(SKKN mới NHẤT) SKKN một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:
MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Tác giả: Lê Anh Tuấn
Điện thoại: 0913389665
Email:
Mã sáng kiến: 05.52

Vĩnh Phúc, tháng 12 năm 2019
1

download by :


MỤC LỤC
Mở đầu

2

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

3

1. Lý do chọn đề tài............................................................................................................

3

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................

3

3. Phương pháp nghiên cứu................................................................................................

3

4. Giả thuyết khoa học.......................................................................................................

4

5. Mô tả sáng kiến..............................................................................................................

4

6. Bố cục............................................................................................................................

4

PHẦN B: NỘI DUNG

6

I. Một số vấn đề lý thuyết liên quan

6

II. Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

6

1. Chứng minh bất đẳng thức.............................................................................................

6

2. Giải các phương trình, bất phương trình……………………………………………....

18

3. Giải các hệ phương trình................................................................................................

23

III. Một số bài tập vận dụng

35

PHẦN C: KẾT LUẬN

38

1. Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài………………………………….

38

2. Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến …………………….

38

3. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến …………

38

Tài liệu tham khảo

39

2

download by :


PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Một trong các ứng dụng cơ bản của đạo hàm là khảo sát tính đơn điệu của hàm số.
Bằng việc khảo sát được tính đơn điệu của hàm số ta giải quyết được nhiều dạng
toán liên quan như chứng minh bất đẳng thức, giải các phương trình, hệ phương
trình. Vì vậy có thể nói tính đơn điệu của hàm số có rất nhiều ứng dụng và rất quan
trọng trong chương trình giải tích ở trường THPT.
Báo cáo kết quả nghiên cứu này, tơi sẽ trình bày một số ứng dụng của tính đơn điệu
hàm số để giải một số dạng tốn thường gặp trong các kì thi THPTquốc gia và
trong các kì thi chọn học sinh giỏi bậc trung học phổ thơng.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài "Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số" được tác giả chọn viết nhằm
giới thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phương pháp
của chúng tơi khi giảng dạy về tính đơn điệu của hàm số trong chương trình tốn

THPT, qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng của nó qua các ứng dụng, đặc các
bài toán được lấy từ các đề thi THPT quốc gia và kì thi học sinh giỏi về toán trong
những năm gần đây.
Đề tài này được coi như một chuyên đề để giảng dạy nâng cao cho học sinh THPT
và bồi dưỡng cho học sinh giỏi về Toán. Tác giải rất mong nhận được góp ý trao
đổi của các thầy chuyên gia, các bạn đồng nghiệp để chuyên đề có thể sâu sắc và
hồn thiện hơn nữa. Hy vọng đề tài sẽ góp một phần nhỏ để việc giảng dạy phần
giải tích đạt hiệu quả nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong bản sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu
sau:

3

download by :


- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về ứng dụng tính đơn
điệu hàm số, đặc biệt từ các tạp chí trong và ngồi nước; tài liệu từ Internet...
- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh khá giỏi toán).
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
4. Giải thuyết khoa học
Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề như trên sẽ phát triển năng lực
tư duy Tốn học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết các bài toán về giải tích.
5. Mơ tả sáng kiến
5.1. Tên sáng kiến: Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
5.2. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Anh Tuấn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học
- Số điện thoại: 0913389665

Email:

5.3. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn
5.4. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dùng để dạy cho các lớp ôn thi THPTquốc gia
và bồi dưỡng các đội tuyển HSG Tốn tham dự kì thi HSG Tỉnh.
5.5. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 08/12/2019.
5.6. Mô tả bản chất của sáng kiến:
6. Bố cục
Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
B- NỘI DUNG
I. Một số vấn đề lý thuyết liên quan
II. Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
4

download by :


1. Chứng minh bất đẳng thức
2. Giải các phương trình, bất phương trình
3. Giải các hệ phương trình
III. Một số bài tập vận dụng
C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

5

download by :

PHẦN B. NỘI DUNG
I. Một số vấn đề lý thuyết liên quan
1.1. Cho hàm số

đồng biến trên

. Với mọi

ta luôn có

nghịch biến trên

. Với mọi

ta ln có

liên tục và đơn điệu trên khoảng

, tức là luôn đồng

.
1.2. Cho hàm số
.
1.3. Cho hàm số

biến hoặc luôn nghịch biến trên khoảng

. Với mọi

ta ln có

.
1.4. Cho hàm số
trình

liên tục và đơn điệu trên khoảng

có khơng q một nghiệm thuộc khoảng

1.5. Nếu phương trình
trình

. Khi đó phương
.

chỉ có một nghiệm trên khoảng

có khơng quá hai nghiệm trên khoảng

thì phương

.

II. Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số
1. Chứng minh bất đẳng thức
Ta thường sử dụng trực tiếp khái niệm về hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến
để suy ra các bất đẳng thức mà hai vế đối xứng (có một đặc trưng hàm số nào đó).
Việc xét tính đồng biến nghịch biến của một hàm số được thực hiện đơn giản bằng
việc xét dấu đạo hàm. Cụ thể ta sử dụng kết quả sau:
+ Nếu

đồng biến trên [a; b] thì

+ Nếu

nghịch biến trên [a; b] thì

Bài tốn 1.1. Chứng minh rằng

với mọi x > a.
với mọi x < b.
, với mọi

6

download by :


Lời giải. Xét hàm số

với
,

suy

ra

hàm

. Ta có

số

đồng

biến

trên

(đpcm).
Bài tốn 1.2. Cho

. Chứng minh rằng

Lời giải. Ta có
Xét hàm số

với

, ta có

với

Xét

Suy ra

, có

đồng biến trên

Suy ra

. Do đó

đồng biến trên

với

. Do vậy ta ln có

(đpcm).

7

download by :


Nhận xét. Từ cách giải bài toán ta suy ra một kết quả có nhiều ứng dụng trong việc
chứng minh bất đẳng thức sau đây: Với mọi

ta có

.

Tiếp theo là một ví dụ áp dụng kết quả cơ bản trên
Bài toán 1.3. Cho

. Chứng minh rằng:

a) sinx

b) sinx

Lời giải. a) Xét hàm

với

. Ta có

;
Do đó

(đpcm).

b) Xét hàm

, ta có

.

Đến đây kịch bản khơng đơn giản như phần (a) nữa vì

có nghiệm duy nhất

. Tuy nhiên bằng việc lập bảng biến thiên của hàm số

đoạn

ta sẽ có ngay

. Vậy

trong

(đpcm).

Như vậy ta có một bất đẳng thức kẹp cho sinx:
Với mọi

ta có

Bài toán 1.4. Chứng minh rằng với mọi
Lời giải. Xét hàm

với

.
ta có
. Ta có

với mọi

.
8

download by :


Suy ra hàm f(x) đồng biến trên

. Vậy

Đẳng thức xảy ra khi x=0.
Nhận xét. Bằng việc xét đạo hàm nhiều lần và sử dụng kết quả bài toán 1.4 ta có
kết quả tổng quát hơn như sau:
Kết quả 1:

với mọi

.

Kết quả 2: Với n là số nguyên dương bất kì ta có:
với mọi

.

Bài tốn 1.5 (Đề thi Đại học khối D năm 2006). Chứng minh rằng
.
Lời giải. Ta có

Xét hàm số

với x > 0. Ta có

,
nên

là hàm nghịch biến trên

Bài tốn 1.6. Chứng minh rằng với mọi

. Do đó

(đpcm).

phân biệt thuộc khoảng

ta có

.

9

download by :


Lời giải
Nếu y > x thì

.

Nếu y < x thì

.

Xét hàm số

với

. Ta có

.

Suy ra f(t) đồng biến trên (0;1). Từ đó ta suy ra ngay điều phải chứng minh.
Bài toán 1.7. Cho các số

dương và

Lời giải. Xét hàm số

. Chứng minh rằng

Khi đó

. Suy ra

, trong đó

.

Ta có
Do đó g(x) nghịch biến trên

. Suy ra
10

download by :


.
Vậy

, nên f(x) đồng biến trên

. Suy ra f(x) > f(0) (đpcm).

Bài toán 1.8. ( Đề thi HSG Quốc gia năm 1992). Chứng minh rằng với mọi số tự
nhiên n > 1 ta có
.
Lời giải. Đặt

. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
.

Xét hàm số

liên tục

Vậy f(x) nghịch biến (0;1) nên f(x) < f(0) = 2,

có

(đpcm).

Bài tốn 1.9. Cho n là số nguyên lẻ lớn hơn 3. Chứng minh rằng với mọi

ta

có
.
Lời giải. Đặt

Ta cần chứng minh

.

Ta có
11

download by :


Vậy

Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên

cùng dấu với (-2x). Do đó ta có bảng biến thiên

x

0

y’

+

y

0

-

1

Từ bảng biến thiên ta có

(đpcm)

Bài tốn 1.10. Cho số ngun dương n. Chứng minh rằng
với mọi

.

Lời giải. Ta có
Xét hàm số

với

. Ta có
12

download by :


Bảng biến thiên

x

0
1

f’(x)

+

0

-

f(x)

Vậy

. Tiếp theo ta sẽ chứng minh

Thật vậy,

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số
thuộc sao cho

trên [2n;2n+1] suy ra tồn tại
. Suy ra
.
13

download by :


Từ (1), (2) ta suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét. Việc kết hợp thêm định lý Lagrange giúp cho các bước đánh giá trung
gian nhanh hơn. Ta xét thêm một ví dụ có sử dụng định lý này trong việc đánh giá.

Bài toán 1.11. Chứng minh rằng
(1).
Lời giải. Trước tiên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng về dạng quen đơn giản
hơn. Ta có

Vì vậy ta xét hàm số

và cần chứng minh

Ta có
Áp dụng định lý Lagrange đối với hàm số

trên

sao cho

, khi đó tồn tại
, do đó

đồng biến trên

. Bài tốn được chứng minh hồn tồn.

Nhận xét. Trong bài toán trên thực chất của vấn đề là ta đi chứng minh hàm số
đồng biến trên
hàm số

hàm số

và để làm được điều đó ta đi chứng minh

đồng biến trên

. Tương tự ta cũng chứng minh được

nghịch biến trên

Ta có thể chứng minh bài tốn trên bằng cách khác như sau:
14

download by :


Xét hàm số

. Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn

, theo định lí Lagrange, ln tồn tại

hay

sao cho:

.

Mà
Vậy với mọi cặp số thực dương x,y bất kì thỏa mãn
. Thay x bởi

và y bởi

, ln có

ta được
(đpcm)

Bài tốn 1.12. Chứng minh rằng

với mọi

Lời giải. Áp dụng BĐT Cơsi ta có

.

Ta chứng minh

.

Xét hàm số

liên tục trên

, có
.

Do đó f(x) đồng biến trên

. Suy ra

với mọi

Bài toán 1.13. Chứng minh rằng

, hay

. Bài toán được chứng minh.
.
15

download by :


Lời giải. Ta biến đổi
.
Xét hàm số

với

. Ta có
.

Áp dụng BĐT

ta có
.

Tiếp tục xét hàm

, với mọi

, thì

, nên g(x) đồng biến trên

. Suy ra
.

Do đó

nên f(x) đồng biến trên

. Suy ra
.

Nhận xét. Bằng việc xét hàm

ta đã chứng minh được
. Bằng việc áp dụng vào tam giác ABC với tổng ba

góc
Với

ta thu được kết quả khá hấp dẫn sau:
là ba góc của một tam giác nhọn bất kì ta có:
16

download by :


Bài toán 1.14. (Đề thi HSG Hà Nội năm 2017). Cho hàm số f xác định trên tập số
thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện

.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập số thực.
Lời giải. Ta có

Từ đó với chú ý rằng với mỗi

đều tồn tại

sao cho cot x = t ta được
.

Dẫn tới
.
Đặt

. Dễ thấy khi x chạy qua R thì u chạy qua

. Vì vậy từ (1) ta

được
và

, trong đó

. Ta có

Dễ dàng chứng minh được

. Vì vậy trên

.

. Suy ra hàm h(u) đồng biến trên

ta có
17

download by :


và
Vậy

.

, đạt được chẳng hạn khi x = 0 và

chẳng hạn khi

, đạt được

.

2. Giải các phương trình, bất phương trình
Để giải một phương trình hay bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn
điệu ta thường có hai hướng tiếp cận như sau:
Hướng 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m, nhẩm được một nghiệm rồi
chứng minh hàm f(x) đồng biến (nghịch biến). Từ đó suy ra phương trình có
nghiệm duy nhất.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), trong đó hàm f(x) đồng biến
(nghịch biến). Khi đó ta được u = v.
Bài tốn 2.1. Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện

.

Đặt

Khi đó phương trình (1) trở thành

Xét hàm số

với

. Dễ thấy

đó (2) trở thành
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

là hàm số nghịch biến. Khi

(thỏa mãn điều kiện).
.
18

download by :


Bài tốn 2.2. Giải bất phương trình

Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số

. Dễ thấy hàm số

Khi đó

là hàm số nghịch biến.

.

Vậy tập nghiệp của bất phương trình đã cho là
Nhận xét. Trong các bài tốn trên, việc phát hiện ra được hàm số đơn điệu khá dễ
dàng, tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta phải biến đổi khéo léo để có thể tìm ra
hàm số đơn điệu phù hợp. Ta xét tiếp một số bài tốn sau
Bài tốn 2.3. Giải phương trình
Lời giải. Điều kiện

. Phương trình đã cho tương đương
(1)

Xét hàm số

với

. Dễ thấy

là hàm số đồng biến. Khi

đó (1) trở thành

Tiếp theo ta xét hàm số

Bảng biến thiên của hàm số

với

, ta thấy

như sau

19

download by :


Từ bảng biến thiên của hàm số

ta thấy phương trình

hai nghiệm. Dễ kiểm tra thấy
nghiệm

và

có khơng q

. Suy ra phương trình (2) có đúng hai

.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

và

.

Bài tốn 2.4. Giải bất phương trình

(1)

Lời giải. Điều kiện

(*)

Với điều kiện (*) ta biến đổi

Xét hàm số

với

. Dễ thấy

là hàm số đồng biến.

Khi đó

20

download by :


Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Bài tốn 2.5. Giải pt:
Lời giải: Ta thấy phương trình đã cho chỉ có nghiệm trong

. Phương trình

tương đương với

với

. Xét hàm số

với

Ta có
Do đó (1)

. Vậy

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài tốn 2.6 (Đề HSG Tỉnh Bắc Ninh 2013). Giải phương trình
.
Lời giải. Điều kiện
Đặt
Đặt

Xét hàm

ta được phương trình
suy ra

thì

21

download by :


Do đó

có nghiệm duy nhất

, suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là
Bài tốn 2.7 (Đề ĐH năm 2010). Tìm nghiệm dương của phương trình sau

Lời giải. Xét hàm số

với

Ta có

,
Và

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Bài tốn 2.8. Giải phương trình
Hướng dẫn. Khó khăn nhất là biến đổi để phát hiện ra hàm số đặc trưng ở hai vế.
Ta đặt

. Khi đó phương trình trở thành

Như vậy hàm đắc trưng ở đây là
ra được

(hàm này đồng biến trên

) nên suy

, từ đó ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Bài tốn 2.9. Giải phương trình
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình về dạng:
22

download by :


Lại xuất hiện hàm đặc trưng

nên suy ra được

, từ đó

ta suy ra nghiệm x cần tìm.
Bài tương tự: Giải phương trình
Hướng dẫn:

. Xét hàm

.

Ta có thể đưa ra ý tưởng giải cho lớp phương trình sau:

Ta sẽ biến đổi phương trình về dạng

,trong đó u là một tham số nào đó (ta tìm được u nhờ cân bằng hệ số. Tuy nhiên ta
thấy vế trái khơng xuất hiện

nên có ngay u=0. Do đó
.

Xét hàm

đơn điệu trên R. Từ đó suy ra

.

Ta tiếp tục với một phương trình khó hơn như sau:
Bài tốn 2.10. Giải phương trình
Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho

và đưa về dạng

Để giải phương trình này ta đặt
Ta được phương trình

Từ đó suy ra

.

Bài tốn 2.11. (Tạp chí THTT năm 2016). Giải PT:
Hướng dẫn. Biến đổi phương trình về dạng
23

download by :


Sau đó đưa về giải PT

bằng phép thế lượng giác

Ta thu được các nghiệm là:

.

3. Giải các hệ phương trình
Để giải một hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của
hàm số ta thường biến đổi một phương trình của hệ thành dạng
, trong đó hàm

là hàm đồng biến (nghịch biến). Từ đó

cho ta một quan hệ mới giữa x và y. Ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản sau
Bài tốn 3.1. Giải hệ phương trình
Lời giải. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
Xét hàm số

với

Từ đó ta được

.

thì dễ thấy hàm

nghịch biến nên

.

Bài tốn 3.2. Giải hệ phương trình
Lời giải. Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được

Xét hàm

Như vậy

, ta có

đồng biến trên

do đó

.
24

download by :


Ta cần giải phương trình

Để ý rằng

Lấy (1) trừ (2) ta được

Ta lại xét hàm

thì
( theo bất đẳng thức AM-GM). Suy ra

đồng biến trên
nhất là

. Mà

nên phương trình

có nghiệm duy

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài tốn 3.3. Giải hệ phương trình

Lời giải. Điều kiện xác định:
Phương trình đầu của hệ tương đương với

Xét hàm số
biến trên

, ta có

. Từ (*) ta có

do đó

đồng

.

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

25

download by :