2 Bài toán của Xem Lôi Đơ (Sam Loyd)49982

2 Bài tốn của Xem Lơi-đơ (Sam Loyd)
Samuel Loyd là một trong những tác giả biên soạn câu đố
nổi tiếng ở Mỹ. Câu đố/Bài tốn của ơng rất tinh tế, đòi hỏi
người giải vận dụng khả năng tư duy nhạy bén.
Xin giới thiệu 2 bài tốn hay và khó của ông để các bạn
tham khảo

Bài 1:
Làng nọ có một thầy giáo tài năng nhưng lập dị. Ông mở
Sam Loyd, Mĩ,
(1841 - 1911).
một lớp học và định thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi
khác nhau, đồng thời trao phần thưởng cho học sinh nam
hoặc học sinh nữ vào mỗi ngày nếu tổng số tuổi của bên họ lớn hơn bên kia đúng 2
lần.
- Ngày đầu tiên, lớp chỉ có một nam sinh và một nữ sinh. Tuổi của cậu bé gấp đơi
tuổi cơ bé nên phần thưởng hơm đó thuộc về cậu bé.
- Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo 1 bạn gái đến trường. Hôm ấy tổng tuổi của 2 bạn
gái gấp đôi tuổi cậu bé. Hai cô bé nhận thưởng và chia nhau.
- Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo một trong những anh em của mình đến
trường. Số tuổi của hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi của hai bạn gái. Phần thưởng thuộc
về những cậu bé.
- Hôm sau nữa, chị gái của 1 trong hai nữ sinh đến trường. Tuổi của họ lại gấp đôi
tuổi của hai anh em nam snh nên các cô gái giành được phần thưởng.
Câu hỏi do Samuel Loyd đưa ra là: Cậu bé đầu tiên bao nhiêu tuổi, biết chị gái của
hai nữ sinh tham gia lớp học vào ngày cơ trịn 21 tuổi?

Giải

Cách 1: (Đây là cách lập phương trình thường áp dụng củ HS phổ thơng)
Gọi A là số tuổi của cô bé đầu tiên; B là số tuổi của cậu bé đầu tiên

Gọi C là số tuổi của Nữ sinh thứ 2; D là số tuổi của Nam thứ 2
Theo đề thì: Ngày 1: 2A = B
[1]
Ngày 2 : A + C = 2B Kết hợp [1]  (A +C) = 4A  C = 3 A [2]
1
ThuVienDeThi.com


Ngày 3 : 2× ( A+C)= B+D Kết hợp [1] & [2]  B + D = 8 A [3]
Ngày 4 : A+ C + 21= 2 × (B+D)  16 A = 4 A + 21
 12 A = 21  A = 21/12 = 1,75  Vậy có thể tính B = 3. 5

Cách 2: (Đây là 1 cách giải bất ngờ và thú vị)
Cậu bé ngày đầu tiên 2 tuổi 364 ngày, cô bé 1 tuổi 363 ngày ( 2=2x1).
Hôm sau cậu bé 3 tuổi, cô bé dẫn theo bạn gái 5 tuổi ( tổng 6 tuổi, cậu bé 3 tuổi).
Hôm thứ 3 cậu bé dẫn anh trai 11 tuổi (tổng 14 tuổi) cơ bé trịn 2 tuổi ( tổng 7
tuổi). Hôm thứ tư 2 cô bé dẫn chị 21 tuổi ( tổng 28 tuổi), tổng tuổi 2 cậu bé 14
tuổi.
Tuy nhiên, 2 kết quả trên không thực tế với H S Việt Nam, vì bé gái chưa đầy 2 tuổi
và bé trai 2 - 3,5 tuổi sao đi học được (!?).Ở Việt Nam cũng chẳng ai tính tuổi có số
lẻ thập phân.
Khơng biết ai có cách giải nào hay hơn không ?
Thao tôi phải tăng số tuổi nhân vật lên cho hợp lí. Chẳng hạn cho nhân vật thứ năm
= 35 tuổi thì xin mạn phép ông Lyod sửa đoạn cuối của Đề toán này như sau:
“…Một lớp học thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi khác nhau, và định trao phần
thưởng cho học sinh nam hoặc học sinh nữ vào mỗi ngày nếu tổng số tuổi của bên
nọ lớn hơn bên kia đúng 2 lần.
- Ngày đầu tiên, lớp chỉ có một nam sinh và một nữ sinh. Tuổi của cậu bé gấp đôi
tuổi cơ bé nên phần thưởng hơm đó thuộc về cậu bé.
- Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo 1 bạn gái đến trường. Hôm ấy tổng tuổi của 2 bạn

gái gấp đôi tuổi cậu bé. Hai cô bé nhận thưởng và chia nhau.
- Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo một trong những anh em của mình đến
trường. Số tuổi của hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi của hai bạn gái. Phần thưởng thuộc
về những cậu bé.
Hôm thứ tư, mẹ của 1 trong 2 cô gái đến trường…biét rằng bà mẹ 35 tuổi, Hỏi cậu
bé hôm đầu tiên bao nhiêu tuổi ?”
Theo cách giải thứ hai (t ín ) ta có bài giải :
H S Nam
H S nữ
So sánh
Ngày thứ 1 B (6T+363 ng ày)
A (3T+364 ngày)
B=2 A
Ngày thứ 2 B (6 T + 364 ngày) A(4T)+C(8T+363 ngày) A + C = 2B
Ngày thứ 3 B(7) T + D (17T)
A(4T)+C(8T+364 ngày) B = 2(A +C)
Ngày thứ 4 B + D (cộng 24 T)
A(4T)+C(9T) + E(35)
2B= A+C+35
2
ThuVienDeThi.com


Bài thứ hai

Một điều chủ muốn cắt từ một mảnh đất hình chữ nhật một dải đất có chiều rộng
khơng đổi dọc theo bốn bờ của mảnh đất (phần xanh trên hình bên) sao cho diện tích
phần cắt ra bằng diện tích phần cịn lại.
Trong cuốn sách của mình, Xem Lôi-đơ đưa
ra cách làm của người điền chủ (nhưng

không chứng minh): Lấy nửa chu vi hình
chữ nhật ban đầu trừ đi đường chéo của nó,
rồi chia cho 4, đó chính là chiều rộng của
dải đất được cắt ra.
Hãy chứng tỏ rằng cách làm trên là đúng.
Giải
* Chứng minh theo phương pháp đại số
Gọi a & b là các kích thước của hình chữ nhật, x là chiều rộng của dải đất cân chia.
Theo đề ta có PT
1/2 ab = (a – 2x)(b – 2x)
 8x2 – 4( a + b) x + ab =0
Giải PT bậc 2 với ∆’ = 4( a2 + b2) --> nhận được 1 nghiệm
Thay

ta có

(ĐPCM)

* Chứng minh bằng hình học
a/ Hình ban đầu là hình vng Diện tích S1 = a2
Hình cịn lại S2 = ½ S1 = ½ a2  Cạnh hình vng S1
 Cạnh hình vng S2 là



3
ThuVienDeThi.com


Nếu thay

x = ¼(2a –

vào cơng thức Loyd ta có
) 

(ĐPCM) Xem hình dưới

b/ Hình chữ nhật
Với a, b, d có số đo là “Bộ số Pytagor” ta có thể chứng minh bằng hình dưới
Chẳng hạn a = 8 m ; b= 6 m ; d = 10 m .
Thay b = 3/4a vào cơng thức Loyd ta có x = ½( a – b)  x = 1

* Trường hơp tổng quát vẫn CM bằng PT đại số như trên

PHH sưu tầm tư liệu & biên soạn bà giải 12/ 2015

4
ThuVienDeThi.com