TIỂU LUẬN XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO ĐỀ TÀI: MÔ HÌNH MARKOV ẨN

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG
KHOA QUỐC TẾ VÀ SAU ĐẠI HỌC

-------***-------

TIỂU LUẬN
XỬ LÝ TÍN HIỆU NÂNG CAO
ĐỀ TÀI: MƠ HÌNH MARKOV ẨN
Học

c

: Đ

VIỆT Đ C

NGUYỄN TRUNG KIÊN
NGUYỄN THÀNH TRUNG
: TS. NGUYỄN NGỌC MINH
L p

: M12CQDT01-B

HÀ NỘI, 10-2012


Mơ hình Markov ẩn

Mục lục

MỤC LỤC

MỤC LỤC .................................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................................. 2
NỘI DUNG .................................................................................................................................. 3
1. Giới thiệu mơ hình markov ẩn ....................................................................................... 3
2. Trình bày vấn đề.............................................................................................................. 4
3. Thuật toán tiến – thuật toán lùi: .................................................................................... 9
4. Thuật toán Viterbi ......................................................................................................... 11
KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 15

1


Mơ hình Markov ẩn

Lời mở đầu

LỜI MỞ ĐẦU
Mơ hình Markov ẩn (tiếng Anh là Hidden Markov Model - HMM) là mơ hình
thống kê trong đó hệ thống được mơ hình hóa được cho là một q trình Markov với
các tham số không biết trước và nhiệm vụ là xác định các tham số ẩn từ các tham
số quan sát được, dựa trên sự thừa nhận này. Các tham số của mơ hình được rút ra
sau đó có thể sử dụng để thực hiện các phân tích kế tiếp, ví dụ cho các ứng dụng
nhận dạng mẫu.
Trong một mơ hình Markov điển hình, trạng thái được quan sát trực tiếp bởi
người quan sát, và vì vậy các xác suất chuyển tiếp trạng thái là các tham số duy
nhất. Mơ hình Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có xác suất phân bổ
trên các biểu hiện đầu ra có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy của các biểu hiện được sinh ra
bởi HMM không trực tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Đây là một mơ hình tốn thống kê có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực nhận
dạng giọng nói, lĩnh vực sinh học như nhận dạng gene hoặc phân loại protein; xử lý

tín hiệu, xử lý hình ảnh và các ứng dụng khác liên quan đến chuỗi chuyển tiếp hoặc
kết hợp các thành phần, dữ kiện. Trong lĩnh vực điện, mơ hình Markov được sử
dụng như là 1 công cụ dự báo giá điện năng với các dữ liệu liên quan. Chính vì được
áp dụng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong xử lý tín hiệu số nên chúng em chọn
đề tài về “mơ hình Markov ẩn” làm hướng nghiên cứu.

2


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

NỘI DUNG
1. Giới thiệu mơ hình markov ẩn
Mơ hình Markov ẩn là mơ hình thống kê trong đó hệ thống được mơ hình hóa
được cho là một q trình Markov với các tham số khơng biết trước và nhiệm vụ là
xác định các tham số ẩn từ các tham số quan sát được. Các tham số của mơ hình
được rút ra sau đó có thể được sử dụng để thực hiện các phân tích kế tiếp, ví dụ ứng
dụng cho nhận dạng mẫu.
Trong một mơ hình Markov điển hình, trạng thái được quan sát được từ người
quan sát, vì vậy các xác suất chuyển tiếp trạng thái là các tham số duy nhất. Mơ hình
Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có xác suất phân bổ trên các biểu
hiện có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy các biểu hiện được sinh ra bởi HMM không trực
tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Chú ý: Q trình Markov
Trong lí thuyết xác suất, q trình Markov là một q trình mang tính ngẫu
nhiên (stochastic process) với đặc tính như sau: trạng thái ck tại thời điểm k là một
giá trị trong tập hữu hạn {1,…,M}. Với giả thiết rằng quá trình chỉ diễn ra từ thời
điểm 0 đến thời điểm N và rằng trạng thái đầu tiên và trạng thái cuối cùng đã biết,

chuỗi trạng thái sẽ được biểu diễn bởi 1 vecto hữu hạn C={c0,…,cN}. Nếu P(ck |
c0,c1,...,c(k − 1)) biểu diễn xác suất (khả năng xảy ra) của trạng thái c k tại thời điểm k
khi đã qua mọi trạng thái cho đến (k-1). Giả sử trong thời điểm đó ck chỉ phụ thuộc
vào trạng thái trước đó ck-1 và độc lập với các trạng thái trước khác. Q trình đó
gọi là q trình Markov bậc một(first order Markov process). Có nghĩa là xác suất
để xảy ra trạng thái ck tại thời điểm k, khi biết trước mọi trạng thái cho đến thời
điểm k-1 chỉ phụ thuộc vào trạng thái trước, ví dụ trạng thái ck-1 tại thời điểm k-1.
Khi đó ta có cơng thức:
P(ck | c0,c1,...,c(k − 1))= P(ck| c(k − 1))
Nói tóm lại một hệ có thuộc tính Markov được gọi là quá trình Markov (bậc1).
Như vậy, với quá trình Markov bậc n:
P(ck | c0,c1,...,c(k − 1))= P(ck| ck-n,ck-n-1,…,c(k − 1))
Nói chung với giả thuật Viterbi quá trình xảy ra bên dưới được xem là một quá
trình Markov:
 Trạng thái hữu hạn nghĩa là số m là hữu hạn.
3


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

 Thời gian rời rạc, nghĩa là việc chuyển từ trạng thái này sang trạng thái
khác cùng mất một đơn vị thời gian.
 Quan sát không tốn bộ nhớ, nghĩa là chuỗi các quan sát có xác suất chỉ
phụ thuộc vào trạng thái ngay trước đó (nên khơng cần lưu bộ nhớ nhiều).
2. Trình bày vấn đề
 Phương pháp tiếp cận lí thuyết thơng tin về nhận dạng:

Hình 1

Nhận dạng là tìm cách xác định được khả năng xảy ra lớn nhất của chuỗi ngôn
ngữ,W, khi cho trước căn cứ âm A, Công thức:


P(W / A)  max P(W / A)
W

 Theo luật Bayes: P(W / A) 

P( A / W ) P(W )
P( A)

 Mô hình HMM quan tâm đến P(W|A)
 Kí hiệu:
A



O

W





P(A/W)



P(O/  )

 Ví dụ1:

4


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

Hình 2
 Xét 3 chén, mỗi chén trộn giữa các các “đá trạng thái” 1 và 2.
 Phân nhỏ chén thứ i thành 2 phần tỉ lệ ai1, ai2, khi đó

ai1+ ai2=1.

 Xét 2 bình, mỗi bình chứa các quả bóng đen, bóng trắng.
 Chia bình thứ i thành 2 phần tỉ lệ biB, biW, với
 biB+ biW=1
 Vecto tham số cho mơ hình này là:
 = {a01,a02,a11,a12,a21,a22,b1(B),b1(W ),b2(B),b2(W )}

Hình 3
Chuỗi quan sát : O={B,W,B,W,W,B}
Chuỗi trạng thái: Q={1,1,2,1,2,1}
Mục đích: cho mơ hình λ và chuỗi quan sát O, có thể làm thể nào để chuỗi trạng
thái Q được xác định.
Các yếu tố của mơ hình Markov ẩn rời rạc
 N : số trạng thái trong mô hình

Các trạng thái, s= {s1,s2,…,sN}
Trạng thái ở thời điểm t, qt  s
5


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

 M: số kí hiệu quan sát (quan sát rời rạc)
Tập các kí hiệu quan sát v={v1,v2,…,vM}
Kí hiệu quan sát ở thời điểm t, ot  v
 A= {aij}: tập phân phối xác suất chuyển trạng thái
aij = P(qt+1 = sj |qt = si ), 1 ≤ i,j ≤ N
 B = {bj (k)}: phân bổ xác suất kí hiệu quan sát ở trạng thái j:
bj (k)= P(vk at t|qt = sj ), 1 ≤ j ≤ N, 1 ≤ k ≤ M
 π = {πi }: phân bổ xác suất trạng thái khởi đầu
πi = P(q1= si ), 1 ≤ i ≤ N
Một mơ hình HMM được viết dưới dạng đặc trưng λ = {A, B,π}
 ví dụ 2:

π={a01,a02}

 a11 a12 
 b1 ( B) b1 (W ) 
b ( B) b (W )
a
a 
2


A=  21 22  và B=  2

 Một số mơ hình thơng dụng:

Hình 4a: Mơ hình 2 –state và 3-state

Hình 4b: Mơ hình Left – Righ

6


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

Hình 4c: Mơ hình Bakis

Hình 4d: Mơ hình Tuyến tính
 Tạo chuỗi quan sát trong HMM
o Lựa chọn một trạng thái khởi đầu, q1=si, dựa trên phân bổ trạng
thái khởi đầu, π.
o Cho t chạy từ 1  T:
 Chọn ot=vk theo sự phân bổ xác suất kí hiệu trong trạng
thái si, bi(k).
 Chuyển tiếp đến trạng thái mới qt+1=sj theo sự phân bổ
xác suất sự chuyển tiếp trạng thái cho trạng thái si, aij.
o Tăng t lên 1, quay lại bước 2 nếu t≤T; ngược lại thì kết thúc.

Hình 5: Sự tiến hóa của mơ hình Markov
7

Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

 Biểu diễn sơ đồ trạng thái bằng sơ đồ mắt lưới(trellis)

Hình 6:( Những nét đứt thể hiện một sự chuyển tiếp trạng thái bằng 0, nơi mà
khơng có vecto quan sát nào được tạo ra.)
3 vấn đề cơ bản của HMM
Tính điểm (Scoring) : cho một chuỗi quan sát O = {o1,o2,...,oT } và một mơ hình
λ = {A, B,π}, làm thế nào chúng ta có thể tính tốn xác suất có điều kiện P(O | λ)
(khả năng xảy ra của chuỗi quan sát)?
 Dùng thuật toán tiến lùi (the forward-backwark algorithm)
So khớp (Matching): cho một chuỗi quan sát O = {o1,o2,...,oT }, làm thế nào
chúng ra có thể lựa chọn chuỗi trạng thái Q = {q1,q2,...,qT } để nó tối ưu theo một số
hướng.
 thuật toán Viterbi
Huấn luyện (Training): làm thế nào chúng ta có thể điều chỉnh các tham số của
mơ hình λ = {A,B,π} để đạt được P(O | λ) lớn nhất?
Thủ tục Baum-Wetch
Tính tốn P(O|λ)
P(O|λ)=

 P(O, Q |  )
allQ

P(O, Q |λ)= P(O|Q ,λ)P(Q |λ)
Xét chuỗi trạng thái cố định Q = q1q2 ...qT

P(O|Q ,λ)= bq1(o1)bq2(o2) ...bqT (oT )
P(Q |λ)= πq1 aq1q2 aq2q3 ...aqT −1 qT
8


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

Vì vậy:
P(O|λ)=



q1

b q1 (o1 )a q1 q 2 b q 2 (o 2 ) ...a qT -1 qT b qT (o T )

q1,q2 ,...,qT

Số phép tính cấn làm ≈ 2T.NT (có NT chuỗi như vậy)
Ví dụ: N=5, T=100  2.100.5100 ≈ 1072 phép tính.
3. Thuật tốn tiến – thuật toán lùi:
 Toán tử tiến αt(t) là xác suất chuỗi quan sát từng phần tiến đến thời điểm t
và trạng thái si ở thời điểm t với điều kiện mơ hình đã cho:
αt (i)= P(o1o2 ...ot,qt = si |λ)
 Dễ dàng thấy rằng:
 α1(i)= πibi (o1), 1 ≤ i ≤ N
N

 P(O|λ)=   T (i)
i 1

 Theo phương pháp quy nạp
N

αt+1 (j)=[   t (i) a ij ] bj (ot+1), 1≤ t≤ T-1, 1 ≤ j ≤ N
i 1

Số phép tính: N2T.
Ví dụ: N=5,T=100,  52.100 phép tính,( thay vì 1072)
 Diễn tả thuật tốn tiến:

Hình 7
 Thuật tốn lùi:

9


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

o Tương tự để xác định toán tử lùi, βt(i), khi khả năng xảy ra của
chuỗi quan sát cục bộ từ thời điểm t+1 đến kết thúc, biết trước
trạng thái si ở thời điểm t và với điều kiện mơ hình đã cho
βt(i)= P(ot+1ot+2...oT |qt = si,λ)
o Có thể dễ dàng nhận ra rằng
βT(i)=1, 1 ≤ i ≤ N
và

N

P(O|λ)=   i b i (o1 )ß1 (i)
i 1

o Theo phương pháp quy nạp
N

βt(i)=  a ij b j (o t +1 )ß t +1 (j)

(t=T−1,T−2,...,1; 1 ≤ i≤N)

j1

 Diễn tả thủ tục lùi:

Hình 8
 Tìm chuỗi trạng thái tối ưu:
+ Một tiêu chuẩn để lựa chọn trạng thái tối ưu qt là cực đại hóa số
trạng thái đúng.
+ Toán tử  t (i) là xác suất của hệ thống ở trạng thái si tại thời điểm
t, với điều kiện cho chuỗi quan sát O và mô hình  đã cho:
 (i)  P(qt  si | O,  )

N


t 1

t

(i )  1 ,

+ Chú ý rằng nó có thể biểu diễn dưới dạng sau
 t (i) 

 t (i)  t (i)
P(O |  )

10

t


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

+ Tuy nhiên với tiêu chuẩn tối ưu riêng phần thì xảy ra vấn đề là
chuỗi trạng thái tối ưu có thể khơng tn theo những ràng buộc chuyển
tiếp trạng thái.
+ Một tiêu chuẩn tối ưu khác là cực đại hóa P(Q,O|  ). Điều này có
thể tìm thấy bằng thuật tốn Viterbi.
+ Với  t (i) là xác suất xảy ra cao nhất trên một đường dẫn tính với
t lần quan sát đầu tiên:
 t (i)  max P(q1 , q2 ,..., qt 1 , qt  s1 , o1o2 ...ot |  )
q1 , q2 ,...,q t 1

+ Theo phương pháp quy nạp:

 t 1 (i)  [max  t (i)aij ]bi (ot 1 )
i

+ Để thu được chuỗi trạng thái, ta cần theo dõi chuỗi trạng thái mà
cho đường dẫn tốt nhất ở thời điểm t đến trạng thái si. Chúng ta thực hiện
điều này trong một mảng t (i) .
4. Thuật toán Viterbi
+ Khởi đầu:
1 (i)   i bi (oi )

 1 (i)  0
+ Đệ quy:
 t ( j )  max[ t 1 (i)ai j ]b j (ot ),2  t  T
1i N

 t ( j )  arg max[ t 1 (i)aij ],2  t  T
1i N

+ Kết thúc:
P*  max[ T (i)]
1i  N

*

q

T

 arg max[ T (i)]
1i  N

+ Quay lui tìm đường dẫn( chuỗi trạng thái) tối ưu
*

q

T

*

  t 1 (q ), t  T  1, t  2,...,1
t 1

+ Số phép tính  N 2T

11


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

+ Ví dụ
thuật

tốn Viterbi:

Hình 9
+ Ví dụ thuật tốn Viterbi(tt)

Hình 10
+ Ví dụ so khớp sử dụng thuật toán tiến-lùi:

12


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

Hình 11
 Ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch
Ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch sử dụng EM để xác định tham số ML
Xét toán tử  t (i) là xác suất của hệ thống ở trạng thái i tại thời điểm t và trạng
thái j tại thời điểm t+1 với điều kiện có chuỗi quan sát O và mơ hình Markov ẩn  .


t (i, j )  P(qt  si , qt 1  s j | O,  )

 Khi đó
t (i, j ) 

 t (i)aij b j (ot 1 )  t 1 (i)
P(O |  )
N

 t (i)    t (i, j )
j 1

 Kết hợp  t (i) và  t (i, j ) chúng ta được:



T 1


t 1



t

(i ) = số chuyển tiếp từ trạng thái si

T 1

  (i, j ) = số chuyển tiếp từ trạng thái si tới sj
t 1

t

Thủ tục ước lượng lại Baum-Welch

13


Mơ hình Markov ẩn

Nội dung

Hình 12

Các biểu thức ước lượng lại với thuật toán Baum-Welch
o    1 (i)
T 1

o a ij 

  (i, j )
t 1
T 1

t


t 1

t

(i )

T

o b ij 

  ( j)

t 1,ot vk
T

t

  ( j)
t 1

t

Nếu  ( A, B,  ) là mơ hình gốc và  ( A, B,  ) là mơ hình ước lượng lại, khi đó ta
có thể chứng minh:
o Mơ hình gốc  xác định điểm tới hạn của hàm có khả năng
xảy ra, trong trường hợp  =  . Hoặc:
o Mơ hình



thích hợp hơn



trong điều kiện

P(O |  )  P(O |  )

Chúng ta có thể tăng xác suất chuỗi quan sát O mà đã quan sát được từ mơ hình
nếu sử dụng lặp lại  trong không gian  và lặp lại việc ước lượng lại cho đến khi
một số điểm tới hạn đạt được. Mơ hình kết quả thu được gọi là mơ hình Markov ẩn
có khả năng xảy ra lớn nhất.
14


Mơ hình Markov ẩn

Kết luận

KẾT LUẬN
Mơ hình Markov ẩn là mơ hình thống kê trong đó hệ thống được mơ hình hóa
được cho là một q trình Markov với các tham số không biết trước và nhiệm vụ là
xác định các tham số ẩn từ các tham số quan sát được. Các tham số của mơ hình
được rút ra sau đó có thể được sử dụng để thực hiện các phân tích kế tiếp, ví dụ ứng
dụng cho nhận dạng mẫu.
Mơ hình Markov ẩn thêm vào các đầu ra: mỗi trạng thái có xác suất phân bổ trên
các biểu hiện đầu ra có thể. Vì vậy, nhìn vào dãy của các biểu hiện được sinh ra
bởi HMM không trực tiếp chỉ ra dãy các trạng thái.
Do thời gian nghiên cứu có hạn cũng như kiến thức cịn hạn chế, đề tài khơng
tránh khỏi sai sót, vì vậy chúng em rất mong có sự cảm thơng và góp ý của thầy để
phát triển đề tài tốt hơn nữa.

15