(SKKN mới NHẤT) SKKN phương pháp tính tổ hợp xác suất

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT SÁNG SƠN
=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT
Tác giả sáng kiến: Hoàng Trung Hiếu
Mã sáng kiến: 18.52.06

Vĩnh phúc, năm 2019
1

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
“Phương pháp tính Tổ hợp - Xác suất” là một phần kiến thức quan trọng
trong chương trình tốn học trung học phổ thơng nói chung và tốn 11 nói riêng.
Đây là một phần có nhiều khái niệm tốn học liên quan đến thực tiễn. Hơn nữa với
thời lượng kiến thức trong sách giáo khoa rất hạn chế, chỉ dừng lại ở một số ví dụ
nhất định cho từng phần, cô đọng. Nên đa số học sinh nhận xét đây là một phần
khó, học sinh khơng nắm được hết các khái niệm và việc áp dụng các khái niệm đó
vào bài tốn cụ thể cịn gặp nhiều khó khăn. Chính vì điều này đã thơi thúc tơi cần
phải khơng ngừng học tập, nghiên cứu làm sao có thể truyền tải được phần kiến
thức này tới các em học sinh một cách đơn giản và nhẹ nhàng nhất, làm sao cho
các em có hứng thú học với phần này, từ đó các em sẽ chăm chỉ hơn và quan trọng
nhất là các em cịn có thể tự học tập ở nhà. Điều đó giúp các em tiến bộ hơn, nắm

được hết các cơng thức, các kiến thức hình học phẳng có liên quan và các kĩ năng
trình bày, đạt kết quả học tập cao hơn, giúp các em tự tin hơn trong các kì thi quan
trọng. Từ đó tơi mạnh dạn viết đề tài: “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” với
mong muốn một phần nào đó giải quyết được vấn đề trên.
2. Tên sáng kiến: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔ HỢP – XÁC SUẤT
3. Tên tác giả sáng kiến:
Họ và Tên: Hồng Trung Hiếu

Giới tính: Nam

Ngày sinh: 15.06.1983
Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn – Tin
Chức vụ: Giáo viên
Điện thoại: 0973363938
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THPT Sáng Sơn–Sông Lô–Vĩnh Phúc.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Thông qua giảng dạy, đối tượng là học sinh lớp
11 và học sinh ôn thi THPT quốc gia.
6. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 11, năm học 2017 – 2018.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
+ Trong đề tài “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” này có một sự cải
biến mới, thay vì các cách trình bày cũ với các cơng thức được trình bày trình tự,
2

download by :


các dạng tốn có ít ví dụ minh họa, như vậy chỉ phù hợp với những học sinh có
học lực khá trở lên, còn như vậy đối với học sinh có học lực yếu hơn sẽ khơng nắm
được hết các cơng thức, các kĩ năng tính tốn. Trong đề tài này thì các dạng bài tập
được trình bày theo dạng, có phân tích kỹ khi sử dụng cơng thức. Sáng kiến trình

bày những nội dung chính sau:
- Kiến thức cơ bản về qui tắc đếm gồm có qui tắc cộng và qui tắc nhân
- Kiến thức cơ bản hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
- Các dạng bài tập cơ bản và nâng cao
Sáng kiến này có thể áp dụng rộng rãi đối với nhiều đối tượng học sinh với
những điều kiện học tập khác nhau.
+ Với mục đích viết sáng kiến nhằm nâng cao chuyên môn, khả năng sư
phạm và quan trọng hơn đó là mong muốn làm sao truyền tải được đến các em học
sinh phần kiến thức này một cách dễ hiểu nhất, giúp các em hiểu bài, tự làm được
bài tập, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập và nâng cao khả năng tự
học. Sáng kiến còn là tài liệu cần thiết trong quá trình dạy học của bản thân, là tài
liệu để học sinh có thể tự học vì có nhiều ví dụ có lời giải dễ hiểu, và cịn là tài liệu
tham khảo cho đồng nghiệp.

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Tổ hợp - xác suất là một phần học đòi hỏi sự tư duy cao, học sinh cần phân
biệt rõ từng khái niệm, phân biệt sự khác nhau khi sử dụng từng khái niệm đó vào
bài tập. Đây là phần tương đối khó. Địi hỏi học sinh phải có tư duy tốt về cả hai
phần là phần khái niệm và áp dụng . Vì vậy học sinh học phần này cảm thấy rất
khó khăn. Đặc biệt đối với học sinh có học lực chỉ từ trung bình khá trở xuống.
Để khắc phục tình trạng trên khi dạy phần này giáo viên cần có những phương
pháp cụ thể như: chia các dạng toán hợp lý, đưa ra những phân tích, so sánh và
nhận xét cho từng phần, có ví dụ tương ứng với các dạng tốn. Với các ví dụ phù
hợp, có lời giải chi tiết giúp học sinh nắm được kiến thức một cách nhẹ nhàng.
Để học tốt phần này thì học sinh cần phải nắm được các phần chính sau:
- Các khái niệm
Các cơng thức
Các dạng bài tập
Sáng kiến “Phương pháp tính Tổ hợp – Xác suất” này sẽ phần nào giải
quyết được các vấn đề trên và nó cịn phù hợp với nội dung chương trình giảm tải.

3

download by :


Thống kê kết quả trước khi áp dụng sáng kiến qua bài kiểm tra, giảng dạy
trên lớp 11A1, 11A2 trong năm học 2017 – 2018 như sau:
Lớp
11A1

Ss
39

11A2

38

Số điểm < 5
4
10,26
%
5
13,15
%

Số điểm 5, 6
Số điểm 7, 8
Số điểm 9, 10
14
35,90% 15

38,46% 6
15,38%
15

39,47% 13

34,21% 5

13,17%

Sau đây là nội dung thực hiện sáng kiến:
1. BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN.
1.1. Kiến thức cơ bản.
a) Qui tắc cộng: Một cơng việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai
phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n
cách thực hiện và khơng trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì cơng việc
đó có m + n cách thực hiện.
b) Qui tắc nhân: Một cơng việc nào đó được thực hiện bởi hai hành động liên tiếp
A và B. Nếu hành động A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách
thực hiện hành động B thì cơng việc đó có m.n cách thực hiện.
c) Hoán vị: Cho tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này
theo một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị của n phần tử.
Số các hoán vị của n phần tử là:

Pn = n!

d) Chỉnh hợp: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp k phần tử
khác nhau của A (1  k  n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp
chập k của n phần tử của tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

 Khi k = n thì

= Pn = n!

e) Tổ hợp: Cho tập A gồm n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A

4

download by :


(1  k  n) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

 Qui ước:

=1

1.2. Các dạng bài tập
Sau đây là một số dạng bài tập sử dụng các qui tắc cộng, qui tắc nhân và các
khái niệm về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Bài tập được phân thành một số dạng sau:
1.2.1. Bài toán lập số, lập mã số
a) Một số ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1: Trên thẻ nạp tiền của mạng vinaphone có 12 chữ số xếp thứ tự được lấy từ
các chữ số từ 0 đến 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu thẻ nạp tiền như vậy?
Giải: Gọi mã số cần lập có dạng: a1 a2… a12, ai
Để lập mã số ta cần thực hiện liên tiếp các hành động
Chọn a1 có 10 cách

Chọn a2 có 10 cách
…

…

…

Chọn a12 có 10 cách
Theo qui tắc nhân có 1012 =1.000 000 000 000 (mã số)
Ví dụ 2: Một cánh cửa phịng được thiết kế đóng mở tự động bằng một bảng điều
khiển gồm 10 phím số từ 0 đến 9. Nếu muốn cửa mở thì cần nhập một mật khẩu
gồm 3 phím số khác nhau được nhấn liên tiếp. Hỏi có bao nhiêu cách để nhập một
mật khẩu như vậy?
Giải: Mỗi mật khẩu là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử
Số mật khẩu lập được là

(mật khẩu)

Nhận xét: Nếu lập mã số thì chữ số đứng đấu có thể bằng 0
5

download by :


Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) gồm 3 chữ số
b) gồm 3 chữ số khác nhau
Giải:
a) Gọi số tự nhiên cần lập
Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 3 hành động liên tiếp

sau:
Chọn a có 5 cách
Chọn b có 6 cách
Chọn c có 6 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.6.6 = 180 (số)
b) Gọi số tự nhiên cần lập
nhau

, a,b,c đôi một khác

Để lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta thực hiện 3 hành động liên tiếp
sau:
Chọn a có 5 cách
Chọn b có 5 cách, (b khác a đã được chọn)
Chọn c có 4 cách, (c khác a,b đã được chọn)
Theo qui tắc nhân có tất cả: 5.5.4 = 100 (số)
Nhận xét: Nếu lập số tự nhiên thì chú ý chữ số đứng đầu phải khác 0 để đảm bảo
số chữ số theo yêu cầu bài toán và phải xem các chữ số đó có u cầu khác nhau
khơng.
Ví dụ 4: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên
a) gồm 7 chữ số khác nhau
b) gồm 4 chữ số khác nhau
c) gồm 4 chữ số khác nhau và chữ số bên phải lớn hơn chữ số bên trái của số đó.
Giải:
a) Mỗi số tự nhiên cần lập là một hoán vị của 7 phần tử
6

download by :

Số các số cần tìm là
b) Mỗi số tự nhiên cần lập là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử
Số các số cần tìm là
c) Để lập số tự nhiên thỏa mãn đề bài ta thực hiện liên tiếp các hành động sau:
Chọn 4 chữ số khác nhau trong 7 chữ số đã cho có

cách

Sắp xếp 4 chữ số đã cho sao cho chữ số bên phải lớn hơn chữ số bên trái có
1 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả

(số)

Nhận xét: Các ý sử dụng hốn vị hoặc chỉnh hợp để đếm thì vẫn có thể sử dụng qui
tắc nhân để tính nhưng sẽ dài dịng hơn. Học sinh muốn sử dụng hốn vị, chỉnh
hợp thì cần phải hiểu rõ khái niệm và điều kiện để áp dụng được các khái niệm đó.
b) Lập số chia hết cho một số
Nhận xét: Một số dấu hiệu chia hết cho một số thường gặp
- Dấu hiệu chia hết cho 2: Số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8
- Dấu hiệ số chia hết cho 5: Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
- Dấu hiệu chia hết cho 3: Số có tổng các chữ số chia hết cho 3
- Dấu hiệu chia hết cho 9: Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
- Dấu hiệu chia hết cho 6: Số chia hết cho 2 và 3.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu
a) số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau
b) số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau.
Giải:
a) Gọi số tự nhiên cần lập là
Để lập số thỏa mãn yêu cầu ta thực hiện liên tiếp các hành động sau :

7

download by :


Chọn c có 4 cách
Chọn a có 7 cách
Chọn b có 7 cách
Theo qui tắc nhân ta có : 4.7.7 = 196 (số)
b) Gọi số tự nhiên cần lập là
TH 1: Nếu c = 0, (số có dạng

) ta thực hiện liên tiếp các hành động sau

Chọn a có 8 cách
Chọn b có 7 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả 8.7 = 56 (số)
TH2 : Nếu

ta thực hiện liên tiếp các hành động sau

Chọn c có 4 cách
Chọn a có 7 cách
Chọn b có 7 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả 4.7.7 = 196 (số)
Vậy có tất cả 56 + 196 = 252 (số)
Chú ý: Phần b) cịn có thể tính theo cách khác như sau:
+) Đếm tất cả các số có thể lập được gồm 3 chữ số khác nhau là

(số)

+) Vậy số các số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau là: 448 – 196 = 252(số)
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3
chữ số khác nhau chia hết cho 3?
Giải: Gọi số tự nhiên cần lập là
Vì

8

download by :


Ta có các bộ ba số có tổng chia hết cho 3 là: {1, 2, 3}, {1, 2, 6}, {1, 3, 5}, {1, 3,
8}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {1, 6, 8}, {2, 3, 4}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {2, 5, 8}, {3, 4, 5},
{3, 4, 8}, {4, 5, 6}, {5, 6, 7}, {6, 7, 8}.
Mỗi bộ số có thể lập được 3! số chia hết cho 3
Vậy số các số lập được là 16.3! = 96 (số).
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau
và chia hết cho 6?
Giải: Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3
+) Ta có các bộ 3 số khác nhau có tổng chia hết cho 3 là : {1, 2, 3}, {1, 3, 5},
{2, 3, 4}, {3, 4, 5}
+) Mỗi bộ số {1, 2, 3}, {3, 4, 5} lập được 2 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác
nhau
+) Bộ số {2, 3, 4} lập được 4 số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau
+) Bộ số {1, 3, 5} khơng lập được số tự nhiên chẵn.
Vậy có tất cả 2.2 + 4 = 8 (số chia hết cho 6)
c) Lập số lớn hơn hoặc nhỏ hơn một số cho trước
Ví dụ 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100?
Giải:

+) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có một chữ số lập được là 6 (số)
+) Số các số tự nhiên nhỏ hơn 100 có hai chữ số khác nhau lập được là 6.5 = 30
(số)
Vậy có tất cả 30 + 6 = 36 (số)
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ
số khác nhau và nhỏ hơn 5400?
Nhận xét: Giáo viên cần phân tích rõ cho học sinh các trường hợp có thể có của a
để chia trường hợp cho hợp lý.
9

download by :


Giải: Gọi số tự nhiên cần lập là

; a,b,c,d thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

TH1: a = 5. Ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
Chọn b có 3 cách
Chọn c có 5 cách
Chọn d có 4 cách
Theo qui tắc nhân có 3.5.4 = 60 (số)
TH2: a < 5 Ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
Chọn a có 4 cách
Chọn b có 6 cách
Chọn c có 5 cách
Chọn d có 4 cách
Theo qui tắc nhân có 4.6.5.4 = 480 (số)
Vậy có tất cả: 60 + 480 = 540 (số)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ

số trong nửa khoảng [3000; 4000) biết rằng
a) các chữ số của nó khơng nhất thiết phải khác nhau
b) các chữ số của nó khác nhau.
Giải:
Gọi số tự nhiên thuộc [3000;4000) có dạng
Đề lập số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán thực hiện liên tiếp các hành động
sau:
Chọn a có 5 cách
Chọn b có 5 cách
Chọn c có 2 cách
10

download by :


Theo qui tắc nhân ta có 5.5.2 = 50 (số)
b) Để lập được số dạng này ta cần thực hiện liên tiếp các hành động sau :
Chọn c có 2 cách
Chọn a có 3 cách
Chọn b có 2 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả 2.3.2 = 12 (số)
d) Lập số bắt đầu từ chữ số cho trước; có mặt chữ số yêu cầu; chữ số đứng cạnh
nhau
Ví dụ 1: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số khác nhau và bắt đầu bằng chữ số 23?
Giải: Gọi số tự nhiên cần lập có dạng
Mỗi số tự nhiên cần lập là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử
Vậy số các số lập được là:

(số)

Ví dụ 2: Biển số đăng kí xe máy của các tỉnh trong cả nước hiện nay ngồi 2 chữ
số kí hiệu mã tỉnh đầu tiên thì nó gồm 2 nhóm, nhóm 1 gồm 1 chữ cái trong 26 chữ
cái (không dùng chữ cái I và O) và một số trong các số từ 1 đến 9, nhóm 2 gồm 4
chữ số trong các số từ 0 đến 9 (ví dụ: 34 M4 2578). Hỏi trong một tỉnh số xe máy
được đăng kí nhiều nhất theo biển xe kiểu này là bao nhiêu?
Giải: Để tạo được một biển số xe như vậy ta phải thực hiện liên tiếp các hành động
sau:
Chọn chữ cái trong nhóm 1 có 24 cách (26 chữ cái khơng dùng hai chữ I và
O)
Chọn chữ số trong nhóm 1 có 9 cách (từ 1 đến 9)
Chọn 4 chữ số ở nhóm 2 có 104 cách
Theo qui tắc nhân có tất cả 24.9.104 = 2 160 000 (xe)
Ví dụ 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6 chữ số khác nhau chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
11

download by :


Giải: Đặt nhóm 2 chữ số 2,3 là x
+) Ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau có dạng
có chữ số 2 và số 3 đứng
cạnh nhau, trong đó chữ số a có thể bằng 0 hoặc khác 0
Hoán vị x và các chữ số 0, 1, 4, 5 có 5! cách
Hốn vị chữ số 2, 3 có 2 cách
Vậy có 2.5! = 240 (số)
+) Tiếp theo ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau có dạng

trong đó a = 0

Hốn vị x và các chữ số 1, 4, 5 có 4! cách
Hốn vị chữ số 2, 3 có 2 cách
Vậy có 2.4! = 48 (số)
Vậy cần tìm là: 240 – 48 = 192 (số)
1.2.2. Bài tốn liên quan đến đội, nhóm người
Ví dụ 1: Một đội học sinh giỏi của một trường THPT có 7 học sinh khối 12, 6 học
sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 8 học sinh đi dự
trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn?
Giải: Tổng số học sinh giỏi là 18 (học sinh)
Nhận xét: Khi chọn ra 8 học sinh bất kì có thể xảy ra 3 trường hợp: Thuộc cùng
một khối, hoặc thuộc 2 khối, hoặc thuộc cả 3 khối. Nhưng trường hợp 8 hs thuộc
cùng một khối khơng xảy ra nên ta có cách làm sau.
+) Số cách chọn ra 8 học sinh bất kì là

cách

+) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối 10 và 11 là
+) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối là 10 và 12 là
+) số cách chọn ra 8 học sinh thuộc hai khối 11 và 12 là

cách
cách
cách

12

download by :

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là
(cách)

-(

+

+

) = 41811

Ví dụ 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 23 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Giáo
viên cần chọn 4 học sinh lên bảng làm bài tập. Tính số cách gọi sao cho 4 học sinh
được gọi có số nam nhiều hơn số nữ?
Giải:
Nhận xét: Giáo viên cần phân tích các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 4 học
sinh bất kỳ từ đó sẽ xuất hiện trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Các trường hợp chọn thỏa mãn:
Chọn 4 nam, 0 nữ có

cách

Chọn 3 nam, 1 nữ có

cách

Theo qui tắc cộng ta có

+

= 38 962 (cách)

Ví dụ 3 : Một đội có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam.
Có bao nhiêu cách chọn một đồn cơng tác gồm 3 người trong đó có cả nam và nữ
và cần có cả nhà tốn học và vật lý học.
Giải : Tổng số người trong đội là 5 + 3 + 4 = 12 (người)
Các trường hợp thỏa mãn là
Chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lý nam có

cách

Chọn 1 nhà tốn học nữ, 1 nhà tốn học nam, 1 nhà vật lý nam có
cách
Chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lý nam có
Theo qui tắc cộng ta có

+

+

cách

= 90 (cách)

Ví dụ 4 : Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền
núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
13

download by :

Giải : Đội có 15 người chia đều cho 3 đội thì mỗi đội có 5 người
Gọi tên ba tỉnh là A, B, C.
Để thực hiện công việc ta thực hiện liên tiếp các hành động sau
Chọn 4 nam về tỉnh A có

cách

Chọn 4 nam về tỉnh B có

cách

Chọn 4 nam về tỉnh C có

cách

Chia 3 nữ mỗi nữ về một tỉnh có 3! cách
Theo qui tắc nhân ta có :

.

.

.3 ! = 207 900 (cách)

1.2.3. Bài tốn liên quan đến hình học
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH, hỏi có tất cả bao nhiêu vecto khác
vecto khơng có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho ?
Giải :

+) Mỗi vecto là một chỉnh hợp chập 2 đỉnh của 8 đỉnh đã cho.
+) Vậy số vecto là

(vecto)

Vậy có 56 vecto
Ví dụ 2: Tính số đường chéo của lục giác đều ABCDEF.
Giải:
+) Số tất cả các đoạn thẳng có thể tạo ra từ 6 đỉnh của hình lục giác đều là
(đoạn)
+) Số cạnh của hình lục giác đều là 6 (cạnh)
+) Vậy số đường chéo của hình lục giác đều là

– 6 = 9 (đường chéo)

Chú ý : Công thức tính số đường chéo của một đa giác n cạnh là
chéo)
14

download by :

(đường


Ví dụ 3: Một đa giác có số đường chéo là 35. Tính số cạnh của đa giác đó ?
Giải : Gọi số cạnh đa giác là n,
Ta có

.

. Giải phương trình ta được n = 10 (cạnh)

Ví dụ 4 : Cho đường thẳng d1 .Ta lấy 6 điểm phân biệt thuộc d1 và 7 điểm phân biệt
không thuộc d1 sao cho không 3 điểm nào thẳng hàng (trừ 6 điểm thuộc d1). Hỏi có
thể tạo được bao nhiêu tam giác từ các điểm đã cho ?
Giải:
TH1: Số tam giác được tạo bởi 2 điểm trên d1 và 1 điểm không thuộc d1 là
tam giác
TH2: Số tam giác được tạo bởi 1 điểm trên d1 và 2 điểm không thuộc d1 là
tam giác
TH3: Số tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng từ 7 điểm phân biệt
không thuộc d1 là

tam giác

Vậy tổng số tam giác có thể tạo được là

+

+

=266 (tam giác)

Ví dụ 5: Cho 5 đường thẳng song song và 8 đường thẳng vng góc với 5 đường
thẳng song song đã cho đó. Hỏi các đường thẳng đó tạo nên tất cả bao nhiêu hình
chữ nhật?
Giải:
Mỗi hình chữ nhật được tạo bởi 4 đường thẳng là 2 đường thẳng song song và hai
đường thẳng vng góc.
Vậy số hình chữ nhật có thể tạo thành là:

(hình chữ nhật)

Ví dụ 6. Tính số hình chữ nhật được tạo thành từ 4 trong 20 đỉnh của đa giác đều
có 20 cạnh nội tiếp đường trịn tâm O
Giải : Nhận thấy các hình chữ nhật được tạo thành có 2 đường chéo là đường kính
của đường trịn. Vẽ đường thẳng d qua tâm O và khơng qua đỉnh của đa giác đều
thì d chia đa giác thành 2 phần, mỗi phần có 10 đỉnh. Suy ra số đường chéo của đa
giác đi qua tâm O là 10. Chọn 2 trong 10 đường chéo thì lập được 1 hình chữ nhật.
15

download by :


Vậy có

hình chữ nhật.

Ví dụ 7. Cho đa giác đều có 2n cạnh nội tiếp đường trịn tâm O. Biết số tam giác có
các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh của đa giác nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các
đỉnh là 4 trong 2n đỉnh của đa giác. Tính số hình chữ nhật.
Giải :
+) Lý luận tương tự câu 65 ta có

hình chữ nhật.

+) Số tam giác tạo thành từ 3 trong 2n đỉnh của đa giác là

.

+) Từ giả thiết ta có:
.
Vậy có

hình chữ nhật.

1.2.4. Bài tốn liên quan đến nhóm bi, thẻ số và một số bài tốn khác
Ví dụ 1: Từ một hộp đựng 8 bi xanh, 7 bi đỏ, 6 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi.
Tính số cách chọn để
a) 3 bi cùng màu.
b) 3 bi có 2 màu.
Giải :
a) Chọn 3 bi cùng màu có thể là cùng màu xanh hoặc cùng đỏ, hoặc cùng vàng.
Vậy số cách chọn 3 bi cùng màu là:
b) Số cách chọn 3 bi bất kì là

(cách)

cách

số cách chọn được 3 bi khác màu nhau là

cách.

Vậy số cách chọn 3 bi có hai màu là

(cách)
16

download by :

Ví dụ 2: Cho tập hợp X gồm 10 phần tử khác nhau. Tính số tập hợp con khác rỗng
chứa một số chẵn các phần tử của X.
Giải:
+) Số tập hợp con chứa 2 phần tử của X là

.

+) Số tập hợp con chứa 4 phần tử của X là
+) Số tập hợp con chứa 6 phần tử của X là
+) Số tập hợp con chứa 8 phần tử của X là

.

+) Số tập hợp con chứa 10 phần tử của X là 1.
Vậy có

+

+

+

+1 = 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 tập hợp.

Ví dụ 3: Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng.
Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho khơng có đủ 3 màu.
Giải:
+ TH1: chọn 4 bi đỏ hoặc trắng có

cách.

+ TH2: chọn 4 bi đỏ và vàng hoặc 4 bi vàng có
+ TH3 chọn 4 bi trắng và vàng có
Vậy có

+

+

cách.
cách.

= 126 + 209 + 310 = 645 cách.

Cách khác:
+) Loại 1: chọn tùy ý 4 trong 15 viên bi có

cách.

+) Loại 2: chọn đủ cả 3 màu có 720 cách gồm các trường hợp sau:
- Chọn 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi vàng có 180 cách.
- Chọn 1 bi đỏ, 2 bi trắng và 1 bi vàng có 240 cách.
- Chọn 1 bi đỏ, 1 bi trắng và 2 bi vàng có 300 cách.
17

download by :

Vậy có 1365 – 720 = 645 cách.
Ví dụ 4: Giải vơ địch bóng đá Quốc gia có 14 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1
lượt, biết rằng trong 1 trận đấu: đội thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm và
có 23 trận hịa. Tính số điểm trung bình của 1 trận trong tồn giải.
Giải: Do thi đấu vòng tròn 1 lượt nên 2 đội bất kỳ chỉ đấu với nhau đúng 1 trận.
Số trận đấu của giải là

.

+) Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận hòa là 2 nên tổng số điểm của 23 trận hòa là
2.23 = 46.
+) Tổng số điểm của 2 đội trong 1 trận khơng hịa là 3 nên tổng số điểm của 68
trận khơng hịa là 3.68 = 204.
Vậy số điểm trung bình của 1 trận là

điểm.

Ví dụ 5: Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Tính số cách lấy ngẫu
nhiên 5 thẻ sao cho tổng số ghi trên 5 thẻ đó là một số chẵn.
Giải:
TH1: Chọn được 1 thẻ ghi số chẵn và 4 thẻ ghi số lẻ có

cách

TH2: Chọn được 3 thẻ ghi số chẵn và 2 thẻ ghi số lẻ có

cách

TH1: Chọn được 5 thẻ ghi số chẵn và 0 thẻ ghi số lẻ có 1 cách
Vậy có

+

+1 = (cách)

1.2.5. Bài tốn giải phương trình, bất phương trình tổ hợp
Cơng thức:
1) Pn = n!,

2)

3)
18

download by :


Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
Giải:
+) Điều kiện:
+) Phương trình đã cho tương đương

Đối chiếu với điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là (x;y) thỏa mãn
,

.

Ví dụ 2: Giải phương trình :
Giải:
+) Điều kiện: n

¿

6, n

+) Biến đổi phương trình đã cho 

⇔

⇔

n2 – n = 30n –150

n2 – 31n + 150 = 0

[n=25 [
[n=6

+) Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của PT đã cho là n = 6; n = 25
Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:

Giải:
+) Điều kiện:

(*)
19

download by :

+) Biến đổi bất phương trình về dạng:

+) Kết hợp với Điều kiện (*) ta được nghiệm của bất phương trình là:
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
Giải:
+) Điều kiện:
+) Biến đổi phương trình tương đương

+) Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.
2. BÀI TỐN SỬ DỤNG CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON
2.1. Kiến thức cơ bản
Công thức nhị thức Niuton

Chú ý:
+) Trong khai triển trên có n +1 số hạng
+) Số hạng

gọi là số hạng tổng quát

+) Hệ số của các số hạng đứng cách đều hai số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
20

download by :


2.2. Các dạng bài tập
2.2.1. Sử dụng công thức nhị thức Niuton để khai triển, tìm số hạng, tìm hệ số.
Ví dụ 1: Cho
thức của P(x).

. Tìm hệ số của x10 trong dạng khai triển thành đa

Giải:

Vậy hệ số của x10 là
Ví dụ 2: Khai triển và rút gọn đa thức:
ta được đa thức:

. Xác định hệ số a9 .

Giải:
+)
+)
+)
+)
+)
+)
Hệ số a9 =

= 3033

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:

Ta thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:

21

download by :

 Số hạng thứ 4:
 Số hạng thứ 5:
Với hệ số của x8 là:

= 238

Ví dụ 4:

a) Tìm hệ số x8 trong khai triển

.

b) Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức

bằng 1024.

của số hạng ax12 trong khai triển đó.

Hãy tìm hệ số a
Giải:

a) Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là:

,
Ta có:
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 có hệ số là:
b) Ta có:
Với x = 1 thì:
Do đó hệ số a (của x12) là:
Ví dụ 5: Khai triển đa thức:

Tìm max

.

.

Giải:
Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra:

22

download by :


Từ đây ta có hệ phương trình:

Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
Giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển:
Ứng với số hạng không chứa x ta có:
Vậy số hạng khơng chứa x trong khai triển

là:

Ví dụ 7: Cho khai triển nhị thức:

Hãy tìm số hạng

lớn nhất.

Giải:

Ta có:
Ta có ak đạt được max

23

download by :

với


Vậy max
2.2.2. Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.
Ví dụ 1: Tính tổng
Giải:
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a = 3, b = -1.
Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16 = 216
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Giải:

Lấy (1) + (2) ta được:

Chọn x = 3 suy ra:

24

download by :

3. BÀI TỐN TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
3.1. Kiến thức cơ bản
a) Định nghĩa: Cho biến cố A có liên quan đến một phép thử có khơng gian mẫu là

. Khi đó tỉ số

được gọi là xác suất của biến cố A.

Kí hiệu:
b) Cơng thức cộng xác suất

c) Cơng thức nhân xác suất
Định nghĩa: Cho hai biến cố có liên quan đến một phép thử. Hai biến cố đó được
gọi là độc lập nếu xác suất xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra
của biến cố kia.
A và B độc lập khi và chỉ khi
d) Tính chất

3.2. Các dạng bài tập
3.2.1. Tính xác suất của biến cố dựa vào định nghĩa cổ điển.
Ví dụ 1: Chọn ngẫu nhiên 2 lá bài trong bộ bài 52 lá. Tính xác suất để trong 2 con
được chọn có đúng 1 con át.
Giải: Số phần tử của khơng gian mẫu:

.

Gọi A: “Trong 2 con được chọn có đúng một con át”
Bộ bài có 4 con át nên có

cách chọn quân át

25

download by :