Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 2: Định thức ppt

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 2: Định thức
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
NỘI DUNG

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.
II – Tính chất của định thức
III – Khai triển Laplace
I. Định nghĩa và ví dụ

Cho là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det


n
n
ij
a
A


AaA
n
n
ij


)(

Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
thứ i và cột thứ j của ma trận A;
ij
M
ij
( 1)
i j
ij
A M

 
Bù đại số của phần tử a
ij
là đại lượng
Định nghĩa bù đại số của phần tử a
ij
I. Định nghĩa và ví dụ

b) k =2:
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
a a
A A a a a a a A a A
a a
 
     
 
 
a) k =1:



1111
aAaA



c) k =3:
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 13
31 32 33
a a a
A a a a A a A a A a A
a a a
 
 
    
 
 
 
d) k =n:
11 12 1
11 11 12 12 1 1
*
n
n n
a a a
A A a A a A a A
 
     

 
 



Định nghĩa định thức bằng qui nạp
I. Định nghĩa và ví dụ

11 12 13
1 2 ( 3)
A A A A
      
23
3
2
)1()3(
43
0
2
)1(2
42
0
3
)1(1
312111 
A
11
151612





A
1 1 1 1
11
1 2 3
3 0
2 3 0 ( 1) 12
2 4
3
( )
2 4
1A
 


  
Tính det (A), với













423
032
321
A
Ví dụ
Giải
1
2
1 1 2 2
* *
j
j
j j j j nj nj
nj
a
a
A a A a A a A
a
    

II. Tính chất của định thức

1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ
hàng hoặc cột tùy ý nào đó
II. Tính chất của định thức

Tính định thức det (A), với













004
225
313
A
Ví dụ
Khai triển theo hàng thứ 3
32
22
31
)1(4
004
225
313
)1(4
004
225
313
1313









A
Giải.
II. Tính chất của định thức

Tính định thức det (A), với
2 3 3 2
3 0 1 4
2 0 3 2
4 0 1 5
A

 
 
 


 
 

 
Ví dụ
II. Tính chất của định thức

Khai triển theo cột thứ hai
12 22 32 42 12

2 3 3 2
3 0 1 4
( 3) 0 0 0 3
2 0 3 2
4 0 1 5
A A A A A A

           


3 1 4
3 2 3 2 171
4 1 5
A    


Giải
II. Tính chất của định thức

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo.
120145)3(2
10000
94000
82500
17630
4
0
3
1

2



A
Ví dụ
II. Tính chất của định thức

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
1.Nếu thì
i i
h h
A B



| | | |
B A


2.Nếu thì
i i j
h h h
A B

 

| | | |
B A


3. Nếu thì
i j
h h
A B


| | | |
B A
 
II. Tính chất của định thức

Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức



















1312
2623
0532
1
2
1
1
A
1504
101
2
1
1
||

A
Khai triển theo cột đầu tiên
1730
1010
2110
1
2
1
1



II. Tính chất của định thức

Giải
1312
2623
0532
1
2
1
1
||



A
2 2 1
2
 
h h h
3 3 1
3
 
h h h
4 4 1
2
 
h h h
|
|
A
173
101

2
1
1
)1(
1
11



19
154
1
1
)1(1
21





II. Tính chất của định thức

Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.
Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp
II. Tính chất của định thức

Ví dụ

Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức


















1314
2413
0232
1
1
2
3
A
055
085
2

3
2
||

A
411
253
2
3
2
)1(
1
41




0411
0253
0232
1
1
2
3



1314
2413
0232

1
1
2
3
||



A
II. Tính chất của định thức

Giải
3 3 1
2
 
h h h
4 4 1
 
h h h
30
55
8
5
)1()2(
31


Khai triển theo cột số 4
|
|

A
II. Tính chất của định thức

det (A
T
) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).

II. Tính chất của định thức

Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A
-1
, sao cho AA
-1
= I. Suy ra
1
1
A
A P
A


, với
11 12 1
21 22 2
1 2

T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 

 
 
 


  

Chứng minh
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0.

Định lý
Giả sử det(A) 0. Khi đó

det(AA
-1
) = det (I) det(A).det(A
-1

) = 1 det(A) 0

II. Tính chất của định thức


















*
*
*
111
111
jjj
jjj
aaa
aaa

B


1 1 2 2
0
| |,
,
i j i j in jn
A i j
a A a A a A
i j


   






















*
*
*
111
111
iii
jjj
aaa
aaa
A


II. Tính chất của định thức

Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó
1
1
A
A P
A


, với
11 12 1
21 22 2

1 2
T
n
n
A
n n nn
A A A
A A A
P
A A A
 
 
 

 
 
 


  

Công thức tính ma trận nghịch đảo A
-1
II. Tính chất của định thức

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của












043
132
111
A
Giải.
0
2
)
det(



A
A khả nghịch
Tính 9 bù đại số của các phần tử
1 1
11
3 1
( 1) 4;
4 0
A

   

1 2
12
2 1
( 1) 3;
3 0
A

  
1 3
13
2 3
( 1) 1
3 4
A

   
21 22 23 31 32 33
4; 3; 1; 2; 1; 1
A A A A A A
        
1
4 4 2
1
3 3 1
2
1 1 1
A

 
 

 
 
 

 
 
 
II. Tính chất của định thức

Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.
1
1
det( )
det( )
A
A


2. Nếu A khả nghịch, thì
1
det( ) (det( ))
n
A
P A


Chứng minh.
Tính det(A), nếu
Ví dụ 1

2 1 1 3
3 2 1 2
4 1 0 1
3 3 2 2
A

 
 

 

 
 

 
Tính det(A), với
Ví dụ 2
4 1 1 0
3 2 4 1
2 1 3 1
5 1 2 3
A
 
 

 

 
 
 

Khẳng định nào sau đây đúng?
Ví dụ 3
2
3
2 1 3
3 2 3 1
( )
3 5 2 1
6 3 2 1 9
x
x
f x
x x
x
 



a) Bậc của f(x) là 5.
b) Bậc của f(x) là 4.
c) Bậc của f(x) là 3.
d) Các câu khác đều sai.