(SKKN mới NHẤT) SKKN một vài ỨNG DỤNG của véc tơ

MỤC LỤC
PHẦN
I. LỜI GIỚI THIỆU

1

PHẦN II. TÊN SÁNG KIẾN...................................................................................................................................................1
1. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN.................................................................................................................................................... 1
2. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN............................................................................................................................1
PHẦN III. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN...................................................................................................................1
PHẦN IV. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ.........................................................1
PHẦN V. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN...............................................................................................................1
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN............................................................................................................................................................... 1
B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU..............................................................................................................................2
C. MỤC ĐÍCH......................................................................................................................................................................... 2
D. NỘI DUNG.......................................................................................................................................................................... 2
I. LÝ THUYẾT........................................................................................................................................................................ 2
1. Các kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng...........................................................................................................................2
2.Các kiến thức về véc tơ trong không gian ..........................................................................................................................6
3.Bổ sung ................................................................................................................................................................................. 7
II.CÁC ỨNG DỤNG ............................................................................................................................................................... 8
1)CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI .................................................................................................................................8
2)CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH,GĨC,CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG..........10
3)CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC................................12
4)CÁC BÀI TỐN VỀ BĐT ĐẠI SỐ...................................................................................................................................15
PHẦN 6.THƠNG TIN BẢO MẬT........................................................................................................................................17
PHẦN VII.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN.........................................................................18
PHẦN
VIII. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG
KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ (NẾU CÓ) 18

PHẦN IX. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ...........................................................................................................................................18
PHẦN X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN
THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ......................................................................................................................18
PHẦN XI. DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU.....................18

download by :


DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Nội dung

GD&ĐT

Giáo dục và đào tạo

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

PHẦN I. LỜI GIỚI THIỆU
Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ
vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinh
rất ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm mới này.Tuy nhiên trong
quá trình giảng dạy mơn tốn, và với sự tìm tịi của bản thân,tôi lại thấy đây là
một nội dung khá hay mà có thể giải quyết được nhiều bài tốn mà việc giải
quyết bằng phương pháp khác còn vất vả hơn nhiều.Vì vậy tơi viết chun đề
này với mong muốn các bạn học sinh có cái nhìn thiện cảm hơn đối với khái
niệm véc tơ, thấy được cái hay cái đẹp của nó đối với mơn tốn.Đây cũng coi
như là một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học.
PHẦN II. TÊN SÁNG KIẾN
“ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ”
1. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
- Họ và tên: Đường Thị Yến.
- Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc.
- Số điện thoại: 0985568523.
- Email:
2. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN
Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN III. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học véc tơ lớp 10 THPT.
PHẦN IV. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC
DÙNG THỬ
Ngày 10 tháng 10 năm 2019.
PHẦN V. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN
A. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Nội dung của chương trình toán THPT.
- Một số tài liệu tham khảo.
1

download by :


B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
C. MỤC ĐÍCH :
- Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo .
- Phát triển các hướng tư duy : phân tích, tổng hợp, sáng tạo,…cho học sinh.
- Thấy được mối liên hệ mật thiết giữa đại số- giải tích với hình học.
D. NỘI DUNG
I. Lý thuyết:
1) Các kiến thức về véctơ trong mặt phẳng Oxy .(SGK HH 10)
1. 1 các định nghĩa
1.1.1 kiến thức cần nhớ
a)vectơ là gì ?
Véctơ là một đoạn thẳng có định hớng:
Một đầu đợc xác định là gốc, còn đầu kia là ngọn.
Hớng từ gốc đến ngọn gọi là hớng của véctơ.

Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của véctơ.
b)Vectơ không
Định nghĩa: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm
cuối trùng nhau.
Nh vậy, véctơ không, kí hiệu

là vectơ có:

Điểm gốc và ngọn trùng nhau.
Độ dài bằng 0.
c)Hai vectơ cùng phơng
Hai vectơ

,
//

gọi là cùng phơng, ký hiệu:


.

d)Hai vectơ cùng hớng, ngợc hớng
a.

Hai véctơ

,


b.

Hai véctơ

gọi là cùng hớng , ký hiệu:


,

.
gọi là ngợc híng, ký hiƯu:
2

download by :






.

e)Hai vectơ bằng nhau
Hai véctơ

,

gọi là bằng nhau, ký hiệu:

=

.

1.1.2 tổng của hai vectơ
a)Định nghĩa: Tổng của hai vectơ
xác định nh sau:

và

là một véctơ đợc

Từ một điểm tùy ý A trên mặt phẳng dựng vectơ
= .
Từ điểm B dựng vectơ
= .
Khi đó véctơ
gọi là vectơ tổng của hai vectơ
và , ta viết
= + .

b

a

B

b
a
a

b
C
A

Từ định nghĩa trên ta đợc quy tắc ba điểm:
+

=

, với ba điểm A, B, C bất kì.

b)Tính chất của phép cộng véctơ
Với mọi véctơ ,

và , ta có:

(Tính chất giao hoán): + = + .
TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt kÕt hỵp): ( + ) +
= + ( + ).
TÝnh chÊt 3: (TÝnh chÊt của vectơ không):
+ = + = .
c)Quy tắc hình bình hành:
Tính chất 1:

+

=

, với ABCD là hình bình hành.

Ta có "Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì
".

+

=

Ta có "Gọi G là trọng tâm ABC thì:
+

+

= ,
3

download by :


+

+

= ".

1.1.3 hiệu của hai vectơ
a)Hai vectơ đối nhau
Hai véctơ

,

gọi là đối nhau, ký hiệu:


=-

.

b)Hiệu của hai vectơ
Định nghĩa: Hiệu của hai véctơ
tổng của vectơ
là:

và , kí hiệu

- , là

và vectơ đối của vectơ , nghĩa

- = + (- ).
Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Để dựng vectơ - khi biết các vectơ
ý, từ đó dựng vectơ

b

=

a

và

A

a

và

ta lấy điểm A tuỳ

= , khi đó
B

= - .

a b

C

b

Từ cách dựng trên ta đợc quy tắc hiệu hai vectơ cùng gốc:
-

=

, với ba điểm A, B, C bất kì.

c)Tính chất của phép trừ véctơ
- = = + .
1.1.4 tích của một vectơ với một số
a)Định nghĩa: Tích của vectơ

với một số thực k là một

vectơ, kí hiệu k đợc xác định nh sau:
a.

Vectơ k cùng phơng với vectơ

và sẽ :

b.

Cùng hớng với vectơ nếu k 0.
Ngợc hớng với vectơ nếu k 0.
Có độ dài b»ng k. .

PhÐp lÊy tÝch cđa mét vect¬ víi mét số gọi là phép nhân
vectơ với số (hoặc phép nhân số với vectơ).
Từ định nghĩa trên ta có ngay các kÕt qu¶:
1. =

, (-1). = - .
4

download by :


b)Tính chất của phép nhân vectơ với số
Với mọi véctơ ,

và các số thực m, n, ta có:

Tính chất 1:

m(n. ) = (mn). .

TÝnh chÊt 2:

(m + n). = m. + n. .

TÝnh chÊt 3:

m( + ) = m. + n. .

Tính chất 4:

m =



=

hoặc m = 0.

c)điều kiện để hai vectơ cùng phơng
Định lí 1 (Quan hệ giữa hai vectơ cùng phơng): Vectơ
cùng phơng với vectơ
cho

khi và chỉ khi tồn tại số k sao

=k .

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng
là tồn tại số k sao cho
=k

.

d)Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phơng
Định lí 2 (Phân tích một vectơ thành hai vectơ khác
không cùng phơng): Cho hai vectơ

và

khác

và

không cùng phơng. Với mọi vectơ bao giờ cũng tìm đợc
một cặp số thực m, n duy nhất, sao cho:
= m + n .
1.1.5. Hệ toạ độ
a)Vectơ
Cho 2 điểm M1(x1; y1), M1(x2; y2) thì
b)Các phép toán Vectơ
Nếu có hai vectơ (x1; y1) và
(i):

=

= (x2-x1; y2-y1)

(x2; y2) thì:

.

//
.
(iii):
+
= (x1 + x2; y1 + y2).
(iv): = (x1-x2; y1-y2).
(v): k (x1; y1) = (kx1; ky1) , k  .
(vi):  + 
= (x1 + x2; y1 + y2).
(ii):

5

download by :


c)Khoảng cách
Khoảng cách d giữa hai điểm M1(x1; y1) và M1(x2; y2) là độ dài
của vectơ

, đợc cho bởi:

d =|

| =

.

d)Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số cho trớc
Điểm M(x; y) chia đoạn thẳng M1M2 theo một tỉ số k (tức là
k

=

) đợc xác định bởi các công thức:

.
Đặc biệt nếu k = -1, thì M là trung điểm của đoạn thẳng
M1M2 , khi đó toạ độ của M đợc xác định bởi:

.
e)Ba điểm thẳng hàng
Ba điểm A(x1; y1) , B(x2; y2) và C(x3; y3) thẳng hàng khi và chØ
khi:
//

=
.
2) Các kiến thức về véctơ trong không gian Oxyz.(SGK HH – 12)
2.1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT:
và

Trong khơng gian Oxyz cho:
. Khi đó:

6

download by :


đồng phẳng

hay

không đồng phẳng
13.

M

hay

chia

đoạn

AB

theo

tỉ

số

.

Đặc biệt: M là trung điểm AB:

.

14. G là trọng tâm tam giác ABC:
15.

G

là

trọng

tâm

tứ

diện

ABCD:

16. Véctơ đơn vị:
17. Điểm trên các trục tọa độ:
18.

Điểm

thuộc

các

mặt

phẳng

tọa

độ:

.
19. Diện tích tam giác ABC:
20. Diện tích hình bình hành ABCD:
21. Thể tích khối tứ diện ABCD:
22. Thể tích khối hộp

:
7

download by :


3) Bổ sung một số kiến thức:
3.1)Trọng tâm,tâm tỉ cự
a) Định nghĩa 1: Cho hệ điểm
Điểm G thỏa mãn :

.

được gọi là trọng tâm của hệ điểm trên.

Định lí :
(1) Trọng tâm của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất.
(2) Nếu G là trọng tâm của hệ điểm
b) Định nghĩa 2: Cho hệ điểm
khác 0.Điểm G thỏa mãn :

thì
và bộ số

có tổng

được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm

ứng với bộ số

.

Định lí :
(1) Tâm tỉ cự của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất.
(2) Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm

ứng với bộ số

.

thì
3.2) Định lí 1: Với hai vectơ bất kì

ta ln có

3.3) Định lí 2:
8

download by :


a) Ba điểm M,A,B thẳng hàng

O, luôn tồn tại duy nhất cặp số thực

(x,y) thỏa mãn :
x + y = 1 và
b) Bốn điểm M,A,B,C đồng phẳng

O, luôn tồn tại duy nhất bộ số

thực (x,y,z) thỏa
mãn : x +y +z =1 và

.

II.CÁC ỨNG DỤNG:
1) CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI :
Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương , ( điều kiện 3 điểm
thẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk 4 điểm đồng phẳng),…
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho
BC = 3BM, điểm N trên cạnh AM sao cho AM = 4AN.

A
Gọi P là giao điểm của AC và BN.
Tính các tỉ số AP:AC và BI:BP

P
N

B

M

Lời giải :
Đặt

và

C

.

Dễ thấy
Hai vectơ đó cùng phương nên 1.(1-x)=3.3x hay x = 1/10
Tức là AP:AC=1:10. Từ đó BI:BP = 5:6
Chú ý : bài tốn trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets.

9

download by :

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Một điểm I bất kì chạy trên
đoạn AM( khác với A), đường thẳng bất kì qua I cắt các đoạn thẳng AB,AC lần
lượt tại N,P( khác A). Chứng minh rằng :

.

Lời giải :
Đặt x = BA/BN; y = CA/CN; z = AM/AI (x,y,z > 0)
Ta có

Chú ý : bài tốn trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng
(P) bất kì cắt các đoạn SA,SB,SC,SD,SO lần lượt tại A’,B’, C’, D’, O’(khác S).
Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta đặt x = SA/SA’; y = SB/SB’; z = SC/SC’; t = SD/SD’.
Dễ thấy :

(Vì A’,,B’,C’,D’ đồng phẳng nên ta có (1))
Nhận xét : Dễ thấy
Có thể c/m bằng phương pháp hình học thơng thường.
BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, mp(P) cắt các
đoạn SA,SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’.Chứng minh rằng :

10

download by :

a)
b)

với O là trọng tâm của tứ diện SABC.

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm C’ là trung điểm
của SC. Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’.
a) Chứng minh :

b) Chứng minh :
Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’; M,N,P lần lượt nằm trên cạnh A’B’, AB,
CC’ sao cho
Gọi Q = (MNP)

.
¿

B’C’. Tính

.

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G 1,G2 của hai tam giác A’BD và
CB’D’ đông thời AG1=G1G2=G2C’.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C.Tính BD’/BG.
c) Gọi P,Q,R lần lượt là điểm đối xứng của D’ qua A,B’,C.Chứng minh B
là trọng tâm của tứ diện PQRD’.
d) Dựng I,J lần lượt trên DB’,AC sao cho IJ//BC’. Tính ID/IB’
2) CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GĨC, CHỨNG MINH
QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG

Thường áp dụng để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hay một
mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Với dạng bài này , học
sinh lớp 11 có thể giải bằng cách sử dụng các tính chất và dựng hình, học sinh
lớp 12 có thể dùng phương pháp tọa độ để giải. Ở đây tôi chỉ giới thiệu một ví
dụ minh họa khá đơn giản để các thầy cô và các em học sinh tham khảo.
Phương pháp chung thường dùng :

11

download by :


(1) Chọn 2 vectơ (không cùng phương trong mp) hoặc 3 vectơ (khơng đồng
phẳng trong KG) có mối quan hệ đặc biệt với nhau làm cơ sở để biểu diễn các
vectơ khác qua chúng.
(2) Biểu diễn các vectơ khác qua các vectơ cơ sở. Dùng đk thẳng hàng,
đồng phẳng hay vng góc để đưa ra kết quả.
Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M trên A’C sao cho MA’=3MC
và N là trung điểm của C’D.
a) Chứng minh : MN//B’D.
b) Khi hình hộp là hình lập phương cạnh a. Tính các khoảng cách
d(A,D’M) , d(A, (CMN)) và d(BD,CD’)
Lời giải và hướng dẫn:
Đặt

.

a)Từ đó dễ thấy :
(đpcm)
b) Ta có các véctơ trên đơi một vng góc và độ dài các vec tơ trên đều bằng a

Dựng AH vng góc với D’M tại H và đặt

.

Ta tính được

Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vng góc với (AMN) tại I.
Ta có :

Gọi PQ là đoạn vng góc chung của BD và CD’:
Cho PQ vng góc với BD và CD’ ta tìm được z,t . Từ đó tính PQ.
BÀI TẬP:

12

download by :


Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có G,G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam
giác ABC và A’B’C’. Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B.
a) Chứng ming : GI//CG’.
b) Cho biết tam giác ABC đều cạnh a,AA’ = a

√3

và hình chiếu của A’

trên (ABC) là trung điểm của BC.
b1) Tính góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC)
b2) Tính d(A’B,C’G).

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . M và N lần lượt là các điểm chia hai
đoạn thẳng AD’ và DB theo cùng tỉ số k khác 0, 1. Chứng minh : MN // (A’BC).
3) CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và M trên cạnh BC. Chứng minh : OA.BC ≤
OB.AC + OC.AB.
Lời giải :
Đặt

Từ đó suy ra đpcm.
Ví dụ 2: Cho 3 góc x,y,z có x+y+z=3600 và 1800> x,y,z>00. Chứng minh : cosx
3
+ cosy + cosz ≥ - 2

Lời giải :
Dựng 3 góc AOB, BOC, COA lần lượt có số đo x,y,z sao cho O là tâm đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC, OA=OB=OC=1.
Ta có :

Nhận xét : Với mọi điểm O trong tam giác ABC ta ln có :
cosAOB + cosBOC + cosCOA ≥ -3/2.
13

download by :


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng tại A.
a) Tìm vị trí của điểm M trên AC sao cho biểu thức
P = 2MA2 + MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Tìm vị trí điểm M sao cho Q=

MA + MB + MC nhỏ nhất.

Lời giải:
a)Gọi G là trung điểm của BC và I là trung điểm của AG. Suy ra :

Khi đó : P = 4.IM2 giá trị này nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu của
I trên AC.
Ta tìm được M chia đoạn CA theo tỉ số -3.
b) Ta có :

Do đó :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi M trùng A
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đơi một vng góc .Tìm M để
P=

MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.

Lời giải :
Tương tự Ví dụ 3 :

Dấu đẳng thức xảy ra khi M trùng A
14

download by :


Vậy M trùng A.
Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC có SA=a, SB=b, SC=c; Mặt phẳng (P) thay đổi ln

đi qua trọng tâm G của tứ diện lần lượt cắt SA, SB, SC tại D, E, F. Tìm giá trị
nhỏ nhất của :
Q=
Lời giải :
Ta có :

Vì G,D,E,F đồng phẳng nên SA/SD + SB/SE + SC/SF = 4
Áp BĐT Bunhiacopxki ta có :
42 = (SA/SD + SB/SE + SC/SF)2 ≤ (SA2 + SB2 + SC2)(1/SD2 + 1/SE2 + 1/SF2)
Do đó : Q ≥ 16/(a2 + b2 + c2)
Đẳng thức xảy ra khi (P)//(ABC).
Ví dụ 6: Cho tứ diện A1A2A3A4 có trọng tâm G. Các đường thẳng GAi (1=1,

…,4) căt các mặt đối diện tại Bi . Chứng minh rằng :

( ai là

độ dài 6 cạnh) với mọi điểm M.
Lời giải :
Ta có :
Mà GAi = 3AiBi/4.
Áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta tính được :
Từ đó ta suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi M trùng G.
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng :
a)
15

download by :

b) p2≥ 16 Rr – 5r2.
c) MA+MB+MC

¿

3R (với mọi điểm M và tam giác ABC đều.)

Bài 2: Cho tứ diện A1B1C1D1, M là điểm tùy ý trong tứ diện. Chứng minh :

Trong đó Si là diện tích mặt đối diện với Ai; R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện.
Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD.Tìm M để P =

MA + MB + MC + MD nhỏ

nhất.
Bài 4: Tìm tam giác ABC để tỉ số

là lớn nhất.

Bài 5: Cho điểm A thuộc mặt cầu (O;R) .Xét tứ diện ABCD nội tiếp (O;R) và
gọi G là trong tâm của tứ diện đó. Tìm vị trí của G sao cho AB2 + AC2+AD2BC2 – CD2 – DB2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 6: Trong tất cả các tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R = 1 , hãy tìm tứ diện
có diện tích tồn phần lớn nhất.
4) CÁC BÀI TỐN VỀ BĐT ĐẠI SỐ
Dấu hiệu có thể dùng phương pháp vectơ: Chứa căn của các biểu thức có dạng
độ dài của vectơ hoặc là tích vơ hướng của hai vectơ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng :

Lời giải:
Xét hai vectơ
Ví dụ 2: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : x + y + z ≤ 1.

Chứng minh rằng :
Lời giải:
Xét 3 vectơ :
16

download by :


Ta có :
Dễ thấy : 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x+y+z).
Từ đó (x+y+z)2 + (1/x +1/y +1/z)2 ≥ (x+y+z)2 + 81/(x+y+z)2
Khi đó dễ dàng suy ra đpcm.
Nhận xét : Bài tốn trên có thể giải bằng phương pháp dùng BĐT Cơsi.
Ví dụ 3: Cho 4 số thực a,b,c,d.
Chứng minh rằng trong sáu số sau ac+bd, a2+b2+a-b, ac+bd+a-b, ac+bd+c-d, c2
+ d2 +c – d, ac+bd+a+c-b-d+2 có ít nhất một số không âm.
Lời giải:
Ta thấy :
a2+b2+a-b = a(a+1) +b(b-1)
ac+bd+a-b=a(c+1) + b(d-1)
ac+bd+c-d = c(a+1) + d(b-1)
c2 + d2 +c – d= c(c+1) +d(d-1)
ac+bd+a+c-b-d+2=(a+1)(c+1) +(b-1)(d-1)
Ta xét các điểm sau trong mặt phẳng Oxy : A(a;b), B(c;d), C(a+1;b-1), D(c+1;d1)
1) Nếu có 1 trong 4 điểm trùng gốc O thì hiển nhiên bài tốn được chứng
minh.

2) Nếu cả 4 điểm khơng trùng gốc O thì trong 4 vectơ
có ít nhất 2 vectơ tạo
với nhau góc khơng tù

, tích vơ hướng của hai vectơ này khơng âm.

Mà tích vơ hướng của hai vectơ bất kì trong 4 vectơ trên có giá trị là một
trong sáu giá trị nêu trên . Do đó bài tốn được chứng minh.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình

có nghiệm thực .

Lời giải :
Xét hàm f(x) = VT(1). Khi đó f(x) liên tục trên R và
17

download by :


Ta xét
Mà f(0) = 2 nên minf(x) = 2
Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥2
BÀI TẬP :
Bài 1: Chứng minh rằng :

Bài 2: Cho a,b,c dương và ab + bc +ca = abc.
Chứng minh rằng :

.

Bài 3: Chứng minh rằng :

E. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM VÀO GIẢNG DẠY
vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến:
Lớp

Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB

% HS yếu

%HS kém

10C

48

13%

77%

8%

2%

0%

10H

47

9%

50%

32%

9%

0%

Kết quả sát hạch lớp 10C,10H trước khi áp dụng sáng kiến
Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành kiểm tra, sát
hạch lại, kết quả đạt được rất khả quan. Cụ thể như sau:
Lớp

Sĩ số % HS giỏi % HS Khá

% HS TB

% HS yếu

%HS kém

10C

48

45%

51%

4%

0%

0%

10H

47

30%

56%

14%

0%

0%

PHẦN IV: THƠNG TIN BẢO MẬT: Khơng có thơng tin bảo mật
PHẦN VII:CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

18

download by :

Sáng kiến đã được áp dụng giảng dạy tại các lớp 10c,10h,10l,tại trường THPT
N LẠC.Ngồi ra sáng kiến cịn có thể áp dụng được cho tất cả các trường
THPT trong cả nước.
PHẦN VIII: . ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ
THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC
GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP
DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU
Sáng kiến đem lại hứng thú cho học sinh đối với phần tốn véc tơ,đem lại niềm
u thích đối với phần hình học khó này.Do đó đem lại hiệu quả cao trong giảng
dạy ôn thi THPT Quốc gia và ơn thi HSG.
PHẦN IX:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ
THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ
Qua chuyên đề này,tôi đã giúp cho học sinh tìm hiểu sâu hơn ,chi tiết hơn về
ứng dụng của véc tơ trong giải toán,đồng thời tôi cũng phân loại chi tiết các ứng
dụng của véc tơ trong giải các loại toán cụ thể,học sinh rất hứng thú với các
phân loại như thế này.Sáng kiến đem lại sự tích cực trong việc học tốn và dễ
dàng tiếp thu phần kiến thức về véc tơ.
PHẦN X:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CĨ THỂ
THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC
CÁ NHÂN
+Nhà trường nhất trí và ủng hộ cho việc triển khai đề tài
+Tổ chuyên môn đánh giá cao và áp dụng làm tư liệu dạy học
PHẦN XI:DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP
DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU
Số TT
1
2
3

Tên tổ

chức/cá nhân
Lớp 10C
Lớp 10H
Lớp 10L

Địa chỉ

Phạm vi lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Trường THPT YÊN LẠC
Trường THPT N LẠC
Trường THPT N LẠC

Mơn tốn THPT N LẠC
Mơn tốn THPT N LẠC
Mơn tốn THPT N LẠC

N LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020

YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020

Hiệu trưởng

Tác giả sáng kiến

(kí tên, đóng dấu)

(kí ,ghi rõ họ tên)

Đường Thị Yến

19

download by :