TRƯỜNG XUYÊN tâm

TRƯỜNG XUYÊN TÂM
TP.HCM Ngày 16/9/2020
GV. Phạm Vũ Kim Hoàng
Bài 1. Một hạt khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của trường lực xuyên tâm. Tại t=0,
hạt tại M0 có r0 = OM 0 và vận tốc v0 vng góc với r0 . O là tâm trường.
1
r

a.Đặt u = . Biểu thị vận tốc v và gia tốc a của hạt theo u và các đạo hàm của u đối với 
trong hệ toạ độ cực.
b.Xác định quy luật của lực để quỹ đạo của hạt là một đường xoắn ốc lôga r = ae .
c.Xác định quỹ đạo của hạt chuyển động trong trường lực hút xuyên tâm: f = −
Trong đó 0< k  m.r02v02 .
ĐS:
2
a. a = −C 2u 2 ( d u2 + u )er

b.

d
2.m.r v
f =−
r

2 2
0 0
3

c. Theo định luật II Niutơn:
f = m.a  −m.C 2u 2 (

d 2u
d 2u
k
3
+
u
)
=
−
ku

+ (1 −
)u = 0
2
2
d
d
mC 2

+ Chọn trục cực trùng với OM 0   (0) = 0 .
Vì 0< k  m.r02v02 = m.C 2 nên ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: v0 =

1
r0

k
.
m

Khi đó phương trình quỹ đạo: r=r0

Hay quỹ đạo của hạt là một đường trịn có tâm là tâm trường lực.
Trường hợp 2: v0 

1
r0

k
m

Phương trình quỹ đạo: r =

r0
cos(. )

Với  = 1 −

k
k
= 1− 2 2
2
mC
mr0 v0

Bài 2( HSGQG 2017)
Một vành tròn bán kính R, cứng, mảnh, có lờng một hạt cườm nhỏ khối
lượng m được đặt trong trọng trường với gia tốc g .
1. Đặt vành trong mặt phẳng thẳng đứng (Hình1.24P1). Tại thời điểm
t = 0, hạt cườm đang ở vị trí gần sát đỉnh A và vành đang quay đều

quanh trục thẳng đứng qua tâm O với tốc độ góc ω, người ta tác động
nhẹ để hạt cườm bắt đầu trượt trên vành và đi xuống. Bỏ qua ma sát
giữa hạt cườm và vành. Vành ln quay đều với vận tốc góc ω khi hạt
trượt.

1

k r
. .
r3 r


a. Xác định tốc độ của hạt cườm trong hệ quy chiếu gắn với vành tại thời điểm hạt cườm qua
điểm A ' bất kỳ trên vành với AOA ' =  (0     ) .
b. Xác định khoảng thời gian hạt cườm chuyển động từ điểm B (với AOB =  ) tới điểm C (với
2

AOC =

3
4

), biết rằng  

g
.
R

2. Giữ vành cố định nằm ngang (Hình 1.24P2). Ở thời điểm ban
đầu hạt cườm trượt trên vành với vận tốc v 0 . Hệ số ma sát trượt

giữa hạt cườm và vành là μ. Xác định quãng đường hạt đi được
trên vành.

Đáp số.
1a. 𝑡 =
2. 𝑠 =

1
𝜔

𝛼 3𝜋/4

𝑙𝑛 |𝑡𝑎𝑛 |

𝑅
2𝜇

2 𝜋/2

ln [

=

√𝑣04 +(𝑔𝑅)2 −𝑣02
𝑔𝑅

ln(√2+1)
𝜔

].

Bài 3 Một viên bi nhỏ có khối lượng m, nối với lị xo nằm trên mặt phẳng ngang nhẵn. Lị xo
có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l , khối lượng khơng đáng kể, một đầu lị xo nối với chốt thẳng
đứng qua O và lò xo dễ dàng quay trên mặt phẳng quanh chốt O không ma sát. Ban đâu hệ bi
và lò xo đang đứng yên, lò xo khơng biến dạng. Sau đó
một viên bi thứ 2 có khối lượng m chuyển động vận tốc
0

v 0 song song với mặt phẳng ngang và tạo với trục lò xo
một góc  , đến va chạm mềm với viên bi thứ nhất (Hình
1.25P), sau va chạm hai bi dính vào nhau cùng chuyển
động.
mv02
0
= 1 . Hãy tìm độ dài lị xo lớn
Biết rằng  = 30 và
kl02
nhất và nhỏ nhất sau va chạm. Từ đó suy ra tốc độ góc
lớn nhất và nhỏ nhất của hai bi quay quanh O sau va chạm.
l v sin 
 0,149v0 , vận tốc cực đại vmax  0, 414v0
Đáp số. Vận tốc cực tiểu vmin = 0 0
2lmax

Bài 4. Một vệ tinh nhân tạo của Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo trịn có bán kính
lớn hơn bán kính R của Mặt Trăng  lần. Khi chuyển động, vệ tinh chịu một sức cản yếu của
bụi vũ trụ. Giả thử rằng lực cản phụ thuộc vào vận tốc của vệ tinh theo định luật F = − v 2 ,
trong đó  >0 và là một hằng số; tìm thời gian chuyển động của vệ tinh cho tới lúc nó rơi lên
bề mặt Mặt Trăng. Coi quỹ đạo chuyển động vệ tinh gần như là đường trịn trong q trình
chịu tác dụng lực cản và khối lượng mặt trăng M.

2


Đáp số. t =

m
(  − 1) ; g là gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng.
 gR

Bài 5. Thế năng của một hạt trong một trường hấp dẫn nào đó có dạng U =

a b
− , với a và b
r2 r

là các hằng số dương, r là khoảng cách tính từ tâm của trường. Hãy tìm:
a) giá trị r0 tương ứng với vị trí cân bằng của hạt. Hãy giải thích vị trí này có phải là vị trí cân
bằng bền khơng?
b) giá trị cực đại của lực hấp dẫn
c) hãy biểu diễn áng chừng đồ thị sự phụ thuộc U(r) và F(r) là hình chiếu của lực lên bán
kính vectơ r.
Đáp sớ
2a
b3
a. Vị trí cân bằng tại r0 =
là cân bằng bền; b. Giá trị cực đại lực hấp dẫn là
; c.
b
27a 2

2a
r0 =
b
Bài 6. Giả sử Mặt trăng có tâm O khối lượng M, bán kính R là đứng yên đối với một hệ quy
chiếu quán tính nào đó. Một con tàu vũ trụ có khối lượng m tới từ Trái đất coi như ở rất xa.
Con tàu chuyển động tới Mặt trăng theo quỹ đạo hypebol với tiệm cận cách tâm O của Mặt
trăng một khoảng b và tốc độ lúc đó là v0. Khoảng cách bé nhất từ con tàu đến tâm Mặt trăng
là a. Giả thiết rằng con tàu chỉ chịu tác dụng lực hấp dẫn của Mặt trăng. Gia tốc rơi tự do ở bề
mặt của Mặt trăng là g0.
1. Tìm mối liên hệ giữa v0, a, b.
2. Tàu phụt khí chuyển sang quỹ đạo tròn với tốc độ

v=R

g0
a

. Sau nhiều vòng tàu quay quan

sát thì tại một điểm A trên quỹ đạo, nó phóng ra một tên lửa có khối lượng mT = 2m để tàu có
3

thể đổ bộ xuống Mặt trăng. Tốc độ tên lửa khi rời con tàu đối với Mặt trăng là vT

=

3
v
2

theo

hướng bán kính OA. Hãy xác định:
a. Hướng, độ lớn vận tốc con tàu sau khi đã phóng tên lửa và năng lượng tiêu tốn để thực hiện
điều đó.
b. Tỉ số  =

a
để sau khi phóng tên lửa thì tàu đổ bộ xuống Mặt trăng.
R

Đáp sớ.
2
1. v02 = 2g2 0 R a2

b −a

2a. Vận tốc tàu sau khi phóng tên lửa: v' = 3R 2

g0
a

v

Góc hợp bởi v , và phương bán kính được xác định: tg =  = 1   =
vr

4

Năng lượng cần tiêu tốn để thực hiện sự tách này:  = 13 mg 0 R

4

2b.   1, 45 . Nếu  ≤ 1,45 thì tàu rơi xuống Mặt trăng
3

2

a


Bài 7. (CÔNG THỨC BINET) Quỹ đạo chuyển động của một hạt chuyển động dưới tác dụng
của một lực xuyên tâm là r 2 ' = constant
Hãy xác định phương trình thế năng theo r.
1
(mốc thế năng ở vơ cực bằng không)
2r 2
Bài 8.(Trường xuyên tâm). Một tàu vũ trụ đang bay trên một quỹ đạo tròn bán kính r0 quanh

Đáp sớ. V = − mh 2

một vì sao có khối lượng M. Động cơ phản lực của tàu phát
động để thay đổi vận tốc của nó (ngay lập tức) một lượng v
. Góc phụt của động cơ phản lực θ là góc giữa vecto vận tốc
v và vecto từ đi tới mũi của tàu vũ trụ (Hình 1.30P). Để

tiết kiệm nhiên liệu trong N lần phụt, động cơ phải tối thiểu hóa V =  i =1 vi .Vi được gọi là
N

xung lực riêng (mô đun độ biến thiên vận tốc con tàu).
a. Giả sử ta muốn dùng động cơ của tên lửa để thốt khỏi ngơi sao. Xung lực riêng tối thiểu

của tàu phải bằng bao nhiêu nếu động cơ phụt một lần duy nhất trong khoảng thời gian rất
ngắn? Và phụt theo hướng nào?
b. Giả sử ta muốn thăm một hành tinh có quỹ đạo là hình tròn bán kính r1  r0 . Xung lực riêng
tối thiểu của tàu là bao nhiêu để tới được quỹ đạo của hành tinh trên? Và phải phụt theo
phương nào nếu một lần nữa động cơ chỉ phụt một lần duy nhất trong thời gian rất ngắn?
Giả sử ta muốn sử dụng động cơ của tàu để làm cho nó đâm vào vì sao S (giả thiết bán kính
của vì sao có thể bỏ qua).
Tính xung lực riêng tối thiểu của tàu trong cả hai trường hợp sau:
c. Phụt một lần trong thời gian rất ngắn với góc  = 1800 .
d. Phụt một lần trong một thời gian ngắn với góc  = 00 và phụt lần thứ hai với góc  = 1800
sau đó. Thời gian phụt lần thứ hai và cường độ của mỗi lần phụt được chọn để tối thiểu hóa
xung lực riêng tổng cộng.
Đáp sớ.
a. Vận tốc con tàu và xung lực riêng phải cùng chiều. Khi đó xung lượng riêng v :
v = (v0 e − v0 ) =

b. V =

GM
( 2 − 1)
r0

GM
2r0
(3 − 2
)
r1
r1

Bài 9. (Trường xuyên tâm).

4


a. Một hạt khối lượng m chuyển động trong
thế V (r ) = k / r 2 , k > 0. Xét chuyển động trong
mặt X – Y khi cho r và  là tọa độ cực trong
mặt phẳng và cho lời giải với r như hàm của
 , momen xung lượng l và năng lượng E
(hình 1.31P)
b. Sử dụng kết quả của phần (a) để thảo luận
tán xạ (cổ điển) trong thế đó. Đặt θ là góc tán
xạ. Liên hệ thông số va chạm với θ và năng
lượng E và từ đó tính tiết diện vi sai như hàm
của θ và E.
Đáp số.
2mk
1
2me
. a. =
sin  ; với  2 = 1 + 2
l
r
L
2
k ( −  )
b. Đáp số b 2 =
E (2 −  )
Bài 10. (Trường xun tâm). Một hành tinh có mật độ đờng nhất quay quanh một trục cố định
Oz với vận tốc góc ω. Do có chuyển động quay này,

bán kính xích đạo RE lớn hơn một chút so với bán kính
cực của nó RP như được mơ tả bởi tham số ε = ( RE - RP
)/ RE . Kết quả nhiễu loạn đó đóng góp vào thế hấp dẫn
2GM e RE2 P2 (cos  )
là: (R, ) = −
5R3
3cos 2  1
− .
Trong đó, θ là góc cực và P2 (cos  ) =
2
2

Nêu rõ điều kiện cân bằng khả dĩ của bề mặt hành tinh
và tính giá trị của ε theo tham số  =

 2 RE
g

, trong đó g là gia tốc hấp dẫn. Ước lượng trị số ε

của trái đất.

5RE2b 5RE2 2 5RE 2 5

=
=
 2,9.10−3
6
6GM e
6g

6
Bài 11 Xét một hành tinh có khối lượng m quay quanh Mặt Trời có khối lượng M. Giả sử
khơng gian xung quanh Mặt Trời có một lượng bụi phân bố đều mật độ ρ.
Đáp số.  =

4G
a. Chỉ ra rằng lực tác động của bụi là cộng vào lực hút xuyên tâm F’ = −mkr, trong đó k =
3

. Bỏ qua lực cản của bụi đối với hành tinh.
5


b. Xét một chuyển động tròn của hành tinh tương ứng với mơmen động lượng L. Tìm
phương trình của bán kính chuyển động r0 theo L, G, M, m và k.
c. Giả sử F’ là nhỏ so với lực hút của Mặt Trời và xét quỹ đạo chỉ lệch một chút so với quỹ
đạo ở phần b. Bằng cách xét các tần số của chuyển động xuyên tâm và chuyển động quay
hãy chứng minh rằng quỹ đạo là elip tuế sai và tính tần số của chuyển động tuế sai ωρ
theo r0, ρ, G và M.
d. Trục của elip tiến động cùng chiều hay ngược chiều với tần số góc của chuyển động quỹ
đạo?
Bài 12. Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau:
Từ mặt đất truyền cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng. Tại độ cao h khi vệ tinh có
vận tốc bằng khơng, người ta trùn cho nó vận tốc v1 theo
phương nằm ngang để nó chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm v
v'
sai e và thơng số p cho trước.
a. Tính vận tốc v0

R0

Cv

b. Tính vận tốc v1.
c. Khi vệ tinh quay đến viễn điểm thì người ta giảm vận tốc của
nó để quỹ đạo mới có khoảng cách cận điểm bằng bán kính
R0 của Trái Đất (nghĩa là đưa vệ tinh trở về Trái Đất). Hãy
tính độ giảm vận tốc đó.

Bài 13.
Một hạt cổ điển có năng lượng là 𝐸 và mô men động lượng 𝐿 đối với điểm 𝑀 chuyển động
𝐺

tiến tới một vùng trong đó có một trường thế hấp dẫn xuyên tâm 𝑉 = − (với tâm là điểm 𝑀).
𝑟

Hạt đó bị tán xạ bởi trường thế đó.
a) Giả thiết năng lượng và mơ men động lượng được bảo tồn, tìm phương trình vi phân
𝑑𝑟
𝑑𝜃

theo 𝐸, 𝐿, 𝑟, 𝑚.

b) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hạt và tâm tán xạ (𝑟𝑚𝑖𝑛 )

6


Bài 14.
Một vệ tinh, có khối lượng 𝑚, quay quanh Trái Đất, khối lượng 𝑀, theo một quỹ đạo tròn, bán

kính 𝑅0. Nếu vệ tinh bị nhiễu loạn nhẹ và tức thời theo phương bán kính, sao cho nó bị lệch
khỏi quỹ đạo trịn ban đầu. Tính chu kỳ dao động 𝑇 của 𝑟 quanh khoảng cách trung bình 𝑅0.
Bài 15.
Coi Trái Đất (T) chuyển động xung quanh Mặt Trời (S) theo một quỹ đạo trịn bán kính
RT = 150.109 m với chu kỳ T0 và vận tốc v T . Một sao chổi (C) chuyển động với quỹ đạo nằm
trong mặt phẳng quỹ đạo của Trái Đất, đi gần Mặt Trời nhất ở khoảng cách bằng kRT với vận
tốc ở điểm đó là v1. Bỏ qua tương tác của sao chổi với Trái Đất và các hành tinh khác trong hệ
Mặt Trời.
1. Xác định vận tốc v của sao chổi khi nó cắt quỹ đạo của Trái Đất theo k, vT và v1. Cho biết
k = 0,42; vT = 3.104 m/s và v1 = 65,08.103 m/s.

2. Chứng minh rằng quỹ đạo của sao chổi này là một elip. Hãy xác định bán trục lớn a
dưới dạng a = RT và tâm sai e của elip này theo k, vT và v1 . Biểu diễn chu kỳ quay của sao chổi
quanh Mặt Trời dưới dạng T = nT0 . Xác định trị số của , e và n.
3. Gọi  là khoảng thời gian mà sao chổi còn ở bên trong quỹ đạo của Trái Đất, tức là
r = CS  RT . Giá trị của  cho ta biết cỡ độ lớn của khoảng thời gian có thể quan sát được sao
chổi này từ Trái Đất. Hãy biểu diễn  dưới dạng một tích phân và hãy tính gần đúng tích phân
đó.
Bài 16.
Một trạm vũ trụ chuyển động với tốc độ u trên một quỹ đạo hình trịn bán kính R quanh
Trái Đất. Khi đi qua điểm C trên trục 0y của hệ trục tọa độ 0xy gắn cố định với Trái Đất, trạm
vũ trụ phóng ra một máy thăm dị. Lúc phóng ra, máy thăm dị được trùn thêm vận tốc V
7


theo phương 0y, sau đó trạm vũ trụ vẫn chuyển động trịn đều với tốc độ u (Hình 1). Gọi góc
hợp bởi tia 0y và tia nhìn từ tâm Trái Đất qua vật thể cần quan sát là góc nhìn.
1. Chứng minh rằng nếu góc nhìn máy thăm dị bằng góc nhìn trạm vũ trụ thì các véctơ vận
tốc của chúng lại khác nhau một lượng là V như lúc phóng.
2. Khi góc nhìn máy thăm dị là  thì máy

y

thăm dò cách tâm Trái Đất là bao nhiêu?
3. Tốc độ V phải thỏa mãn điều kiện nào thì
quỹ đạo của máy thăm dị sẽ là kín (quỹ đạo
elip)?
4. Trong trường hợp quỹ đạo khơng kín, hãy

gh

y

Trái Đất

Trái Đất

C

C

x

0

x

0

Quỹ đạo

Quỹ đạo
Hình 1

Hình 2

tìm góc giới hạn gh hợp bởi véctơ vận tốc của
máy thăm dò và tia 0y khi máy thăm dị ra xa vơ cùng (Hình 2).
5. Trong trường hợp quỹ đạo kín (quỹ đạo elip), hãy tìm bán trục lớn và bán trục nhỏ của
quỹ đạo máy thăm dò.
Bài 17.
1. Xét một hành tinh (khối lượng m) chuyển động quanh Mặt Trời (khối lượng M). Ta định
nghĩa vectơ Z như sau:
Z=

1
v  L − er

•

1
trong đó  =
(G là hằng số hấp dẫn), v và L lần lượt
GMm

là vận tốc và momen động lượng của hành tinh. Trong bài
tốn này, ta chọn hệ toạ độ cực có gốc là Mặt Trời (S), e r và

A

r

•

rA

•

S

P

rp

•

e  là vectơ đơn vị ứng với hai toạ độ r, .

a) Chứng minh rằng nếu hành tinh chỉ chịu tác dụng bởi lực hấp dẫn của Mặt Trời thì Z là
một vectơ không đổi, hướng từ S về phía điểm cận nhật P (xem hình vẽ).
b) Dùng vectơ Z, hãy chứng tỏ phương trình quỹ đạo trong toạ độ cực của hành tinh là:
r=

p
1 + e cos 

Biểu diễn các đại lượng p và e ở trên qua rA và rP trong đó A là điểm viễn nhật, P là điểm cận
nhật của hành tinh.
8

2. Như vậy theo 1., nếu chỉ có lực hấp dẫn của Mặt Trời tác dụng lên hành tinh thì quỹ đạo
của hành tinh là cố định, đặc biệt là điểm cận nhật P cũng cố định. Trong thực tế, những quan
sát thiên văn cho thấy P dịch chuyển chậm và thể hiện rõ nhất đối với Thuỷ tinh, hành tinh ở
gần Mặt Trời nhất. Sở dĩ như vậy là vì theo thuyết tương đối rộng, chuyển động của một hành
tinh xung quanh Mặt Trời (cả hai đều được giả thiết là các quả cầu đồng chất) cần phải được
mô tả bởi thế hấp dẫn Niutơn U(r) = −

GMm
cộng với một thế nhiễu loạn
r

UP =

GM L2 1

=− 3
2
3
c mr
3r

trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không,  = −

3GM L2
.
c2 m

a) Chứng minh rằng U P thoả mãn điều kiện là một thế nhiễu loạn, tức U P  U .
b) Do có nhiễu loạn, quỹ đạo của Thủy tinh thay đổi, nhưng nhiễu loạn là rất nhỏ nên trong

phép gần đúng bậc nhất vẫn có thể coi quỹ đạo hành tinh là elip. Viết biểu thức của vectơ Z
khi có tính đến thế nhiễu loạn. Tính

d
dZ
và biểu diễn nó như một hàm số của  , G, M, , e và
dt
dt

p của elip (đã tìm được ở 1.). Từ đó suy ra độ biến thiên  Z trong một chu kì T của Thủy tinh
quay trên quỹ đạo elip và đi đến kết luận rằng thế nhiễu loạn có ng̀n gốc tương đối tính U P
đã làm biến đổi quỹ đạo tương ứng với sự quay chậm của trục dài elip quỹ đạo xung quanh
gốc S (tức Mặt Trời).
c) Tính góc quay  của quỹ đạo Thủy tinh theo một chu kì như là một hàm số của G, M,
c và các khoảng cách cực đại và cực tiểu rA và rP .
d) Từ những kết quả trên suy ra “độ dịch thế kỉ” đối với Thủy tinh là góc  mà trục lớn
quỹ đạo quay được trong một thế kỉ. Tính  ra giây (góc). Thực nghiệm đo được góc này là
 = 42, 6  0,9. Hãy so sánh kết quả này và kết quả bạn vừa tìm được dựa trên thuyết tương
đối.
Các số liệu cần thiết: Hằng số hấp dẫn vũ trụ: G = 6, 67.10−11 N.m 2 .kg −2 , khối lượng Mặt Trời:
M = 2.1030 kg . Đối với Thủy tinh: Chu kì quay quanh Mặt Trời T = 88 ngày, rA = 7, 0.1010 m và
rP = 4, 6.1010 m .

Cho biết trong hệ toạ độ cực ( r; ) có các hệ thức sau:

9