Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS lê đình chinh, huyện ngọc lặc cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu

2
2
2
2
2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Hướng thứ nhất
2.3.2. Hướng thứ hai
2.3.3. Hướng thứ ba
2.3.4. Hướng thứ tư
2.3.5. Hướng thứ năm
2.3.6. Hướng thứ sáu
2.3.7. Hướng thứ bảy
2.3.8. Hướng thứ tám
2.3.9. Hướng thứ chín
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3

3
3
3
4
4
4
5
6
6
10
11
12
16

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị

16
16
17

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Chủ đề dãy các phân số viết theo quy luật là một trong những nội dung cơ
bản của chương III số học 6, đây là dạng toán tương đối khó với các em lớp 6
khi mới tiếp xúc. Nhiều học sinh khó hiểu khi gặp dạng toán này, chưa tìm ra

quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng túng, chưa định hướng được phương
pháp giải cho hợp lý. Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6 các cấp
thường có bài tập về dạng này. Tuy nhiên sách giáo khoa và sách bài tập lại chưa
đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường đưa ra
một số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai
thác bài toán thành bài toán mới đa dạng hơn, nên khi gặp bài khác đi một chút
là các em thấy khó.
Trường THCS Lê Đình Chinh của huyện Ngọc Lặc là trường có tỉ lệ học
sinh giỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh
yêu thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh. Là một giáo viên
được phân công giảng dạy môn toán 6 năm học 2017-2018, với mong muốn
giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp
huyện môn Toán 6 và các năm tiếp theo, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến kinh
nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS Lê Đình
Chinh, huyện Ngọc Lặc cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng”.
1.2. Mục đích của sáng kiến:
Giúp học sinh khai thác, mở rộng bài toán từ một bài toán tính tổng đơn
giản thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách tìm ra quy
luật của tổng một cách nhanh chóng để có phương pháp giải phù hợp.
Rèn luyện cho học sinh thói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách
giải bài toán đó mà còn phải cố gắng tìm cách khai thác bài toán để được những
bài toán mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận
lôgic cho học sinh.
Ngoài ra, còn giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài có liên quan
một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinh tiếp thu bài dễ
dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh giỏi của lớp 6A1+6A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc
năm học 2017-2018.
- Nghiên cứu các hướng khai thác từ bài toán (tổng của dãy phân số có quy

luật : các tử số đều là 1, các mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp) trong đề
thi khảo sát chất lượng mũi nhọn môn Toán lớp 6 năm học 2016-2017 của
Phòng giáo dục và đào tạo huyện Ngọc Lặc.
1.4.Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu từ các tài liệu và sách tham khảo có liên quan; trao đổi kinh
nghiệm với đồng nghiệp.

2


- Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy bồi dưỡng học sinh
giỏi để nghiên cứu bài giải của học sinh, trao đổi với các em về những khó khăn
mà các em gặp phải.
- Phân tích bài toán ban đầu, tổng hợp kinh nghiệm khai thác bài toán một
cách hệ thống, từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
Từ đó. triển khai nội dung sáng kiến, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập
của học sinh.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1.Cơ sở lý luận
Theo tâm lí học, tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở
một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư
tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một
vấn đề ở nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách
nào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn
đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.

Do vậy, việc tìm ra quy luật và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng
bài tập khác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp
dạng này và tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan.
2.2. Thực trạng vấn đề
Trong quá trình dạy các tiết học về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân
số tôi thấy các em còn lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng toán
tính tổng dãy các phân số viết theo quy luật, trong đó có bài tập trong đề thi cấp
huyện năm học 2016-2017:
1
1
1
1


 ... 
Tính giá trị biểu thức: B 
1.2 2.3 3.4
99.100
Đối với những em tìm được cách giải bài toán thì các em hài lòng và dừng
lại, nên khi thay đổi đề bài một chút thì lại không có hướng giải.
Qua đây, bản thân nhận thấy : học sinh còn làm việc rập khuôn, máy móc,
lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính
tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Từ thực trạng trên, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu để định hướng
cho các em tư duy, tập trung khai thác kết quả bài toán đó. Từ kết quả của bài
toán này, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh
như: phát triển bài toán, hình thành cách giải chung cho bài toán tổng quát, tạo
ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác.
Trước tiên, ta xem xét lời giải của bài toán ban đầu:

1
1
1
1
2 1 3  2 4  3
100  99


 ... 



 ... 
Ta có: B =
1.2 2.3 3.4
99.100 1.2
2.3
3.4
99.100
3


1 1 1 1 1
1
1
1
99
     ... 



= 1
2 2 3 3 4
99 100
100 100
Nhận thấy, B là tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số đều
là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Tiếp tục khai thác
bài toán này, ta có thể theo các hướng sau :
2.3.1. Hướng thứ nhất : thêm vào biểu thức các số hạng theo quy luật
của dãy để được bài toán mới có cùng phương pháp giải
1
1
1

 ... 
Bài tập 1: Tính nhanh B1 
1.2 2.3
2017.2018
*Phân tích bài toán:
Nếu chịu khó suy nghĩ thì bài toán 1 không khó, chỉ “dài hơn” so với bài toán
ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
B1 

 ... 
1.2 2.3
2017.2018
= 1

1 1 1
1
1
1
2017
   ... 

1

2 2 3
2017 2018
2018 2018
2.3.2. Hướng thứ hai : phát triển thành bài toán tổng quát
1
1
1

 ... 
Bài tập 2: Tính nhanh B2 
với n �N* .
1.2 2.3
n. n  1
*Phân tích bài toán:
Từ bài toán có số cụ thể sang bài toán tổng quát học sinh rất lúng túng khi gặp
phải số “n” (“n bằng bao nhiêu”, ...). Trong suy nghĩ của các em, kết quả phép
tính phải là số cụ thể, nên kể cả khi có đáp số rồi các em vẫn hồn nhiên “thế thôi
ạ!” và đâu biết rằng lời giải rất đơn giản.
*Lời giải tóm tắt :
1

1
1
1 1 1
1
1
1
n
B2 

 ... 
 1     ...  
1

1.2 2.3
n. n  1
2 2 3
n n 1
n 1 n 1
Công thức tổng quát : với n �N*
1
1
1
 
n.  n  1 n n  1
1

1
1
1
n


 ... 

.
1.2 2.3
n. n  1 n  1
2.3.3. Hướng thứ ba : thay đổi để dãy các phân số có cùng tử khác 1
42 4 2
42
Bài tập 3: Tính nhanh B3 

 ... 
.
1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
Đối với bài toán này, khi áp dụng tính chất phân phối giữa phép nhân đối với
pháp cộng thì bài toán này lại trở lại bài toán ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
4


42 4 2
42
1
1 �
�1
B3 

 ... 

 42.� 
 ... 
�
1.2 2.3
99.100
1.2 2.3
99.100 �
�
1 1
1
1 � 2 � 1 � 2 99 396
2 � 1
1     ...  
1

= 4 .�
� 4 .�
� 4 .
2
2
3
99
100
100
100
25
�
� �
�
*Từ đây ta có công thức tổng quát hơn :

a
a
a
n

 ... 
 a.
với n �N* .
1.2 2.3
n. n  1
n 1
2.3.4. Hướng thứ tư : thay đổi khoảng cách giữa hai thừa số trong
mỗi mẫu của từng phân số.
1
1
1
1


 ... 
Bài tập 4: Tính nhanh B4 
1.3 3.5 5.7
99.101
*Phân tích bài toán:
Đối với bài này, mới đầu sẽ có nhiều học sinh hiểu nhầm và áp dụng ngay giống
cánh làm của bài toán ban đầu là biến đổi

1 1 1 1 1 1
  ;
  ;... nhưng thực tế

1.3 1 3 3.5 3 5

không đúng như vậy. Xét hiệu hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 2, cho nên phải
biến đổi mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 2 thì mới tách mỗi phân số đó
thành hiệu của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của
mỗi mẫu ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
B4 


 ... 
1.3 3.5 5.7
99.101
1 �2
2
2
2 �

 ... 
= .� 
�
2�
1.3 3.5 5.7
99.101 �
1� 1 1 1 1 1
1

1 � 1 � 1 � 1 100 50
1       ... 

1

= .�
� .�
� .
2� 3 3 5 5 7
99 101 � 2 � 101 � 2 101 101
*Từ bài tập 4 có thể hình thành công thức tổng quát:
1
1
2


với n �N*
n n  2 n. n  2 
1
1
1
1 n 1

 ... 
 .
với n �N, n lẻ.
1.3 3.5
n. n  2  2 n  2
Theo hướng này, ta đã có những bài tập ở mức độ nâng cao, thường gặp trong đề
thi:

1
1
1
1


 ... 
Bài tập 5: Tính A 
11.16 16.21 21.26
61.66
(trích đề thi Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2013-2014)
*Phân tích bài toán:
Khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 5, cho nên phải biến đổi
mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 5 thì mới tách mỗi phân số đó thành hiệu
5


của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu
ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
A


 ... 
11.16 16.21 21.26
61.66

1�5
5
5
5 �


 ... 
= .�
�
5�
11.16 16.21 21.26
61.66 �
1 �1 1 1 1
1
1 �
= .�     ...   �
5�
11 16 16 21
61 66 �
1 �1 1 � 1 5
1
= .�  � . 
5�
11 66 � 5 66 66
2.3.5. Hướng thứ năm : thay đổi dấu tất cả các hạng tử.
1
1
1

 ... 

Bài tập 6: Tính nhanh B5  
.
1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
Bài toán này nếu coi biểu thức là tổng các phân số có tử là -1 thì cách giải quyết
không khó.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1 1
1
B5  

 ... 


 ... 
1.2 2.3
99.100 1.2 2.3
99.100
1
1 � � 1 � 99
�1
 ... 
1
= � 
�  �
� 

1.2 2.3
99.100 � � 100 � 100
�
Nếu “tích hợp” một chút giữa hướng thứ ba và thứ tư (thay đổi khoảng cách
giữa hai thừa số trong mỗi mẫu và đổi các tử thành các tử cũng bằng nhau nhưng
khác 1) ta có các bài toán tổng quát hơn :
2
2
2
2


 ... 
Bài tập 7: Tính
11.15 15.19 19.23
51.53
(trích đề thi Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2014-2015)
*Phân tích bài toán:
Khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 4, cho nên phải biến đổi
mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 4 thì mới tách mỗi phân số đó thành hiệu
của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu
ban đầu. Tuy nhiên tử ban đầu là 2 nên có thể xử lý bài toán như sau:
*Lời giải tóm tắt :
2
2
2
2
2�4
4
4

4 �


 ... 
 .�


 ... 
�
11.15 15.19 19.23
51.53 4 �
11.15 15.19 19.23
51.53 �
2 �1 1 1 1
1 1 �
= .�     ...   �
4�
11 15 15 19
51 53 �
2 �1 1 � 2 42
21

= .�  � .
4�
11 53 � 4 583 583
Bài tập 8: Tính A: B biết
6


39

65
52
26
34
51
85
68






và B 
7.13 13.22 22.37 37.49
7.16 16.31 31.43 43.29
(trích đề thi Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2015-2016)
*Phân tích bài toán:
Bài toán này các tử số đều không bằng nhau, các thừa số ở mẫu có khoảng cách
cũng không cố định. Tuy nhiên, có thể tìm được quy luật trên các tử số (ở biểu
thức A các tử chia hết cho 17, ở biểu thức B các tử chia hết cho 13) và các mẫu
số cũng theo một quy luật (hai mẫu gần nhau thì có chung một thừa số). Từ đó
nghĩ ngay đến việc đặt thừa số :
34
51
85
68
3
5
4 �

�2



 17.�



�
7.13 13.22 22.37 37.49
�7.13 13.22 22.37 37.49 �
39
65
52
26
5
4
2 �
�3



 13.�



�
7.16 16.31 31.43 43.29
�7.16 16.31 31.43 43.29 �
Rồi tìm cách biến đổi sao cho tử đúng bằng khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu

là bài toán được giải quyết.
*Lời giải tóm tắt :
34
51
85
68
3
5
4 �
�2
A



 17.�



�
7.13 13.22 22.37 37.49
�7.13 13.22 22.37 37.49 �
17 � 6
9
15
12 �



= .�
�

3 �7.13 13.22 22.37 37.49 �
17 �1 1 1 1
1
1
1
1 �



 �
= .�   
3 �7 13 13 22 22 37 37 49 �
17 �1 1 �
= .�  �
3 �7 49 �
39
65
52
26
5
4
2 �
�3
B



 13.�




�
7.16 16.31 31.43 43.49
�7.16 16.31 31.43 43.49 �
13 � 9
15
12
6 �



= .�
�
3 �7.16 16.31 31.43 43.49 �
13 �1 1 1 1 1 1
1
1 �
 �
= .�      
3 �7 16 16 31 31 43 43 49 �
13 �1 1 �
= .�  �
3 �7 49 �
17
Vậy A : B =
13
1
4
3
2

5




Bài tập 9: Tính nhanh:
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4
*Phân tích bài toán:
Tương tự như bài tập 8, trong tổng này các tử không bằng nhau, khoảng cách
giữa hai thừa số ở các mẫu có khoảng cách không bằng nhau, tuy nhiên học sinh
rất khó khăn trong việc xác định quy luật. Như bài tập 8, ta nhân cả tử và mẫu
A

7


với 3 để tử số bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu, với mục đích như vậy
nhưng giũ nguyên tử, tìm cách tạo ra khoảng cách của hai thừa số ở mẫu bằng tử
số thì bài toán sẽ tìm ra lời giải.
*Lời giải tóm tắt :
1
4
3
2
5
5 �1
4
3
2
5 �





 .� 



Ta có:
�
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4 5 �
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4 �
4
3
2
5 �
�1



= 5.� 
�
�5.6 6.10 10.13 13.15 15.20 �
�1 1 � 3 3
= 5.�  � 5. 
�5 20 � 20 4
2.3.6. Hướng thứ sáu : thay đổi mẫu của từng phân số (mẫu được tính
thành giá trị cụ thể).
1 1 1
1

Bài tập 10: Tính nhanh B6     ... 
.
2 6 12
9900
*Phân tích bài toán:
Mới đầu học sinh sẽ gặp khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu, khoảng cách giữa
các mẫu không theo quy luật nào cả. Đến mức độ này, bài toán trở nên khó hơn,
tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ, tìm quy luật thì bài toán trở nên dễ dàng hơn
khi biết phân tích các mẫu thành tích : 2 = 1.2, 6 = 2.3 , … , 9900 = 99.100.
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1
1
1
1
1
1
1
99
B5     ... 
 


 ... 
1

2 6 12
9900 1.2 2.3 3.4
99.100
100 100
Đây là hướng mở rộng bài toán thành những bài toán tương đồi khó, yêu cầu học

sinh phải phân tích, tìm được quy luật. Tuy nhiên, hướng khai thác này có thể
kết hợp với hướng thứ năm:
1 1 1 1 1 1





Bài tập 11: Tính
20 30 42 56 72 90
(trích đề thi Toán 6 huyện Tĩnh Gia năm học 2017-2018)
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1 �
�1





 � 




�

20 30 42 56 72 90
�4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 �
�1 1 � 3
=  �  �
�4 10 � 20
Hay diễn đạt hướng khai thác này theo cách khác :
1 1 1
1
;
; ... ”[3]
Bài tập 12: “Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy : ; ;
6 66 176 336
*Phân tích bài toán:
Trước hết ta viết các mẫu thành dạng tích : 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16;
336 = 16.21; … ; số hạng thứ n của dãy có dạng (5n - 4)(5n + 1), do đó số hạng
1
thứ n của dãy đã cho là
. Như vậy yêu cầu bài toán đưa về tính tổng :
496.501
8


1 1
1
1
1



 ... 

6 66 176 336
496.501
*Lời giải tóm tắt :
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1



 ... 




 ... 
6 66 176 336
496.501 1.6 6.11 11.16 16.21
496.501
1 �5
5
5
5
5
�



 ... 
= .� 
�
5�
1.6 6.11 11.16 16.21
496.501 �
1 � 1 � 1 500 100
1

= .�
� .
5 � 501 � 5 501 501
Tuy nhiên, đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu
cầu tư duy cao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?
1 1
1
1
1
1


Bài tập 13: “Tính nhanh: C    
”[2]
2 14 35 65 104 152
*Phân tích bài toán:
Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích thành tích thì không có
quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Vậy làm thế nào đưa bài
toán này về bài toán có quy luật. Nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong

tổng với 2 (không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết viết được
các mẫu theo quy luật. Đây chính là mấu chốt của bài toán.
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1
1
1
1
2 2
2
2
2
2



 




Ta có: C   
2 14 35 65 104 152 4 28 70 130 208 304
2
2
2
2
2
2






=
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19
2 �3
3
3
3
3
3 �




= .� 
�
3�
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 �
2 � 1 � 2 18 12
1  � . 
= .�
3 � 19 � 3 19 19
1 1
1
1

 ... 
Bài tập 14: Tính nhanh: 
6 30 70

198
*Phân tích bài toán:
Bài này mẫu các số hạng trong tổng khi phân tích thành tích thì cũng không có
quy luật như bài tập 12. Nếu theo hướng bài 12, học sinh đi tìm cách nhân các
mẫu với bao nhiêu đó để tìm ra quy luật... rồi cũng không được. Và nếu học sinh
nào suy nghĩ theo hướng “hai chiều” : nhân không được thì chia, bài toán sẽ
được giải quyết.
*Lời giải tóm tắt :
1 1
1
1
1 �1 1 1
1 �

 ... 
 .�    ...  �
Ta có: 
6 30 70
198 2 �3 15 35
99 �
1 �1
1
1
1 �

 ... 
= .� 
�
2�
1.3 3.5 5.7

9.11 �
9


1 � 1 � 1 10 5
.�
1  � . 
2 � 11 � 2 11 11
2.3.7. Hướng thứ bảy : tăng thêm thừa số trong mỗi mẫu số.
1
1
1
1


 ... 
Bài tập 15: Tính nhanh B7 
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100
*Phân tích bài toán:
Nếu chưa làm bài tương tự lần nào thì đến đây hầu như học sinh bế tắc. Với gợi
ý làm sao để biến đổi một thừa số là hiệu của hai phân số, sau đó có thể rút gọn
được thì học sinh chỉ nghĩ làm sao để được phân số có mẫu là số được tính sẵn.
Nếu nghĩ rộng ra một chút như thế này thì bài toán dễ dàng được giải quyết :
1
1 3  1 1 �1
1 �
 .
 .� 

�;
1.2.3 2 1.2.3 2 �
1.2 2.3 �
1
1 4  2 1 �1
1 �
 .
 .� 
�
2.3.4 2 2.3.4 2 �2.3 3.4 �
…
1
1 100  98 1 � 1
1 �
 .
 .�

�
98.99.100 2 98.99.100 2 �98.99 99.100 �
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
B7 


 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100

1 �2
2
2
2
�


 ... 
= .�
�
2�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100 �
1 �1
1
1
1
1
1 �


 ... 

= .� 
�
2�
1.2 2.3 2.3 3.4
98.99 99.100 �
1 �1
1 � 1 4949 4949


= .� 
� .
2�
1.2 99.100 � 2 9900 19800
*Từ bài tập 12 có thể hình thành công thức tổng quát: với n �N*
1
1
2


n. n  1  n  1 . n  2  n. n  1 . n  2 
=

�
1
1
1
1
1 �1
1


 ... 
 .� 
�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n. n  1 .  n  2  2 �
1.2  n  1 .  n  2  �
Tiếp tục theo hướng này, ta có thể tăng thêm một thừa số ở dưới mẫu nữa :

1
1
1
1


 ... 
Bài tập 16: Tính nhanh A8 
.
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
97.98.99.100
*Phân tích bài toán:
Dựa vào bài tập 12, ta có hướng suy nghĩ :
1
1 4 1 1 � 1
1 �
 .
 .�

�;
1.2.3.4 3 1.2.3.4 3 �
1.2.3 2.3.4 �
10


1
1 52
1�1
1 �
 .

 .�

�
2.3.4.5 3 2.3.4.5 3 �2.3.4 3.4.5 �
…
1
1
11  8
1� 1
1
�
 .
 .�

�
97.98.99.100 3 97.98.99.100 3 �97.98.99 98.99.100 �
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
A8 


 ... 
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
97.98.99.100
1� 3
3
3

3
�


 ... 
= .�
�
3�
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
97.98.99.100 �
1 �1
1
1
1
1
1
�



 ... 

= .�
�
3�
1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
97.98.99 98.99.100 �
1 �1
1
�


= .�
�
3�
1.2.3 98.99.100 �
*Từ bài tập 13 có thể hình thành công thức tổng quát: với n �N*
1
1
3


n. n  1 . n  2   n  1 . n  2  . n  3  n. n  1 .  n  2  .  n  3 
�
1
1
1
1 �1
1

 ... 
 .�

�
1.2.3.4 2.3.4.5
n. n  1 . n  2  . n  3 3 �
1.2.3  n  1 . n  2  .  n  3  �
Đến đây, tôi nghĩ rằng, khi tăng thêm nữa các thừa số ở mẫu thì học sinh không
còn sợ nữa. Trái lại các em sẽ rất hăng say để khám phá ra cách giải bài toán.
2.3.8. Hướng thứ tám : ứng dụng vào bài toán tìm đại lượng chưa biết
x 1 1

1
1
: 

 ... 
Bài tập 17: Tìm x, biết:
2 3 1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
Để làm được bài tập này thì trước tiên phải tính được vế phải, khi đó lại quay lại
bài tập cơ bản ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
x 1 1
1
1

 ... 
Ta có: : 
2 3 1.2 2.3
99.100
x 1
1
99
: 1

2 3
100 100
x 1 99
33
33

 .

, Suy ra x 
2 3 100 100
50
Tuy nhiên, ta có thể gặp những bài toán ngược :
1
1
1
2017

 ... 

Bài tập 18: Tìm x, biết:
1.2 2.3
x. x  1 2018
*Phân tích bài toán:
Quan sát bài tập này thì vế trái chính là bài toán tổng quát của bài toán cơ bản.
11


Thực hiện vế trái trước ta sẽ tìm được cách giải tiếp theo.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
2017

 ... 


Ta có :
1.2 2.3
x. x  1 2018
1 1 1
1
1
2017
� 1     ...  

2 2 3
x x  1 2018
1
2017
�1 

x  1 2018
1
1
�

� x  2017
x  1 2018
Hoặc có thể kết hợp các hướng khai thác vào bài toán tìm x :
Bài tập 19: Tìm x, biết:
1
1
1
1
20



... 

a)
1.3 3.5 5.7
x. x  2  41
(trích đề thi Toán 6 huyện Nông Cống năm học 2017-2018)
1
1 � 44
�1

 ... 
.x 
b) �
�
1.2.3 2.3.4
8.9.10 � 45
�
(trích đề thi Toán 6 huyện Tĩnh Gia năm học 2017-2018)
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
20


... 

a)

1.3 3.5 5.7
x. x  2  41
2
2
2
2
40
�


... 

1.3 3.5 5.7
x. x  2  41
1
40
1
1
�1 

�
 � x  39
x  2 41
x  2 41
1
1 � 44
�1

 ... 
.x 

b) �
�
1.2.3 2.3.4
8.9.10 � 45
�
2
2 � 88
�2
��

 ... 
.x 
�
1.2.3 2.3.4
8.9.10 � 45
�
1
1
1
1
1 � 88
�1
�� 


 ... 

.x 
�
1.2 2.3 2.3 3.4

8.9 9.10 � 45
�
1 � 88
�1
�� 
.x 
�
1.2 9.10 � 45
�
44
88
� .x 
�x4
90
45
2.3.9. Hướng thứ chín : ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức
1
1
1

 ... 
Bài tập 20: So sánh
với 1.
1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
12


Một biểu thức đã cho chính là bài toán ban đầu, như vậy ta có thể vận dụng bài

toán ban đầu để tính sau đó tìm lời giải bài toán.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1

 ... 
1
1
1.2 2.3
99.100
100
1 1 1
1
Bài tập 21: Cho A = 2  2  2  ...  2 .Chứng minh rằng A < 2.
1 2 3
50
(trích đề thi Toán 6 huyện Nga Sơn năm học 2010-2011)
*Phân tích bài toán:
1
1 1
1
1
1
; 2
; ...; 2 
Để ý một chút : 2 
thì ta có ngay lời giải.
2 1.2 3 2.3

50
49.50
*Lời giải tóm tắt :
1 �1 1
1 �
1
1 �
�1
A  2  � 2  2  ...  2 � 1  � 
 ... 
�
1 �2 3
50 �
1.2 2.3
49.50 �
�
1 1 1
1
� 1 �
A  2  2  2  ...  2  1  �
1  � 2
1 2 3
50
� 50 �
Phát triển tiếp bài tập 18 ta có :
1 1
1
Bài tập 22: Chứng tỏ rằng tổng 2  2  ...  2 không phải là số nguyên.
2 3
50

*Phân tích bài toán:
Bài này “tưởng như dễ” nhưng khi đặt nó một mình, không trong chuỗi khai
thác ở trên thì không đơn giản chút nào. Sử dụng kết quả bài tập 18 và nhận xét
1 1
1
 2  ...  2  0 thì bài toán được trả lời.
2
2 3
50
1 1 1
1
1

Bài tập 23: Chứng minh rằng 42  62  82  ... 
2
 2n  4
(trích đề thi Toán 6 huyện Hoằng Hóa năm học 2017-2018)
*Phân tích bài toán:
Nếu nhận ra quy luật của các mẫu : 42  22.22 ; 6 2  22.32 ; 82  2 2.42 ; …

 2n 

2

 22.n 2 thì bài toán cũng chưa phải là khó.
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1
1
1 �1 1 1
1 �

 2  2  ... 
 2 .� 2  2  2  ...  2 �
2
2
4 6 8
n �
 2n  2 �2 3 4
� 1 � 1� 1
1 �1
1
1
1
.


 ... 
 .�
1  �
2 �
2 �
1.2 2.3 3.4
(n  1).n �
4
n� 4
�
�
1 1 1
1
3


Bài tập 24: Chứng minh rằng A  2  2  2  ... 
2
2 3 4
100
4
*Phân tích bài toán:
<

13


1
 1 , chưa
100
giải quyết được yêu cầu của bài toán. Nhưng nếu dùng “mẹo” giữ nguyên số
hạng đầu tiên, chỉ so sách từ số hạng thứ hai trở đi thì các em sẽ thấy bài toán
đơn giản hơn.
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1
1
1 �1
1
1 �
A  2  2  2  ... 




...


�
�
2 3 4
1002 22 �2.3 3.4
99.100 �
1 �1
1 �1 1 3
A � 
�  
4 �2 100 � 4 2 4
36
36
36
36


 ... 
3
Bài tập 25: Chứng minh rằng
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
*Phân tích bài toán:
Bài tập này các em chỉ cần nhớ lại cách tính vế trái, sau đó tìm cách so sánh là
được.
*Lời giải tóm tắt :
36
36
36
36
4

4
4
�4
�


 ... 
 9.�


 ... 
�
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29 �
�
1
1
1
1
1
1
1 �
�1




 ... 


= 9.� 
�
1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
25.27 27.29 �
�
1 � 260 260 261
�1


3
= 9.� 
� 9.
1.3 27.29 � 783 87
87
�
Ở đây học sinh làm tương tự như bài 23 thì được kết quả A  1 

Từ đây, ta còn có thể khai thác để phát triển bài toán thành nhiều bài toán
mới về dãy phân số có quy luật mà trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm
chưa thể trình bày hết được.

14


*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính nhanh :
5
5
5

5


 ...... 
a) A =
;
11.16 16.21 21.26
61.66
4
4
4

 .... 
b) B =
;
5.7 7.9
59.61
3
3
3
3


 ... 
c) C =
5.8 8.11 11.14
2015.2018
2
2
2


 ... 
d) D =
1.2.3 2.3.4
37.38.39
Bài 2: Tính nhanh :
1 1
1
1
1
 


a) A =
15 35 63 99 143
1 1
1
1
1
1


b) B =   
2 14 35 65 104 152
5
4
3
1
13





c) C =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
Bài 3: Tính giá trị biểu thức :
1
1
1 ��1
1
1
1 �
�1
  ... 
:


 ... 
� 
��
�
100 ��
1.2 3.4 5.6
99.100 �
�51 52 53
Bài 4:
36
36
36


 ... 
a) Cho A =
. Chứng minh: A < 3;
1.3.5 3.5.7
25.27.29
5
5
5
1

 ... 
b) Cho B =
. Chứng minh: B  ;
48
5.8.11 8.11.14
302.305.308
16
16
4
4
4

 ... 
C ;
c) Cho C =
. Chứng minh:
15.19 19.23
399.403
81
80

1 1 1
1
1
d) Cho D = 4  4  4  ... 
.
4 . Chứng minh D <
4 5 6
100
18
Bài 5: Tìm x, biết :
x
1 1 1
1
5
    ... 

a)
2008 10 15 21
120 8
7 4
4
4
4
29


 ... 

b) 
x 5.9 9.13 13.17

41.45 45
1
1
1
1
3


 ... 

c)
3.4 4.5 5.6
x. x  1 10
1
1
1
1
1


 ... 

d)
5.8 8.11 11.14
x. x  3 18
1
1
1
2
2



 ... 

e)
21 28 36
x  x  1 9
15


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Sau khi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi
khối 6 trường THCS Lê Đình Chinh, tôi đã thu được những hiệu quả sau :
- Học sinh biết nhận dạng quy luật ở những dãy mới nhanh hơn, vận dụng bài
toán về dãy cơ bản để làm bài toán mới thành thạo hơn.
- Học sinh đã hình thành kỹ năng khai thác phát triển bài toán, nắm và hiểu được
phương pháp tổng quát hóa một bài toán để có những bài toán hay và lí thú.
- Khi thay đổi đề toán để có bài toán mới, từ chỗ ban đầu các em lúng túng, nản
chí vì chưa tìm ra cách giải thi nay các em đều nhận ra quy luật, biết cách làm
bài và tỏ ra hứng thú với dạng toán này.
- Các em học tập tích cực, chủ động, tư duy linh hoạt, nhanh nhẹn hơn. Nhiều
em không chỉ tìm cách khai thác dạng toán về dãy các phân số có quy luật mà
còn tích cực tìm cách khai thác, phát triển cả những bài toán dạng khác mà các
em gặp trong quá trình học tập.
Kết quả cụ thể của các em học sinh như sau :
TSHS
Giữa
HKII
Cuối

HKII

Làm bài tốt,
nhanh
SL
%

Làm được bài,
chưa nhanh
SL
%

Còn khúc mắc
SL

%

66

4

6,06

10

15,15

52

78,79

66

40

60,6

21

31,82

5

7,58

- Còn đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường, tôi thấy : công tác bồi
dưỡng học sinh giỏi để đạt được kết quả cao không phải ngày một ngày hai mà
là cả một quá trình rèn luyện học tập. Giáo viên cần sáng tạo trong công tác vận
dụng linh hoạt phương pháp và hình thức dạy học tích cực trong quá trình dạy
học, tìm tòi học hỏi để nâng cao nghiệp vụ chuyên môn. Song song với việc
kiểm tra, đôn đốc cần chú trọng đến công tác thi đua, khen thưởng cho học
sinh. Từ đó giao chỉ tiêu rõ ràng và điều kiện đi kèm với chỉ tiêu đó để khuyến
khích các em học sinh cố gắng đạt được mục tiêu đề ra. Đây là giải pháp quan
trọng mang tính đột phá trong việc thúc đẩy các em học sinh tìm tòi, cố gắng,
quyết tâm dành được thành tích cao trong học tập. Từ đó tạo được “đòn bẩy”
trong việc nâng cao chất lượng giáo dục của nhà trường trong những năm học
tiếp theo.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Sau quá trình áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy cũng như trong

công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, bước đầu tôi đã thu được thành công đáng kể
đó là có nhiều học sinh đạt điểm trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện và học
sinh không còn cảm giác sợ môn toán nữa, trái lại các em rất đam mê, hứng thú,
hăng say khám phá toán học.
16


Việc khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình
toán lớp 6 thật sự cần thiết và quan trọng. Qua sáng kiến này, các em tạo được
thói quen khai thác những bài toán khác, đó là điều cần thiết để phát huy khả
năng tư duy của các em, giúp các em có nhiều cơ hội để rèn luyện, phát triển tư
duy logic toán học.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của sáng kiến “Kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc
cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng”. Mong rằng những vấn đề
được đề cập đến trong sáng kiến này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏi của nhà trường, của huyện cũng như được các huyện khác
trong tỉnh. Cũng qua chuyên đề này mở rộng cho các chuyên đề khác và làm nền
tảng cho những năm tiếp theo.
3.2 Kiến nghị
Việc vận dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy cũng dễ dàng vì các
hướng khai thác của bài toán được sắp xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng
tiếp thu. Tuy nhiên, để có hiệu quả hơn không những đối với sáng kiến này mà
Phòng Giáo Dục và Đào Tạo nên triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải
cao, áp dụng vào trường THCS trong toàn huyện thông qua các lớp chuyên đề.
Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại
những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo
sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của
tôi không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành của
Hội đồng khoa học các cấp.

Ngọc Lặc, ngày 20 tháng 4 năm 2018
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tôi xin cam kết sáng kiến này do tôi tự
làm, không sử dụng sao chép coppy của
người khác
Người viết

Nguyễn văn Kiệm

17


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Các đề thi học sinh giỏi toán 6 của các huyện trong tỉnh và các tỉnh khác
trên mạng intenet(chủ yếu ở trang />[2]. Sách bài tập toán 6 tập 2 - tác giả Tôn Thân (chủ biên)
[3]. Sách nâng cao và phát triển Toán 6 tập 2 - tác giả Vũ Hữu Bình

18