Tài liệu Toán Ứng dụng - Chương 8: Dạng toàn phương doc

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Đại số tuyến tính

Chương 8: Dạng tồn phương

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)



7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  R

x  (x 1, x 2 ,..., x n )T  R n : f (x )  x T  A  X
trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của
dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)

Ví dụ. Cho

 x1 
x 
 x2 

 2 3 

A
3 4 



Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2
T

x Ax   x1

 2 3  x1 
2
2
x2  
 2 x1  6 x1 x2  4 x2
3 4   x2 

 


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng

f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 
2
2
 A x1  B x 2  C x3  2 Dx 1x 2  2 Ex 1x 3  2Fx 2x 3
2

Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng

A
M  D

E

Khi đó f(x) có thể viết lại

A
 (x 1 , x 2 , x 3 )  D

E


D
B
F

D E
B F

F C


f (x )  f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 

E  x 1 
F  x 2   x T  M  x

 
C  x 3 
 


7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

 x1 
x   x 2   R 3 :
 
x 
 3
2
2
2
f ( x)  3x1  2 x2  4 x3  4 x1x2  6 x1x3  2 x2 x3
Viết ma trận của dạng toàn phương.
Giải

 3 2 3 
A 2 2 1 


 3 1 4 


 f ( x)  xT Ax   x1

x2

 3 2 3   x1 
x3   2 2 1   x2 

 
 3 1 4  x 

 3 


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, với

x  (x 1 , x 2 , x 3 )T

Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận
trực giao P và ma trận chéo D:
A  PDP T
Khi đó:
Đặt
Ta có

f (x )  x T PDP T x  (P T x )T D (P T x )

y  P T x  x  Py
f ( y )  y T Dy

 1 0
 f ( y )  ( y 1, y 2 , y 3 )  0 2

0 0


0  y 1 
0  y 2 
 
3  y 3 
 

2
2
2
 f ( y )  f ( y 1, y 2 , y 3 )  1 y 1  2 y 2  3 y 3


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Dạng toàn phương f ( y )  y T Dy được gọi là dạng chính
tắc của dạng toàn phương f (x )  x T A x
Dạng chính tắc là dạng tồn phương có các số hạng là các bình
phương.
Ma trận A là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A x trong
cơ sở chính tắc.
Ma trận D cũng là ma trận của dạng toàn phương f (x )  x T A x

trong cơ sở tạo nên từ các cột của ma trận trực giao P.
Khi làm việc với dạng tồn phương ta có thể làm việc với ma
trận A, cũng có thể làm việc với ma trận D. Tất nhiên ma trận D
có cấu trúc đơn giản hơn.


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dạng toàn phương f (x )  x T A x ln ln có thể đưa về
dạng chính tắc f ( y )  y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao
ma trận A của dạng toàn phương.
Phép biến đổi này được gọi là phép biến đổi trực giao đưa dạng
tồn phương về dạng chính tắc.
Cịn có nhiều phương pháp đưa dạng tồn phương về chính tắc
khác nhau: ví dụ phép biến đổi Lagrange (hay là phép biến đổi
sơ cấp)
Phép biến đổi trực giao phức tạp nhưng có ưu điểm là ta vẫn cịn
làm việc với cơ sở trực chuẩn (cơ sở từ các cột của ma trận P)


7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao
Bước 1. Viết ma trận A của dạng tồn phương (trong chính tắc)
Bước 2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D
Bước 3. Kết luận
Dạng chính tắc cần tìm là: f ( y )  y T Dy
Với D là ma trận của dạng toàn phương ban đầu trong cơ sở

trực chuẩn từ các cột của ma trận trực giao P.
Phép biến đổi cần tìm: x = Py


7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Đưa dạng tồn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao. Nêu rõ phép biến đổi.
2
2
2
f ( x1, x2 , x3 )  3x1  6x2  3x3  4x1x2  8x1x3  4x2 x3

1. Ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng:

 3 2 4 
A   2 6 2 


 4 2 3




7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Chéo hóa A bởi ma trận trực giao P (đã làm ở ví dụ trước)




P






1
2
0
1
2

1
2 
18 3 

4
1/ 3 

18

1
2 

3 

18

7 0 0 
D  0 7 0 


 0 0 2 



2
2
2
f ( y 1, y 2 , y 3 )  7 y 1  7 y 2  2 y 3
3. Dạng chính tắc cần tìm là:

Phép biến đổi cần tìm: x  Py

 x1 
 y1 
 x2   P  y 2 
 
 
x 
y 
 3
 3


7.6 Dạng Tồn phương

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa tồn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến
nếu ma trận P là ma trận không suy biến.
Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến
đổi không suy biến đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc.
Phép biến đổi này rất dễ thực hiện vì chỉ dùng các phép biến
đổi sơ cấp, khơng cần tìm TR, VTR của ma trận.
Nhược điểm của phép biến đổi này là ta sẽ làm việc với dạng
chính tắc trong một cơ sở thường là không trực chuẩn.


7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa tồn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
2
xk
Bước 1. Chọn một thừa số khác khơng của hệ số

Lập thành hai nhóm: một nhóm gồm tất cả các hệ số chứa x k ,
nhóm cịn lại khơng chứa số hạng này.
Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương.
Ta có một tổng bình phương và một dạng tồn phương khơng
chứa hệ số x k .
Bước 3. Sử dụng bước 1, và 2 cho dạng tồn phương khơng
chứa hệ số x k .
2
Chú ý: Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x k

đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số x i x j
Đổi biến: (k  i , j ) : y k  x k ;

x i  y i  y j ;x j  y i  y j


7.6 Dạng Tồn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Đưa dạng tồn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.
2
2
2
f ( x1, x2 , x3 )  3x1  6x2  3x3  4x1x2  8x1x3  4x2 x3
2
1. Chọn thừa số 3x 1

Lập thành hai nhóm:
2
2
2
f ( x1 , x2 , x3 )  (3x1  4 x1 x2  8 x1 x3 )  (6 x2  3 x3  4 x2 x3 )

f

2
( x1 , x2 , x3 )  3( x1

4
8
2
2
 x1 x2  x1 x3 )  (6 x2  3x3  4 x2 x3 )
3
3

Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm 1.
2
4
16
4 2 16 2
2
2
f  3( x1  x2  x3 )2  x2 x3  x2  x3  (6 x2  3 x3  4 x2 x3 )
3
3
3
3
3


7.6 Dạng Toàn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

2
4 2 14 2 28
7 2

f  3( x1  x2  x3 )  ( x2  x2 x3  x3 )
3
3
3
3
3
Lặp lại từ đầu cho dạng toàn phương:

14 2 28
7 2
x2  x2 x3  x3
3
3
3

14 2
Chọn thừa số
x2
3
7 2
 14 x 2  28 x x   7 x 2 14 2
Lập 2 nhóm: 
x2  2 x2 x3  x3
2
2 3
3 
3
3
 3
3

3



Lập thành tổng bình phương đủ ở nhóm đầu.

14
2 14 2 7 2
 x2  x3   x3  x3
3
3
3

14
2
2
  x 2  x 3   7x 3
3




7.6 Dạng Toàn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

2
4
14
2
2

f  3( x1  x2  x3 )2   x2  x3   7 x3
3
3
3
y
 1

Đặt:  y2
y
 3


2
4
 x1  x2  x3
3
3

x2  x3

x3

Vậy dạng chính tắc cần tìm là:

(*) là phép biến đổi cần tìm.

f

2
 3 y1

(*)

14 2
2
 y2  7 y3
3


7.6 Dạng Tồn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Đưa dạng tồn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi Lagrange. Nêu rõ phép biến đổi.

f ( x1, x2 , x3 )  4x1x2  4x1x3  4x2 x3
2
1. Trong dạng tồn phương khơng có hệ số chứa x k

Chọn một hệ số tùy ý chứa xmxn, ví dụ: 4x1x2
Đổi biến:

 x1  y1  y2

 x2  y1  y2
 x y
 3
3

2
2
f  4 y1  4 y2  4( y1  y2 ) y3  4( y1  y2 ) y3


7.6 Dạng Toàn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

2
2
2
2
f  4 y1  8 y1 y3  4 y2  f  (4 y1  8 y1 y3 )  4 y2
2
2
2
2
 f  4( y1  2 y1 y3 )  4 y2  f  4( y1  y3 ) 2  4 y2  4 y3

Đổi biến:

 z1  y1  y3

 z 2  y2
 z y
 3
3

2
2

2
Dạng chính tắc cần tìm là: f ( z1 , z2 , z3 )  4 z1  4 z2  4 z3

 x1  z1  z2  z3
Phép biến đổi cần tìm:  x2  z1  z2  z3


x3  z3



7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Dạng toàn phương f (x) = xTAx được gọi là:
1. xác định dương, nếu (x  0) : f (x )  0
2. xác định âm, nếu (x  0) : f (x )  0
3. nửa xác định dương, nếu

(x ) : f (x )  0 và

(x 1  ) : f (x 1 )  0

4. nửa xác định âm, nếu

(x ) : f (x )  0 và

(x 1  ) : f (x 1 )  0

5. không xác định dấu, nếu (x 1, x 2 ) : f (x 1 )  0 & f (x 1 )  0


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
2
2
2
f ( y )  1 y 1  2 y 2  ...  n y n

1. Nếu (k  1,.., n ) : k  0, thì dạng tồn phương xđ dương.
2. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 , thì dạng tồn phương xđ âm.
3. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 và k  0 , thì nửa xđ dương.
4. Nếu (k  1,..., n ) : k  0 và k  0 , thì nửa xđ âm.
5. Nếu 1  0; 2  0, thì dạng tồn phương khơng xác định dấu


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử dạng toàn phương đưa về chính tắc được:
2
2
2
f ( y )  1 y 1  2 y 2  ...  n y n

Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính.
Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính.

Tồn tại rất nhiều phương pháp đưa dạng tồn phương về dạng
chính tắc. Các dạng chính tắc này thường khác nhau.
Có điểm chung của các dạng chính tắc là: số lượng các hệ số âm
và số lượng các hệ số dương là khơng thay đổi.
Luật qn tính
Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng tồn
phương là những đại lượng bất biến khơng phụ thuộc vào cách
đưa dạng tồn phương về dạng chính tắc.


7.6 Dạng Tồn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Cho ma trận thực A vng cấp n.
Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đường chéo chính
được gọi là định thức con chính cấp 1, 2,…, n.

 a11 a12 a13  a1n 
a
a22 a23  a2 n 
 21

A   a31 a32 a33  a3n 
     


a
an 2 an 3  ann 
 n1


1

2

3



n


7.6 Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý (Tiêu chuẩn Sylvester)
Cho dạng toàn phương f (x) = xTAx.



1. f (x ) xác định dương khi và chỉ khi (i  1, n ) :  i  0


2. f (x ) xác định âm khi và chỉ khi (i  1, n ) : (1)i  i  0


7.6 Dạng Tồn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

Với giá trị nào của m thì dạng tồn phương sau đây xác định
dương.
2
2
2
f ( x1, x2 , x3 )  x1  4 x2  mx3  2x1x2  8x1x3  4x2 x3

 1 1 4 
Ma trận của dạng toàn phương là: A   1 4 2 


 4 2 m


Dạng toàn phương xác định dương khi và chỉ khi các định thức
con chính đều dương.

1  a11  1  0

1

3  1
1 1
2 
30
4
1 4

1

4

4
2

2 0
m

 m  28


7.6 Dạng Tồn phương
------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Tìm m để dạng tồn phương không xác định dấu
2
2
2
f ( x1, x2 , x3 )  x1  5x2  mx3  4x1x2  6x1x3  2x2 x3

Đưa dạng tồn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange.
2
2
2
f  (x 1  4x 1x 2  6x 1x 3 )  (5x 2  mx 3  2x 2 x 3 )

2
2
 f  (x 1  2x 2  3x 3 )2  x 2  14x 2 x 3  (m  9)x 3

2
 f  (x 1  2x 2  3x 3 )2  (x 2  7x 3 )2  (m  58)x 3

Dạng tồn phương khơng xác định dấu khi và chỉ khi có ít nhất
một hệ số âm và một hệ số dương

 m  58


7.6 Dạng Tồn phương
Ví dụ

------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong hệ trục tọa độ 0xy cho đường cong có phương trình

3x2  2xy  3 y 2  4 2x  2  0
Nhận dạng và vẽ đường cong này.
y

Xét dạng toàn phương f ( x, y )  3 x 2  2 xy  3 y 2
Vẽ đường cong trong hệ trục 0xy là
làm việc với cơ sở chính tắc của R2.

o

x

Đưa dạng tồn phương này về dạng chính tắc để khử đi hệ số 2xy.
Nếu đưa dạng tồn phương về chính tắc bằng biến đổi Lagrange thì

ta chỉ có thể nhận dạng được đường cong này, cịn khó vẽ hình được
vì lúc đó ta sẽ làm việc với cơ sở (thường là) khơng trực chuẩn.
Có nghĩa là vẽ hình trong hệ trục tọa độ khơng vng góc!