skkn một số ứng dụng của lượng giác

Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

Trang 1


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lượng giác là một nhánh của toán học để tìm hiểu về tam giác và sự
liên hệ giữa cạnh và góc của nó. Ban đầu lượng giác xuất phát từ Hình học,
nhưng khi “càng lớn lên” chúng lại khoác cho mình chiếc áo của Đại số và
Giải tích. Vì vậy mà ứng dụng của nó cũng vô cùng phong phú. Việc phát
hiện các ứng dụng đa dạng của lượng giác luôn là vấn đề khó và hấp dẫn.
Thông thường những bài toán đại số, số học, hình học thì được giải bằng
“chất liệu” tương ứng là đại số, số học, hình học. Nhưng có những dạng toán
nếu giải thuần bằng những phương pháp này thì sẽ gặp không ít khó khăn nếu
như không muốn nói là bế tắt. Tuy nhiên, nếu chúng ta phát hiện được bản
chất của lượng giác được biểu hiện trong những bài toán đó thì lượng giác trở
thành một công cụ rất đắc lực và hữu hiệu. Bên cạnh đó, thông qua chuyên đề
này tôi muốn giới thiệu “lượng giác dưới góc nhìn khác” để cho thấy lượng
giác có vẽ đẹp, tầm quan trọng và là công cụ đa năng trong giải toán.
Để nâng cao hiệu quả dạy học phần lượng giác ở THPT không những
đưa ra những bài tập lượng giác thuần túy mà quan tâm đến việc chuyển đổi
ngôn ngữ đại số, giải tích và hình học sang lượng giác.
Với những lí do nêu trên mà chuyên đề mang tên “Một số ứng dụng
của lượng giác” .
Chuyên đề được chia thành 4 phần:



Phần thứ nhất: Mở đầu.



Phần thứ hai: Kiến thức chuẩn bị.



Phần thứ ba: Một số ứng dụng của lượng giác.



Phần thứ tư: Kết luận

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và hệ thống việc ứng dụng lượng giác
trong đại số, số học, giải tích và trong hình học.

Trang 2


Một số ứng dụng của lượng giác

-

ThS: Phan Thị Thái Hòa

Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa, các bài tập tự giải được sử dụng

phương pháp lượng giác nhằm nâng cao trình độ tư duy và kỹ năng giải

-

toán cho học sinh.
Giúp bản thân và đồng nghiệp nâng cao trình độ chuyên môn, đổi mới

phương pháp có hiệu quả.
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Thông qua các bài toán tích phân, dãy số, phương
-

trình, hệ phương trình, tính góc và cạnh của tam giác, nhận dạng tam giác.
Phạm vi nghiên cứu: Trong chương trình sách giáo khoa toán hiện hành
và trong nội dung đề thi CĐ-ĐH, đề thi học sinh giỏi các cấp, đề thi học

sinh giỏi máy tính cầm tay.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu, sách và báo liên quan đến đề tài.
- Điều tra và khảo sát thực tế học sinh.
- Trao đổi cùng đồng nghiệp trong và ngoài tổ chuyên môn.
- Tích lũy, đúc kết và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
IV. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1)

Khó khăn:



Do khối lượng công thức lượng giác là khá nhiều và học sinh

không hiểu bản chất của lượng giác. Vì vậy khi gặp các bài toán lượng
giác học sinh thường ngán, ngại bỏ qua. Đó là chưa nói đến ứng dụng của
lượng giác.



Điều đáng nói là cho đến nay vẫn thiếu những tài liệu ứng dụng
của lượng giác trong đại số, giải tích và trong hình học, nếu có cũng chưa
có tính hệ thống. Hơn nữa, học sinh chưa có thói quen tự học, tự nghiên
cứu.

Trang 3


Một số ứng dụng của lượng giác

2)

ThS: Phan Thị Thái Hòa

Số liệu thống kê: Sau đây là kết quả kiểm tra 60 phút tự luận của 2
lớp

12 trong năm học 2013-2014 (trước khi áp dụng SKKN ).

I. Công thức lượng giác
1.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

π −α

π +α

π +α

−α

π −α

cos

cosα

− cos α

− cos α

sin α

− sin α

sin

− sin α

sinα

− sin α

cos α

cosα

tan

− tan α

− tan α

tanα

cot α

− cot α

cot

− cot α

− cot α

cotα

tan α

− tan α

Góc
GTLG

2

2

1.2 Hằng đẳng thức lượng giác


sin 2 x + cos 2 x = 1

tan x.cot x = 1 x ≠


kπ

, k ∈ Z÷
2


tan x =


sin x 
π
 x ≠ + kπ , k ∈Z ÷
cos x 
2


1 + cot 2 x =

1

( x ≠ kπ , k ∈Z)
sin 2 x

cot x =

cos x
( x ≠ kπ , k ∈Z)
sin x

1 + tan 2 x =


1 
π
x ≠ + kπ , k ∈Z ÷
2 
2
cos x 


1.3 Công thức cộng

Trang 4


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

sin ( a ± b ) = sin a cos b ± cos a sin b

tan ( a ± b ) = tan a ± tan b

cos ( a ± b ) = cos a cos b msin a sin b

cot ( a ± b ) = cot a cot b m 1
cot b ± cot a

1 m tan a tan b

1.4 Công thức nhân
a. Công thức nhân đôi
sin 2 x = 2sin x.cos x
cos 2 x = cos2 x − sin 2 x = 2cos2 x −1 = 1 − 2sin 2 x

tan 2 x =

2 tan x
1 − tan 2 x

b. Công thức nhân ba

sin3x = 3sin x − 4 sin 3 x
cos3x = 4 cos 3 x − 3cos x

tan3x =

3tan x − tan 3 x
1 − 3tan 2 x

1.5 Công thức tính theo

sin x =

t = tan x

2t
1+ t 2 ;

2

cos x =

1− t 2
1+ t 2 ;

tan x =

2t
1− t 2 .

1.6 Công thức hạ bậc

sin 2 x =

1 − cos 2 x
2
;

cos2 x =

1 + cos 2 x
2
;

1.7 Công thức biến đổi tổng thành tích
Trang 5

tan 2 x =

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x .


Một số ứng dụng của lượng giác

cos a + cos b = 2 cos

sin a + sin b = 2 sin

ThS: Phan Thị Thái Hòa

a+b
a −b
. cos
2
2

cos a − cos b = −2 sin

a +b
a −b
. cos
2
2

sin a − sin b = 2 cos

a+b
a−b
.sin
2
2

a+b
a −b
.sin
2
2

1.8 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a. cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 
2



1
sin a.sin b = − cos ( a + b ) − cos ( a − b ) 
2

sin a. cos b =



(

)

(

)

1
sin a + b + sin a − b 

2 

II. Một số dấu hiệu chuyển bài toán qua dạng lượng giác.
Do số lượng các công thức lượng giác là rất nhiều, nên khi chuyển bài
toán qua lượng giác thì đòi hỏi học sinh phải nắm vững các công thức lượng
giác, kĩ thuật biến đổi, tính tuần hoàn và tính bị chặn của các hàm số lượng
giác. Hơn nữa trong bài toán phải có dấu hiệu đặc trưng của lượng giác về
biểu thức, đẳng thức hoặc biến x tham gia trong bài toán. Sau đây là một số
dấu hiệu cơ bản.
 π π
x
=
a
sin

t
,
t
∈
− 2 ; 2 


x ≤a

 hoặc x = a cos t , t ∈ 0;π 
2.1 Nếu
, ta đặt

a
x=
, t ∈ ( 0;π )
x ≥ a ( a > 0)
sin t
2.2 Nếu
, ta đặt
hoặc

x=

 π π
, t ∈ − ; ÷
cos t
 2 2

a

Trang 6


Một số ứng dụng của lượng giác

2.3 Nếu x

∈¡ , ta đặt

ThS: Phan Thị Thái Hòa
π π
; ÷
 2 2  hoặc

x = a tan t , t ∈  −

2.4 Nếu bài toán có chứa đẳng thức
 f ( x) = cos t

 g ( x) = sin t hoặc

f 2 ( x) + g 2 ( x) =1

x = a cot t , t ∈ ( 0; π )

, thì có thể đặt

 g ( x) = cos t


 f ( x) = sin t

2
2
2.5 Nếu bài toán chứa biểu thức a − x thì có thể đặt:

 π π
x =| a | sin t , t ∈  − , 


 2 2  hoặc x =| a | cos t , t ∈ 0, π 

2.6 Nếu bài toán chứa biểu thức

x=

x 2 − a 2 thì có thể đặt:

 π π
π 
|a|
|a|
, t ∈  − ,  \ { 0}
x=
, t ∈ 0, π  \  
sin t
cos t
 2 2
2
hoặc

2
2
2.7 Nếu bài toán chứa biểu thức a + x thì có thể đặt:

 π π
x =| a | tan t , t ∈  − , ÷
 2 2  hoặc x =| a | cot t , t ∈ ( 0, π ) .

2.8 Nếu bài toán chứa biểu thức

hoặc

a+x
a − x thì có thể đặt: x = a cos 2t , t ∈ ( 0; π )

π
a−x
x = a cos 2t , t ∈ [ 0; π ] \  
a + x thì đặt
2.

Trang 7


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

2.9 Nếu bài toán chứa biểu thức ( x − a)(b − x) thì có thể đặt:

x = a + ( b − a ) sin 2 t , t ∈ 0;π 
x+ y
x− y
2x
2x
2
2
1
−
xy
1
+
xy
2.10 Nếu bài toán chứa biểu thức
hoặc
hoặc 1 + x hoặc 1 − x

1− x2
3 x − x3
2
2
hoặc 1 + x hoặc 1 − 3 x …thì ta có thể đặt

 x = tan α

 y = tan β


 π π 

 α , β ∈  − ; ÷÷
 2 2 ÷

.

2.11 Nhận xét
 Với hàm số sin
2
2
● 1 − 2x = 1 − 2sin α = cos 2α

●

1 − 1 x2 = 1 − 1 sin 2 α = sin 4  α ÷+ cos 4  α ÷
2

2

2

2

3
3
● 3x − 4 x = 3sin α − 4sin α = sin 3α

●

1 − 3 x2 = 1 − 3 sin 2 α = sin 6  α ÷+ cos6  α ÷
4

4

2

2

5
3
5
3
● 16 x − 20 x + 5 x = 16 sin α − 20 sin α + 5sin α = sin 5α

 Với hàm số cos
2
2
● 2 x −1 = 2cos α −1 = cos 2α
3
3
● 4 x − 3x = 4cos α − 3cos α = cos3α

3 − 3x = 2cos α 3 − 3 2cos α = 8cos3 α − 6cos α = 2.cos3α
x
(
)
(
)
●

Trang 8

Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

4
2
4
2
● 8 x − 8 x −1 = 8 cos α − 8 cos α −1 = cos 4α
5
3
5
3
● 16 x − 20 x + 5 x = 16 cos α − 20 cos α + 5cos α = cos5α
6
4
2
6
4
2
● 32 x − 48 x + 18 x −1 = 32 cos α − 48 cos α + 18cos α −1 = cos 6α

III. Phương trình bậc ba.
Phương trình là một dạng toán cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong
lĩnh vực đại số. Chúng ta làm quen với các bài toán về phương trình từ những
ngày đầu học toán. Ở cấp tiểu học, chúng ta được biết đến những bài toán tìm
x…, những năm ở THCS bài toán về phương trình bậc nhất, phương trình bậc
hai, phương trình vô tỉ được xây dựng, Hiện nay, việc giải và biện luận

phương trình bậc nhất, bậc hai đã trở nên rất quen thuộc đối với học sinh ở
cấp THPT. Học sinh cũng có dịp làm quen với phương trình bậc ba, phương
trình bậc bốn, tuy nhiên việc giải và biện luận phương trình bậc ba tổng quát
chưa được trình bày trong chương trình THPT. Tôi xin giới thiệu cách giải và
biện luận phương trình bậc ba dạng tổng quát.
3
2
Phương trình bậc ba dạng tổng quát: a1x + b1 x + c1 x + d1 = 0 ( a1 ≠ 0 ) ( ∗)
3
2
mọi phương trình (*) đều đưa về dạng chuẩn tắc x + ax + bx + c = 0 .

Giải và biện luận phương trình:
Lời giải: Đặt

x= y−

3

t 3 + at 2 + bt + c + 0 (1)

a
3 . Khi đó phương trình (1) có thể viết dưới dạng
2


a

a


a
 y − 3 ÷ + a  y − 3 ÷ + b  y − 3 ÷+ c = 0







3
Tương đương y − py = q (2) . Trong đó

p=

a2
a 3 ab
−b q = − + +c
3
27 3
,

 Nếu p = 0 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Trang 9

y=3q


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

 Nếu p > 0 thì ta đưa phương trình về dạng Bài toán 1 hoặc Bài toán 2

bằng cách đặt

y = 2t

p
3 ta thu được phương trình dạng

4t 3 − 3t = m, với

+ Nếu

m ≤1

m=

3 3q
2p p

(3)

thì ta đặt m = cos α và phương trình (2) có 3 nghiêm

t1 = cos

α
3 ;

t2,3 = cos

α ± 2π
3

1
1 
m = d3 + 3 ÷
m ≥1
2
d  thì phương trình có nghiêm duy
+ Nếu
thì đặt

1
1  1

t =  d + ÷ =  3 m + m2 + 1 + 3 m − m2 + 1 ÷
2
d  2

nhất là

 Nếu p < 0 thì đặt

y = 2t

−p
3 ta sẽ được phương trình 4t 3 + 3t = m

1
1 
m = d3 − 3 ÷
2
d  với d 3 = m ± m 2 +1 .
Đặt

1

t =  3 m + m2 − 1 + 3 m − m2 − 1 ÷

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất 2 
Từ nghiệm t ta tính được nghiệm y và từ đó suy ra nghiệm x

Trang 10


Một số ứng dụng của lượng giác

x=2

p
3

ThS: Phan Thị Thái Hòa

13
 a
m + m2 − 1 + 3 m − m2 − 1 ÷−


2
 3.

I.V Công thức, định lý trong hình học phẳng
Trong tam giác ABC ta ký hiệu:
a, b, c tương ứng là độ dài các cạnh BC , AC , AB
S là diện tích , p là nửa chu vi tam giác ABC
ha , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ A , B , C
ma , mb , mc tương ứng là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A , B , C
R , r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

4.1 Định lý hàm số sin

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

4.2 Định lý hàm số cos :
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

4.3 Độ dài đường trung tuyến :

ma =

2c 2 + 2b 2 − a 2
2

4.4 Độ dài đường cao :
ha = b.sin C = c.sin B =

a.sin B.sin C
sin A
;

Trang 11

ha =

2S
a .


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

4.5 Diện tích tam giác :

S=

p ( p − a) ( p − b) ( p − c)

1

a 2 .sin B.sin C
S = a.ha =
2
2sin A

S=

abc
abc
⇒R=
4R
4S

S = 2 R 2 .sin A.sin B.sin C .

1
1
1
S = .a.b.sin C = .b.c.sin A = .a.c.sin B
2
2
2

V Đẳng thức lượng giác trong tam giác
sin ( A + B ) = sin C

cos ( A + B ) = − cos C

tan ( A + B ) = − tan C

cot ( A + B ) = − cot C

sin

A+ B
C
= cos
2
2

cos

A+ B
C
= sin
2
2

tan

A+ B
C
= cot
2
2

cot

A+ B
C

= tan
2
2 .

I. Trong chương trình toán học THPT, dãy số là một phần quan trọng của Đại
số & Giải Tích 11, học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán
liên quan đến dãy số như tính giới hạn hay xác định công thức số hạng tổng
Trang 12


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

2
quát của dãy số. Khi gặp các con số đặc biệt 2

;

3 1
2

; ; 2 ; 3 ...
2
có liên quan

đến các giá trị lượng giác thì ta cũng phải nghĩ đến việc sử dụng công cụ
lượng giác để giải chúng. Dưới đây là một số ví dụ ứng dụng của lượng giác
trong dãy số.

Bài 1.1 Cho dãy số (

un )


3
u1 =
2

u = 4u 3 − 3u , ∀n ≥ 2
n −1
n −1
có  n

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

( un ) .

Bài giải
Nhận xét: Từ công thức truy hồi của dãy, gợi nhớ đến công thức nhân ba của
3
hàm số cosin, bên cạnh đó số 2 có liên hệ với giá trị lượng góc đặc biệt.

Ta có

u1 =

3
π
= cos

2
6

u2 = 4cos3

π
π
3× π
− 3 cos = cos
6
6
6

3.π
3.π
32 × π
u3 = 4cos
− 3 cos
= cos
6
6
6
3

3n−1π
un = cos
6
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được
3


u1 =
2


u = 2 − un2−1 , ∀n ≥ 2
u
Bài 1.2 Cho dãy số ( n ) có  n

Trang 13


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

( un ) .

Bài giải
Nhận xét: Bài toán giấu đi tính lượng giác rất khéo, quan sát từ công thức
truy hồi của dãy, ta tạo ra công thức nhân đôi của hàm số cosin.
Vì vậy, đặt

Khi đó

3
π

− = cos α , α ∈  ; π ÷

4
2 
 3
u1 = −2 ×  − ÷ = −2cos α
4




u2 = 2 ( 1 − 2cos2 α ) = −2cos 2α
u3 = 2 ( 1 − 2cos 2 2α ) = −2cos 4α

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

Bài 1.3 Cho dãy số (

un )

un = −2 cos ( 2n−1α )

u1 = 3

u = un + 2 − 1 , ∀n ≥ 1
 n+1
1 − 2 un + 1
có 
. Tính

(

)

u2015

( Trích đề thi Olympic 30/40/2003)
Bài giải
Nhận xét: Quan sát từ công thức truy hồi của dãy, ta chú ý đến 2 công thức

sau

tan

π
π
= 2 -1
tan ( a + b ) = tan a + tan b
3 = tan
8
1 − tan a tan b , ngoài ra
3
và

Trang 14


Một số ứng dụng của lượng giác

Ta có

u1 = 3 = tan

ThS: Phan Thị Thái Hòa

π
3

tan π + tan π
3
8 = tan  π + π 
u2 =

÷
π
3 8
1 − tan . tan π
3

8



tan  π + π ÷+ tan π
8
π
π
3 8
u3 =
= tan  + 2 × ÷
8



3
1 − tan  π + π ÷. tan π
8
3 8

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

Vậy

π
π
un = tan  + ( n − 1) × ÷

 π 3π 
π
π
u2015 = tan  + 2014 × ÷ = tan  + ÷ = 2 − 3
3

8

3

4 

u0 = 1

1


u1 =
2

u = un +1 − un
u
u
Bài 1.4 Cho dãy số ( n ) có :  n + 2
. Tính 2015

Bài giải
Cách 1: Ta có

π
÷
 3
1
π
π
u1 = = cos = cos  1× ÷
2
3
 3
1
π
u2 = u1 − u0 = − = cos  2 × ÷
2
 3
u0 = 1 = cos 0 = cos  0 ×

Trang 15

3

8


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

Vậy

u2015 = cos

un = cos

nπ
3

2015 × π
π 1

= cos  672π − ÷ =
3
3 2.


Cách 2: Sử dụng phương trình sai phân tuyến tính bậc hai để tìm số hạng

tổng quát
2
● Phương trình đặc trưng λ − λ + 1 = 0 có nghiệm phức

λ1,2 =

1± i 3
2

1
3
1 π
A = ; B = ; r = 1; ϕ = arctan
=
2
2
3
3
Ta có

⇒ công thức số hạng tổng quát của dãy số có dạng

un = C1.cos

C1 cos 0 + C2 sin 0 = 0


π
π 1
C1 cos 3 + C2 sin 3 = 2

C1 , C2
●
là nghiệm của hệ phương trình

Vậy

un = cos

C = 1
⇔ 1
 C2 = 0

nπ
2015 × π 1
u2015 = cos
=
3 . Do đó
3
2.

Bài 1.5 Cho dãy số (

un )

n
lim un
có un = 2 × 2 − 2 + ... + 2 . Tìm n→+∞ .

Bài giải
Ta có

nπ
nπ
+ C2 .sin
3
3

2 = 2cos

π
4

Trang 16


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

2 + 2 = 2 + 2cos




π
π
π
π
= 2 1 + cos ÷ = 2 cos = 2 cos 3
4

4
8
2


2 + 2 + 2 = 2 1 + cos


π
π
π
= 2 cos 4
÷ = 2 cos
8
16
2

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được

Suy ra

Vậy

2 + ... + 2 = 2 cos

π
π
2 − 2 + ... + 2 = 2 1 − cos n+1 ÷ = 2 sin n+ 2
2


un = 2n+1 × sin

2



π
2n + 2
π 



Do dó

π
2n+1

 π sin 2n + 2 ÷ π
π 
 n +1
lim u = lim  2 × sin n+ 2 ÷ = lim  ×
=
n→+∞ n
n →+∞ 
π ÷ 2
2  n→+∞  2
÷

① Cho hai dãy số



2n + 2



.

( an ) , ( bn ) được xác định như sau

2015 + 2016

a
=
 1
2

 a = a1 + b1
 2
2

...

 a = an −1 + bn −1
 n
2
và

b1 = 2016 a1


b2 = a2 b1

...

a , lim bn
bn = an bn −1 . Tính nlim
→+∞ n
n →+∞
.

Trang 17


Một số ứng dụng của lượng giác

ThS: Phan Thị Thái Hòa

u0 = 2000

3
1

a
u
=
u
+
n
n

lim
 n +1
un2
(u )
② Cho dãy số n được xác định như sau 
. Tính n→+∞ n .

③ Cho dãy số (

④ Cho dãy số (

⑤Cho dãy số

un )

u1 = 2

lim un
u = 2 + un , ∀n ≥ 1
có  n+1
. Tìm n→+∞ .

un )

1

u1 =
2

u = 2u 2 − 1 , ∀n ≥ 2

n −1
có :  n
. Tính

( vn )

⑥ Cho dãy số (

un )

v1 = −1

v = vn + 2 − 1 , ∀n ≥ 1
 n+1 1 − 2 v + 1
n
có: 
. Tính

(

)

1

u
=
1

2



2 − 2 1 − un2−1

, ∀n ≥ 2
un =
2
có 

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

⑦ Cho dãy số (

un )

u2016

( un ) .

1

u1 = 3

u = u + 1 + u 2 , ∀n ≥ 1
n −1
n −1
có  n

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

Trang 18

( un ) .

v2016


Một số ứng dụng của lượng giác

⑧ Cho dãy số (

un )

ThS: Phan Thị Thái Hòa

u0 = 2

v0 = 1

u = 2un .vn
 n +1 un + vn

v = un +1.vn
v
và ( n ) có :  n+1
. Tính

v2015 và u2016

II. Trong chương trình Giải Tích 12, tích phân là một phần quan trọng và có
nhiều ứng dụng trong thực tế. Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến

số dạng lượng giác, học sinh thường lúng túng và gặp khó khăn không biết sử
dụng phép đặt lượng giác nào. Thông qua chuyên để này tôi xin hệ thống và
đưa ra những dấu hiệu nhận biết khi sử dụng phương pháp đổi biến dạng
lượng giác.
❶ Tính tích phân bằng phương pháp lượng giác ta thực hiện các bước sau
- Lựa chọn phép lượng giác hóa thích hợp.
- Chuyển các biểu thức đại số sang lượng giác, thực hiện phép đổi cận.
- Tính tích phân lượng giác thu được.
❷ Một số phép đặt lượng giác thường gặp.
Dấu hiệu

a2 − x2

Cách đặt

 π π
x =| a | sin t , t ∈  − , 
 2 2

( a > 0)
hoặc

x2 − a2 ( a > 0)

hoặc

Trang 19

x =| a | cos t , t ∈ 0, π 
x=

 π π
|a|
, t ∈  − ,  \ { 0}
sin t
 2 2

x=

π 
|a|
, t ∈ 0, π  \  
cos t
2


Một số ứng dụng của lượng giác

a2 + x2

ThS: Phan Thị Thái Hòa
 π π
x =| a | tan t , t ∈  − , ÷
 2 2

( a > 0)
hoặc

a+x
a−x

a − x hoặc a + x
( x − a)(b − x)

x =| a | cot t , t ∈ ( 0, π )
x = a cos 2t , t ∈ ( 0;π )

( a > 0)

x = a + ( b − a ) sin 2 t , t ∈ 0;π 

( a > 0)
2

Bài 2.1 Tính tích phân

I = ∫ 2 x − x 2 dx
1

.

(Trích đề thi thử_THPT chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai_2013)
Bài giải
2

Ta có

2

I = ∫ 2 x − x dx = ∫ 1 − ( x − 1) dx
2

1

2

1

π π

x − 1 = sin t , t ∈  − ; 
 2 2  . Suy ra dx = cos tdt
Đặt

Đổi cận

x = 1 thì t = 0 ; x = 2 thì t =

I=
Bài 2.2 Tính tích phân

3

∫1 x2

.

dx
4x2 − 3 .

Bài giải

Trang 20

π
2


Một số ứng dụng của lượng giác

x=

Đặt

Đổi cận
π
3

ThS: Phan Thị Thái Hòa

 π π
3 sin t
, t ∈  − ; ÷\ { 0}
dx
=
2 dt
2cos t
 2 2
2
c
os

t
. Suy ra

3

x =1

thì t =

π
6

; x= 3

thì t =

π
3 sin t
. 2
23
2
c
os
t
I=−
dt = cos t dt =
3π
3
 1


π
3
−
1
 2 ÷
6
6 4cos 2 t
 cos t 

∫

∫

1

I =∫
0

Bài 2.3 Tính tích phân

x3

( 1+ x )
2

3

π
3

2
sin t
3

π
3
=
π
6

3 −1
3

dx
.

(Trích đề thi thử _ THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Ngãi_ 2013).
Bài giải
 π π
x = tan t , t ∈  − ; ÷
 2 2 .
Đặt

Suy ra

(

)

dx = 1 + tan 2 t dt

Với x = 0 thì t = 0 ;
π
4

I=∫
0

π
4

(

tan t ( 1 + tan t )
2

3

( 1 + tan t )
2

3

x = 1 thì t =
π
4

dt = ∫
0

π
4
π
4

3

tan t

( 1 + tan t )
2

2

)

dt = ∫ ( sin t cos t − sin t cos3 t ) dt
0

π
4

1
1
 1

= ∫ − cos t + cos3 t d ( cos t ) =  − cos2 t + cos4 t ÷ =
4
16
 2


0
0

Trang 21


Một số ứng dụng của lượng giác

0

2+ x
dx
2− x

∫

I=

−2

Bài 2.4 Tính tích phân

ThS: Phan Thị Thái Hòa

.

Bài giải
Đặt

Với
π
4

I = −4 ∫
π
2

 π
x = 2cos 2t , t ∈  0; 
2

 . Suy ra dx = −4sin 2tdt



x = −2 thì t =

2 ( 1 + cos2t )
2 ( 1 − cos2t )

π
π
; x = 0 thì t =
2
4

2

π

2

π
4

π
4

π

.sin 2tdt = 8∫ cos 2 t dt = 4 ∫ ( 1 + cos2t ) dt
π
2

= ( 4t + 2sin 2t ) π

4

3
4

3 − 4x
dx
5
−
4
x
1
−
x

)
1(

I =∫
4

Bài 2.5 Tính tích phân

.

Bài giải
Đặt

Với

t = 1− x

⇒

t 2 = 1− x

x = 1 thì t = 3
4

2

;

⇒

2tdt = −dx .

x = 3 thì t = 1
4

33 3
2 2 2 32
−1+4t  2  2 1

I=2∫ 2dt= 2∫1− 2÷dt=24− ∫ 2dt
1+4t 1+ 4t 1 1+ 4t
1 1  1
22

2

2

Trang 22

2

= π − 2.


Một số ứng dụng của lượng giác

Đặt

1

2

t = tan u ⇒ dt =

ThS: Phan Thị Thái Hòa

(

)

1
1 + tan 2 u du
2
.

 π π
2
2t = tan u , u ∈  − ; ÷
2
dt
=
1
+
tan
u du
2
2

 . Suy ra
Đặt

(

t = 1 thì u = π
2
4 ;
Với
3π
23

Khi đó

3
π
thì u =
2
3

t=

π

1 1 13π
J= ∫ 2dt=∫ 2 . 1+tan2ud = uπ =
11+ 4t π 1+ tanu 2 224 4

()

24

V
Vậy

I = 3 −1−

π
6.

5
2

I =∫
7
4

Bài 2.6 Tính tích phân

dx

( −4 + 5x − x2 )

Bài giải
5
2

I =∫
Viết I lại dưới dạng

Đặt

7
4

dx
( x − 1) ( 4 − x ) 

3

 π
x = 1 + 3sin 2 t , t ∈  0; ÷
2


 .

Suy ra dx = 3sin 2t dt

Trang 23

3

.

)


Một số ứng dụng của lượng giác

x=

Với

5
π
thì t =
2
4

π
4

Vậy

I=∫

π
6

ThS: Phan Thị Thái Hòa

7 thì t = π

x=

;

3sin 2t

( 3sin t ( 3 − 3sin t ) )
2

2

6

4

3

dt =

π
4

π
4

6

6

8
1
4 3
 4

dt
=
−
cot

2
t
=
.
 9
÷
9 π∫ sin 2 2t
27

π

Bài 2.7 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường

C :x
và ( )

2

+ y2 = 8

.

Bài giải
● Phương trình tung độ giao điểm của hai

đồ thị hàm số

x=

y2

2

y2
2
2 và x = 8 − y là

= 8 − y2

⇔ y 4 + 4 y 2 − 32 = 0
⇔ y=±2

● Do tính đối xứng của đồ thị, nên diện tích hình phẳng là

Trang 24

( P) : y

2

= 2x


Một số ứng dụng của lượng giác
2

ThS: Phan Thị Thái Hòa

2

2


y2 
2
S = 2  8 − y − ÷dy = 2 8 − y 2 dy − y 2 dy 2
2 
0
0
0
y3

∫

∫

I=
Xét tích phân

2

∫0

∫

8
= 2I − = 2I −
30 3

8 − y 2 dy

 π π
y = 2 2 sin t , t ∈  − ; 
 2 2  . Suy ra dy = 2 2 cos tdt .
Đặt

Đổi cận
π
4

I = 8∫

y = 0 thì t = 0 ; y = 2 thì t =

1− sin 2 t .cos t dt

0

π
4

π
4
π

4

= 8∫ cos t dt = 4 ∫ ( 1+ cos2t ) dt
2

0

0

π
 1
4
= 4  t + sin2t ÷÷ = π
 2
0

+2

8
4
S = 2I − = 2π + ( dvdt )
3
3
Vậy
.
Nhận xét:

Do vai trò các trục tọa độ như nhau, nên có thể biểu diễn

phương trình các đường giới hạn hình phẳng là các hàm số của biến y và
công thức tính tích phân để tính diện tích tương ứng cũng theo biến y .

Tính các tích phân sau

Trang 25