x) không chia hết cho (x − α)
k+1
thì α
được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x).
5
Đặc biệt, khi k =1thì α đượ c gọi là nghiệm đơn, k =2thì α được gọi là nghiệm
kép.
Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó.
Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n  1 trên trường C đều có đúng n nghiệm
nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó.
Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính a
n
=0, đều có thể
phân tích thành nhân tử dạng
f(x)=a
n
m

j=1
(x − d
i
)
s

k=1
(x
2
+ b
k
x + c

k
)
với d
i
,b
k
,c
k
∈ R, 2s + m = n, b
2
k
− 4c
k
< 0,m,n ∈ N
∗
.
Hệ quả 1.1.
(1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn.
(2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f(x) là một đa thức bậc
chẵn.
(3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k  n thì n và k cùng tính chẵn lẻ.
(4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực.
Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực.
Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] đều xác
định và liên tục trên R. Ngoài ra, khi
P
n
(x)=a
n
x

n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
,a
n
=0,
và x → +∞ thì P (x) → sign (a
n
)∞.
Khi x →−∞thì P(x) → (−1)
n
sign (a
n
)∞.
Tiếp theo, ta xét một số tính chất của đa thức đạo hàm.
Định lý 1.8. Nếu x
0
là nghiệm bội bậc s (s ∈ N,s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và
x
0
cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x
0
là nghiệm bội bậc s +1 của
đa thức nguyên hàm F (x).

6
Ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes .
Xét dãy số thực a
0
,a
1
,a
2
,
Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy
nếu có a
m−1
a
m
< 0 hoặc là
a
m−1
= a
m−2
= ···= a
m−(k−1)
=0 trong đó a
m−k
a
m
< 0(m  k  2).
Trong trường hợp thứ nhất thì a
m−1
và a
m

, còn trong trường hợp thứ 2 thì a
m−k
và
a
m
lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào
đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại
vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng.
Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức
P (x)=a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ ···+ a
1
x + a
0
chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý
a
n
,a
n−1
, ,a
1
,a
0

.
Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của
đa thức
f(x)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
n
x
n
và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W  N và W − N là một
số chẵn.
Tính chất 1.8. Cho đa thức f(x)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ···+ a
n
x
n
(a

n
=0)có các
nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a
0
,a
1
, ,a
n
và N là số
không điểm dương của đa thức f( x) thì W = N.
1.2 Các định lý dạng Viète
Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều
thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta
đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy
7
nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong
chương trình toán của bậc phổ thông.
Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa
thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết
quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa
thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các
nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp.
Bổ đề 1.2 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai).
Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x)=3x
2
− 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi
các hệ số b, c có dạng




b = α + β + γ
c = αβ + βγ + γα.
(1.1)
trong đó α,β,γ ∈ R.
Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với đa thức bậc 3).
Đa thức bậc 3 với hệ số thực f(x)=−4x
3
+3ax
2
− 2bx + c có các nghiệm đều thực
khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng









a = α + β + γ + δ
b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
(1.2)
trong đó α,β,γ,δ ∈ R.
Ví dụ 1.1. Cho α =1,β= −1,γ=2,δ=4thay vào công thức (1.2) ta thu được
a = −5,b=5,c= −5.
Khi đó đa thức f(x)=−4x
3
+15x

2
− 10x − 5 có 3 nghiệm thực là
x
1
≈−0, 33; x
2
≈ 1, 47; x
3
≈ 2, 61.
Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm
F (x)=−x
4
+5x
3
− 5x
2
− 5x +6
có bốn nghiệm thực (x
1
= −1,x
2
=1,x
3
=2,x
4
=3).
Đối với các nhị thức bậc nhất ta luôn chọn được nguyên hàm là các tam thức
bậc hai có nghiệm thực, kết hợp với bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3, ta có hệ quả sau đây.
8
Hệ quả 1.3. Mọi đa thức bậc nhỏ hơn 4 có các nghiệm đều thực luôn tồn tại nguyên

hàm cũng có các nghiệm đều thực.
Đối với các đa thức có bậc n (n  4) thì điều kiện cần để ứng với một đa thức
có các nghiệm đều thực cho ta ít nhất một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực
sẽ được trình bày ở mục sau. Tuy nhiên, từ hệ quả (1.2), ta có ngay điều kiện đủ cho
các đa thức có bậc tuỳ ý.
Định lý 1.10 (Định lý dạng Viète tổng quát). Đa thức
f(x)=(n +1)x
n
+(−1)na
1
x
n−1
+(−1)
2
(n − 1)a
2
x
n−2
+ ···+(−1)
n
a
n
với các hệ số a
1
,a
2
, ,a
n
có dạng
a

k
= E
k
(¯x),k=1, 2, ,n (1.3)
luôn luôn có các nghiệm đều thực, trong đó E
k
(¯x) là các hàm đối xứng Viète bậc k
theo các biến thực x
1
,x
2
, ,x
n+1
,
1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên
hàm
Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f(x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số
nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực. Vì vậy, tuy đa thức đã cho có
các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất
đó.
Về sau, để ngắn gọn trong cách trình bày, ta gọi mỗi nguyên hàm của một đa
thức là đa thức nguyên hàm.
Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức
f(x)=
m

k=1
(x − x
k
)

r
k
,x
1
 x
2
 ··· x
m
,r
1
+ ···+ r
m
= n
sẽ có ít nhất một nguyên hàm (đa thức nguyên hàm) của nó có các nghiệm đều thực?
Đối với đa thức có bậc tuỳ ý, định lý 1.10 đã cho ta câu trả lời của điều kiện đủ.
Ta dễ dàng chỉ ra điều kiện cần (bổ đề 1.2 vàbổđề1.3) cho các đa thức có bậc không
9
vượt quá 3. Tuy nhiên đối với các đa thức có bậc lớn hơn 3 thì bài toán trở nên phức
tạp hơn nhiều.
Chẳng hạn, ta xét đa thức bậc 4
f(x)=x
4
− 2x
3
+ x
2
có bốn nghiệm thực (x
1
= x
2

=0,x
3
= x
4
=1)nhưng nguyên hàm
F
c
(x)=
1
5
x
5
−
1
2
x
4
+
1
3
x
3
− c
có số nghiệm thực không vượt quá 3 với mọi c ∈ R.
Thật vậy, do hàm số f (x)=x
2
(x − 1)
2
 0, ∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đồng
biến, vì thế với mọi c ∈ R thì đường thẳng y = c cắt đồ thị của hàm số

F
0
(x)=
1
5
x
5
−
1
2
x
4
+
1
3
x
3
tại duy nhất một điểm. Đặc biệt, nếu chọn c =0thì giao điểm trên là điểm bội 3.
Tiếp theo ta xét đa thức
f(x)=5x
4
+5x
3
− 65x
2
− 5x +60
có bốn nghiệm phân biệt x
1
= −4,x
2

= −1,x
3
=1,x
4
=3.
Suy ra nguyên hàm
F
0
(x)=x
5
+
5
4
x
4
−
65
3
x
3
−
5
2
x
2
+60x
đạt cực đại tại các nút x
1
= −4,x
3

=1và đạt cực tiểu tại các nút x
2
= −1,x
4
=3.
Sau đây là đồ thị của nguyên hàm F
0
(x).
10
Quan sát đồ thị ta thấy số nghiệm của nguyên hàm F
c
(x)=F
0
(x) − c phụ thuộc
vào giá trị của hằng số c như sau:
- Nếu c<F
0
(x
2
) hoặc c>F
0
(x
3
) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F
0
(x)
tại không quá ba điểm. Khi đó, nguyên hàm F
c
(x) có không quá ba nghiệm thực.
- Nếu F

0
(x
2
)  c  F
0
(x
3
) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F
0
(x) tại 5
điểm (kể cả điểm bội). Suy ra nguyên hàm F
c
(x) có tất cả các nghiệm đều thực.
Vậy với điều kiện nào thì một đa thức bậc 4 có các nghiệm đều thực sẽ cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực?
Ta có câu trả lời dưới dạng bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.4. Giả sử đa thức
f(x)=5(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)(x − x
4
),x
1
 x
2
 x

3
 x
4
có nguyên hàm F
0
(x) là đa thức bậc 5 với hệ số thực
F
0
(x)=x
5
− a
1
x
4
+ a
2
x
3
− a
3
x
2
+ a
4
x.
Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại hằng số thực c sao cho nguyên hàm
F
c
(x)=F
0

(x) − c
có các nghiệm đều thực là
F
0
(x
1
)  F
0
(x
4
). (1.4)
Sau đây là điều kiện để một đa thức bậc cao có các nghiệm đều thực cho một
nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực.
Định lý 1.11. Giả sử f(x) là đa thức bậc n (n  4) có các nghiệm đều thực
f(x)=(−1)
n
(n + 1)(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
) ···(x − x
n
),x
1
 x
2
 x
3

 ··· x
n
;
F
0
(x) là một nguyên hàm của f(x) thoả mãn điều kiện F
0
(0) = 0. Khi đó, điều kiện
cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho nguyên hàm
F
c
(x)=F
0
(x) − c
có các nghiệm đều thực là
max
1≤i≤
[
n
2
]
F
0
(x
2i
)  min
0≤j≤
[
n−1
2

]
F
0
(x
2j+1
).
11
Nhận xét rằng, định lý 1.11 đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để các đa thức có các
nghiệm đều thực tồn tại nguyên hàm bậc 1 cũng có các nghiệm đều thực. Vấn đề tiếp
theo được đặt ra: Với điều kiện nào thì đa thức có các nghiệm đều thực có số nghiệm
thực tăng lên theo mỗi cấp của nguyên hàm?
Dễ dàng nhận thấy, đối với các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, tính chất
trên hiển nhiên đúng. Sau đây ta khảo sát các đa thức bậc cao hơn.
Định lý 1.12. Giả sử f(x) ∈ R[x] là đa thức bậc n (n  4) có n nghiệm thực
f(x)=(−1)
n
(x − x
0,1
)(x − x
0,2
) (x − x
0,n
),x
0,1
 x
0,2
 ··· x
0,n
.
Gọi M

k
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, điều kiện cần
và đủ để tồn tại đa thức F
c,k
(x) ∈ M
k
(f) có n + k nghiệm thực là
max
1≤i≤
[
n+k−1
2
]

(−1)
k+1
F
0,k
(x
k−1,2i
)

 min
0≤j≤
[
n+k−2
2
]

(−1)

k+1
F
0,k
(x
k−1,2j+1
)

(1.6)
trong đó x
k−1,i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1,
F
0,k
(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thoả mãn điều kiện F
0,k
(0) = 0 và F
0,0
(x)=
f(x).
Sau đây ta mở rộng định lý 1.11 cho các đa thức có số nghiệm thực nhỏ thua
hoặc bằng bậc của đa thức đó.
Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt ứng với các đa thức có số nghiệm
thực khá nhỏ.
Bổ đề 1.5. ứng với mọi đa thức f ( x) ∈ R[x] có một nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất hai nghiệm thực.
Bổ đề 1.6. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực cho trước đều tồn
tại nguyên hàm có ít nhất ba nghiệm thực.
Bổ đề 1.7. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực cho trước đều tồn tại
nguyên hàm có ít nhất bốn nghiệm thực.
Các bổ đề nêu trên khẳng định rằng mọi đa thức có không quá ba nghiệm thực

cho trướ c luôn tồn tại nguyên hàm có nhiều hơn đa thức đó ít nhất một nghiệm thực.
Tuy nhiên, đối với các đa thức có số nghiệm thực lớn hơn ba tính chất đó không còn
đúng nữa.
12
Chẳng hạn, xét đa thức f(x)=x
6
− x
4
− x
2
+1có bốn nghiệm thực
x
1
= x
2
= −1,x
3
= x
4
=1
nhưng nguyên hàm F
c
(x)=
1
7
x
7
−
1
5

x
5
−
1
3
x
3
+ x − c có không quá 3 nghiệm thực với
mọi c ∈ R.
Sau đây, ta khảo sát tiếp các điều kiện để mọi đa thức có bốn nghiệm thực thoả
mãn các điều kiện đó đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất năm nghiệm thực.
Bổ đề 1.8. Giả sử đa thức
f(x)=(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
)(x − x
4
)g(x),x
1
 x
2
 x
3
 x
4
,
trong đó g(x) > 0 ∀x ∈ R. Giả sử F

0
(x) là một nguyên hàm của đa thức f (x) thoả
mãn điều kiện F
0
(0) = 0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho
nguyên hàm
F
c
(x)=F
0
(x) − c
có ít nhất 5 nghiệm thực là
F
0
(x
1
)  F
0
(x
4
). (1.5)
Ta phát biểu kết quả mở rộng định lí 1.11 và bổ đề 1.8 dưới dạng định lý sau
đây.
Định lý 1.13. Giả sử đa thức f (x) bậc n (n  5) có s (5  s  n) nghiệm thực có
dạng
f(x)=(−1)
n
(x − x
1
)(x − x

2
)(x − x
3
) ···(x − x
s
)g(x),x
1
 x
2
 x
3
 ··· x
s
,
trong đó g(x ) =0, ∀x ∈ R.
Giả sử F
0
(x) là một nguyên hàm của f (x) thoả mãn điều kiện F
0
(0) = 0. Khi đó
điều kiện cần và đủ để tồn tại c ∈ R sao cho nguyên hàm
F
c
(x)=F
0
(x) − c
có ít nhất s +1 nghiệm thực là
max
1≤i≤
[

s
2
]
F
0
(x
2i
)  c  min
0≤j≤
[
s−1
2
]
F
0
(x
2j+1
). (1.12)
13
Định lý 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết sự tồn tại nguyên hàm cấp 1 của đa
thức f (x) sao cho nguyên hàm đó nhiều hơn đa thức f(x) một nghiệm thực. Nhưng
khi cấp của nguyên hàm tăng lên thì có tồn tại hay không dãy nguyên hàm có số
nghiệm thực cũng tăng lên theo cấp của nó?
Trước hết ta xét các đa thức có số nghiệm thực nhỏ hơn 4.
Định lý 1.14. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có 1 nghiệm thực. Gọi M
s
(f) là tập hợp
các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều
tồn tại đa thức F
s

(x) ∈ M
s
(f) có ít nhất s +1 nghiệm thực.
Sau đây ta xét các đa thức có hai nghiệm thực theo phương pháp tương tự như
trên.
Định lý 1.15. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực. Gọi M
s
(f) là tập
hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s
đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có (s +2)nghiệm thực.
Định lý 1.16. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực. Gọi M
s
(f) là tập hợp
các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều
tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có s +3 nghiệm thực.
Các định lý 1.14, 1.15, 1.16 đã khẳng định rằng các đa thức có số nghiệm thực
ít hơn 4 luôn tồn tại dãy các nguyên hàm có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi bậc
của nguyên hàm. Tuy nhiên, việc mở rộng các định lý trên cho các đa thức bậc n có
k nghiệm thực tuỳ ý (k<n) chỉ đúng trong các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, ta có:
Định lý 1.17. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm
thực bội m. Gọi M
s

(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f (x ). Khi đó,
ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có s + m nghiệm
thực.
Định lý 1.18. Giả sử đa thức f (x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm
thực phân biệt. Gọi M
s
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi
đó, để ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
s
(f) có s + m
nghiệm thực thì
F
0,i
(x
j
)F
0,i
(x
j+1
) < 0.(j ∈{1, 2 s+ k − 1}; i ∈{1, 2, ,s})
Trong đó x
j
,x
j+1

là hai nghiệm liên tiếp nhau của đa thức nguyên hàm cấp i F
0,i
(x)
14
Bổ đề 1.9. Giả sử đa thức f (x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm thực
x
1
<x
2
< ···<x
α−1
<x
α
= x
α+1
= ···= x
β
<x
β+1
<
< ···<x
γ−1
<x
γ
= x
γ+1
= ···= x
δ
<x
δ+1

< ···<x
m
Gọi M
2
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp 2 của đa thức f (x). Khi đó, tồn tại đa thức
F
2
(x) ∈ M
2
(f) có 2+m nghiệm thực thì c
2
∈

max F
0,2
(x
1
CT
), min F
0,2
(x
1
CD
)

, trong
đó
c
2
= F

0,2
(x
1
α
)=··· = F
0,2
(x
1
β
)=···= F
0,2
(x
1
γ
)=···= F
0,2
(x
1
δ
)(1.13)
với x
1
i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp 1,x
1
CT
(x
1
CD
) là nghiệm của đa thức

F
0,1
(x)=0sao cho F
0,1
(x) chuyển dấu từ (-) sang (+)

tương tự F
0,1
(x) chuyển
dấu từ (+) sang (-)

F
0,2
(x) là nguyên hàm cấp 2 của f(x) thỏa mãn F
0,2
(0) = 0,
F
0,0
(x)=f (x) và
2 ≤ γ − β. (1.14)
Nhận xét 1.1. Tương tự cách chứng minh bổ đề (1.9) chúng ta khái quát được kết
quả tổng quát sau đây :
Định lý 1.19. Giả sử đa thức f (x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m<n) nghiệm
thực
x
1
<x
2
< ···<x
α−1

<x
α
= x
α+1
= ···= x
β
<x
β+1
<
< ···<x
γ−1
<x
γ
= x
γ+1
= ···= x
δ
<x
δ+1
< ···<x
m
Gọi M
k
(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, để ứng với
mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức F
s
(x) ∈ M
k
(f) có k + m nghiệm thực thì
c

k
= F
0,k
(x
k−1
α
)=···= F
0,k
(x
k−1
β
)
= ···= F
0,k
(x
k−1
γ
)=···= F
0,k
(x
k−1
δ
)
∈

max F
0,k
(x
k−1
CT

), min F
0,k
(x
k−1
CD
)

,
trong đó x
k−1
i
là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1,x
k−1
CT
(x
k−1
CD
) là nghiệm của
đa thức F
0,k−1
(x)=0sao cho F
0,k−1
(x) chuyển dấu từ (-) sang (+)

tương tự
F
0,k−1
(x) chuyển dấu từ (+) sang (-)

F

0,k
(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thỏa
mãn F
0,k
(0) = 0,F
0,0
(x)=f (x) và
k ≤ γ − β. (1.17)
15
Chương 2
Tính chất nghiệm của các đa thức
nguyên hàm
2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức
dạng đặc biệt
Nhận xét 2.1. Cho đa thức f (x) với hệ số thực (đa thức thực) bậc n có n nghiệm
thực. Khi đó luôn tìm được điều kiện cần và đủ để tồn tại đa thức nguyên hàm F(x)
của nó có các nghiệm điều thực
Vậy vấn đề đặt ra là: Không phải lúc nào nguyên hàm F (x) cũng có đủ n +1
nghiệm thực, điều đó còn phụ thuộc vào sự phân bố nghiệm của đa thức đã cho f(x).
Ta xét đa thức g(x) bằng cách thêm vào đa thức f(x) các 0-điểm (nghiệm) để khi
đó
x

x
1
g(t)dt
có nhiều hơn đa thức g(x) một nghiệm.
Trước tiên ta sẽ xem xét các đa thức có dạng
f(x)=x
k

0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
,
trong đó
λ
1
<λ
2
< ···<λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n

∈ N
∗
k
i
> 1 k
0
+ k
1
+ k
2
+ ···+ k
n
= N.
16
Định lý 2.1. Cho đa thức
f(x)=x
k
0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n

)
k
n
,
trong đó
λ
1
= λ
2
= ···= λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n
∈ N
∗
k
i
≥ 2,k
0
+ k
1
+ k
2
+ ···+ k
n
= N.

Đặt g(x)=f(x)(x
n
+ B
n−1
x
2
+ B
n−2
x + ···+ B
1
x + B
0
), ta có deg g(x)=N + n. Khi
đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G(x) của g(x) có N +n+1
nghiệm là





















































B
n−1
=
n

i=1
λ
i

N + n − k
i

N + n +1
B
n−2
=
N + n − 1
N + n +1

n

i=0

2

k
i
+1

λ
2
+
n

i=1
i=j

1
k
i
+1

1
k
j
+1

λ
i
λ
j

−
−B
n−1

n

i=0

1
k
i

λ
i
−

n

i=0

2
k
i

λ
2
+
n

j=0
i=j

1
k

i

1
k
j


···
B
1
=
n

i=0
k
0
+2
N + n +1
n

j=1
λ
j
(k
i
+1)− B
0
k
i
λ

i
B
0
=
k
0
+1
N + n +1
n

i=1
λ
i
Ví dụ 2.1. Cho đa thức f(x)=x
2
(x +1)
3
(x − 1)
3
. Đa thức này có một nguyên hàm
tương ứng F
0
(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y =0đi qua F
0
(1) hoặc
đi qua F
0
(1).
Theo bổ đề (2.2),tacók =2,l=3;λ
1

= −1,h=3;λ
2
=1.
Do đó đa thức cần thêm (x
2
−
3
11
), tức là cần thêm vào hai 0−điểm x
1
=

3
11
; x
2
=
−

3
11
, khi đó ta sẽ xét đa thức
g(x)=f(x)(x
2
−
3
11
)=

x

10
−
36
11
x
8
+
42
11
x
6
−
20
11
x
4
−
3
11
x
2
)(x
2
−
3
11

có một nguyên hàm tương ứng là
G
0

(x)=
x
3
11

x
8
− 4x
6
+6x
4
− 4x
2
+1

=
x
3
11
(x − 1)
4
(x +1)
4
có 11 nghiệm thực.
17
Ví dụ 2.2. Cho đa thức f(x)=x
2
(x+1)
3
(x−1)

3
(x+2)
2
. Đa thức này có một nguyên
hàm tương ứng F
0
(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y =0đi qua F
0
(1)
hoặc đi qua F
0
(1). Khi đó ta xét đa thức
g(x)=f(x)(x
3
+
22
14
x
2
−
6
14
x −
6
14
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G
0
(x)=

x
3
14
(x +1)
4
(x − 1)
4
(x +2)
3
có 14 nghiệm thực.
Ta tiếp tục xét các đa thức có dạng
f(x)=x
k
0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
(x + β

1
)(x + β
2
) ···(x + β
m
),
trong đó
λ
1
= λ
2
= ···= λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n
∈ N
∗
k
i
≥ 2,k
0
+ k
1
+ k
2
+ ···+ k

n
= N.
Định lý 2.2. Cho đa thức
f(x)=x
k
0
(x + λ
1
)
k
1
(x + λ
2
)
k
2
···(x + λ
n
)
k
n
(x + β
1
)(x + β
2
) ···(x + β
m
),
trong đó
λ

1
= λ
2
= ···= λ
n
,k
0
,k
1
, ,k
n
∈ N
∗
k
i
≥ 2,k
0
+ k
1
+ k
2
+ ···+ k
n
= N.
Đặt
g(x)=f(x)(x
n
0
+ B
n

0
−1
x
2
+ B
n
0
−2
x + ···+ B
1
x + B
0
),n
0
= n + m − 1.
Ta được
deg g(x)=N +2m + n − 1, đặt deg g ( x)=h − 1.
Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G
0
(x) của g(x) có
18
N + n +2m = h nghiệm là



























































B
n
0
−1
=
(h − 2)E
1
(β)+h
n

i=1

λ
i
−
n

i=1
(k
i
+1)λ
i
h
B
n
0
−2
=
h − 2
h

E
2
1
(β)+2E
1
(β)
n

i=1
(k
i

+1)λ
i
+2E
2
(β)
+
n

i=1

2
k
i
+1

λ
2
i
+
n

i=1
i=j

1
k
i
+1

1

k
j
+1

λ
i
λ
j

− B
n
0
−1

n

i=1
k
i
λ
i
+ E
1
(β)

−
n

i=1


2
k
i

λ
2
i
−
n

i=1

1
k
i

1
k
j

λ
i
λ
j
− E
1
(β)
n

i=1

k
i
λ
i
− E
2
(β)
···
B
1
=
k
0
+2
h
E
m−1
(β)
E
m
(β)
n

i=1
λ
i
+
n

j=1

λ
j
h

n

i=1
k
i
λ
i
E
m
(β)+E
m−1
(β)

B
0
=
k
0
+1
h
n

i=1
λ
i
E

m
(β).
Ví dụ 2.3. Cho đa thức f(x)=x
2
(x +1)
2
(x − 2). Đa thức này có một nguyên hàm
tương ứng F
0
(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y =0đi qua F
0
(0) hoặc đi
qua F
0
(−1).
Ta xét đa thức
g(x)=f(x)(x
2
−
7
8
x −
6
8
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G
0
(x)=
x

3
8

x
5
− x
4
+5x
3
+ x
2
+ x +4

=
x
3
8
(x +1)
3
(x − 2)
2
.
Đa thức G
0
(x)=0có 8 nghiệm thực.
Ví dụ 2.4. Cho đa thức f(x)=x
2
(x +1)
2
(x − 2)(x − 1). Đa thức này có một nguyên

hàm tương ứng F
0
(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y =0đi qua F
0
(0)
hoặc đi qua F
0
(−1).
Ta xét đa thức
g(x)=f(x)(x
3
−
17
10
x
2
−
3
10
x +
6
10
)
có một nguyên hàm tương ứng là
G
0
(x)=
x
3
10


x
7
− 3x
6
− 2x
5
+ x
4
− 11x
2
+4

=
x
3
10
(x +1)
3
(x − 2)
2
(x − 1)
2
.
19
Đa thức G
0
(x)=0có 10 nghiệm thực.
2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của
đa thức nguyên hàm

Các định lý 1.11 và 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết một đa thức có
nghiệm thực cho trước có tồn tại hay không một nguyên hàm có số nghiệm thực nhiều
hơn đa thức đã cho và phương pháp xác định nguyên hàm đó. Nhận xét rằng, phép
tích phân không làm thay đổi dấu của các hạng tử trong đa thức.Như vậy khi hằng
số c ∈ R của nguyên hàm F
c
(x)=F
0
(x) − c xác định, ta có thể đánh giá được số
nghiệm dương, số nghiệm âm của đa thức F
c
(x) dựa vào quy tắc dấu Descartes.
Bài toán 2.3. Cho đa thức f(x)=5x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Xác định hằng số c để
nguyên hàm F
c
(x) của đa thức f(x) có các nghiệm đều thực. Hãy cho biết số nghiệm
dương của đa thức F
c
(x) trong trường hợp đó.
Bài toán 2.4. Cho đa thức f (x)=(−1)
n
(n + 1)(x − x
1
)(x − x
2
)(x − x
3
) ···(x − x
n
),

(x
1
 x
2
 x
3
 ··· x
n
) có n nghiệm thực. Giả sử nguyên hàm F
0
(x) của f(x) thoả
mãn điều kiện
max
1≤i≤
[
n
2
]
F
0
(x
2i
)  min
0≤j≤
[
n−1
2
]
F
0

(x
2j+1)
.
Chứng minh rằng với mọi α ∈ R luôn tồn tại c ∈ R sao cho đa thức F
0
(x) − c + αf(x)
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.5. Cho đa thức x
2
+ αx + β có nghiệm thực với α, β ∈ R và đa thức
f(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F
1
(x),F
2
(x) lần lượt là các
nguyên hàm cấp 1,cấp2 của đa thức f(x) và có các nghiệm đều thực. Chứng minh
rằng đa thức
F
2
(x)+αF
1
(x)+βf (x)
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.6. Cho đa thức x
3
+ αx
2
+ βx + γ có nghiệm thực với α,β,γ ∈ R và
đa thức f (x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F
1

(x),F
2
(x),F
3
(x) lần
lượt là các nguyên hàm cấp 1,cấp2,cấp3 của đa thức f(x) chỉ có các nghiệm thực.
Chứng minh rằng đa thức
F
3
(x)+αF
2
(x)+βF
1
(x)+f (x)
20
có các nghiệm đều thực.
Bài toán 2.7. Cho đa thức P (x) ∈ R[x] sao cho
P (x)+P

(x)=(x + 2)(x +1)x(x − 1)(x − 2).
Chứng minh rằng tồn tại hằng số c ∈ R để hàm số P (x) − ce
−x
có 6 nghiệm thực.
Bài toán 2.8. Giả sử đa thức bậc lẻ P (x) có hệ số cao nhất bằng 1 và deg P (x)=n,
(n>4), α ∈ R,α =0cho trước sao cho đa thức P(x)+αP

(x) có k (k  n) nghiệm
thực phân biệt là x
1
,x

2
, ,x
k
, (x
1
<x
2
< ··· <x
k
). Chứng minh rằng điều kiện để
tồn tại c ∈ R sao cho hàm số P (x) − ce
−
x
α
có ít nhất k nghiệm thực là
min
1≤i≤
[
k−1
2
]
F
0
(x
2i)
 max
0≤j≤
[
k
2

]
F
0
(x
2j+1
),
trong đó F
0
(x)=e
x
α
P (x).
2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên
hàm cấp hai
Định lý 2.3. Nếu f(x) khả vi bậc hai và lồi trên I(a, b) thì với mọi cặp x
0
,x ∈ I(a, b),
ta đều có
f(x) = min
u∈I(a,b)
[f(u)+f

(u)(x − u)].
Tương tự, ta cũng có biểu diễn đối với hàm lõm.
Khi hàm số f(x) lõm và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó thuộc nửa mặt
phẳng dưới tạo bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức là với mỗi cặp
x
0
,x ∈ I(a, b), ta đều có
f(x)  f(x

0
)+f

(x
0
)(x − x
0
). (2.11)
Dễ nhận thấy rằng (2.3) xảy ra đẳng thức khi x
0
= x. Vậy ta có thể viết (2.3) dưới
dạng
f(x) = max
u∈I(a,b)
[f(u)+f

(u)(x − u)]. (2.15)
Vậy, chúng ta đã có một dạng biểu diễn hàm lồi và hàm lõm thông qua cực trị của các
hàm số bậc nhất phụ thuộc tham biến. Phép biểu diễn này được gọi là (theo Bellman)
21
biểu diễn á tuyến tính và nó đóng vai trò quan trọng như là một công cụ hữu hiệu
trong nhiều bài toán cực trị và tối ưu. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) là lớp
hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu trên I(a, b).
Định lý 2.4. Cho hai dãy số {x
k
,y
k
∈ I(a, b),k=1, 2, ,n}, thoả mãn các điều
kiện
x

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
.
Khi đó, ứng với mọi hàm f
1
(t),f
2
(t), ,f
n
(t) đồng biến hoặc nghịch biến liên tiếp
bậc (1,2) trên I(a, b), ta đều có
f
1
(x
1
)
f

1
(y
1

)
+
f
2
(x
2
)
f

2
(y
2
)
+ ···+
f
n
(x
n
)
f

n
(y
n
)

f
1
(y
1

)
f

1
(y
1
)
+
f
2
(y
2
)
f

2
(y
2
)
+ ···+
f
n
(y
n
)
f

n
(y
n

)
. (2.16)
Tiếp theo, xét một số bất đẳng thức liên quan đến đa thức nguyên hàm cấp hai.
Cho hàm số f(t) có F
0,1
(t); F
0,2
(t) không đổi dấu trênI(a, b), tức là trong định lý
(2.4),(2.5),(2.6) ta thay hàm f(t) bằng F
0,2
(t) khi đó các định lý trên vẫn đúng. Vấn
đề đặt ra là chúng ta phải tìm ra các lớp hàm f(t) và khoảng I(a, b) tương ứng sao
cho F
0,2
(t) là hàm đơn điệu bậc (1,2).
Định lý 2.5. Cho đa thức f(x)=(x − x
0
)
n
> 0, ∀x ∈ (x
0
;+∞) và hai dãy số
{x
k
,y
k
∈ (x
0
;+∞),k=1, 2, ,n}, thoả mãn điều kiện
x

1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
.
Khi đó,
F
0,2
(x
1
)
F
0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(x
2
)
F

0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(x
n
)
F
0,1
(y
n
)

F
0,2
(y
1
)
F
0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(y

2
)
F
0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(y
n
)
F
0,1
(y
n
)
. (2.17)
Định lý 2.6. Cho đa thức
f(x)=(x − x
1
)(x − x
2
) (x − x
n
)g(x) x
1
<x
2

< ···<x
n
; g(x) > 0.
và hai dãy số {x
k
,y
k
∈ (x
n+2
;+∞),k=1, 2, ,n}, thoả mãn điều kiện
x
1
+ x
2
+ ···+ x
n
= y
1
+ y
2
+ ···+ y
n
.
Khi đó,
F
0,2
(x
1
)
F

0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(x
2
)
F
0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(x
n
)
F
0,1
(y
n
)

F
0,2
(y

1
)
F
0,1
(y
1
)
+
F
0,2
(y
2
)
F
0,1
(y
2
)
+ ···+
F
0,2
(y
n
)
F
0,1
(y
n
)
. (2.18)

(với x
n+2
là nghiệm lớn nhất của phương trình F
0,2
(x)=0.)
22
Nhận xét 2.2. Đối với các đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m (m<n)
nghiệm thực, trong đó có một số bộ nghiệm kép và khoảng cách giữa hai nghiệm kép
lớn hơn hoặc bằng hai thì nội dung định lý 2.6 vẫn đúng.
Nhận xét 2.3. Ta có thể dựa vào định lý (2.5) và (2.6) để đưa ra các bất đẳng thức
tương tự.
23
Kết luận
Các kết quả chính của luận văn "Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng
" đã tập trung nghiên cứu, trình bày một số vấn đề sau:
1. Luận văn đã chứng minh điều kiện cần và đủ cho những lớp đa thức f(x) ∈ R[x]
với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm)
có đủ k +1 nghiệm thực
Tương tự, cho một đa thức f(x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một
nguyên hàm cấp ss>1 (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng
F
s
(x)=
x

x
s
F
s−1
(x)dt

có đủ k + s nghiệm thực.
2. Đối với các lớp đa thức dạng đặc biệt f(x) với deg f (x)=k nhưng
F
1
(x)=
x

0
f(t)dt không có đủ k +1 nghiệm thực,
thì luôn tồn tại cách bổ sung thêm vào các 0−điểm để đa thức mới g(x) có deg = n
sao cho
G
1
(x)=
x

0
g(t)dt có đủ n +1 nghiệm thực.
3. Dựa các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số bất đẳng
thức xuất phát từ nguyên hàm của một số lớp đa thức đặc biệt.
4. Luận văn trình bày một số dạng bài toán khảo sát tổng quát số nghiệm của
đa thức nguyên hàm, từ đó chúng ta có thể áp dụng vào một số hàm cụ thễ để tạo ra
một lớp bài tập cho học sinh về đa thức nguyên hàm.