Bài tập Đại số 10 Chương III: Phương trình và Hệ phương trình51604

Bài tập Đại số 10

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Vấn đề 1. Điều kiện xác định của phương trình
- Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu thì điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là cho mẫu thức
khác 0 (hoặc các mẫu thức đều khác 0).
P (x )
ĐKXĐ của phương trình có chứa
là Q(x ) ¹ 0
Q( x )
- Đối với phương trình có chứa ẩn trong căn bậc hai thì ĐKXĐ của phương trình là biểu thức trong căn
bậc hai lớn hơn hoặc bằng 0.
ĐKXĐ của phương trình có chứa

P (x ) là P (x ) ³ 0

- Đối với phương trình có chứa ẩn trong căn bậc hai ở dưới mẫu thì ĐKXĐ của phương trình là biểu
thức đó lớn hơn khơng.
P (x )
ĐKXĐ của phương trình có chứa
là Q(x ) > 0
Q( x )
- Ngồi ra trong một phương trình có thể kết hợp vừa chứa ẩn ở mẫu vừa chứa ẩn trong căn bậc hai,
khi đó ĐKXĐ của phương trình là sự kết hợp của các điều kiện đã nêu ở trên.
Bài tập áp dụng
Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
5
5

1) 3x +
= 12 +
x- 4
x- 4
1
3
4
2)
= 2
x+ 2 x- 2 x - 4
2x
1
6 - 5x
3)
+
=
3 - x 2x - 1 3x - 2
4)

5)

2x - 1 = 4x + 1

6)

3x - 2 +

7)

2x + 1

4 - 5x

4 - 3x = 1

+ 2x - 3 = 5x - 1

4x
3 - 5x
9x + 1
x- 2
8) 2
- 2
= 2
x - 4x + 3
x - 5x + 6 x - 6x + 8 x - 7x + 12
2

7x
7 - 2x

= 5x

Vấn đề 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp cơ bản giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Tìm điều kiện xác của phương trình.
- Quy đồng mẫu thức và khử mẫu đưa về phương trình bậc nhất, bậc hai.
- Giải phương trình tìm giá trị của x .
- Đối chiếu với điều kiện ban đầu để nhận, loại giá trị của x . Kết luận nghiệm của phương trình.
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:

x2 + x - 2
x+1
3x
1)
4)
= 10
+
= 4
2x - 2 2x - 3
x+ 2

DeThiMau.vn

1


Bài tập Đại số 10

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

2
2x - 2
=
x- 2
x- 2
x- 2 1
2
3)
=
x + 2 x x(x - 2)

2) x - 1 +

x + 1 2x - 1
+ 3= 0
x- 1 x- 2
x + 1 x - 1 2x + 1
6)
+
=
x+ 2 x- 2
x+1
5)

Vấn đề 3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
- Phương trình dạng:
ìï B ³ 0
A = B Û ïí
ïï A = B 2
ïỵ
- Phương trình dạng:
ìï A ³ 0 ( hoặc B ³ 0)
A = B Û ïí
ïï A = B
ỵ
- Phương trình dạng:

A+ B = C

+ Đặt điều kiện;
+ Bình phương cả hai vế đưa về dạng phương trình ở trên.

- Ngồi ra ta có thể đặt ẩn phụ để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai. Lưu ý khi đặt
ẩn phụ phải kèm theo điều kiện của ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ là lớn hơn hoặc bằng 0).
- Các hằng đẳng thức cần nhớ:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a 2 - 2ab + b2

a 2 - b2 = (a - b)(a + b)
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
8)

5x - 1 =

2x + 7 = 4

9)

x + 1-

3)

x 2 + x - 12 = 8 - x

10)

3x 2 + 5x + 8 -

4)

3x 2 - 9x + 1 = x - 2

11)

2x 2 + 5x + 2 - 2 2x 2 + 5x - 6 = 1

5)

x 2 + 2x + 4 =

12) x 2 + 2 x 2 - 3x + 11 = 3x + 4

6)

x 2 + 6x + 9 = 2x - 1

13) 2x - x 2 +

7)

2x + 1 = 2 +

14)

1)

2x - 3 = x - 3

2) x -

2- x

x- 3

3x - 2 -

2x - 3

x- 1= 1
3x 2 + 5x + 1 = 1

6x 2 - 12x + 7 = 0

x + 3 + 6 - x = 3 + (x + 3)(6 - x )

Vấn đề 4. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
- Phương trình dạng:

DeThiMau.vn

2


Bài tập Đại số 10

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

ìï B ³ 0
ïï
A= B
A = B Û ïí é

ïï ê
A= -B
ïï ê
ë
ỵê
- Phương trình dạng:
éA = B
A = B Û ê
êA = - B
ê
ë
* Chú ý: Ta có thể giải các phương trình này bằng định nghĩa của giá trị tuyệt đối.
Bài tập áp dụng
Giải các phương trình sau:
1) 4x + 7 = 2x + 5
5) 3x + 4 = x - 2
2) 2x + 3 = 3 + 2x

6) x 2 - 2x = x 2 - 5x + 6

3) x 2 - 4x - 5 = 4x - 17

7) x + x + 1 = 3x - 6

4) 4x - 17 = x 2 - 4x - 5

8) 2 x + 2 - x - 1 + x = 0

Vấn đề 5. Phương trình trùng phương
- Dạng: ax 4 + bx 2 + c = 0(a ¹ 0)

- Cách giải: Đặt ẩn phụ t = x 2 (t ³ 0) đưa phương trình đã cho về dạng at 2 + bt + c = 0 .
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1) x 4 - 3x 2 - 4 = 0
2) x 4 - 5x 2 + 4 = 0
3) x 4 + 5x 2 + 6 = 0

4) 3x 4 + 5x 2 - 2 = 0
5) x 4 + x 2 - 30 = 0
6) x 4 + 7x 2 - 8 = 0

Vấn đề 6. Phương trình bậc hai - Định lý Viet
Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) (* ) có D = b2 - 4ac
- Nếu D > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x =
- Nếu D = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép x = - Nếu D < 0 thì phương trình (*) vơ nghiệm.
Định lý Viet

- b± D
2a

b
2a

DeThiMau.vn

3


Bài tập Đại số 10

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

Hai số x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) khi và chỉ khi chúng
ìï
ïï S = x + x = - b
1
2
a
thoả mãn các hệ thức ïí
ïï
c
ïï P = x1x2 =
a
ỵï
Các trường hợp về dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0(a ¹ 0) (* )

(*) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0
ìï D ³ 0
(*) có hai nghiệm cùng dấu Û ïí
ïï P > 0
ỵ
ìï D ³ 0
ïï
(*) có hai nghiệm dương Û ïí P > 0
ïï
ïï S > 0
ỵ
ìï D ³ 0
ïï
(*) có hai nghiệm âm Û ïí P > 0

ïï
ïï S < 0
ỵ
Biểu thức đối xứng của nghiệm số của phương trình bậc hai

x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P
x13  x23  (x1  x2) (x1  x2)2  3x1x2   S(S2  3P )
1

x1
1

x12




1

x2
1

x22




S
P
S2  2P

P2

Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho phương trình (m  1)x 2  2(m  1)x  m  2  0 (1). Xác định m để:
a) (1) có nghiệm.
b) (1) có một nghiệm bằng 2 . Tính nghiệm cịn lại.
c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2 .
Bài 2. Cho phương trình x 2  2(2m  1)x  3  4m  0 (2)
a) Tính theo m , biểu thức A  x13  x23
b) Tìm m để (2) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
Bài 3. Cho phương trình x 2  2(m  1)x  m 2  3m  0 (3)
a) Tìm m để (3) có nghiệm x  0 . Tính nghiệm cịn lại.
b) Tìm m để (3) có hai nghiệm x1, x2 .
c) Tìm m để (3) có hai nghiệm x1, x2 thoả x12  x22  8

DeThiMau.vn

4


Bài tập Đại số 10

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

Bài 4. Cho phương trình mx 2  (2m  3)x  m  4  0 (4)
a) Tìm m để (4) có hai nghiệm x1, x2 .
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m .
Bài 5. Cho phương trình mx 2  (2m  1)x  m  2  0 (5). Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2
của (5) không phụ thuộc vào tham số m .
Bài 6. Cho phương trình x 2  2mx  1  0

a) Chứng minh phương trình trên ln có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x12  x22  x1x2  7
Bài 7. Tìm m để phương trình x 2  (4m  1)x  2(m  4)  0 có hai nghiệm x1, x2 thoả x1  x2  17
Bài 8. Tìm m để phương trình (m  1)x 2  2(m  2)x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả
mãn (4x1  1)(4x2  1)  18 .
Bài 9. Cho phương trình x 2  2(m  1)x  m  3  0 . Tính giá trị nhỏ nhất của P  x12  x22 (với x1, x2
là nghiệm của phương trình đã cho)
Bài 10. Xác định m để phương trình x 2  2(m  1)x  m 2  0
a) Có hai nghiệm dương phân biệt.
b) Có hai nghiệm âm phân biêt.
Bài 11. Tìm các giá trị của m để phương trình 3x 2  4x  2(m  1)  0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn 2.
Bài 12. Tìm các giá trị của m để phương trình x 2  mx  1  0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc
bằng 2.

Vấn đề 7. Hệ phương trình
a x  b1y  c1
- Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn  1
giải bằng phương pháp thế hoặc phương pháp
a2x  b2y  c2
cộng đại số (đã học ở lớp 9)
- Ta thể dùng các ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới đơn giản để giải (lưu ý
các phương trình của hệ ban đầu phải xác định).
- Đối với hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai thì cách giải thông
dụng nhất là dùng phương pháp thế. Tức là chọn phương trình bậc nhất biểu diễn ẩn này qua ẩn cịn lại
rồi tiến hành thế vào phương trình bậc hai.
S  x  y
- Đối với hệ phương trình đối xứng loại I, ta sử dụng cách đặt 
để đưa hệ phương trình đã
P

xy


cho về hệ phương trình với các ẩn là S và P .
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

DeThiMau.vn

5


Bài tập Đại số 10

1 8
   18
a)  x y
 5  4  51
 x y

Chương III. Phương trình và Hệ phương trình

 10
1

1

1
2



x
y
b) 
 25  3  2
 x  1 y  2

 27
32

7

2
3


x
y
x
y
c) 
 45  48  1
 2x  y x  3y
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
2
 2
a)  x  4 y  8
 x  2y  4



d) 3 x  4 y  1  0

 xy  3( x  y )  9

2 x  3 y  5
2
2
3 x  y  2 y  4

 2
b)  x  xy  24

e) 

2

c) ( x  y )  49

2

f)  y  x  4 x

2 x  3 y  1

3 x  4 y  84

2 x  y  5  0

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
x  y  xy  5

a)  2
2
x  y  xy  7

x  y  2xy  5
c)  2
2
x  y  xy  7

x  y  2xy  2
b)  3
3
x  y  8

xy(x  y )  2
d)  3
3
x  y  2

DeThiMau.vn

6