Đề khảo sát chất lượng HSG cấp huyện năm học 20142015 môn Toán lớp 8 Trường THCS Nam Toàn49056

Phịng GD- ĐT Nam Trực
Trường THCS Nam Tồn
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
Mơn Tốn- Lớp 8 ( Thi gian 120 phỳt)
Bài1 ( 3 điểm)
a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = 0
b, Ph©n tÝch đa thức thành nhân tử:
M = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)
x2
y2
x2 y2
Bài 2 ( 3 điểm) Cho biÓu thøc : P 


x  y 1  y  x  y 1  x  x  11  y 

1.Rót gän P.
2.T×m các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3.
Bài 3 (3 điểm). Giải phương trình:
a,

1
1
1
1
1
2
 2
 2


x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 8
2

b, (x+1)4 + (x+3)4 = 16
Bài 4 (4 điểm). a, Cho các số a; b; c tho¶ m·n : a + b + c =
Chøng minh rằng :

a2 + b2 + c2

3
.
2

3
.
4

b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =

27  12 x
x2  9

Bài 5( 3 điểm). Cho hình thang ABCD (AD//BC) có hai đường chéo, cắt
nhau ở O . TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diƯn tích tam giác BOC là 169
cm2 và diện tích tam giác AOD là 196 cm2.
Bi 6( 4 im) Cho tam giác ABC nhn( AB > AC )
1) Kẻ đường cao AP, BM, CN cđa tam gi¸c, chúng cắt nhau tại I.
Chøng minh r»ng:
a) gãc AMN b»ng gãc ABC
b) Tính

IA
IB
IC
+
+
AP BM CN

2) Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho BK = AC. Gọi E là trung điểm
của BC; F là trung ®iĨm cđa AK.
Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax của góc BAC.

ThuVienDeThi.com


Đáp án
Bài 1: 3 điểm
a, 1,5 im
Ta có:
a3 + a2c – abc + b2c + b3
= (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2)
= ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0
( V× a+ b + c = 0 theo gi¶ thiÕt)
3
2
2
3
VËy a +a c –abc + b c + b = 0
b, 1,5 ®iĨm Ta cã:
M= bc(a+d) (b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)
= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)
= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]
= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)
= d(a-b)(a-c)(b-c)
Bµi 2. 3 điểm
a, 1,5 điểm
Víi x  1; x   y; y  1
MTC : x  y x  11  y 
P

x 2 1  x   y 2 1  y   x 2 y 2 x  y 

x  y 1  x 1  y 

P  x  y  xy .Víi x  1; x   y; y  1

x  y 1  x 1  y x  y  xy 
x  y 1  x 1 y



thì giá trị biểu thức được xác ®Þnh.

b, 1,5 điểm
Víi x  1; x   y; y  1 ta có P =3
 x  y  xy  3  x  y  xy  1  2
 x  1y  1  2

Các ước nguyên của 2 là : 1; 2.

Suy ra:
x  1  1
x  0


 y  1  2
 y  3
x 1  1
x  2


y  1  2
y  1

(lo¹i).

ThuVienDeThi.com


x 1  2
x  3


y  1  1
y  0
 x  1  2
 x  1

(lo¹i)


 y  1  1
 y  2

VËy víi (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3.
Bài 3.(3 điểm)
a, 1,5 im
Điều kiện xác định:
x 2
x 3

x  4
x  5

 x  6

Ta cã :
x 2  5 x  6  x  2 x  3 
x 2  7 x  12  x  3 x  4 
x 2  9 x  20  x  4 x  5 
x 2  11x  30  x  5 x 6

Phương trình đà cho tương đương víi :
1



1



1



1

x  2 x  3 x  3x  4  x  4 x  5  x  5 x  6 



1
1
1
1
1
1
1
1
1








x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 8
1
1

1
4
1


 

x 6 x 2 8
x  6 x  2  8


 x 2  8 x  20  0  x  10 x  2 0
x 10

thoả mÃn điều kiện phương trình.
x 2

Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2.
b, 1,5 im
Đặt y = x + 2 ta được phương trình:
(y 1)4 + (y +1)4 = 16  2y4 + 12y2 + 2 = 16

ThuVienDeThi.com

1
8


y4 + 6y2 -7 = 0

Đặt z = y2 ta được phương trình: z2 + 6z 7 = 0 cã hai nghiƯm lµ
z1 = 1 vµ z2 = -7.
y2 = 1 cã 2 nghiÖm y1 = 1 ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3.
y2 = -7 kh«ng cã nghiƯm.
Bài 4( 4 điểm)
a,2 điểm
2

1
1
1
Ta cã:  a2    0  a2  a   0  a2   a
2
4
4

1
1
T­¬ng tù ta còng cã:
b2   b ; c2  c
4
4

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
3
3
3
a b c . Vì a  b  c  nªn: a 2  b 2  c 2 
2
4

4
1
DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c = .
2
a2  b2  c2

b, 2 im Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc
A

27  12 x
x2  9



 



2

2
2
x2  6
27  12 x x  12 x  36  x  9

 2
 1  1
A 2
x 9
x2 9

x 9

A đạt giá trị nhỏ nhất là -1  x  6   0 hay x =6
2







2
4 x 2  36  4 x 2  12 x  9
2 x  3

27  12 x

 4 2
4 . A đạt GTLN là 4
A= 2
x 9
x2  9
x 9
3
2
khi 2 x  3  0 x
2

Bi 5(3 im): Theo đề bài ta phải tính diện
tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2

SAOD = 196 cm2
Ta nhËn thÊy SABD = SACD (v× có chung đáy AD
và đường cao tương ứng bằng nhau)
Suy ra SABO = SCOD

ThuVienDeThi.com

B

C
O

A
D


Từ công thức tính diện tích tam giác ta rút ra r»ng: tû sè diƯn tÝch hai tam
gi¸c cã chung đường cao bằng tỷ số hai đáy tương ứng.
Do đó:

S ABO AO S AOD


=> SABO.SCOD = SBOC.SAOD
S BOC OC S COD

Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD . SBOD = 169.196 = 132 .142
=> SABO = 13.14 = 182 (cm2)
Bi 6(4im)
1, 2 im

a) 1im
Chng minh ABM đồng dạng CAN
suy ra:

AB AM
AMN đồng dạng ABC

AC AN

  AMN =  ABC ( hai gãc t­¬ng øng)

b) 1điểm
Tính được

IA
IB
IC
+
+
=2
AP BM CN

2) 2 điểm
Kẻ Cy // AB cắt tia Ax tại H
BAH = CHA ( so le trong, AB // CH)
mµ  CAH =  BAH ( do Ax là tia phân giác)
Suy ra:
CHA = CAH nên CAH cân tại C
do đó :
CH = CA

=> CH = BK vµ CH // BK
BK = CA
Vậy tứ giác KCHB là hình bình hành suy ra: E là trung điểm KH
Do F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của tam giác KHA.
Do đó EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)

ThuVienDeThi.com