Tài liệu Kỹ thuật Cauchy bất đối pptx

K thut Cauchy bt i
Vừ Quc Bỏ Cn - Phm Th Hng
Trng i hc Y Dc Cn Th
E-mail:
Lắnh vỹc bĐt ng thực l mởt lắnh vỹc ữủc quan tƠm nhiãu nhĐt toĂn sỡ cĐp. Trong õ, cĂc dÔng b i toĂn
ối xựng hoc hoĂn v l nhỳng dÔng thữớng gp nhĐt lnh vỹc n y. Trong b i viát trữợc, chúng tổi  giợi
thiằu cũng cĂc bÔn k thuêt CYH, mởt k thuêt rĐt hay v mÔnh giÊi quyát cĂc dÔng toĂn n y. ị tững
cừa k thuêt l ữa mởt bĐt ng thực hoĂn v (ối xựng) ban Ưu vã mởt bĐt ng thực hoĂn v (ối xựng)
khĂc những dạ chựng minh hỡn. Ơy cụng l iãu m mồi ngữới hay l m khi sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy
Schwarz-Holder. Thá những, Â bao giớ cĂc bÔn thỷ dũng Cauchy Schwarz-Holder ữa mởt b i toĂn tứ ối
xựng sang bĐt ối chữa? ối vợi phƯn ổng cĂc bÔn am mả bĐt ng thực, hƯu hát ãu chữa thỷ qua vợi viằc
n y, vẳ nõ l m mĐt tẵnh tẵnh ối xựng cừa b i toĂn (mởt tẵnh chĐt rĐt quan trồng cõ th ữủc ựng dửng giÊi
ữủc nhiãu b i toĂn). Tuy nhiản, tỗn tÔi mởt k thuêt nhữ thá, mc dũ ta ữa b i toĂn vã khổng ối xựng nỳa
những ta văn cõ th giÊi ữủc b i toĂn, õ l "K thuêt Cauchy bĐt ối". Ơy l mởt tẳm tỏi nhọ cừa chúng tổi
vã nhỳng k thuêt sỷ dửng bĐt ng thực kinh in. RĐt mong nhên ữủc sỹ trao ời, õng gõp ỵ kián cừa cĂc
bÔn.
K thuêt cừa chúng ta ch cõ mởt ỵ tững ỡn giÊn l s-p xáp thự tỹ cừa cĂc bián trữợc. Sau õ ch l sỷ dửng
bĐt ng thực Cauchy Schwarz-Holder.
l m ró cho ỵ tững n y, chúng ta s xt nhỳng vẵ dử sau (bÔn s thĐy l ỵ tững hát sực ỡn giÊn v dạ
hiu nản chúng tổi cụng khổng bẳnh luên gẳ thảm mội vẵ dử)
Vẵ dử 1 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
(ab + bc + ca)

1
(b + c)
2
+
1
(c + a)
2
+

1
(a + b)
2


9
4
:
(Iran 1996, Ji Chen)
LI GII. Do tẵnh ối xựng nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt
ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ
1
(b + c)
2
+
1
(c + a)
2

1
2

1
a + c
+
1
b + c

2
=

(a + b + 2c)
2
2(a + c)
2
(b + c)
2
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
(ab + bc + ca)

(a + b + 2c)
2
2(a + c)
2
(b + c)
2
+
1
(a + b)
2


9
4
Tứ Ơy, sỷ dửng tẵnh thuƯn nhĐt, ta hÂy chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab )
1
4
x c(1 c): BĐt
ng thực tr th nh
f(x) = x + c +
(1 + 2c)

2
(x + c)
2(c + c
2
+ x)
2

9
4
0
Ta cõ
f
0
(x) = 1
(1 + 2c)
2
(c + x c
2
)
2(c + c
2
+ x)
3
1
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 2
f
00
(x) =
(1 + 2c)

2
(c 2c
2
+ x)
(c + c
2
+ x)
4
0
Nản f
0
(x) ỗng bián, suy ra
f
0
(x) f
0

1
4

=
(2c 1)(8c
3
+ 20c
2
+ 38c + 7)
(2c + 1)
4
0
Do õ f(x) nghch bián, vêy nản

f(x) f

1
4

=
c(1 2c)
2
(1 + 2c)
2
0:
BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc
hoĂn v tữỡng ựng.
Vẵ dử 2 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
(b + c)
2
a
2
+ bc
+
(c + a)
2
b
2
+ ca
+
(a + b)
2
c
2

+ ab
6:
(Darij Grinberg)
LI GII. Do tẵnh ối xựng nản khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta cõ th giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt
ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ
(b + c)
2
a
2
+ bc
+
(c + a)
2
b
2
+ ca

(a + b + 2c)
2
a
2
+ b
2
+ c(a + b)
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
(a + b)
2
c
2
+ ab

+
(a + b + 2c)
2
a
2
+ b
2
+ c(a + b)
6
Tứ Ơy, sỷ dửng tẵnh thuƯn nhĐt, ta hÂy chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab )
1
4
x c(1 c): BĐt
ng thực tr th nh
1
x + c
2
+
(1 + 2c)
2
1 + c 2x
6
, f(x) = 12x
2
(7 + 2c 16c
2
)x + 1 + c 5c
2
2c
3

+ 4c
4
0
Ta cõ
f
0
(x) = 24x 7 2c + 16c
2
Xt cĂc trữớng hủp sau
Trữớng hủp 1. 16c
2
2c 1 0; khi õ
f
0
(x) = 6(4x 1) + 16c
2
2c 1 0
) f(x) f

1
4

=
1
2
c(1 + 2c)(1 2c)
2
0
Trữớng hủp 2. 8c
2

22c + 7 0; khi õ
f
0
(x) = 24x 7 2c + 16c
2
24c(1 c) 7 2c + 16c
2
= (8c
2
22c + 7) 0
) f(x) f (c(1 c)) = (1 2c)
3
0
Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 3
Trữớng hủp 3.

16c
2
2c 1 0
8c
2
22c + 7 0
,
5
16
<
p
17+1

16
c
11
p
65
8
<
3
8
; khi õ ta cõ
f
0
(x) = 0 , x =
7 + 2c 16c
2
24
Tứ Ơy, ta dạ d ng suy ra
f(x) f

7 + 2c 16c
2
24

=
1
48
(1 20c + 20c
2
+ 32c
3

+ 64c
4
) =
1
48
g(c)
Dạ thĐy g(c) l h m lỗi nản
g(c) < max

g

5
16

; g

3
8

= max


1751
1024
;
47
64

< 0:
BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc

hoĂn v tữỡng ựng.
Vẵ dử 3 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
1
b
2
+ bc + c
2
+
1
c
2
+ ca + a
2
+
1
a
2
+ ab + b
2

9
(a + b + c)
2
:
(Vasile Cirtoaje)
LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta
ữủc
1
a
2

+ ac + c
2
+
1
b
2
+ bc + c
2

(a + b + 2c)
2
(b + c)
2
(a
2
+ ac + c
2
) + (a + c)
2
(b
2
+ bc + c
2
)
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
(a + b + 2c)
2
(b + c)
2
(a

2
+ ac + c
2
) + (a + c)
2
(b
2
+ bc + c
2
)
+
1
a
2
+ ab + b
2

9
(a + b + c)
2
Do tẵnh thuƯn nhĐt nản ta cõ th chuân hõa cho a + b = 1; t x = ab thẳ ta cõ
1
4
x c(1 c): Khi õ, bĐt
ng thực trản tr th nh
f(x) =
(1 + 2c)
2
2x
2

+ 3cx + 2c
4
+ 3c
3
+ 2c
2
+
1
1 x

9
(1 + c)
2
0
Ta cõ
f
0
(x) =
(1 + 2c)
2
(3c + 4x)
(2x
2
+ 3cx + 2c
4
+ 3c
3
+ 2c
2
)

2
+
1
(1 x)
2
f
00
(x) =
2(1 + 2c)
2
(12x
2
+ 18cx + 5c
2
6c
3
4c
4
)
(2x
2
+ 3cx + 2c
4
+ 3c
3
+ 2c
2
)
3
+

1
(1 x)
3
M
12x
2
+ 18cx + 5c
2
6c
3
4c
4
12c
2
(1 c)
2
+ 18c
2
(1 c) + 5c
2
6c
3
4c
4
= c
2
(35 48c + 8c
2
) 0

do
1
2
c 0

Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 4
Nản f
00
(x) > 0; suy ra f
0
(x) ỗng bián, do õ
f
0
(x) f
0

1
4

=
16
9

64(1 + 3c)
(1 + 2c)
2
(1 + 2c + 4c
2

)
2

16
9

64
(1 + 2c)
2
(1 + 2c + 4c
2
)
2
=
16
9

1
36
(1 + 2c)
2
(1 + 2c + 4c
2
)
2


16
9

1
36
(1 + 1)
2
(1 + 1 + 1
2
)
2

= 0
Suy ra f(x) nghch bián nản
f(x) f

1
4

=
8
4c
2
+ 2c + 1
+
4
3

9
(1 + c)
2
=
(1 2c)

2
(4c
2
+ 14c + 1)
3(c + 1)
2
(4c
2
+ 2c + 1)
0:
BĐt ng thực ữủc chựng minh xong.
Vẵ dử 4 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
(a + b + c)

1
p
a
2
+ ab + b
2
+
1
p
b
2
+ bc + c
2
+
1
p

c
2
+ ca + a
2

4 +
2
p
3
:
(Vó Quốc BĂ Cân)
LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Khi õ, sỷ dửng bĐt ng thực Holder, ta ữủc
1
p
b
2
+ bc + c
2
+
1
p
c
2
+ ca + a
2

s
(a + b + 2c)
3
(a + c)

3
(b
2
+ bc + c
2
) + (b + c)
3
(a
2
+ ac + c
2
)
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
s
(a + b + 2c)
3
(a + c)
3
(b
2
+ bc + c
2
) + (b + c)
3
(a
2
+ ac + c
2
)
+

1
p
a
2
+ ab + b
2

2

2
p
3 + 1

p
3(a + b + c)
Chuân hõa cho a + b = 1; t x = ab )
1
4
x c(1 c) thẳ bĐt ng thực tr th nh
f(x) =
s
(1 + 2c)
3
(1 + 4c)x
2
+ cx(1 + 3c 2c
2
) + 2c
5
+ 4c

4
+ 4c
3
+ c
2
+
1
p
1 x

2

2
p
3 + 1

p
3(1 + c)
0
Ta cõ
f
0
(x) =
[2(1 + 4c)x + c + 3c
2
2c
3
](1 + 2c)
3=2
2[(1 + 4c)x

2
+ cx(1 + 3c 2c
2
) + 2c
5
+ 4c
4
+ 4c
3
+ c
2
]
3=2
+
1
2(1 x)
3=2
f
00
(x) =
(1 + 2c)
3=2
A
4[(1 + 4c)x
2
+ cx(1 + 3c 2c
2
) + 2c
5
+ 4c

4
+ 4c
3
+ c
2
]
5=2
+
3
4(1 x)
5=2
vợi
A = 8(1 + 4c)
2
x
2
+ 8cx(1 + 4c)(1 + 3c 2c
2
) c
2
(20c
4
+ 108c
3
+ 65c
2
+ 14c + 1)
8c
2
(1 c)

2
(1 + 4c)
2
+ 8c
2
(1 c)(1 + 4c)(1 + 3c 2c
2
)
c
2
(20c
4
+ 108c
3
+ 65c
2
+ 14c + 1)
= c
2
(172c
4
444c
3
33c
2
+ 82c + 15) 0

do
1
2

c 0

Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 5
Nản f
00
(x) > 0; suy ra f
0
(x) ỗng bián, do õ
f
0
(x) f
0

1
4

=
16(2c
2
4c 1)
(1 + 2c)
2
(1 + 2c + 4c
2
)
3=2
+
4

p
3
9

16(2c
2
4c 1)
(1 + 2c)
2
(1 + 1 + 1
2
)
3=2
+
4
p
3
9
=
4
3
p
3

1 +
4(2c
2
4c 1)
(1 + 2c)
2

=
4(4c
2
4c 1)
p
3(1 + 2c)
2
< 0
Suy ra f(x) nghch bián nản
f(x) f

1
4

=
4
p
1 + 2c + 4c
2
+
2
p
3

2

2
p
3 + 1

p
3(1 + c)
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
4(c + 1)
p
4c
2
+ 2c + 1
+
2
p
3
(c + 1) 4 +
2
p
3
,
1
p
3
c 2

1
c + 1
p
4c
2
+ 2c + 1

,
1
p
3
c
6c
2
4c
2
+ 2c + 1 + (c + 1)
p
4c
2
+ 2c + 1
, 4c
2
+ 2c + 1 + (c + 1)
p
4c
2
+ 2c + 1 6
p
3c
Ta cõ
p
4c
2
+ 2c + 1 c + 1; 6
p
3c

21
2
c
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
4c
2
+ 2c + 1 + (c + 1)
2

21
2
c
,
1
2
(1 2c)(4 5c) 0

úng do
1
2
c 0

:
BĐt ng thực ữủc chựng minh. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b; c = 0 hoc cĂc hoĂn v tữỡng ựng.
Nhên xt. Xem xt lới giÊi n y, nhiãu bÔn s cho rơng lới giÊi quĂ phực tÔp, những trản quan im cĂ nhƠn,
chúng tổi cho rơng lới giÊi n y cụng rĐt "ỡn giÊn". BÔn ch cƯn th nh thÔo k thuêt tẵnh toĂn Ôo h m thẳ cõ
th dạ d ng l m ữủc b i n y theo k thuêt cừa ta.
Vẵ dử 5 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
2a
2

+ 5bc
(b + c)
2
+
2b
2
+ 5ca
(c + a)
2
+
2c
2
+ 5ab
(a + b)
2

21
4
:
(PhÔm Kim Hũng)
LI GII. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, giÊ sỷ a b c: Ta cõ bĐt ng thực tữỡng ữỡng vợi

2a
2
+ 5bc
(b + c)
2
+ 2

+

2b
2
+ 5ca
(c + a)
2
+ 2

+
2c
2
+ 5ab
(a + b)
2

37
4
, 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)

1
(a + c)
2
+
1

(b + c)
2

+ 9c

b
(b + c)
2
+
a
(a + c)
2

+
2c
2
+ 5ab
(a + b)
2

37
4
Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 6
Sỷ dửng bĐt ng thực Cauchy Schwarz, ta cõ
1
(a + c)
2
+

1
(b + c)
2

1
2

1
a + c
+
1
b + c

2
=
(a + b + 2c)
2
2(a + c)
2
(b + c)
2
b
(b + c)
2
+
a
(a + c)
2

1
a+c
+
1
b+c

2
1
a
+
1
b
=
ab(a + b + 2c)
2
(a + b)(a + c)
2
(b + c)
2
Nản ta ch cƯn chựng minh ữủc
(a
2
+ b
2
+ c
2
)(a + b + 2c)
2
(a + c)
2

(b + c)
2
+
9abc(a + b + 2c)
2
(a + b)(a + c)
2
(b + c)
2
+
2c
2
+ 5ab
(a + b)
2

37
4
Chuân hõa cho a + b = 1 v t x = ab )
1
4
x c(1 c): BĐt ng thực tr th nh
(1 + c
2
2x)(1 + 2c)
2
(c + c
2
+ x)
2

+
9cx(1 + 2c)
2
(c + c
2
+ x)
2
+ 5x + 2c
2

37
4
, f(x) =
[1 + c
2
+ (9c 2)x](1 + 2c)
2
(c + c
2
+ x)
2
+ 5x + 2c
2

37
4
0
Ta cõ
f
0

(x) = 5
[2 + 2c 5c
2
9c
3
+ (9c 2)x](1 + 2c)
2
(1 + c + x)
3
f
00
(x) =
2[3 + 4c 11c
2
18c
3
+ (9c 2)x](1 + 2c)
2
(1 + c + x)
4
Náu 9c 2 thẳ ta cõ
3 + 4c 11c
2
18c
3
+ (9c 2)x 3 + 4c 11c
2
18c
3
+ c(1 c)(9c 2)

= 3 + 2c 27c
3
= c
3

3
c
3
+
2
c
2
27

c
3

3
(1=2)
3
+
2
(1=2)
2
27

= 5c
3
0
Náu 2 9c thẳ ta cõ

3 + 4c 11c
2
18c
3
+ (9c 2)x 3 + 4c 11c
2
18c
3
+
1
4
(9c 2)
=
1
4
(10 + 25c 44c
2
72c
3
)

1
4
(10 + 3c 72c
3
)

do
1
2

> c

=
1
4
c
3

10
c
3
+
3
c
2
72


1
4
c
3

10
(1=2)
3
+
3
(1=2)
2

72

= 5c
3
0
Vêy nản f
00
(x) 0; suy ra f
0
(x) ỗng bián, do õ
f
0
(x) f
0

1
4

=
(2c 1)(40c
3
+ 388c
2
+ 414c + 91)
(2c + 1)
4
0
Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com
The love m akes us stronger 7

Suy ra f(x) nghch bián nản
f(x) f

1
4

=
2c(c + 2)(2c 1)
2
(2c + 1)
2
0:
BĐt ng thực ữủc chựng minh xong. ng thực xÊy ra khi v ch khi a = b = c hoc a = b; c = 0 hoc cĂc
hoĂn v tữỡng ựng.
Cuối cũng l mởt số b i têp tỹ luyằn, xin ữủc d nh cho cĂc bÔn
B i toĂn 1 Cho cĂc số dữỡng a; b; c: Chựng minh rơng
ab
a
2
+ b
2
+ 3c
2
+
bc
b
2
+ c
2
+ 3a

2
+
ca
c
2
+ a
2
+ 3b
2

3
5
:
(PhÔm Kim Hũng)
CHể ị. B i n y cõ ng thực xÊy ra tÔi a = b = c v a = b =
3
2
c nản khĂc vợi cĂc vẵ dử trản. Vêy thẳ ta phÊi
l m thá n o Ăp dửng k thuêt n y? CĂc bÔn hÂy thỷ suy nghắ xem nh!
B i toĂn 2 Cho cĂc số khổng Ơm a; b; c; khổng cõ 2 số n o ỗng thới bơng 0: Chựng minh rơng
b + c
a
2
+ bc
+
c + a
b
2
+ ca
+

a + b
c
2
+ ab

6
a + b + c
:
(Vasile Cirtoaje)
Xin cÊm ỡn cĂc bÔn  theo dói b i viát n y!
Vừ Quc Bỏ Cn ~~~ Phm Th Hng
www.VNMATH.com