giup ban nam vung kien thuc co ban de lam tot ki thi dai hoc

Số mũ

1. a = a.a...a
n

( n số a , n ∈ Z , n > 1 ) “ đọc là : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a1 = a
1
2. Với a ≠ 0 và n là số nguyên dương ta có định nghóa sau: a0 = 1 ; a –n = n
a
3. Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Cho a,b ∈ R, a ≠ 0 , b ≠ 0 vaø m , n ∈ Z
am
m n
m+n
= a m−n
* a .a = a
*
* ( am )n = ( an )m = am.n
n
a
n

n

n

* (a.b) = a .b

an
a
*   = n
b

 b

n

m

1

. a n = n am

( a > 0 ) ( a = a2 ,

n

1
n

a =a )

Bài tập

I. Thực hiện phép tính
2
3

1
1/ 8 .4 .2
2/ 27 +  
 16 
II. Rút gọn các biểu thức

3+ 2

1− 2

A=

−4 − 2

(

)(

a − 4 a +1

 a 3 
C =  3 −1 
b



G=

3

3 +1

−0 , 75

− 25

3/

0,5

)(

6 5+

20

4 2+ 5 .91+

4/ 41−2 3 .161+

5

)

 a+b

− 3 ab  :
a + 4 a +1 a − a +1 , B =  3


3
 a+ b


6 3+ 5
a −1− 3

. − 2 , D = 2+ 5 1+
b
2
.3

7+5 2 +3 7−5 2 , H =

5

(a )
5 +1

,E =

5 −1

a 7 − 2 .a −3+

2

,F =

4+2 3 − 4−2 3 ,K=

(

3

a −3 b

10 2+

2

7

2 2+ 7 .51+
3

)

3

7

9 + 80 + 3 9 − 80

LÔGARIT
I. Định nghóa lôgrit:
Cho 0 < a ≠ 1 và b > 0. Lôgirt theo cơ số a của b là một số , số đó ký hiệu là:
log b = m ⇔ a =b
loga b .
Ta có:
• log a 1 = 0 ( vì : a0 = 1 )
m
• log a a = m , ∀ m∈ R

( Cơ số thành cơ số )

m

a

II.Các định lý về logarit
1/ Định lý 1.
* loga (x1.x2 ) = loga x1 + loga x2
x1
= log a x 1 − log a x 2
* log a
x2
2/ Định lý 3. αlogax = logaxα
3/ Công thức đổi cơ số.
logax = logab.logbx

hay

*

log a a = 1 ( vì : a1 = a)

*

a log a b = b

( x1 , x2 ∈ ( 0 ; + ∞ ) )
( x1 , x2 ∈ ( 0 ; + ∞ ) )
( x∈ ( 0 ; + ∞ ) ; α ∈ R )

log a x =

α
Hệ quả : logab.logba = 1 ; log aβ x =

log a x = log a n x n

(b>0)

log b x
log b a

α
log a x
β

( a, b laø hai số dương khác 1 và x > 0 )
( trong điều kiện có nghóa )

logax2 = 2loga| x |

(x≠0)

1/ logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân . Thay vì viết log10 x, ta viết : lgx , hay logx
đọc là lôgarít thập phân của x
n

1

2/ logarit cơ soá e = 2,71828... ( e = lim1 +  ) gọi là logarit tự nhiên,
n


Thay vì viết loge x, ta viết : lnx , đọc là lôgarit “nê -pe” cuûa x


Thực hiện phép tính
1/ log 4 16

2/

log 1 9

3/ log

3

2

3
4/ log 1 81

8

3

1
3
6/ log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 7/ 2 log 3 6 − log 3 400 + 3 log 3 45
2
8/ Cho loga b = 3 và loga c = –2. Tính:
 a 2 .5 b 2 .3 c 4 
 a 4 .3 b 

3 2

a/ log a a b c
b/ log a  3 
c/ log a 
 c 


c3 b




1
1
1
1
1
1
+
+
+
9/
10/
11/
log 2 6 log 3 6
log 4 6 log 9 6
log a (ab) log b (ab)
5/ 51+log5 3

(

)

12/ Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh: a logc b = b logc a
13/ Cho a = log3 15 vaø b = log3 10. Tính: log 3 50 theo a vaø b
14/ Cho log5 2 = a vaø log5 3 = b. Tính theo a và b
a/ log5 72
b/ log5 15
c/ log5 12
15/ Cho a = log12 18 vaø b = log24 54 . Chứng minh : a.b +5(a –b) = 1

d/ log5 30

Đạo hàm số mũ và logarit

Với : a > 0 vaø a ≠ 1

(a )

(a )

x /

u /

= a x . ln a
( log a x ) / = 1
x ln a
( log a x ) / = 1

x ln a

= u / a u . ln a

( log a u )

/

( log u )
a

/

u/
=
u. ln a
u/
=
u. ln a

(e )

x /

= ex
( ln x ) / = 1
x
( ln x ) / = 1
x

(e )

u /

= u / .e u

u/
( ln u ) =
u
/
( ln u ) / = u
u
/

Tính đạo hàm các hàm số sau.
x −1
e x − e−x
4/ y = x
x
−x
e
e +e
1+ x
7/ y = ln
8/ y = ln x + x 2 + 4
1− x

sin x
1/ y = e

2/ y = (sin2x + cos2x)e2x

5/ y = ln sin x

6/ y = ln

3/ y =

(

sin x
1 + cos x

Phương trình mũ và logarit

I/ Đưa về cùng cơ số: Cho a > 0 và a ≠ 1
x
* ax = ay ⇔ x = y
* a = m ⇔ x = log a m ( m > 0 )
 x > 0 ( hay : y > 0 )
m
* log a x = log a y ⇔ 
* log a x = m ⇔ x = a
x= y

Giải các phương trình sau.
5

(

)

2
1/ 2 x −6 x − 2 = 16 2
2/ log 2 2 x − 7 x + 12 = 2
4/ log2x(x –1) = 1
5/ log2x + log2(x –1) = 1
x+2
x
x +3
7/ 4 − 10.3 = 2.3 − 11.2 2 x
ÑS: x = 3
3
2
3
3
9/ 2 log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )
4
4
4
2
1
x −1
2
+ log 3 x − 3
10/ log 9 x − 5 x + 6 = log 3
2
2
11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x
12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2

2

(

)

13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = 2

3/ 3x + 4 + 3.5x + 3 = 5x + 4 + 3x + 3
6/ 5 lg x + x lg 5 = 50
ÑS: x = 100
2
8/ lg 2 x + 21x + 9 = lg( 2 x + 1) + 1

(

ÑS: 2 ; 1 − 33
5
3
ÑS: x = 1
ÑS: x = 16
1
ÑS:
;4
4
ÑS:

)

)

II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1
Nếu đặt: t = ax thì điều kiện: t > 0 , khi đó: amx = tm
m
m
Nết đặt: t = logax thì không có điều kiện của t, khi đó: log a x = t
Giải các phương trình sau:
x

x


 

2/  7 + 48  +  7 − 48  = 14

 


1/ 16x –17.4x + 16 = 0

(

3/ 4 log 9 x + log x 3 = 3

)

2
2

4/ log x 9 x . log 3 x = 12

ÑS: {9 ;

1
}
27

5/ 3. log 3 x − log 3 3x − 1 = 0
7/ 16

x −3

+ ( x − 6 ) 4 x −3

2
2
6/ ( log 2 x + 3log2 x +1)( log 2 x + 3log2 x –3 ) = 5
 7
x −2
x −2
+ 8 − 2 x = 0 ÑS: 3 ; 
8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) 5 + 3 − x = 0
2


3
 32 
1 1


4
2 x 
2
9/ log 2 x − log 1   + 9 log 2  2  = 4 log 1 x
ÑS:  ; ; 4 ; 8
 8 
x 
8 4


2
2
2 x+4
x
2 x+2
10/ 3
+ 45.6 − 9.2
=0
ÑS: x = –2
x 2 −3 x + 2
x 2 + 6 x +5
2 x 2 +3 x + 7
11/ 4
ÑS: {–5 ; –1 ; 1 ; 2 }
+4
=4
+1
11
2
3

12/ lg 4 ( x − 1) + lg 2 ( x − 1) = 25
ÑS: { 11 ;
}
10
13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6
ÑS: { 8 ; 9}
x +1
x
14/ ( x − 1) log 5 3 + log 5 3 + 3 = log 5 11.3 − 9
ÑS: {0 ; 2}

(

15/ 3 2 x

2

−6 x + 3

+ 6x

2

−3 x +1

)

= 22x

2

(

ĐS: {1 ; 2}

−6 x + 3

16/ 1 + 2 log x 2. log 4 (10 − x ) =

)

2
log 4 x

ÑS: {2 ; 8}

17/ 1 + log 4 x − 3 log 4 x = log 2 x − 1

ĐS: {2}

III/ Sử dụng tính đơn điệu. Cho hai hàm số f(x) và g(x)
1/ Nếu f luôn đồng biến và g luôn nghịch biến thì phương trình :
f(x) = g(x) không quá một nghiệm
2/ Nếu f luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) thì phương trình:
f(x) = k ( k: hằng số) không quá một nghiệm
Giải các phương trình sau
1/ 2x = 11 –x
2/ log2x = 3 –x
3/ 3x + 4x = 5x
4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 0

5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = 0
2
6/ log 3 ( x + 1) + ( x − 5) log 3 ( x + 1) + 6 − 2 x = 0
ÑS: { 2 ; 8}
7/ log 6

(

3

)

x + 6 x = log 64 x

Hệ phương trình mũ và logrit

Giải các hệ phương trình sau
 x + y = 11
1/ 
log 2 x + log 2 y = 1 + log 2 15

(

)

lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8
2/ 
lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg 3

ÑS: (5 ; 6), (6 ; 5)

ÑS: (8 ; 4)

3 x .2 y = 972

3/ 
ÑS: (5 ; 2)
log 3 ( x − y ) = 2

3 y +1 − 2 x = 5

5/  x
ÑS: (2 ; 1)
4 − 6.3 y + 2 = 0


x 2 − y 2 = 3
4/ 
ÑS: (2 ; 1)
log 3 ( x + y ) − log 5 ( x − y ) = 1
4 x .2 y = 32
 x log8 y + y log8 x = 4

6/  8 x +1
ÑS: (1 ; 3)
7/ 
ÑS: ( 8 ; 2 ) ,
3
= 27 y
log 4 x − log 4 y = 1


1 1
 ; 
 2 8


Bất phương trình mũ và logarit

1/ a > 1
( y = a và y = logax là các hàm số đồng biến trên tập xác định của nó)
x
y
• a >a ⇔x>y
• ax > m . * m ≤ 0 ⇒ x∈ R
* m > 0. ax > m ⇔ x > loga m
y > 0
m
• log a x > log a y ⇔ 
* log a x > m ⇔ x > a
x> y

x

•
•
•

ax < ay ⇔ x < y
ax < m . * m ≤ 0 ⇒ x∈ ∅
x > 0

log a x < log a y ⇔ 
x < y

* m > 0. ax < m ⇔ x < loga m
m
* log a x < m ⇔ 0 < x < a

2/ 0< a < 1
( y = ax và y = logax là các hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó)
• ax > ay ⇔ x < y
• ax > m . * m ≤ 0 ⇒x∈ R
* m > 0. ax > m ⇔ x < loga m
x > 0
m
• log a x > log a y ⇔ 
* log a x > m ⇔ 0 < x < a
x < y
•
•
•

ax < ay ⇔ x > y
ax < m . * m ≤ 0 ⇒x∈ ∅
y > 0
log a x < log a y ⇔ 
x > y

* m > 0. ax < m ⇔ x > loga m
m
* log a x < m ⇔ x > a

Giải các bất phương trình sau
I/ Cùng cơ số
1
1/  
2

x 2 −5 x + 4

>4

ÑS: 2 < x < 3

1 − 2x 

>0
3/ log 1  log 2
1+ x 

3

(

2/ 6 2 x +3 < 2 x + 7.33 x −1

1
ÑS: − < x < 0
4

)

1

1 x
1
4/   ≤  
 
 
2
2

2
5/ log 0,5 ( 5 x + 10 ) < log 0,5 x + 6 x + 8
ÑS: –2 < x < 1
6/ log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 2 ) ≤ 1
ÑS: 3 < x ≤ 4
7/ log 2 ( x − 3)( x − 2 ) ≤ 1
ÑS: 1 ≤ x < 2 ∨ 3 < x ≤ 4
3x − 1
1
>0
8/ log x 2
ÑS: x ∈ ( ; 2) \ {1} 9/ 2 x − 2 > 4 x +1
3
x +1
1
1

10/ log x  x −  ≥ 2
ÑS: < x < 1

4
4



1
11/ log 2 1 + log 1 x − log 9 x  < 1
ĐS: < x < 3


3
9


log 1 ( x − 1) ≥ −2
12/
ÑS: (1 ; 10]
3

13/ log 4 x − 3 < 1
14/ 152x + 3 > 53x + 1.3x + 5
2

15/ 6 log 6 x + x log6 x < 12

ÑS: 16 < x < 256
ÑS: x < 2
ĐS:

1

6

16/ 2 x .3 x −1.5 x −2 ≥ 12
ĐS: x ≥ 2
II/ Đặt ẩn phụ. Giải các bất phương trình sau
1/ 3 x − 3 − x + 2 + 8 > 0
ÑS: x > 0
1
2
2/ log 2 x + log 2 4 x − 4 ≥ 0
ÑS: 0 < x ≤ ∨ x ≥ 2
4

ÑS: x > 4
4

ÑS: 0 < x ≤

1
4

ÑS: − 4 < x < 0


1

1

1

2
ÑS: x = 2

1

ÑS: −

3/ 9.4 − x + 5.6 − x < 4.9 − x
4/ 4 x +5 − x − 2 x +5 − x + 2 ≤ −4
log 1 4 x + 4 ≥ log 1 2 2 x +1 − 3.2 x
5/
2

2

(

)

(

2

)

ÑS: x ≥ 2

2

(

6/ 3 + 2 2

)

x −1

(

≥ 3−2 2

7/ 41+lg x − 6 lg x > 2.3 2+lg x

)

ÑS: [ − 2 ; − 1) ∪ [1 ; + ∞ )

x −1
x +1

1 

0 ;

 100 
ÑS: 2 < x < 64
 1

; 5  \ {1}

ÑS: 
 625 
ÑS: x > 2

2

8/ x log 4 x − 2 < 2 3( log 4 x −1)
2
9/ log x (125 x ). log 25 x < 1

2
10/ x . log x 27. log 9 x > x + 4
1
1
≤ x +1
11/ x
ÑS: ( − 1 ; 1]
3 + 5 3 −1
log 2 x + log a x + 2
a
> 1 ( 0 < a ≠ 1)
12/
ÑS: a > 1 ⇒ x > a2 ; 0 < a < 1 ⇒ 0 < x < a2
log a x − 2
 1

; 3
13/ x 4 +log3 x < 243
ÑS: 
 243 

1
2
14/ 3 2+ lg x < 3lg x +5 − 2
ÑS: x >
100

15/ 6.9 2 x

2

−x

2
2
− 13.6 2 x − x + 6.4 2 x − x ≤ 0

ĐS: −

1
≤ x ≤1
2

III/ Một số bài toán có tham số
2
2
1/ Tìm m để phương trình: log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghiệm trong đoạn

[1 ; 3 ]
3

ĐS: 0 ≤ m ≤ 2

(

)

x

(

)

x

2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 7 + 3 5 + m 7 − 3 5 = 2 x +3
ĐS: m ∈ (0 ; 16)
2
2
2
3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 2 sin x + 3cos x ≥ m.3sin x
ĐS: m ≤ 4
x
x
4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 4 – 4m(2 –1) = 0
ÑS: m∈ (–∞ ; 0 ) ∪ [1 ; +∞ )
5/ Xác định các giá trị của m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + 3 –2m ≤ 0
ĐS: m ≥ 1
2
6/ Tìm để phương trình sau có nghiệm . log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 3 − 2 x − x = 0

(

ĐS: –6 < m < 18

(

) (
x

)

)

x

7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 2 + 3 + 2 − 3 = m ÑS : m ≥ 2
8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với moïi x
m  2
m 
m 



 2 − log 2
 x − 21 + log 2
 x − 21 + log 2
 > 0 ÑS: 0 < m < 1
m + 1
m + 1
m + 1




2
9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3) ĐS: m > –3

(

)

x
x
10/Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x: 9 − 2( m + 1)3 − 2m − 3 > 0 ÑS: m ≤ −

11/ Tìm m để với mọi x thuộc đoạn [0 ; 2] đều thỏa mãn bất phương trình:

(

)

log 2 x 2 − 2 x + m + 4 log 4 x 2 − 2x + m ≤ 5

ĐS: 2 ≤ m ≤ 4

3
2


IV. Một số bài tốn khác
1/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = log 4 x + 12 log 2 x. log 2

2
2
ĐS: 81 , khi x = 8
2
2/ Giải phương trình: log 2 ( x − 4 ) + log

(

2

)

8
trên khoảng ( 1 ; 16)
x

( 2 x − 1) = 4 log 2 3

ĐS: x = 5

3/ Giải phương trình: lg x 2 − x − 6 + x = lg( x + 2) + 4

ĐS: x = 4

4/ Giải phương trình: 8 log 4 x 2 − 9 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 + log 2 ( x − 3) 2
4 log3 ( xy ) − 2 = 2 log3 ( xy )


(

5/ Giải hệ phương trình: 

2

2

)

ĐS:

1
= + log 4 ( x + 3y )
2

log 4 4 x + 4 y

2 log 3 y = log 2 x − 1
1

6/ Giải hệ phương trình: 
2
log y = ( log x − 1). log 3
2
2
 2

(

7/ Giải bất phương trình:

) log x − (

10 + 1

3

log 2 ( y + 3x + 7 ) = 6



6

3; 3 ,  6 ;

2 



)

ĐS: (2 ; 1)

) log x ≥ 2 x
3

10 − 1

(

ĐS: x = –7

ĐS: x ≥ 3

3

8/ Giải hệ phương trình: 

2.8 x + 2 y+ 2 = 17.2 y +3x −1


 1 
ĐS: ( x; y ) = (1;−2);  − ;2 
 3 

1
9/ Giải phương trình: log 3 x 3 + 1 = log 3 2 x − 1 + log 3 ( x + 1)
2

(

)

ĐS: S = { 0 ; 1 ; 2}

10/ Giải phương trình:

log 2 ( 5 − 2x ) + log 2 ( 5 − 2 x ). log 2 x +1 ( 5 − 2x ) = log 2 ( 2x − 5) 2 + log 2 ( 2x + 1). log 2 ( 5 − 2x )
1
2

 1 1
 4 2




ĐS: S = − ; ; 2
11/ Giải phương trình: 4 x

2

+x

12/ Giải bất phương trình:

+ 21− x = 2 ( x +1) + 1
x +1
log 1
< − log 2 x
1− x
2

2

ĐS: S = { − 2;−1 ; 0 ; 1 }
ĐS: 0 < x < 1

2

2 x .4 y = 64


13/ Giải hệ phương trình: 
 x + y =3

3 lg x = 4 lg y

14/ Giải hệ phương trình: 
( 4x ) lg 4 = ( 3y ) lg 3

4 log3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log3 2

15/ Giải hệ phương trình:  2
x + y 2 − 3( x + y ) = −2


ĐS: (4 ; 1)
1 1
 4 3

ĐS:  ; 
ĐS: (1 ; 3) , (3 ; 1)

16/ Tìm tất cả các giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log 3 x + log 3 ( x − 2 ) = log
17/ Giải phương trình: 3 x

3

+x

− 2.3 x − x − 3 2 x + 2 = 0

3

2x 2 + 2xy − 3x − y + 1 = 0

18/ Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
4 x + y − 2 x + y − 2 = 0


1
3   1 3 


ĐS: ( x; y ) = (1;0); ( 0;1) ,  ;− ,  ; 
2
2   2 2 






ĐS: S = { − 1 ; 0 ; 1 }

3

m

HƯỚNG DẪN GIẢI

I. Thực hiện phép tính
1/ 8 3+ 2 .41− 2 .2 −4− 2 = 2 3( 3+ 2 ).2 2 (1− 2 ).2 −4−

= 2 3+ 3

2

2 + 2− 2 2 −4 − 2

= 21 = 2

−0 , 75

2
3

1
− 25 0,5 = 3 27 2 + 4 16 3 − 25 = 9 + 8 − 5 = 12
2/ 27 +  
16 

5+ 20
6
2 5+ 2 5 .35+ 2 5
5+ 2 5 − 2 − 2 5 5+ 2 5 − 2 − 2 5
.3

= 2 3.33 = 6 3 = 108
3/ 2+ 5 1+ 5 = 4+ 2 5 2+ 2 5 = 2
4
.9
2
.3
1− 2 3
1+ 3
1− 2 3 2 + 2 3
4/ 4
=4
.16
.4
= 4 3 = 64
II. Rút gọn các biểu thức
A = a − 4 a +1 a + 4 a +1 a − a +1 = a +1− 4 a a +1+ 4 a a − a +1

(
)(
)(
) (
= ( a + 1 + a )( a + 1 − a ) = a + 2a + 1 − a = a
 a+b

B=
− ab  : ( a − b )


2

3

3

3

)(

2

2

3

(

)( )

( )

F=

(a )
5 +1

3 +1

.

2

2 3+ 5 .33+
2

2+ 5

5 −1
2

1+ 7

.5

(

3

a −3 b

)

2

)

a −1− 3 a 3+ 3 a −1− 3
=
. −2 = a 2
−2
2

b
b
b

=

5

a 7 − 2 .a −3+
10 2+ 7
2+ 7

( )

( ) (

 a 3 
C =  3 −1 
b



3+ 5
6
D = 2+ 5 1+
2
.3
E=

)

+ a +1

 a+ b

2
 3 a + 3 b  3 a − 3 a .3 b + 3 b 2 



 3

 − ab  :

=
3
a +3 b




2
2
2
3
3
3
3
3
=  a − 2. ab + b  : a − b = 1





3

)(

=

=

5

1+ 5

.3

= 21.3 2 = 18

a 5−1
a 7−

2 − 3+ 2

2 2+ 7 .5 2+
2

2+ 7

=

7

a4
=1
a4

= 51 = 5

1+ 7

.5

G = 3 7 + 5 2 + 3 7 − 5 2 ⇔ G 3 = 7 + 5 2 + 7 − 5 2 + 3.3 7 + 5 2 .3 7 − 5 2 .G ⇔
G 3 + 3G − 14 = 0 ⇔ G = 2
H = 4+2 3 − 4−2 3
=

(

)

2

3 +1 −

(

)

2

3 −1 =

3 +1 − 3 −1 =

(

) (

3 +1 −

)

3 −1 = 2

K = 3 9 + 80 + 3 9 − 80 ⇔ K 3 = 9 + 80 + 9 − 80 + 3.3 9 + 80 .3 9 − 80 .K ⇔
K 3 − 3K − 18 = 0 ⇔ K = 3

Thực hiện phép tính

3/ log

2

8 = log

2

( 2)

6

1
= log 1  
3
3 

2/

2
1/ log 4 16 = log 4 4 = 2

=6

5/ 51+log5 3 = 51.5 log 5 3 = 5.3 = 15

log 1 9

4/

log 1 3 81

3

3

−2

= −2

4
4
log 1 3 3 4 =
4
=
log 3−1 3 3 = 3 log 3 3 = −
3
−1
3

6/ log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log9(15.18) –log910 = log 9

270
3
3
= log 9 27 = log 3 3 =
10
2
2


1
36.45
3
= log 3 81 = 4
7/ 2 log 3 6 − log 3 400 + 3 log 3 45 = log 3 36 − log 3 20 + log 3 45 = log 3
2
20

8/ Cho loga b = 3 vaø loga c = –2. ( 0 < a ≠ 1).Tính:
1
1
log a a 3b 2 c = log a a 3 + log a b 2 + log a c 2 = 3 + 2 log a b + log a c = 3 + 6 − 1 = 8
a/
2
1
4 3
a . b 
1
3
4
3
b/ log a  3  = log a a + log a b − log a c = 4 + log a b − 3 log a c = 4 + 1 + 6 = 11
 c 
3


2
 2 5 4
1
1
 a 2 .5 b 2 .3 c 4 


 a .b .c 3 
1
1
38
 = log a 

log a 
log a  a 2 .b 15 .c 3  = 2 + .3 − ( − 2 ) =
c/
=
1




15
3
15
c3 b
 cb 3 






1
1
+
9/
= log 6 2 + log 6 3 = log 6 6 = 1
log 2 6 log 3 6
1
1
+
10/

= log 6 4 + log 6 9 = log 6 36 = 2
log 4 6 log 9 6
1
1
+
11/
= log ab a + log ab b = log ab ab = 1
log a (ab) log b (ab)

(

)

12/ Cho a, b, c dương và khác 1. Chứng minh: a logc b = b logc a

(

a logc b = a logc a. log a b = a log a b

)

log c a

= b logc a
13/ Cho a = log3 15 và b = log3 10. Tính: log 3 50 theo a vaø b
1
10.15 1
log 3 50 = log 3
= ( log 3 10.15 − log 3 3)
3

3
3
1
1
= ( log 3 10 + log 3 15 − log 3 3) = ( a + b − 1)
3
3
14/ Cho log5 2 = a và log5 3 = b. Tính theo a vaø b
3
2
a/ log5 72 = log5(8.9) = log 5 2 + log 5 3 = 3a + 2b
b/ log5 15 = log5 (5.3) = 1 + b
c/ log5 12 = log5 (22.3) = 2a + b
d/ log5 30 = log5 (5.2.3) = 1 + a + b

Tính đạo hàm các hàm số sau.

sin x
/
sin x
1/ y = e ⇒ y = cos xe
/
2x
2x
2/ y = (sin2x + cos2x)e2x ⇒ y = ( 2 cos 2 x − 2 sin 2 x ) e + ( sin 2 x + cos 2 x ) 2e
y / = ( 2 cos 2 x − 2 sin 2 x + 2 sin 2 x + 2 cos 2 x ) e 2 x = 4 cos 2 x.e 2 x

(

) (

2

e x + e−x − e x − e−x
e x − e−x
y/ =
3/ y = x
⇒
2
e + e−x
e x + e−x

(

)

)

2

=

(e

4
x

+ e−x

)

2

e x − ( x − 1) e x 2 − x
x −1
y/ =
= x
⇒
2
e
ex
ex
cos x
/
= cot x
5/ y = ln sin x ⇒ y =
sin x
sin x
6/ y = ln
= ln sin x − ln 1 + cos x
1 + cos x
cos x − sin x
cos x + cos 2 x + sin 2 x
1
/
−
⇒ y =
=
=
sin x 1 + cos x
sin x(1 + cos x )

sin x
1+ x 1
7/ y = ln
= ( ln 1 + x − ln 1 − x )
1− x 2
4/ y =

( )


1 1
−1  1
2
1
−
=

= .
2  1 + x 1 − x  2 (1 − x )(1 + x ) 1 − x 2
x
1+
2
2
1
x +4
8/ y = ln x + x + 4 ⇒ y / =
=
x + x2 + 4
x2 + 4
/

⇒ y =

)

(

Phương trình mũ và logarit

I/ Đưa về cùng cơ số.Cho a > 0 và a ≠ 1
* ax = ay ⇔ x = y
* a =m ⇔x =log m (m >0)
x > 0 ( hay : y > 0 )
m
* log a x = log a y ⇔ x = y
* log a x = m ⇔ x = a
x

a



Giải các phương trình sau.
5

5

9

1/ 2 x −6 x − 2 = 16 2 ⇔ 2 x −6 x − 2 = 2 2 ⇔ x2 –6x –7 = 0 ⇔ x = –1 ∨ x = 7
2

2/ log 2 2 x − 7 x + 12 = 2 ⇔ 2x2 –7x + 8 = 0 ( vn)
2

(

3/ 3

x+4

+ 3.5

2

x+3

=5

)

x+4

+ 3x + 3⇔ 3.3 x +3 − 3 x +3 = 5.5 x +3 − 3.5 x +3
x +3

 3
⇔ 2.3 = 2.5 ⇔   = 1 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = 3
5
4/ log2x(x –1) = 1 ⇔ x2 –x = 2 ⇔ x2 –x –2 = 0 ⇔ x = –1 ∨ x = 2
x > 0
⇒ x >1

5/ log2x + log2(x –1) = 1 . Điều kiện: 
x − 1 > 0
x +3

x +3

log2x + log2(x –1) = 1 ⇔ log2x(x –1) = 1 ⇔ x2 –x –2 = 0 ⇔ x = –1 (l) ∨ x = 2 ⇔ x = 2

(

6/ 5 lg x + x lg 5 = 50

)

lg x

Điều kiện: 0 < x ≠ 1 . Vì: x lg 5 = x log10 x. log x 5 = x log x 5
= 5 lg x
5 lg x + x lg 5 = 50 ⇔ 2.5 lg x = 50 ⇔ 5 lg x = 5 2 ⇔ lgx = 2 ⇔ x = 100
7/ 4 x + 2 − 10.3 x = 2.3 x +3 − 11.2 2 x ⇔ 16.4 x − 10.3 x = 54.3 x − 11.4 x ⇔ 27.4 x = 64.3 x
x

3

4
4
⇔   =  ⇔ x=3
3
3
2

2
8/ lg 2 x + 21x + 9 = lg( 2 x + 1) + 1 ⇔ lg 2 x + 21x + 9 = lg( 2 x + 1) + lg 10
1

2 x + 1 > 0
x > −
2
2
⇔ lg 2 x + 21x + 9 = lg 10( 2 x + 1) ⇔  2
⇔
2 x + 21x + 9 = 20 x + 20
2 x 2 + x − 11 = 0

3
2
3
3
9/ 2 log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 )
4
4
4

(

)

(

(

)

)

x + 2 ≠ 0
 x ≠ −2


Điều kiện: 4 − x > 0 ⇔  x < 4 ⇔ x ∈ ( − 6 ; 4 ) \ { − 2}
x + 6 > 0
 x > −6


3
2
3
3
log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) ⇔ log 1 x + 2 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) + 1
2
4
4
4
4
4
4
( 4 − x )( x + 6)
2
⇔ log 1 x + 2 = log 1
⇔ 4 x + 2 = − x − 2 x + 24
4

4
4
2
Với x ∈ ( − 6 ; − 2) .Phương trình trở thành: − 4( x + 2 ) = − x − 2 x + 24 ⇔ x2 –2x –32 = 0
2
Với x ∈ ( − 2 ; 4 ) .Phương trình trở thành: 4( x + 2) = − x − 2 x + 24 ⇔ x2 +6x –16 = 0
ÑS: 2 ; 1 − 33
2
1
x −1
2
+ log 3 x − 3
10/ log 9 x − 5 x + 6 = log 3
2
2

(

)


 x − 5x + 6 ≠ 0
x ≠ 2 ∧ x ≠ 3

⇔
Điều kiện:  x − 1 > 0
x > 1
x − 3 ≠ 0


x −1
x −1
+ log 3 x − 3 ⇔ x − 2 . x − 3 =
. x − 3 ⇔ 2 x − 2 = x −1
2
2
2 x − 4 = x − 1
x = 3 ( l )
5
⇔ 
⇔ 
⇔ x=
3
2 x − 4 = 1 − x
3 x = 5
log 3 x 2 − 5 x + 6 = log 3

11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x
⇔ log 2 5. log 5 x + log 3 5. log 5 x + log 4 5. log 5 x = log 5 x
⇔ (log 2 5 + log 3 5 + log 4 5) log 5 x = log 5 x ⇔ log5x = 0 ⇔ x = 1

12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2
Điều kiện: x > 1
log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2 ⇔ log 4 ( 2 log 4 x) + 2 log 4 ( log 4 x ) = 2
3
1
⇔ log 4 2 + log 4 (log 4 x ) + 2 log 4 ( log 4 x ) = 2 ⇔ 3 log 4 ( log 4 x ) = ⇔ log 4 ( log 4 x ) =
2
2
⇔ log4x = 2 ⇔ x = 16

log 2 x = 2
1 1 1
4
4
13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = 2 ⇔ 3. . . . log 2 x = 2 ⇔ log 2 x = 16 ⇔ 
2 3 4
log 2 x = −2
x = 4
⇔ 
x = 1

4

II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1

x

Nếu đặt: t = a thì điều kiện: t > 0 , khi đó: amx = tm
m
m
Nết đặt: t = logax thì không có điều kiện của t, khi đó: log a x = t
Giải các phương trình sau:
4 x = 1
x = 0
x
x
4 2 x − 17.4 x + 16 = 0 ⇔  x
⇔
1/ 16 –17.4 + 16 = 0⇔
4 = 16

x = 2

x

x

x

x


 


 

2/  7 + 48  +  7 − 48  = 14 Vì:  7 + 48  . 7 − 48  = 1

 


 

x
1
x
x


= 14

 7 + 48  +  7 − 48  = 14 ⇔  7 + 48  +
x



 

 7 + 48 

 





x



Đặt : t =  7 + 48  ( t > 0 ) .Phương trình trở thaønh


t = 7 + 48
t 2 − 14t + 1 = 0 ⇔ 
−1
t = 7 − 48 = 7 + 48


(

)

2



Với t = 7 + 48 =  7 + 48  ⇒ x = 2


−1

−2





Với t =  7 + 48  =  7 + 48  ⇒ x = –2




3/ 4 log 9 x + log x 3 = 3
Điều kiện: 0 < x ≠1
1
2
= 3 ⇔ 2 log 3 x − 3 log 3 x + 1 = 0
4 log 9 x + log x 3 = 3 ⇔ 2 log 3 x +
log 3 x

log 3 x = 1
x = 3
⇔ 
1⇔ 
log 3 x =
x = 3
2

2
2
4/ log x 9 x . log 3 x = 12

(

)

Điều kiện: 0 < x ≠ 1
log x 9 x . log x = 12 ⇔ log 3 x. log 3 x. log x 9 x 2 = 12 ⇔

(

2

)

(

2
3

)

(

)

log 3 x. log 3 9 x 2 = 12

log 3 x = 2
2
⇔ log 3 x.( 2 + 2 log 3 x ) = 12 ⇔ log 3 x + log 3 x − 6 = 0 ⇔ 
log 3 x = −3
5/ 3. log 3 x − log 3 3x − 1 = 0 Điều kiện: x ≥ 1

ÑS: {9 ;

1
}
27

3. log 3 x − log 3 3x − 1 = 0 ⇔ 3. log 3 x − ( log 3 3 + log 3 x ) − 1 = 0 ⇔
 log 3 x = 1
log 3 x = 1
3. log 3 x − log 3 x − 2 = 0 ⇔ 
⇔ 
⇔
 log 3 x = 2
log 3 x = 4


2
2
6/ ( log 2 x + 3log2 x +1)( log 2 x + 3log2 x –3 ) = 5
x −3
x −3
2 ( x −3 )
+ ( x − 6 ) 4 x −3 + 8 − 2 x = 0
7/ 16 + ( x − 6 ) 4 + 8 − 2 x = 0 ⇔ 4
x −3
( t > 0) . Phương trình trở thành
Đặt t = 4

x = 3
 x = 81


t 2 + ( x − 6 ) t + 8 − 2 x = 0 . ∆ = ( x − 6 ) 2 − 4( 8 − 2 x ) = x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2 ) 2 . Khi đó:
 − x+6+ x−2
=2
t =
2
2
t + ( x − 6) t + 8 − 2 x = 0 ⇔ 
t = − x + 6 − x + 2 = 4 − x

2

1

Với t = 2 ta được 4 x −3 = 4 2 ⇔ x =

7
2

Với t = 4 –x ta được 4 x −3 = 4 − x
• x = 3 là nghiệm
4 x − 3 > 1
⇒ 4 x −3 > 4 − x
• x > 3 hay x –3 > 0. Vì: 
4 − x < 1
4 x − 3 < 1
⇒ 4 x −3 < 4 − x . Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của
x < 3 hay x –3 < 0. Vì: 
4− x >1

x −3
phương trình: 4 = 4 − x
7
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 vaø x =
2
x−2
x −2
8/ 3.25 + ( 3x − 10 ) 5 + 3 − x = 0
x −2
( t > 0) . Phương trình trở thành
Đặt t = 5
•

3t 2 + ( 3x − 10 ) t + 3 − x = 0 . ∆ = ( 3 x − 10 ) 2 − 12( 3 − x ) = 9 x 2 − 48 x + 64 = ( 3x − 8) 2 . Khi đó:
 − 3 x + 10 + 3 x − 8 1

=
t =
6
3
2
3t + ( 3x − 10 ) t + 3 − x = 0 ⇔ 
t = − 3 x + 10 − 3 x + 8 = 3 − x

6

1
1
x −2
Với t =
ta được 5 = ⇔ x = 2 − log 5 3
3
3
x −2
Với t = 3 –x ta được 5 = 3 − x
• x = 2 là nghieäm
5 x − 2 > 1
⇒ 5 x−2 > 3 − x
• x > 2 hay x –2 > 0. Vì: 
3 − x < 1


5 x − 2 < 1
⇒ 5 x − 2 < 3 − x . Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của
• x < 2 hay x –2 < 0. Vì: 
3 − x > 1

phương trình: 5 x −2 = 3 − x
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 2 − log 5 3
3
 32 
4
2 x 
2
9/ log 2 x − log 1   + 9 log 2  2  = 4 log 1 x
Điều kiện: x > 0
 8 
x 

2
2
 x3 
 32 
log 4 x − log 2   + 9 log 2  2  = 4 log 2 x
2
1
1

8 
x 
2
2
2

3

 x 

2
2
⇔ log x − − log 2    + 9 log 2 32 − log 2 x = 4( − log 2 x )
2 




(

4
2

)

2


 x 
⇔ log x − 3 log 2   + 9( 5 − 2 log 2 x ) = 4 log 2 x
2
 2 

4
2

⇔ log 4 x − 9[ log 2 x − 1] + 45 − 18 log 2 x = 4 log 2 x
2
2
2

log 2 x = 4
log x = ±2
4
2
⇔ log 2 x − 13 log 2 x + 36 = 0 ⇔  2
⇔ 
log 2 x = 9
log x = ±3

2

1 1

ÑS:  ; ; 4 ; 8
8 4

x

10/ 3

2 x+4

+ 45.6 − 9.2
x

3
⇔ 81. 
2

2x

3
+ 45. 
2

x

9
3
= 0 ⇔ 81.9 + 45.6 − 36.4 = 0 ⇔ 81.  + 45.  − 36 = 0
4
2
 3  x
  = −1
x
−2
3
3
 2 
− 36 = 0 ⇔ 
⇔   =   ⇔ x = −2
x
2
2
4
3
  =
9
 2 


2 x+2

x

x

x

x

11/ 4 x −3 x + 2 + 4 x + 6 x +5 = 4 2 x +3 x + 7 + 1 ⇔ 4 x −3 x + 2 + 4 x + 6 x +5 = 4 x −3 x + 2.4 x + 6 x +5 + 1
2
u = 4 x −3 x + 2

( u > 0; v > 0)
Đặt: 
2
v = 4 x + 6 x +5

Phương trình trở thành: u + v = u.v + 1 ⇔ u –u.v + v –1 = 0 ⇔ u(1 –v) + (v –1) = 0
2
 4 x −3 x + 2 = 1
 x 2 − 3x + 2 = 0
u = 1
 2
⇔ (v –1)(1 –u) = 0 ⇔ 
⇔ x +6 x +5
⇔  2
x + 6x + 5 = 0

4
v = 1
=1


2

2

2

2

ÑS: {–5 ; –1 ; 1 ; 2 }
2
3
2
12/ lg ( x − 1) + lg ( x − 1) = 25
4

3

[

2

Điều kiện: x > 1

lg 4 ( x − 1) + lg 2 ( x − 1) = 25 ⇔ lg( x − 1) 2
2

2

] + [lg( x − 1) ]
4

3 2

= 25 ⇔

lg 2 x = 1
16 lg 4 ( x − 1) + 9 lg 2 ( x − 1) − 25 = 0 ⇔  2
lg x = − 25

16

11
ÑS: { 11 ;
}
10
13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6
Điều kiện : x > 0
log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ⇔ log2x(log3x –2) = 3(log3x –2)
log 3 x = 2
x = 9
⇔ 
⇔ 
x = 8
log 2 x = 3

(

)

(

x +1
x
14/ ( x − 1) log 5 3 + log 5 3 + 3 = log 5 11.3 − 9

)

2


(

)

(

)

(

)

(

x −1

x +1
x
x −1
x +1
x
⇔ log 5 3 + log 5 3 + 3 = log 5 11.3 − 9 ⇔ ⇔ log 5 3 3 + 3 = log 5 11.3 − 9
3 x = 1
x −1
x +1
x
2x
x
⇔ 3 3 + 3 = 11.3 − 9 ⇔ 3 − 10.3 + 9 = 0 ⇔  x
ÑS: {0 ; 2}
3 = 9


(

15/ 3 2 x

2

)

)

−6 x + 3

+ 6x

x 2 −3 x +1

2

−3 x +1

= 22x

2

−6 x + 3

⇔ 3.9 x

x 2 −3 x +1

2

−3 x +1

+ 6x

2

−3 x +1

2 ( x 2 − 3 x +1)

= 2.4 x

2

−3 x +1

x 2 − 3 x +1

9
3
3
3
⇔ 3. 
+ 
= 2 ⇔ 3. 
+ 
−2=0
4
2
2
2
2
 3  x −3 x +1
 
= −1 ( loai )
x 2 −3 x +1
−1
 2 
3
3
⇔ 

⇔ 
= 
ĐS: {1 ; 2}
x 2 −3 x +1
2
2
3
2

=
 2 
3
 
2
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
16/ 1 + 2 log x 2. log 4 (10 − x ) =
Điều kiện: 
⇔
log 4 x
10 − x > 0  x < 10
2
1 + 2 log x 2. log 4 (10 − x ) =
⇔ log 4 x + log 4 x log x 4. log 4 (10 − x ) = 2
log 4 x
⇔ log 4 x + log 4 (10 − x ) = 2 ⇔ log 4 x(10 − x ) = 2 ⇔ x(10 − x ) = 16 ⇔ x 2 − 10 x + 16 = 0
17/ 1 + log 4 x − 3 log 4 x = log 2 x − 1
Giải
Điều kiện: x ≥ 1
1 + log 4 x − 3 log 4 x = log 2 x − 1 ⇔ 1 − 2 log 4 x =

⇔

(

)

(

1 + log 4 x + 3 log 4 x + 1 ( 2 log 4 x − 1) = 0

III/ Sử dụng tính đơn điệu.
1/ 2x = 11 –x
• x = 3 là nghiệm
2 x > 2 3 = 8
⇒ 2 x > 11 − x
• x>3 
11 − x < 8
2 x < 8
⇒ 2 x < 11 − x
• x<3 
11 − x > 8
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
2/ log2x = 3 –x
• x = 2 là nghiệm
log 2 x > log 2 2 = 1
⇒ log 2 x > 3 − x
• x>2 
3 − x < 8
0< x < 2

•

log 2 x < 1
⇒ log 2 x < 3 − x

3 − x > 1

Vaäy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
x

x

 3  4
3/ 3 + 4 = 5 ⇔   +   = 1
5  5
• x = 2 là nghiệm
 3  x  3  2
  <  
x
x
 5 
5
 3  4
⇒   +  <1
• x>2 
x
2
5  5
4
 4 

  < 
 5 
5

x

x

x

)

1 + log 4 x + 3 log 4 x ( 2 log 4 x − 1)


 3  x  3  2
  >  
x
x
 5 
5
 3  4
⇒   +  >1
• x<2 
x
2
5  5
4
 4 
  > 

 5 
5

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 0 ⇔ 32x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 0
x
Đặt t = 3 ( t > 0 ) . Phương trình trở thành
t 2 + 2( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 . ∆/ = ( x − 2 ) 2 − ( 2 x − 5) = x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 . Khi đó:
t = − x + 2 + x − 3 = −1 ( l )
t 2 + 2( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0 ⇔ 
t = − x + 2 − x + 3 = 5 − 2 x
Với t = 5 –2x ta được 3 x = 5 − 2 x
• x = 1 là nghiệm
3 x > 3
⇒ 3x > 5 − 2x
• x > 1 . Vì: 
5 − 2 x < 3

3 x < 3
⇒ 3x < 5 − 2x
• x < 1 . Vì: 
5 − 2 x > 3
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = 0
x
Đặt t = 5 ( t > 0 ) . Phương trình trở thaønh
t 2 − 2( 3 − x ) t + 2 x − 7 = 0 . ∆/ = ( 3 − x ) 2 − ( 2 x − 7 ) = x 2 − 8 x + 16 = ( x − 4 ) 2 . Khi đó:
t = 3 − x + x − 4 = −1 ( l )
t 2 − 2( 3 − x ) t + 2 x − 7 = 0 ⇔ 
t = 3 − x − x + 4 = 7 − 2 x

Với t = 7 –2x ta được 5 x = 7 − 2 x
• x = 1 là nghiệm
5 x > 5
⇒ 5 x > 7 − 2x
• x > 1. Vì: 
5 − 2x < 5


5 x < 5
⇒ 5 x < 7 − 2x
• x < 1. Vì: 
5 − 2 x > 5
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất phương trình đã cho
2
6/ log 3 ( x + 1) + ( x − 5) log 3 ( x + 1) + 6 − 2 x = 0
Đặt t = log 3 ( x − 1) . Phương trình trở thành

Điều kiện: x > –1

t 2 + ( x − 5) t + 6 − 2 x = 0 . ∆ = ( x − 5) 2 − 4( 6 − 2 x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) 2 . Khi đó:

 − x + 5 + x −1
=2
t =
2
2
t + ( x − 5) t + 6 − 2 x = 0 ⇔ 
t = − x + 5 − x + 1 = 3 − x

2


Với t = 2 ⇒ log 3 ( x + 1) = 2 ⇔ x = 8
Với t = 3 –x ⇒ log 3 ( x + 1) = 3 − x (1)
•

x = 2 là nghiệm

•

x > 2 ⇒ x + 1 > 3. Vì:

log 3 ( x + 1) > log 3 3 = 1
⇒ log 3 ( x + 1) > 3 − x

3 − x < 1


log 3 ( x + 1) < log 3 3 = 1
⇒ log 3 ( x + 1) < 3 − x

3 − x > 1

•

0 < x < 2 ⇒ x + 1 < 3. Vì:

•

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)

Tập nghiệm của phương trình ñaõ cho S = { 2 ; 8}
7/ log 6 3 x + 6 x = log 64 x Điều kiện: x > 0

(

)

t
Đặt: t = log 64 x ⇔ x = 64 , ta coù:

3

(

x = 3 64 t = 4 t vaø

6

x = 6 64 t = 2 t
t

)

t

 2 1
Phương trình trở thành: log 6 4 t + 2 t = t ⇔ 4 t + 2 t = 6 t ⇔   +   = 1 (1)
 3  3
• t = 1 là nghieäm
 2  t  2 1

  <  
t
1
 3   3 
 2 1
⇒   +  <1
• t>1 
x
1
 3 3
1
 1 
  < 
 3 
 3

 2  t  2 1
  >  
t
1
 3   3 
 2 1
⇒   +  >1
• t<1 
x
1
 3   3
1
 1 
  > 

 3 
 3

• t = 1 là nghiệm duy nhất của (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 64

Hệ phương trình mũ và logrit
 x + y = 11
1/ 
log 2 x + log 2 y = 1 + log 2 15
 x + y = 11
⇔

log 2 x + log 2 y = 1 + log 2 15

Điều kiện: x > 0 vaø y > 0
 x + y = 11
⇔

log 2 xy = log 2 30

 x + y = 11
.

 xy = 30
X = 5
x, y laø nghiệm phương trình: X2 –11X + 30 = 0 ⇔ 
. Nghiệm của hệ:(5 ; 6), (6 ; 5)
X = 6

(

)

lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8
2/ 
Điều kiện: x + y > 0 và x –y > 0
lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg 3
lg x 2 + y 2 = 1 + lg 8
lg x 2 + y 2 = lg 10 + lg 8
lg x 2 + y 2 = lg 80
⇔
⇔

lg( x + y ) − lg( x − y ) = lg 3
lg( x + y ) = lg 3 + lg( x − y )
lg( x + y ) = lg 3( x − y )

(

)

(

)

(

)

 y = 4

( 2 y ) 2 + y 2 = 80
 x 2 + y 2 = 80
 x 2 + y 2 = 80
 y 2 = 16
 x = 8
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ 
 y = −4
 x + y = 3x − 3 y
x = 2 y
x = 2 y
x = 2 y

  x = −8


Nghieäm của hệ (8 ; 4)
3 x .2 y = 972
3 x .2 y = 972 3 y +3.2 y = 972 6 y = 36
y = 2

3/ 
⇔
⇔
⇔

⇔
ÑS: (5 ; 2)
log 3 ( x − y ) = 2
x − y = 3
x = y + 3
x = y + 3 x = 5

x 2 − y 2 = 3
( x − y )( x + y ) = 3
4/ 
⇔
log 3 ( x + y ) − log 5 ( x − y ) = 1 log 3 ( x + y ) − log 5 3. log 3 ( x − y ) = 1
log 3 ( x − y ) + log 3 ( x + y ) = 1
u = log 3 ( x + y )
⇔
Đặt 
hệ trở thành
log 3 ( x + y ) − log 5 3. log 3 ( x − y ) = 1
v = log 3 ( x − y )


u + v = 1
u + v = 1
v = 0 log 3 ( x + y ) = 0  x + y = 1  x = 2
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔


u − log 5 3.v = 1 (1 + log 5 3) v = 0 u = 1 log 3 ( x − y ) = 1  x − y = 3  y = 1
3 y +1 − 2 x = 5
3.3 y − 2 x = 5
3.3 y − 2 x = 5
3.3 y − 2 x = 5




5/  x
⇔  2x
⇔  2x
⇔  2x
⇔
y
y
x
4 − 6.3 + 2 = 0
2 − 6.3 + 2 = 0 2 − 2 2 + 5 + 2 = 0
2 − 2.2 x − 8 = 0




3.3 y − 2 x = 5
 y
 x
3 = 3  x = 2
2 = 4
⇔ x

⇔
ÑS: (2 ; 1)

2 = 4  y = 1
 x


2 = −2

(

)

 x y
 2 x + y = 32 2 x + y = 5
x = 1
4 .2 = 32
2
6/  8 x +1
⇔
y ⇔  8 x +1
3y ⇔ 
3
3
= 27
=3
8 x − 3 y = −1  y = 3


 x log8 y + y log8 x = 4

7/ 
Điều kiện: 0 < y ≠ 1 vaø x > 0
log 4 x − log 4 y = 1
 x log8 y + y log8 x = 4
 y log8 x = 2
⇔
⇔

log 4 x − log 4 y = 1 log 4 x − log 4 y = 1

log 8 x. log 2 y = 1
⇔

log 4 x − log 4 y = 1

log 2 y + 2 log 2 y − 3 = 0
( 2 + log 2 y ) log 2 y = 3
2
⇔
⇔
⇔
log 2 x = 2 + log 2 y

log 2 x = 2 + log 2 y
log 2

log 2
⇔ 
log
 2

log 2


x 2 −5 x + 4

log 2 x. log 2 y = 3

log 2 x − log 2 y = 2

log 2 y = 1

log 2 y = −3
log x = 2 + log y
 2
2

x=3
y =1

1 1
ÑS: ( 8 ; 2 ) ,  ; 
 2 8

x = −1
y = −3

I/ Cùng cơ số
1
1/  
2

ĐS: (1 ; 3)

Bất phương trình mũ và logarit

1
> 4 ⇔ 
2

x 2 −5 x + 4

−2

1
>   ⇔ x2 –5x + 6 < 0
2

ÑS: 2 < x < 3

x−4

2
< 2 .3
2/ 2 .3
⇔ 2 .3 < 1 ⇔   < 1 ⇔ x – 4 > 0 ÑS: x > 4
3
1 − 2x

1 − 2 x
 − 3x

log 2
>0
>1

 1+ x
1 + x > 0
1 − 2x 




1+ x
>0 ⇔ 
3/ log 1  log 2
⇔
⇔
1+ x 
3
log 1 − 2 x < 1
1 − 2 x < 2
 − 1 − 4x < 0
 2 1+ x
 1+ x
 1+ x



− 1 < x < 0
1


⇔
1 ÑS: − < x < 0
4
 x < −1 ∨ x > − 4

2 x +3

2 x +3

x +7

3 x −1

x −4

4− x

1

4
1
1 − 4x
1
1 x
1
≥ 0⇔0 < x ≤
4/   ≤   ⇔ ≥ 4 ⇔
 
 
x

x
4
2
2
x 2 + 6x + 8 > 0
x 2 + 6x + 8 > 0


2
5/ log 0,5 ( 5 x + 10 ) < log 0,5 x + 6 x + 8 ⇔ 
⇔ 2
2
5 x + 10 > x + 6 x + 8
x + x − 2 < 0


 x < −4 ∨ x > −2
⇔
⇔ –2 < x < 1
− 2 < x < 1

(

)


6/ log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 2 ) ≤ 1 Điều kiện x > 3
log 2 ( x − 3) + log 2 ( x − 2 ) ≤ 1 ⇔ log 2 ( x − 3)( x − 2 ) ≤ 1 ⇔ x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4
So lại điều kiện, ta được:: 3 < x ≤ 4
x 2 − 5x + 6 > 0

x < 2 ∨ x > 3

7/ log 2 ( x − 3)( x − 2 ) ≤ 1 ⇔  2
⇔ 
ÑS: 1 ≤ x < 2 ∨ 3 < x ≤ 4
x − 5x + 4 ≤ 0
1 ≤ x ≤ 4

 1
 3 < x < 1
 1
 1


 3 < x < 1
 3 < x < 1

 3 x − 1 < 1 
1
3x − 1
 x 2 − 3x + 2 > 0  x < 1 ∨ x > 2  < x < 1
2
 x + 1


>0 ⇔ 
8/ log x 2
⇔
⇔
⇔ 3



x +1

1 < x < 2
 x > 1
 x > 1
 x > 1

 2
 3 x − 1

 1< x < 2

 2
> 1  x − 3x + 2 < 0 
 x + 1
1
⇔ x ∈ ( ; 2) \ {1}
3
x −2
x +1
9/ 2
⇔ 2 x −2 > 2 2 x +1 ⇔ x − 2 > 2 x + 1 ⇔ 3x2 +12x < 0 ⇔ − 4 < x < 0
>4
 1
 4 < x < 1


 4 x − 1

2
1
1

10/ log x  x −  ≥ 2 ⇔  4 ≤ x ⇔ < x < 1

4
4


 x > 1

2
( 2 x − 1) ≤ 0
1

log 9 x < 2

1 − 2 log 9 x > 0
1

x < 1 ⇔ 
⇔
⇔ < x<3

3
1 − 2 log 9 x < 2

log x > − 1
 9

2

x − 1 > 0
x > 1
log 1 ( x − 1) ≥ −2
12/
⇔
⇔
Vaäy: x ∈ (1 ; 10]
3
x − 1 ≤ 9
 x ≤ 10

11/ log 2 1 + log 1 x − log 9

9


log 4 x − 3 > −1
13/ log 4 x − 3 < 1 ⇔ 
log 4 x − 3 < 1
 x > 16
⇔
⇔ 16 < x < 256
 x < 256

log 4 x − 3 > −1
⇔
log 4 x − 3 < 1

log 4 x > 2
⇔
log 4 x < 4

5
14/152x + 3 > 53x + 1.3x + 5⇔ 5 2 x +3.3 2 x +3 > 5 3 x +1.3 x +5 ⇔ 5 − x + 2.3 x − 2 > 1 ⇔  
 3
15/ Điều kiện:x > 0, x = 1 là nghiệm bất phương trình đã cho

(6

2 −x

> 1⇔ x < 2

)

log 6 x log 6 x

log x
log x
+ x log 6 x < 12 ⇔ ( x ) 6 + x 6 < 12
1
⇔ x log6 x < 6 ⇔ ( log 6 x ) 2 < 1 ⇔ − 1 < log 6 x < 1 ⇔ < x < 6
6
2

⇔

6 log 6 x + x log6 x < 12

II/ Đặt ẩn phuï.
1/ 3 − 3
x

− x+2

3 x < −3
9
2x
x
+ 8 > 0 ⇔ 3 − x + 8 > 0 ⇔ 3 + 8 .3 − 9 > 0 ⇔  x
⇔x>0
3
3 > 1

x


log 2 x ≤ −2
2/ log x + log 2 4 x − 4 ≥ 0 ⇔ log x + log 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ 
⇔
log 2 x ≥ 1
2
2

2
2

3/ 9.4

1
x

+ 5.6

−

1
x

< 4.9

−

1
x

3
⇔ 9. + 5. 
 
2

−

1
x

9
< 4. 

4

−

1
x

⇔ 4. 3 
 
2

1
−

3 x
  < −1
 2 
1
2x + 1
1
<0 ⇔ − ⇔ 
⇔ − >2 ⇔
1
x
x
2
 3  − x 9
  >
4

 2 

4/ 4

ÑS:

1
∨x≥2
4

0< x≤
−

1

0 < x ≤ 4

x ≥ 2

x 2 +5 − x

≤ −4 ⇔ 4

x 2 +5 − x + 2

−2

x 2 +5 − x

− 4.2

x 2 +5 − x

 1
2 − 
 x

(

+4≤ 0⇔ 2

3
− 5 
2

x 2 +5 − x

−

1
x

)

−9 > 0

2

−2 ≤0

⇔ 2 x +5 − x − 2 = 0 ⇔ 2 x +5 − x = 2 ⇔ x 2 + 5 − x = 1 ⇔ x 2 + 5 = x + 1
x + 1 ≥ 0
 x ≥ −1
 x ≥ −1
⇔ 2
⇔ 2
⇔
⇔x=2
2
2
4 = 2 x
x + 5 = x + 2x + 1
x + 5 = x + 2x + 1
2

5/

2

(

)

(

log 1 4 x + 4 ≥ log 1 2 2 x +1 − 3.2 x
2

2

)⇔2

2x

+ 4 ≤ 2.2 2 x − 3.2 x

⇔ − 2 2 x + 3.2 x + 4 ≤ 0

 2 x ≤ −1
⇔  x
⇔x≥2
2 ≥ 4


(

6/ 3 + 2 2

)

x −1

(

≥ 3−2 2

)

x −1
x +1

⇔

(3 + 2 2 )

x −1

(

≥ 3+ 2 2

)

1− x
x +1

⇔ x −1 ≥

1− x
⇔
x +1

1− x
1− x +1− x2
− x2 − x + 2
+1− x ≤ 0 ⇔
≤ 0⇔
≤ 0 .Vaäy: x ∈ [ − 2 ; − 1) ∪ [1 ; + ∞ )
x +1
x +1

x +1
lg x

2 + lg x 2

lg x

lg x

lg x

3
⇔ 4− 
2

lg x

lg x

9
> 18  ⇔
7/ 4
⇔ 4.4 − 6 > 18.9
− 6 > 2.3
4
2 lg x
lg x
lg x
1 


1 3
4
3
3

18 
+   − 4 < 0 ⇔ − <   < ⇔ lgx < –2 . Vaäy: x ∈  0 ;
 100 
2 2
9
2
2
8/ x log 4 x − 2 < 2 3( log 4 x −1)
ÑS: 2 < x < 64
2
9/ log x (125 x ). log 25 x < 1 . Điều kiện : 0 < x ≠ 1
log x (125 x ). log 2 x < 1 ⇔ log 25 x. log x (125 x ). log 25 x < 1 ⇔ log 25 (125 x ). log 25 x < 1
25
1+ lg x

⇔ ( log 25 125 + log 25 x ). log 25 x < 1 ⇔ ( 3 + log 5 x ). log 5 x < 4
 1

2
; 5
⇔ log 5 x + 3 log 5 x − 4 < 0 ⇔ − 4 < log 5 x < 1 . Vaäy: x ∈ 
 625 
2
10/ x . log x 27. log 9 x > x + 4
Điều kieän : 0 < x ≠ 1

3
x 2 . log x 27. log 9 x > x + 4 ⇔ x 2 log 9 x. log x 27 > x + 4 ⇔ x 2 − x − 4 > 0 ÑS: x > 2
2
x
2.3 − 6
1
1
1
1
≤ 0 ⇔ 1 < 3x ≤ 3
≤ x +1
−
≤ 0⇔ x
11/ x
⇔ x
x
3 + 5 3.3 x − 1
3 + 5 3 −1
3 + 5 3.3 − 1

(

12/

log x + log a x + 2
>1
log a x − 2
2
a

( 0 < a ≠ 1)

)(

)

log x + 4
> 0 ⇔ log a x − 2 > 0 ⇔ log a x > 2
log a x − 2
2
a

ÑS: a > 1 ⇒ x > a2 ; 0 < a < 1 ⇒ 0 < x < a2
13/ Điều kiện: x > 0


4 + log 3 x
< log 3 243 ⇔ ( 4 + log 3 x ) log 3 x < 5
⇔ log 3 x
 1

2
; 3
⇔ log 3 x + 4 log 3 x − 5 < 0 ⇔ −5 < log 3 x < 1 Vaäy: x ∈ 
 243 
2
14/ 3 2+ lg x < 3lg x +5 − 2 ⇔ 9.3 lg x < 243.9 lg x − 2 ⇔ 243.3 2 lg x − 9.3 lg x − 2 > 0
2
 lg x
3 < − 27

1
⇔ 
⇔ lg x > −2 ⇔ x >
100
3lg x > 1

9

2
2
2x 2 −x
15/ 6.9
− 13.6 2 x − x + 6.4 2 x − x ≤ 0

x 4 +log3 x < 243

2x 2 −x

2x 2 −x

9
 3
− 13 
+6≤0 ⇔
6.9 2 x − x − 13.6 2 x − x + 6.4 2 x − x ≤ 0 ⇔ 6. 
4
 2
2 x 2 − x + 1 ≥ 0
2x 2 −x


1
2  3
3
⇔ –1 ≤ 2x2 – x ≤ 1 ⇔  2
⇔ − ≤ x ≤1
≤ 
≤
2
3  2
2
2 x − x − 1 ≤ 0

2

2

2

III/ Một số bài toán có tham số
2
2
1/ Tìm m để phương trình: log 3 x + log 3 x + 1 − 2m − 1 = 0 có nghiệm trong đoạn

[1 ; 3 ]
3

ĐS: 0 ≤ m ≤ 2

(

)

(

x

)

x

2/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 7 + 3 5 + m 7 − 3 5 = 2 x +3
ĐS: m ∈ (0 ; 16)
2
2
2
3/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 2 sin x + 3cos x ≥ m.3sin x
ĐS: m ≤ 4
x
x
4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 4 – 4m(2 –1) = 0
ÑS: m∈ (–∞ ; 0 ) ∪ [1 ; +∞ )
5/ Xác định các giá trị của m để bpt sau có nghiệm: 4x – m2x+1 + 3 –2m ≤ 0
ĐS: m ≥ 1
6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu : m.9 x + 3(m –1)3x –5 + 2m = 0
5
ÑS:0 < m <
2

(

) (

)

x

x

7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm: 2 + 3 + 2 − 3 = m
ĐS : m ≥ 2
8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x
m  2
m 
m 



 2 − log 2
 x − 21 + log 2
 x − 21 + log 2
>0
m + 1
m + 1
m + 1



ĐS: 0 < m < 1
2
9/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: lg x + mx = lg( x − 3)

ĐS: m > –3
10/ Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x
3
9 x − 2( m + 1)3 x − 2m − 3 > 0 ĐS: m ≤ −
2
2
11/ Tìm để phương trình sau có nghiệm . log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 3 − 2 x − x = 0

(

(

log 0,5 ( m + 6 x ) + log 2 3 − 2 x − x

)

(

2

) = 0 ⇔ log ( m + 6 x ) = log (3 − 2 x − x )

)

2

2

2


− 3 < x < 1
− x − 2 x + 3 > 0
⇔
2
2 ⇔ 
m + 6 x = 3 − 2 x − x
m = − x − 8 x + 3

2
Xeùt: f ( x ) = − x − 8 x + 3 trên khoảng ( − 3 ; 1)
f / ( x ) = −2 x − 8
f / ( x ) = 0 ⇔ x = −4
f ( − 3) = 18 và f (1) = −6
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: –6 < m < 18
2


IV. Một số bài tốn khác
1/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = log 4 x + 12 log 2 x. log 2
2
2

8
trên khoảng ( 1 ; 16)
x

Giải.
8
= log 4 x + 12 log 2 x.( 3 − log 2 x )

2
2
x

y = log 4 x + 12 log 2 x. log 2
2
2

Đặt: t = log 2 x

x ∈ (1 ; 16) ⇒ t∈ (0 ; 4)
Xét: g( t ) = t 4 + 12t 2 ( 3 − t ) = t4 +36t2 –12t3 trên (0 ; 4)
g/(t) = 4t3–36t2 +72t
g/(t) = 0 ⇔ x = 0 (l) ∨ x = 3 ∨ x = 6 (l). Lập bảng biến thiên
2
2/ Giải phương trình: log 2 ( x − 4 ) + log 2 ( 2 x − 1) = 4 log 2 3
Giải
1
và x ≠ 4
2
2
log 2 ( x − 4 ) + log 2 ( 2 x − 1) = 4 log 2 3 ⇔ log 2 ( x − 4 ) 2 + log 2 ( 2 x − 1) 2 = log 2 81

Điều kiện : x >

⇔ log 2 [ ( x − 4 )( 2 x − 1) ]

2

2 x 2 − 9 x + 4 = 9

= log 2 81 ⇔ (2x –x –8x + 4) = 81 ⇔  2
⇔
 2 x − 9 x + 4 = −9

2

1

x = − 2
⇔
( vn )  x = 5


2 x 2 − 9 x − 5 = 0
 2
2 x − 9 x + 14 = 0


(

2

(l)

)

3/ Giải phương trình: lg x 2 − x − 6 + x = lg( x + 2) + 4
Giải:

x 2 − x − 6 > 0

⇔x>3
x + 2 > 0


Điều kiện: 

(

)

lg x 2 − x − 6 + x = lg( x + 2) + 4 ⇔ lg( x − 3)( x + 2 ) + x = lg( x + 2) + 4 ⇔
lg( x − 3) = 4 − x

4/ Giải phương trình: 8 log 4 x 2 − 9 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 + log 2 ( x − 3) 2
Giải
 x2 − 9 > 0

2 log ( x + 3) 2 ≥ 0

4
Điều kiện: 
⇔ x < –3 ∨ x > 3
( x − 3) 2 > 0

( x + 3) 2 > 0

8 log 4 x 2 − 9 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 + log 2 ( x − 3) 2

(

)4

⇔ log 4 x 2 − 9 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 + log 2 ( x − 3) 2
⇔ log 4 ( x − 3) 4 + log 4 ( x + 3) 4 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 + log 2 ( x − 3) 2
2

⇔ 2 log 4 ( x + 3) 2 + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 = 10 ⇔  2 log 2 ( x + 3) 2  + 3 2 log 4 ( x + 3) 2 − 10 = 0




 2 log ( x + 3) 2 = 2
4

⇔ 
2
 2 log 4 ( x + 3) = −5




x = 1

⇔ log 4 x + 3 = 1 ⇔ x + 3 = 4 ⇔ 
 x = −7
( vn )
4 log3 ( xy ) − 2 = 2 log3 ( xy )


5/ Giải hệ phương trình: 

(

)

1
2
2
log 4 4 x + 4 y = + log 4 ( x + 3y )
2


( loai)


Giải
Điều kiện: x > 0, y > 0
4

log 3 ( xy )

(

−2=2

log3 ( xy )

)

⇔2

2og 3 ( xy )

−2

log 3 ( xy )

(

2 log3 ( xy ) = 2
− 2 = 0 ⇔  log ( xy )
2 3
= −1


( vn )

)

⇔ log3(xy) = 1 ⇔ xy = 3

1
+ log 4 ( x + 3y ) ⇔ log 2 4 x 2 + 4 y 2 = 1 + log 2 ( x + 3y )
2
⇔ log 2 4 x 2 + 4 y 2 = og 2 ( 2x + 6 y )
3

3
3
3




y = x
y=


y =
y =
x
x
x
Ta có hệ: 
⇔
⇔
⇔
2
 4 x 2 + 4 y 2 = x + 3y
4x 2 + 4 3  = x + 1
x 4 − 9x 2 + 18 = 0
x 2 = 3 ∨
 




x
x

2 log 3 y = log 2 x − 1

1

6/ Giải hệ phương trình: 
2
log y = ( log x − 1). log 3
2
2
 2
log 4 4 x 2 + 4 y 2 =

(

)

x2 = 6

Giải
Điều kiện: x > 0
2 log 3 y = log 2 x − 1
2 log 3 y = ( − log 2 x ) 2 − 1
1



2 log 3 y = log 2 x − 1
2
⇔
⇔

2

log 2 3. log 3 y = ( log 2 x − 1). log 2 3
log 3 y = log 2 x − 1
log y = ( log x − 1). log 3


2
2
 2
2( log 2 x − 1) = log 2 x − 1
log 2 x − 2 log 2 x + 1 = 0


2
⇔
⇔ 2
⇔
log 3 y = log 2 x − 1
log 3 y = log 2 x − 1


x = 2
⇔
y = 1

7/ Giải bất phương trình:

(

) log x − (

10 − 1

)t (

log 2 x = 1
log 2 x = 1

⇔
log 3 y = log 2 x − 1
log 3 y = 0

)

10 + 1

3

) log x ≥ 2 x
3
3

Giải:
Nhận xét: 10 + 1 10 − 1 = 9
Điều kiện: x > 0
Đặt: t = log 3 x ⇔ x = 3t

(

)(

)

(

t

t

 10 + 1   10 − 1 
t
2
2
 

10 − 1 ≥ .3 t ⇔ 
Bất phương trình trở thành:
 3  − 3  ≥ 3
3

 


1 + 10
t
u ≥
 10 + 1 
1 2
3
 , ta được: u − ≥ ⇔ 3u2 – 2u – 3 ≥ 0 ⇔ 
Lại đặt : u = 

 3 

u 3
1 − 10


( vn )
u ≤
3

10 + 1 −

t

 10 + 1 
 ≥ 10 + 1 ⇔ t ≥ 1 hay: log3x ≥ 1 ⇔ x ≥ 3
Khi đó: 




3



3

log 2 ( y + 3x + 7 ) = 6

8/ Giải hệ phương trình:  x

2.8 + 2 y+ 2 = 17.2 y +3x −1


Giải

log 2 ( y + 3x + 7 ) = 6



 y + 3x + 7 = 8
 y = 1 − 3x
⇔  3x
 x
y +3
y + 3x ⇔ 
4.2 + 2
4.2 3x + 2 y+3 = 17.2 y+3x
= 17.2
2.8 + 2 y+ 2 = 17.2 y +3x −1







 y = 1 − 3x
 y = 1 − 3x
 y = 1 − 3x
 y = 1 − 3x

⇔  3x
⇔  3x
⇔  6x
⇔  3x
4 −3 x
−3 x
3x
4.2 + 2
4.2 + 16.2
4.2 − 34.2 + 16. = 0
2 = 8 ∨ 2 3x = 2 −1
= 34
= 34






 y = 1 − 3x

⇔
1
x = 1 ∨ x = − 3


(

)

1
2

9/ Giải phương trình: log 3 x 3 + 1 = log 3 2 x − 1 + log

3

( x + 1)

Giải
1
2
1
+ 1 = log 3 2 x − 1 + log 3 ( x + 1) ⇔ log 3 x 3 + 1 = log 3 2 x − 1 + log 3 ( x + 1)
2
3
x + 1 = log 3 2 x − 1 ( x + 1) ⇔ x 3 + 1 = 2x − 1 ( x + 1) ⇔ x 2 − x + 1 = 2 x − 1 ( do x > –1)

Điều kiện: x > –1 và x ≠

(

log 3 x 3

⇔ log 3

(

)

(

)

x 2 − x + 1 = 1 − 2x
⇔  2
( do x2 –x + 1 > 0 ∀ x ) ⇔
 x − x + 1 = 2x − 1


)

x 2 + x = 0

 x 2 − 3x + 2 = 0


10/ Giải phương trình:

log 2 ( 5 − 2x ) + log 2 ( 5 − 2 x ). log 2 x +1 ( 5 − 2x ) = log 2 ( 2x − 5) 2 + log 2 ( 2x + 1). log 2 ( 5 − 2x )
1
2

 1 1
 4 2




ĐS: S = − ; ; 2

Giải
5

x < 2
5 − 2x > 0


Điều kiện: 
⇔
0 < 2 x + 1 ≠ 1
x > − 1

2


∧ x≠0

log 2 ( 5 − 2x ) + log 2 ( 5 − 2 x ). log 2 x +1 ( 5 − 2x ) = log 2 ( 2x − 5) 2 + log 2 ( 2x + 1). log 2 ( 5 − 2x )
1
2

⇔ log 2 ( 5 − 2 x ) + log 2 ( 5 − 2x ). log 2 x +1 ( 5 − 2 x ) = 2 log 2 ( 5 − 2 x ) + 2 log 2 ( 2 x + 1). log 2 ( 5 − 2 x )
2
log ( 5 − 2 x )

2
2
⇔ log 2 ( 5 − 2 x ) + log 2 ( 5 − 2x ). log ( 2 x + 1) = 2 log 2 ( 5 − 2x ) + 2 log 2 ( 2x + 1). log 2 ( 5 − 2x )
2

log 2 ( 5 − 2x ) = 0
log 2 ( 5 − 2x ) = 0




1
⇔ log ( 5 − 2x ) + log 2 ( 5 − 2 x ) = 2 + 2 log ( 2x + 1) ⇔ 
log 2 ( 5 − 2x ) 1 +
2
2
 = 2[1 + log 2 ( 2x + 1) ]


log 2 ( 2 x + 1)

 log 2 ( 2x + 1) 

log 2 ( 5 − 2x ) = 0

⇔ 1 + log 2 ( 2 x + 1) = 0

2
log 2 ( 5 − 2x ) = log 2 ( 2 x + 1)

2
2
2
11/ Giải phương trình: 4 x + x + 21− x = 2 ( x +1) + 1
ĐS: S = { − 2;−1 ; 0 ; 1 }

Giải

2
2
2
2
2
2
4 x + x + 21− x = 2 ( x +1) + 1 ⇔ 2 2 x + 2 x + 21− x = 2 ( x +1) + 1
u = 2 x 2 + 2 x

Đăt: 
, (u > 0, v > 0)
2
v = 21− x


ta được: u + v = uv + 1 ⇔ u –uv + v –1 = 0 ⇔ u(1 –v) – (1 –v) = 0 ⇔ (u –1)(1 –v) = 0

u = 1

⇔ 
v = 1

12/ Giải bất phương trình:

log 1
2

Giải

x +1
< − log 2 x
1− x

ĐS: 0 < x < 1


x +1
>0

Điều kiện: 1 − x
⇔0x > 0

x +1
< − log 2 x ⇔ − log x + 1 < − log x ⇔ log x + 1 > log x ⇔ x + 1 > x
2
2
2
2
1− x
1− x
1− x
1− x
2
2
x +1
− x > 0 ⇔ x +1− x + x > 0 ⇔ 1 – x > 0 ⇔ x < 1

⇔
1− x
1− x
2 x .4 y = 64

13/ Giải hệ phương trình: 
 x + y =3

log 1

Giải
2 x .4 y = 64
2 x .2 2 y = 64
2 x + 2 y = 64
x + 2 y = 6





⇔
⇔
⇔
⇔
 x + y =3
 x + y =3
 x + y =3
 x + y =3






( )

(

)

x + 2 3 − x 2 = 6


 x + y =3


3 x 2 − 12 x + 12 = 0
 x =2
 x =2
x = 4



⇔
⇔ 
⇔
⇔
 x + y =3
 y =1
y = 1
 x + y =3




3 lg x = 4 lg y

14/ Giải hệ phương trình: 
( 4x ) lg 4 = ( 3y ) lg 3


Giải:
Điều kiện: x > 0 và y > 0
lg 3

3 lg x = 4 lg y
. lg x
lg x. lg 3 = lg y. lg 4

lg y =
lg 4

⇔
⇔
( 4x ) lg 4 = ( 3y ) lg 3
lg 4. lg( 4x ) = lg 3. lg( 3y )
lg 4( lg 4 + lg x ) = lg 3( lg 3 + lg y )


lg 3

lg 3


lg y = lg 4 . lg x

lg y = lg 4 . lg x
⇔
⇔
lg 4( lg 4 + lg x ) = lg 3 lg 3 + lg 3 lg x 
 2 (
2




lg 4 lg 4 + lg x ) = lg 3( lg 4 + lg x )

lg 4



lg 3
1

1

lg 3

lg y = − lg 3
lg y = lg 4 . lg 4
y = 3
lg y =

. lg x




lg 4
⇔
⇔
⇔ 1
⇔
x = 1
x = 4
x = 1
lg x = − lg 4




4

4

4 log3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log3 2

15/ Giải hệ phương trình:  2
x + y 2 − 3( x + y ) = −2


Giải

4 log3 ( xy ) = 2 + ( xy ) log3 2
2 2 log3 ( xy ) = 2 + 2 log3 ( xy )
2 2 log3 ( xy ) − 2 log3 ( xy ) − 2 = 0



 2
⇔ 2
⇔ 2
2
2
x + y − 3( x + y ) = −2
x + y − 3( x + y ) = −2
x + y 2 − 3( x + y ) = −2



log3 ( xy )
log3 ( xy )
2
log 3 ( xy ) = 1
= −1 ( vn ) ∨ 2
=2


⇔ 2
⇔
2
( x + y ) 2 − 3( x + y ) − 2xy = −2
x + y − 3( x + y ) = −2



xy = 3
xy = 3

⇔
2
( x + y ) − 3( x + y ) − 4 = 0
x + y = −1 ∨


⇔

x + y = −1
(vn)
xy = 3

Với: 

x + y = 4
xy = 3

Với: 

x+y=4


X, y là nghiệm phương trình: X2 –4X + 3 = 0 ⇔ X = 1 ∨ X = 3
Nghiệm của hệ: (1 ; 3) , (3 ; 1)
16/ Tìm tất cả các giá trị cũa m để phương trình sau có nghiệm: log 3 x + log 3 ( x − 2 ) = log

Giải
Điều kiện: x > 2 và m > 0
log 3 x + log 3 ( x − 2 ) = log 3 m ⇔ log x ( x − 2) = log m 2 ⇔ x2 –2x = m2
3
3
2
Xét hàm số f(x) = x –2x trên khoảng (2 ; +∞ )
f/(x) = 2x –2
f/(x) = 0 ⇔ x = 1 ∉ (2 ; +∞ )
lim f ( x ) = 0 , lim f ( x ) = +∞

x →2 +

x →+∞

Lập bảng biến thiên
3
3
17/ Giải phương trình: 3 x + x − 2.3 x − x − 3 2 x + 2 = 0
Giải

ĐS: S = { − 1 ; 0 ; 1 }

u = 3 x 3 + x

Đặt: 
(u, v > 0) , suy ra: uv = 32x
x −x3
v = 3


Ta được: u –2v – uv + 2 = 0 ⇔ u – uv –2v + 2 = 0 ⇔ u(1 –v) +2(1 –v) = 0
⇔ (1 –v)(u + 2) = 0 ⇔ v = 1
2x 2 + 2xy − 3x − y + 1 = 0

18/ Giải hệ phương trình: 
2
2
2
2
4 x + y − 2 x + y − 2 = 0


Giải
2x 2 + 2xy − 3x − y + 1 = 0
2x 2 − 3x + 1 + 2xy − y = 0



⇔
2
2
2
2
2
2
2
2
4 x + y − 2 x + y − 2 = 0
2 2 x + y − 2 x + y − 2 = 0



( x − 1)( 2 x − 1) + y( 2 x − 1) = 0


( 2x − 1)( x − 1 + y ) = 0
⇔  x 2 + y2
⇔ 2
2
2
x +y
x + y 2 = 1
2
= −1( vn) ∨ 2
=2



3

m