(SKKN mới NHẤT) SKKN một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS lê đình chinh

Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Lí do lí luận
Albert Einstein đã nói: “Tốn học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca của
tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều tốn
liệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những con số?
Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến tốn học, đều có tác
dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học hơn và sáng
tạo hơn, nó giúp cho người học có khả năng suy nghĩ trừu tượng và trong một chừng
mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi quyết định.
Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc định
hướng các em học tốt mơn Tốn, ln tìm tịi đổi mới để giúp các em ngày càng hồn
thiện hơn các kiến thức tốn học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa hiện hành đã
được chọn lọc những kiến thức rất cơ bản, phù hợp cho mọi đối tượng. Tuy nhiên,
không phải bất cứ dạng tốn nào các em cũng có thể nắm bắt được, trong số đó có
dạng tốn phương trình vơ tỉ, một dạng toán phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi
văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải tốn trên máy tính cầm tay Casio.
2. Lí do thực tiễn
Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Tốn, tơi nhận thấy chỉ cung cấp cho các
em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà
giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết phân chia
theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời
rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tịi lời giải của một bài toán trên cơ
sở các kiến thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tơi nhận thấy
học sinh cịn lúng túng rất nhiều khi gặp dạng phương trình vơ tỉ và thường có những
sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh cịn vướng mắc về phương pháp giải, q
trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ điều kiện, chưa xét hết các trường hợp
xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương trình có chứa biến

dưới dấu căn hay gọi là phương trình vơ tỉ. Nên khi gặp bài tốn giải phương trình vơ
tỉ, đa số học sinh chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng
dạng bài tập, có nhiều bài tốn địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến
thức và kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn
giản.
Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ dễ đến khó, phân
loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em
có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản
chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo. Từ đó rèn
luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vơ
tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” với mong muốn được
chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong cơng tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học
sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các
đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn.

download by :

Trang 1


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9
trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạng
bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân
loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học
sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng
lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được

sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải tốn và niềm đam mê,
u thích bộ môn. Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về
phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong q trình tìm tịi lời giải giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng
tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ
hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều
dạng Tốn, giúp học sinh có những kiến thức tốn học phong phú để học tốt mơn Tốn
và qua đó hỗ trợ học sinh học tốt các môn học khác.
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Dạng tốn phương trình vơ tỉ là dạng toán rất quan trọng trong chương đại số
9, đây là những bài tốn khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi vào
lớp 10... Các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh
phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát
huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học
Tốn, tơi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giải cho từng kiểu loại
bài tập. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những
kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài tốn, lựa chọn phương pháp giải phù
hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tị mị ham tìm
hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong
học tập và niềm đam mê bộ môn.
II. Thực trạng vấn đề:
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia giảng dạy cũng như bồi dưỡng
đội tuyển học sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và đã trải nghiệm rất nhiều
chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chun đề “Một số giải pháp giải
phương trình vơ tỉ” và tơi cũng đạt được các thành tích trong công tác giảng dạy cũng
như bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài
toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập và kết quả được thống kê lại như sau:
Năm

học

Lớp

Tổng
số

Số lượng học
sinh làm được

Số lượng học sinh
làm chưa chặt chẽ

Số lượng học sinh
không làm được

SL

Tỷ lệ

SL

Tỷ lệ

SL

Tỷ lệ

2015

9A1

30

5

16%

11

37%

14

47%

- 2016

9A2

31

4

12%

13

42%

15

46%

download by :

Trang 2


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Qua bảng thống kê trên tơi suy nghĩ tìm cách để học sinh nắm vững và giải
thành thạo các bài tốn về phương trình vơ tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng bài
tập từ dễ đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng cần
có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng. Với những
ý tưởng đó tơi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về giải phương
trình vơ tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh”. Sau khi đưa ra
tập thể tổ chun mơn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy học sinh hứng
thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng tốn phương trình vơ tỉ thì học sinh
khơng chán nản mà đam mê phân tích nhận dạng tìm cách giải bài tốn, từ đó ngày
càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải tốn có khoa học, lập luận logic và chặt
chẽ.
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm vững.
Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử dụng cách giải
phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa
Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương trình
vơ tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:
1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm

vững.
Các kiến thức cơ bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần
nắm vững, cụ thể:

(A 0)

Các kiến thức về giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân
tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một ẩn, bất đẳng
thức Cauchy...

download by :

Trang 3


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ bản
của phương trình vô tỉ, đồng thời nắm vững phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài
tập, cụ thể như sau:
2. Giải pháp 2. Giải phương trình vơ tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy
thừa
2.1. Dạng 1: Phương trình vơ tỉ có dạng:

(1)

Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và m R .
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức
không âm. Nếu m < 0 thì đẳng thức khơng xảy ra nên phương trình vơ nghiệm. Nếu m
0 thì phương trình tồn tại vậy khi m 0 thì phương trình khơng cần tìm điều kiện khi

đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi giải phương trình vừa tìm được. Vậy phương
trình (1) mà m < 0 kết luận phương trình vơ nghiệm ta khơng giải, m 0 bình phương
hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được.
b) Phương pháp giải
(1)
Tiếp tục giải phương trình f(x) = m2 suy ra x rồi kết luận nghiệm của phương
trình.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình đã cho có tồn tại khơng? Vì sao? (Phương trình đã cho
có tồn tại vì vế trái
và vế phải 3 > 0). Vậy đối với dạng này khơng cần tìm
điều kiện.
Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai
bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 14
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình đã cho phải là phương trình dạng 1 chưa? Nêu cách
giải.
Giải
Ta có:

download by :

Trang 4


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =
Giáo viên? Ngồi cách giải trên cịn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn bậc
hai theo kiến thức
rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa học)
Cách 2. Ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì
phương trình dạng
giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho
từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì
biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu khơng
thì giải theo cách 1)
Ví dụ 3: Giải phương trình
Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang 5
được khơng? (Học sinh nêu cách biến đổi phương trình đã cho về dạng

)

Giải
Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =
Ví dụ 4:
Phân tích: Đặt câu hỏi gợi mở như ví dụ 3 (Học sinh biến đổi phương trình đã cho về
dạng

)
Giải

Ta có:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {-9; 5}
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều
giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo

download by :

Trang 5


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

e) Các bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.

2.2. Dạng 2. Phương trình vơ tỉ có dạng:

(2)

Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh nhận thấy vế trái là một biểu thức
khơng âm. Nếu g(x) < 0 thì đẳng thức khơng xảy ra nên phương trình (2) vơ nghiệm.
Nếu g(x) 0 phương trình tồn tại. Vậy g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương

trình, khơng cần tìm điều kiện để f(x) 0 khi đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi
giải phương trình.
b) Phương pháp giải

Tiếp tục giải bất phương trình
suy ra điều kiện của x và giải phương
2
trình f(x) = g(x) suy ra x xong đối chiếu điều kiện của x ở trên rồi kết luận nghiệm của
phương trình.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình đã cho tồn tại khi nào? (

)

Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai
bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Điều kiện: 3 - x

0

x

3

Ta có:

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3}
Giáo viên? Ngồi cách giải trên cịn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn

theo kiến thức
)
Cách 2. Điều kiện: 3 - x

0

x

3

Ta có:
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3}

download by :

Trang 6


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì
giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải
đơn giản hơn cách 1, để bài tốn giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn viếc
được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu khơng thì giải theo cách 1)
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1.
Giải
Điều kiện: 3 - 3x

0

-3x

-3

x 1

Ta có:

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {-2}
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về phương trình giá trị tuyệt đối khơng?
Vì sao (Phương trình đã cho khơng đưa về phương trình giá trị tuyệt đối được vì biểu
thức dưới dấu căn khơng đưa về dạng bình phương của một biểu thức). Nên giải theo
cách bình phương hai vế.
Giải
Điều kiện: 2x + 8

0

2x

-8

x -4

Ta có:

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 4. Giải phương trình sau:

Phân tích: Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 khơng? (Phương
trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế phải thu gọn
xong tìm điều kiện. Nên cách giải như sau:
Giải
Ta có:

(*)

download by :

Trang 7


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Điều kiện: 4x - 4

0

4x 4

x 1

(*)

Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì đa số học sinh đều làm được các bài
dạng này, đây là dạng cơ bản thứ 2 để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo
e) Các bài tập tương tự
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.

2.3. Dạng 3. Phương trình vơ tỉ dạng:

(3)

Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Cả hai về của phương trình đều chưa căn bậc hai vậy để mất căn
bậc thì ta bình phương hai vế.
b) Cách giải: Phương trình dạng 3 như sau
(3)
Giải 2 bất phương trình f(x)

0 và g(x)

0 suy ra điều kiện chung của bai tốn

Giải phương trình f(x) = g(x) suy ra x đối chiếu điều kiện và kết luận.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện:

* 2x - 1

*x-1
Vậy điều kiện: x

x

0

2x

1

x

1

1

Ta có:

Kết luận: So sánh với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là S =

download by :

Trang 8


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
Giải

Điều kiện: *

*
Vậy điều kiện bài tốn là
Ta có:

Kết luận: So sánh với điều kiên bài tốn, nghiệm của phương trình x = 3
Ví dụ 3. Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện:

*
*

Vậy điều kiện bài tốn
Cách 1: Giải như ví dụ 2
Giáo viên? ví dụ trên ngồi cách giải đó cịn có cánh giải nào khác khơng?
Cách 2
Ta có:

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {1;

}

d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì
phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán.

download by :

Trang 9

Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

(Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài tốn giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới
dấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu khơng thì giải theo
cách 1)
e) Các bài tập tương tự.

Câu 1. 5 x 2  6 x  7 =
Câu 2.

3 x  2 =

x3

2x 1

Câu 3.

2 x 2  3x  4 =

Câu 4.

2x  5  x  2

7x  2

Câu 5. 7  x 2  x x  5 = 3  2x  x 2
2.4. Dạng 4. Phương trình vơ tỉ dạng:

Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa cùng biến x.
a) Cách giải
Ta có:

Giải phương trình * như dạng 2 phần 2.2 (chú ý điều kiện bổ sung cho phương trình *
là h(x) - f(x) - g(x) ) 0). Khi suy ra nghiệm của * ta đối chiếu điều kiện ban đâu và
điều kiện bổ sung rồi kết luận. Nên cách giải như sau.
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
Phân tích: Ta thấy vế phải là số không âm, vế trái chưa xác định được dương
hay âm. Khi giải bình phương để mất căn thì được phương trình mới khơng tương
đương với phương trình đã cho nên phương trình mới sẽ có nghiệm ngoại lai. Vì vậy
thường sai lầm khi kết luận lấy cả nghiệm ngoại lai, Vậy giáo viên nên hướng dẫn cho
học sinh cách khắc phục sai sót này theo hai cách sau.
Cách 1. Khi giải xong thay nghiệm vào thử lại nghiệm nào khơng thõa mãn thì
loại, nghiệm nào thỏa mãn thì nhận. Như vậy cách này mất thời gian nhiều.
Cách 2. Biến đổi chuyển vế để cả hai vế đều cùng dương.
. Nên ta có cách giải như sau.
Giải
Điều kiện:

download by :

Trang 10


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Vậy điều kiện xác định
Ta có:

(Điều kiện bổ sung của phương trình cơ bản phần 2.2 dạng 2
là:

)

Kết luận: So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0.
c) Các bài tập tương tự
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.

2.5. Dạng 5. Phương trình vơ tỉ dạng:

(1)

a) Phân tích: Nếu phương trình (1) có A + B = C + D khi đó cả hai vế đều
khơng âm, cách giải ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện tổng A + B và vế phải
xuất hiện C + D mà A + B = C + D khử được khi đó phương trình mới về dạng cơ bản
phần 2.3 dạng 3 và cách giải theo dạng này.
Nếu phương trình (1) có A + C = B + D khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về
dạng
sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì
cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới củng có dạng 3
phần 2.3. Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử lại nghiệm để loại nghiệm
ngoại lai.

Nếu phương trình (1) có AB = CD khi đó cả hai vế đều khơng âm, cách giải ta
bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện
vế trái và
vế phải mà AB = CD
khử được khi đó phương trình khơng cịn căn bậc hai và giải được.
Nếu phương trình (1) có AC = BD khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về
dạng
sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả vì
cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới khử được
và
và phương trình mới khơng cịn căn. Chú ý khi giải phương trình mới này cần
thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.

download by :

Trang 11


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

b) Cách giải
Bước 1. Điều kiện
Bước2. Giải
Ta có:

(nếu A + B = C + D)

So sánh điều kiện và kết luận.
Chú ý: Các trường hợp còn lại giải tương tự.
c) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện:

*x+3
* 3x + 1
*x

x

-3

0

x

0

x

0

* 2x + 2
Vậy điều kiện: x

0

-2

0

Ta có:
Ta thấy: (x + 3) + 4x = (3x + 1) + (2x + 2)

(phương trình hệ quả)
(Giải tương tự như dạng 3 phần 2.3)

Vì cách biến đổi trên ta được phương trình hệ quả nên cần kiểm tra nghiệm ngoại lai
bằng cách thay x = 1 vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn
Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 1
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
Giải
Điều kiện: x
Ta có:

-1
(Ta thấy

download by :

)

Trang 12


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

(phương trình hệ quả)

Đối chiếu điều kiện và thử lại thì nghiệm của phương trình là

Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét phương trình dạng
khi nào giải theo ví dụ 1 khi nào giải theo ví dụ 2? Khi giải xong
cần chú ý những gì? (khi thấy A + C = B + D giải theo ví dụ 1 cịn AC = BD giải theo
ví dụ 2, giải xong cần đối chiếu điều kiện và thử lại để tránh thu nghiệm ngoại lai)
d) Bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.
2.6. Dạng 6. Phương trình vơ tỉ dạng:

Trong đó A, B, C là các đa thức chứa biến x
a) Phân tích: Phương trình dạng cơ bản
, hướng xử lý để mất
căn bậc ba là lập phương hai vế và thường sử dụng hằng đẳng thức
, rồi sau đó thay thế
vào phương trình thu
được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng
Nên cách giải như sau.

.

b) Cách giải
Điều kiện xác đinh:
Ta có:

(Thay

)
( *)

Vì cách biến đổi trên thì phương trình (*) là phương trình hệ quả. Vây khi tìm
được x thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn thì nhận.

download by :

Trang 13


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Giải
Điều kiện:
Ta có:

(Thay

)

Thay x = -1 vào phương trình thỏa mãn nên x = -1nghiệm của phương trình.
Thay x = 0 vào phương trình thỏa mãn nên x = 0 là nghiệm của phương trình.
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = -1; x = 0
d) Bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

3. Giải pháp 3. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ là một hình thức đưa bài tốn từ tình thế phức tạp sang
tình thế đơn giản hơn mà đã biết cách giải. Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khác nhau tùy
thuộc vào đặc điểm của từng phương trình mà có thể đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ, ba ẩn
phụ... để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình. Sau khi đặt ẩn phụ, ta cần tìm
điều kiện cho ẩn phụ. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta đi tìm điều kiện cho hợp lý
(dễ, khơng gây sai sót).
Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp và cách giải của từng dạng.
3.1. Dạng 1. Phương trình có dạng:

(1)

Trong đó f(x) là đa thức chứa biến x
a) Nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong căn và ngồi căn có mối liên hệ.
b) Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện.
Bước 2: Đặt

(Điều kiện của t)

download by :

Trang 14


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

thay vào (1) suy ra
đối chiếu điều kiện
đối chiếu điều kiện
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
c) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

(2)

Phân tích: Nhận thấy t =
0, thì biểu thức bên ngoại dấu căn thức
2
= 3(
) + 9 = 3t + 9 có mối liên hệ với nhau nên cách giải như
sau:
Giải
Điều kiện:
Đặt t =

0
(t 0) (*)

(nhận)
(nhận)

Thay vào (2)
Với t = 1 thay vào (*) ta có:

(vơ lý vì

)

Với t = 3 thay vào (*) ta có:
Kết luận: So sánh điều kiện, tập nghiệp của phương trình là: S = {- 4; 1}
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

(3)

Phân tích: Đối với bài tốn có dạng thuận nghịch loại
đều có thể giải bằng cách đặt ẩn số phụ: t =

ta
nên

cách giải bài toán trên như sau:
Giải
Điều kiện: x > 0
(3)

(*)

Đặt
+1

download by :

Trang 15


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

(*) 3t = 2(t2 - 1) - 7

(nhận)
(loại)

Với t = 3, suy ra:
Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:
Ví dụ 3. Giải phương trình sau:

(4)

Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngồi căn là x + 1, biểu thức trong căn thức
có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này không liên hệ với nhau. Nhưng nếu chia cả hai
vế cho

được

từ đây ta thấy hai biểu thức có liên hệ với

nhau. Đặt

thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến mới t và cách

giải như sau:
Giải
Điều kiện: x

0

Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy khơng là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 khơng
thỏa mãn)
Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho
(4)

(5)

Đặt:

(thay vào phương trình 5)
(5)
lũy thừa. Chú ý điều kiện phụ t

(Giải tương tự dạng cơ bản 2 phần 2.2 nâng lên
3)

(nhận)

download by :

Trang 16


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Suy ra:
Kết luận: So với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là:

;x=4

Ví dụ 3. Giải phương trình sau:

(4)

Phân tích: Nếu giải phương trình 4 theo phương pháp nâng lên lũy thừa thì ta
thấy lũy thừa bậc cao khơng triệt tiêu được và sẽ gây khó khăn cho việc giải. Nhưng
phần biến có liên hệ với khau khơng? Để ý phần hệ số của a, c của biểu thức ax 2 + bx
+ c trong hai căn thức ở vế trái đều bằng nhau là (a = 2, c = 5), nên khi chia cả hai vế
cho
thì khi đó hai biểu thức dưới dấu căn thức ở vế trái có liên hệ với nhau.
Khi đó đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng cơ bản như sau.
Giải
Điều kiện: x

0

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương
trình (4) cho

, ta được:
(*)

Đặt
(*)

(Đây là dạng cơ bản 4 của phần 2.4)

(Điều kiện bổ sung t

16)

(TMĐK)
Với t = 8, suy ra:
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là
d) Nhận xét: Đơi khi bài tốn ban đầu chưa xuất hiện mối liên hệ giữa các biểu
thức trong căn và ngoài căn nhưng khi ta nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một biểu
thức khác khơng thì xuất hiện sự liên hệ giữa các biểu thức đó. Nên khi làm một bài
tốn chúng ta cần tìm hiểu và phân tích thật kỹ để tìm ra cách giải phù hợp đơn giản
nhất.

download by :

Trang 17


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

e) Bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.
3.2. Dạng 2. Phương trình vơ tỉ dạng:

Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa biến x
a) Nhận dạng: Phương trình có dạng tổng - tích hoặc hiệu - tích
b) Cách giải

Điều kiện: f(x)

0, g(x)

0, h(x)

Bước 1. Đặt t = tổng hoặc hiệu

0
, suy ra t2 =...

,

Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

(1)

Phân tích: Phương trình có dạng tổng - tích, khi đó ta đặt t =
0, suy ra

đã biểu diễn biết hết theo t nên

cách giải như sau:
Giải
Điều kiện:

*3+x

0

*
Suy ra điều kiện:
Đặt

, suy ra:
. Khi đó:
(loại)

(1)

(nhận)

Với t = 3, suy ra:

(giải tương tự dạng cơ bản 4 phần 2.4)

Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 3; x = 6.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

(2)

Phân tích: Sau khi phân tích
dạng

tổng

-

tích,

nếu

thì phương trình có
đặt

download by :

0,

suy

ra

Trang 18


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

thì phần biến cịn lại biểu diễn được hết theo t
và có lời giải như sau:
Giải
Điều kiện: x

-1

Đặt

0, suy ra

.
(loại)
(nhận)

Khi đó: (2)
Với t = 5, suy ra:
(điều kiện bổ sung x

7)

(nhận)
(loại)

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
d) Nhận xét: Đơi khi phương trình chưa có dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví
dụ 2 trên ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích để xuất hiện dạng tổng tích
hoặc hiệu tích như ví dụ 2.
e) Các bài tập tương tự
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.
3.3. Dạng 3. Phương trình vơ tỉ dạng:
a) Cách giải:
Điều kiện: a - f(x) 0, b + f(x)

0( khi m,n là các số chẳn)

Đặt
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

(1)

Phân tích: Bài tốn có hai căn thức như dạng 3, nên ta giải bằng cách đặt hai ẩn
phụ là 2 căn thức, tức đặt

. Khi đó, ta cần cân bằng hệ số

trước x, tức phương trình (1) sẽ nhân 2 vế với 7 sau đó trừ (một số bài cộng) nhằm triệt
tiêu x sẽ thu được 1 phương trình mới với ẩn là u và v là 7u 2 -v3 = 1. Cịn phương trình
thứ 2 thay u, v vào đề bài được phương trình là: 5u - 2v = 4. Khi đó giải hệ này tìm
được u, v. Suy ra x.
Giải

download by :

Trang 19


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Điều kiện:
Đặt

(2)

Từ phương trình (1)

5u - 2v = 4 (3)

Từ (2), (3) suy ra hệ:

(nhận)

Với

, suy ra:

(nhận)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

(2)

Phân tích tương tự ví dụ 1.
Giải
Điều kiện:
Đặt:

, suy ra:
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = - 3, x = 3
Ví dụ 3. Giải phương trình sau:
Phân tích: Đối với ví dụ 3 khơng đúng dạng 3 trên. Ta cần biến đổi khéo léo
đẳng thức để đưa về dạng:

. Nên cách giải như sau.
Giải
Điều kiện: x + 2

0

x

-2, suy ra:

. Khi đó:

download by :

Trang 20


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

(3)

(chia

cả hai vế cho số

)
(phương trình đã có dạng 3 phần 3.3)

Đặt:

(nhận)

Suy ra:

(nhận)

Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2.
c) Nhận xét: Ta thấy hình thức ở ví dụ 3 thực ra củng là dạng 3 nhưng mang
tích chất giấu mặt. Khi đó ta chỉ cần biến đổi khéo léo đẳng thức củng như sự kết hợp
tinh tế để đưa về dạng:
.
d) Các dạng bài tập tương tự
Câu 1.

Câu 4.

Câu 2.

Câu 5.

Câu 3.
Câu 6.
3.4. Dạng 4. Phương trình vơ tỉ dạng:
a) Phương pháp giải: Có 2 cách giải như sau:
- Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ
,
, đưa phương trình về dạng phương
2
2
trình đẳng cấp bậc hai dạng: a.u + b.uv + c.v = 0. Giải phương trình đẳng cấp kết hợp

với đề bài suy ra u, v. Suy ra x.
- Cách 2. Nếu
0 hoặc
0. Chia trực tiếp 2 vế phương trình cho
lượng khác 0,
0 hoặc
0, để được phương trình bậc hai dạng:
. Giải phương trình bậc hai này và kết hợp với phương
trình đã cho suy ra A, B. Suy ra x.
b) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
Phân tích: Nhận thấy

(1)
nên phương trình (1) có dạng
đúng dạng 4. Nên cách giải như sau:

download by :

Trang 21


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

Giải
Điều kiện:
- Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ đư về phương trình đẳng cấp bậc hai.
Đặt

,

. Khi đó (1)

(2)

Ta thấy x = 2 khơng là nghiệm của phương trình (1) nên xét x
0 khi đó chia hai vế của phương trình (2) cho v2 0, ta được:

2, suy ra:

(2)

Với u = v, suy ra:
Với 4u = 3v, suy ra:
Kết luận: So với điều kiên, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,
- Cách 2. Chia đưa phương trình về dạng bậc hai.
Ta thấy x = 2 khơng là nghiệm của phương trình (1) suy ra:
vế của phương trình (1) cho

0 khi đó chia hai

0, ta được:

(1)

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
Phân tích: Thơng thường thì học sinh nhầm lẫn giữa ví dụ này với ví dụ 1, vì
thấy vế phải khơng bằng 0 nên không thuộc dạng:
. Đối với

dạng này ta chỉ giải theo cách 1 đặt hai ẩn phụ u, v rồi giải, nên cách giải như sau.
Giải
Điều kiên:
Đặt:

. Kết hợp với đề được hệ phương trình

download by :

Trang 22


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

hoặc

Với

, suy ra:

Với

, suy ra:
Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1, x = - 6
c) Các dạng bài tập tự luyện tương tự:

Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.
3.5. Dạng 5. Phương trình vơ tỉ dạng:

a) Cách giải: Đối với dạng nay ta có rất nhiều cách để giải. Như biến đổi về
dạng
hoặc đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ.
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:

(1)

Giải
Điều kiện:
- Cách 1. Đưa về dạng:
(1)

(nhân hai vế của (1) với 2 và chuyển vế)
(biến đổi về dạng hằng đẳng

thức bình phương một hiệu)

(giải như dạng 2 phần 2.2)

download by :

Trang 23

Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

(nhận)
(nhận)

(loai)

Kết luận: Phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = -3,

,

.

- Cách 2. Đặt ẩn phụ không hồn tồn

(1)

(2)

Đặt
(2)

(giải phương trình bậc hai theo ẩn t)

Có:

- Cách 3. Đặt 2 ẩn phụ u, v đưa về dạng hằng đẳng thức: (u v)2 = k2 (k là hằng
số)
Đặt

Lấy (1) + (2) - (3), suy ra:
Với u - v = 1, suy ra:

, giải tương tự cách 1 suy ra: x = -3, x = -1

Với u - v = - 1, suy ra:
c) Các bài tập tương tự:
Câu 1.

Câu 3.

Câu 2.

Câu 4.
3.6. Dạng 6. Phương trình vơ tỉ dạng:

(*)

a) Phân tích: Phương trình (*) cách giải hồn tồn tương tự ở dạng 4 trên. Để
tìm hiểu kỹ dạng này, ta cùng xét các ví dụ sau:

download by :

Trang 24


Một số giải pháp về giải phương trình vơ tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh

b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

(1)

Giải
Điều kiện:

hoặc

- Cách 1. Đặt 2 ẩn u, v để đưa về hằng đẳng thức:

(k hằng số)

Đặt
Thay u, v vào (1), suy ra:
Lấy (2) + (4) + (3), suy ra:
Với u + v = 2, suy ra:
(giải như dạng 2 phần 2.2)

(nhận)
Với u + v = - 2, suy ra:
(giải như dạng 2 phần 2.2)
(loại)
(loại)

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là:
- Cách 2. Đưa về dạng
(1)

(giải tương tự cách 1)
- Cách 3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.

download by :

Trang 25