TÌM HIỂU “MA PHƯƠNG KÌ ẢO”

TÌM HIỂU “MA PHƯƠNG KÌ ẢO”
Đã có khá nhiều tài liệu viết về “Ma phương”, thậm chí có những nhà toán học
chuyên nghiên cứu về ma phương, Điều đó chứng tỏ ma phương được nhiều người
quan tâm. Đây đó HS có thể gặp những bài toán phải ứng dụng ma phương để giải.
NBS xin tóm lược 1 số nội dung đơn giản nhất về ma phương để các bạn tham khảo.
1. KHÁI NIỆM VỀ MA PHƯƠNG
Trong toán vui, một ma phương (hay hình vuông ma thuật, ma trận kì ảo) bậc n là sự
sắp xếp n
2
số nguyên phân biệt từ 1 đến n
2
vào một bảng ô vuông sao cho tổng n số
trên mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo bằng nhau.
Mỗi ma phương bậc n đều có một hằng số, gọi là hằng số của ma phương.
Hằng số của ma phương chính bằng tổng các số ở mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường
chéo.
Hằng số của ma phương (M) phụ thuộc vào n theo công thức:
Với các ma trận kì ảo bậc n = 3, 4, 5, …, các hằng số kì ảo tương ứng là:
15, 34, 65, 111, 175, 260, …
2. MA PHƯƠNG BẬC BA
Hình vuông kì lạ này được người Trung Quốc
phát minh khoảng 4 hoặc 5 nghìn năm trước
công nguyên
Như đã nói, ta nhận ra được điều đặc biệt ở hình vuông 9 ô
(3X3) này là tổng các số ở mỗi
hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo của nó đều bằng nhau và đều
bằng 15. Và 15 chính là hằng số của ma phương bậc ba
(n=3).
Đến thế kỷ I sau công nguyên, người Ấn Độ lại phát minh ra
hình vuông kỳ lạ lớn hơn gồm 4 X4 ô (n=4).
1

3. TÍNH CHẤT CỦA MA PHƯƠNG BẬC BA
Ta thấy như hình bên:
Tổng hang ngang :4+3+8=9+5+1=2+7+6= 15
Theo hang dọc: 4+9+2=3+5+7=8+1+6= 15
Theo đương chéo : 4+5+6=8+5+2=15
Vậy để tạo được một ma phương bậc ba, ta phải làm như
thế nào ? Chỉ bằng những mò mẫm vô căn cứ theo suy tính
của bản thân hay có một "bí quyết" nào đó?.
Sau đây là một phương pháp "thủ công" nhưng giúp ta lập
được một ma phương bậc ba một cách rất nhanh gọn và
đơn giản.
4. CÁCH LẬP MA PHƯƠNG BẬC BA
Bước 1 :
Trước tiên, ta vẽ hình vuông 5X5; bắt đầu chọn 1 ô chính giữa 1 canh (dòng trên cùng
chẳng hạn) rồi điền các cụm 3 số liên tiếp theo đường chéo như hình dưới: :
Bước 2 :
Chuyển các số ngoài cùng 1,3,7,9 theo thứ tự về giữa hai
số 8 và 6, 4 và 8, 2 và 6, 4 và 2. ( Chạy theo hàng ngang hoặc cột dọc của nó, dịch
mỗi số 2 ô liền kề)  ta được một ma phương bậc ba.
5/ MA PHƯƠNG BẬC BA VỚI CÁC SỐ NGUYÊN TỐ
2
Có một ma phương gồm các số nguyên tố
829 619 1619
1879 1039 199
409 1459 1249
Các số trong ô vuông này không những là số nguyên tố mà chúng đều tận cùng bằng
số 9 và còn hơn kém nhau 210 đơn vị. Với số nguyên tố nhỏ nhất là 199, chỉ cần liên
tục cộng thêm 210 ta sẽ được toàn bộ các số nguyên tố còn lại của ô vuông.
6/ MA PHƯƠNG BẬC BỐN
Khác với ma phương bậc ba, ma phương bậc bốn đa

dạng, phức tạp hơn về những tính chất.
Tính chất 1 : Tổng các số thuộc 4 góc của ma phương
đúng bằng hằng số ma phương
1+4+13+16=34
(Hằng số của ma phương là 34)
Tính chất 2 : Tổng các số thuộc mỗi hàng đều gồm hai cặp : một cặp có tổng
bằng 15 và một cặp có tổng bằng 19. (lần lượt đối chỗ cho nhau)
Hàng thứ nhất : 1+14=15; 15+4=19
Hàng thứ hai : 6+9=15; 12+7=19
Hàng thứ ba : 10+5=15; 12+7=19
Hàng thứ bốn : 13+2=15; 3+16=19
Tính chất 3 :
Tổng bình phương của các số hàng trên cùng và hàng dưới cùng bằng nhau.
Tổng bình phương của các số thuộc hàng giữa cũng bằng nhau.
1
2
+14
2
+15
2
+4
2
= 438 =13
2
+2
2
+3
2
+16
2

12
2
+7
2
+6
2
+9
2
= 310 = 8
2
+11
2
+10
2
+5
2
Tính chất 4 : Tổng bình phương của các số thuộc cột thứ
nhất và thứ tư bằng nhau. Tổng bình phương của các số
thuộc hai cột giữa cũng bằng nhau.
1
2
+12
2
+8
2
+13
2
= 378 = 4
2
+9

2
+5
2
+16
2
14
2
+7
2
+11
2
+2
2
=370 =15
2
+6
2
+10
2
+3
2
Tính chất 4 :
3
Hãy để ý đến những con số ở hai đầu cột 2 và cột 3 (14,15,2,3) và những con số ở
hai đầu hàng 2 và hàng 3 (12,8,9,5), ta sẽ thấy một điều đặc biệt :
12+14+5+3=15+9+2+8
12
2
+14
2

+5
2
+3
2
=374=15
2
+9
2
+2
2
+8
2
12
3
+14
3
+5
3
+3
3
= 4624 =15
3
+9
3
+2
3
+8
3
Tính chất 5 :
Nếu nối trung điểm các cạnh của hình vuông ta được một hình vuông nội tiếp.Ta thấy

rằng: Tổng các số ở hai cạnh đối này bằng tổng các số ở hai cạnh đối kia:
12+14+3+5=15+9+8+2=34;
Tổng bình phương và tồng lập phương các số này cũng bằng nhau.
Thật là kì diệu !
7. CÁCH TẠO MA PHƯƠNG BẬC BỐN ( có nhiều cách)
7.1/ Cách thứ nhất ( theo diendantoanshoc)
Bước 1 :
Sắp xếp các số 1,2, ,16 vào 16 ô của hình vuông theo thứ tự các số tự nhiên:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
Bước 2 : Để tiện theo dõi, xin bôi màu cho các hàng như hình dưới
Hàng 1 1 2 3 4
Hàng 2 5 6 7 8
Hàng 3 9 10 11 12
Hàng 4 13 14 15 16
Đổi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ tự ngược lại
Hàng 1 1 2 3 4
Hàng 2 5 6 7 8
Hàng 3 12 11 10 9
Hàng 4 16 15 14 13
rồi đổi chỗ hàng 2 và hàng 3 cho nhau
Côt 1 Côt 2 Côt 3 Cột 4
Hàng 1 1 2 3 4
Hàng 3 12 11 10 9
Hàng 2 5 6 7 8
Hàng 4 16 15 14 13
4
Bước 3 : Đảo ngước chỗ các số của cột 2 và cột 3 theo thứ tự rồi đổi chỗ 2 cột này

cho nha
Côt 1 Côt 3 Côt 2 Cột 4
Hàng 1 1 14 15 4
Hàng 2 12 7 6 9
Hàng 3 5 11 10 8
Hàng 4 16 2 3 13
Bước 4 : Đỗi chỗ các số của hàng 3 và hàng 4 theo thứ
tự ngược lại, ta được ma phương bậc 4 (hình trên)
Côt 1 Côt 2 Côt 3 Cột 4
Hàng 1 1 14 15 4
Hàng 2 12 7 6 9
Hàng 3 8 11 10 5
Hàng 4 13 2 3 16
2/Cách thứ hai ( theo NBS)
- Lập bảng theo số tự nhiên với kĩ hiêu (Hàng A, B,C, D; Cột a,b,c,d). 4 số tai 4 đình
hình vuông Aa, Ad; Da; Dd không đỏi (bôi đỏ)
a b c d
A 1 2 3 4
B 5 6 7 8
C 9 10 11 12
D 13 14 15 16
- Đổi 2 cặp số Ab và Ac cho Db và Dc (màu vàng )
- Đổi cặp Bb và Cb (theo cột) cho cặp Bc và Cc ( xanh)
- Đổi chéo Ba cho Cd và Bd cho Ca (tím và lục)
MA PHƯƠNG BẬC BỐN VỚI CÁC SỐ LẺ
Sau đây là những tính chất thú vị của ma phương bậc
bốn với các số lẻ
Tính chất 1 :
Hằng số của ma phương bằng 64 và cũng bằng tổng
của các số thuộc :Ma phương bậc bốn với các số lẻ

cũng có những tính chất khá thú vị
a) Tổng mỗi hình vuông 2x2 tại Bốn góc = Hắng số
b) Bốn góc của bốn hình vuông nhỏ gồm 9 ô (mỗi hình vuông có kích thước 3 x 3)
5
c) Bốn góc của 10 hình vuông gồm 4 ô (hình vuông có kích thước 2 x 2)
d) Bốn góc của sáu hình chữ nhật dài 4 ô và rộng 2 ô
e) Từng cặp cạnh đối của hình vuông mà đỉnh là điểm giữa các cạnh của hình vuông
đã cho.
Tính chất 2 :
Tổng các bình phương của các số trong hai cột 1 và cột 3 bằng nhau và tổng các
bình phương của các số trong hai cột 2 và cột 4 cũng bằng nhau
5
2
+25
2
+3
2
+31
2
= 1620 = 29
2
+1
2
+27
2
+7
2
11
2
+23

2
+13
2
+17
2
= 1108 =19
2
+15
2
+21
2
+9
2
Tính chất 3 :
Tổng các bình phương của các số trong hai hàng 1 và hàng 3 bằng nhau và tổng các
bình phương của các số trong hai hàng t 2 và 4 cũng bằng nhau
5
2
+11
2
+29
2
+19
2
= 1348 = 3
2
+13
2
+27
2

+21
2
25
2
+23
2
+1
2
+15
2
=1380 = 31
2
+17
2
+7
2
+9
2
Muốn tìm hiểu rộng hơn, xin tham khảo ma phương bậc 5.
PHH biên soạn lại theo Wikipedia và diendantoanhoc - 11-2013
(Phần ỨNG DUNG CỦA MA PHƯƠNG có thể tham khảo trêm Violet toán 8/2011)
6