(SKKN mới NHẤT) SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM dãy số và giới hạn số

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG
TỔ HÀNH CHÁNH

ĐỀ TÀI:

Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH
Năm học 2011-2012

download by :


2

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do
trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, được học
tập các chuyên đề do các giảng viên, các chun gia Tốn của Bộ trình bày và được sự
động viên của thầy Trương Thành Phú chun viên mơn Tốn của Sở Giáo dục và đào
tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hồn chỉnh, cụ thể hố
các chun đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung
của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia.
Trong những năm gần đây bộ mơn Tốn của tỉnh Tiền Giang đã có những
tiến bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần
đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là khơng cịn phân chia hai
bảng A, B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung tồn quốc. Đề thi khó hơn và
khối lượng kiến thức nhiều hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh mơn Tốn
tỉnh nhà.
Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chun đề này là
việc cần thiết trong tình hình hiện nay. Được sự ủng hộ của các thầy cơ trong tổ Tốn
trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề: “ Dãy số và giới

hạn dãy số”.
2. Mục tiêu nghiên cứu:
Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng kiến thức về Dãy số
mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Phương pháp sai phân, phương trình sai
phân, dãy trung bình Cesaro, giới hạn kẹp, liên hệ giữa dãy số và hàm số ,....giúp cho học
sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng lý thuyết dãy số vào giải các bài tốn về hàm
số, phương trình hàm đồng thời định hướng quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề, rèn

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


3

luyện tư duy sáng tạo toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong giải các bài toán
mới.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Hệ thống kiến thức về dãy số, phân dạng bài tập và hướng dẫn giải các bài
tập áp dụng.
Tùy theo từng nội dung của các vấn đề về dãy số, chúng tơi chọn lọc một số
bài tập có các kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức,
phương trình hàm, … mà trong các kỳ thi học sinh giỏi tốn thường hay gặp.
Vì đây là chuyên đề nâng cao về dãy số để rèn luyện kỹ năng giải Toán cho
học sinh giỏi nên chúng tơi khơng trình bày hệ thống lý thuyết về dãy số, coi như học
sinh chuyên Toán phải biết trong chương trình chính khóa về dãy số để làm cơ sở cho
việc học chuyên đề này.
Rèn luyện tư duy giải toán thông qua giải các bài tập về dãy số và áp dụng

dãy số để giải toán đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ mơn
Tốn của tỉnh Tiền Giang.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt
bồi dưỡng để trình bày hệ thống các bài tốn về Dãy số và giới hạn dãy số thường gặp
trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán.
- Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại bài tập,
nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để học sinh cùng trao đổi nghiên cứu.
- Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các hướng dẫn.
- Chúng tơi khơng trình bày chi tiết các lời giải mà chỉ định hướng cách giải,
phần giải quyết chính dành cho học sinh.Tuy nhiên trước khi hướng dẫn chúng tôi cho
học sinh tự giải quyết vấn đề một cách độc lập để phát hiện từ các em nhiều cách giải
hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


4

- Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn
phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán.
5. Một số kết quả đạt được
Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để
giải các bài tập về Dãy số và giới hạn dãy số đồng thời áp dụng dãy số để giải các bài
toán về hàm số .
Qua chuyên đề này giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức về Dãy số và giới
hạn dãy số và các kiến thức khác như : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Tổ

hợp,…
Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao
khác.

II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1. Các bài tập về Dãy số và giới hạn dãy số thường gặp trong các đề thi học sinh
giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một chuyên đề Dãy số phong phú nên
chúng tôi viết chuyên đề: “ Dãy số và giới hạn dãy số” để phục vụ giảng dạy cho học
sinh Đội tuyển tỉnh nhà.
2. Đề tài được chia làm 9 chương:
Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


5

Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ

Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO

Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC
Trong mỗi chương sau phần trình bày các vấn đề có liên quan là hệ thống
bài tập có hướng dẫn.
Dù cố gắng nhiều nhưng đề tài khơng tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được
sự đóng góp từ các đồng nghiệp mơn Tốn của tỉnh nhà.
Sau đây và trình bày phần nội dung của đề tài.

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


6

MỤC LỤC
------I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục tiêu nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phương pháp nghiên cứu
5. Một số kết quả đạt được

II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ

Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ

Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO

Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


7

NỘI DUNG
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
I.1. Định nghĩa sai phân. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên D. Giả sử giá trị của
f ( x ) tại các điểm x0 , x0  h, x0  2h,..., x0  nh,... ( h là một hằng số) tương ứng là:
y0 , y1 , y2 ,..., yn ,... Khi đó ta gọi hiệu: yi  yi  yi 1 là sai phân cấp 1 của hàm f với mọi i =

1, 2, ….  2 yi  yi  yi 1  ( yi  yi 1 )  ( yi 1  yi  2 )  yi  2 yi 1  yi 2 là sai phân cấp 2 của hàm
f với mọi i = 1, 2, …Cứ như thế ta có thể định nghĩa sai phân cấp cao hơn.
I.2. Tính chất của sai phân:
- Sai phân mọi cấp đều có tính tuyến tính tức là  k ( f  g )   k ( f )   k ( g )
- Sai phân cấp k của một đa thức bậc n bằng 0 khi k > n; bằng hằng số khi
k=n
n

- Tổng

 y

i

 ( y1  y0 )  ( y2  y1 )  ...  ( yn  yn 1 )  yn  y0

i 1

n

Do đó để tìm tổng T   uk ta thường biểu diễn số hạng tổng quát uk  ak  ak 1 với
k 1

n

n

mọi k = 1,2,…,n . Khi đó T   uk   (ak  ak 1 )  an  a0
k 1

k 1

I.3. CÁC BÀI TOÁN:

1
1
Bài 1: Cho dãy số (an ) thỏa a0  ; ak  ak 1  ak21 (k  1,2,..., n) .
2
n
CMR: 1 

1
 an  1
n

Hướng dẫn: Ta có

1
 a0  a1  ...  an . Từ
2

n (ak  ak 1 )  ak21  n(ak  ak 1 )  ak ak 1  ak21  ak ak 1
 (n  ak 1 )(ak  ak 1 )  ak ak 1
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :

8



1
1
1
 
( 1) .Vì ak  0 nên
ak 1 ak n  ak 1

n
1
1 1
1
1
1 1
   (
 )  1    1  an  1 . Mặt khác
ak 1 ak n
ak
a0 an
k 1 ak 1

1
1
1
1
1 1
n

1
 

  
 an  1  .
ak 1 ak n  ak 1 n  1 a0 an n  1
n
Nhận xét: Để chặn an ta biến đổi đẳng thức đã cho về (1) nhằm xuất hiện hiệu

1
1

sau đó áp dụng phương pháp sai phân để tính tổng.
ak 1 ak
1
Bài 2: Cho dãy số (an ) thỏa a1  ; an1  an 2  an (n  1) .Tìm phần nguyên của
2
100

1
n 1 an  1

T 

Hướng dẫn: an 1  an (an  1) 

1
1
1
1

1
1
1

 

 
an1 an (an  1) an an  1 an  1 an an1

100

1
1
1
1
 
2
. Vì a101  1 nên 1  T  2  [T ]  1
a

1
a
a
a
n 1 n
1
101
101

Từ đó suy ra T  

Nhận xét: Phần nguyên của số thực a là số nguyên lớn nhất khơng vượt q a và kí
hiệu là [a]. Do đó nếu n là số nguyên và n  a  n  1 thì [a] = n

2
xn
Bài 3: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  ; xn 1 
.
3
2(2 n  1) xn  1
2001

Tính

 x ( QG 2001)
i

i 1

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


9

Hướng dẫn: xn  0, n . Đặt un 

2
ta được
xn

un1  4(2n  1)  un  un 1  un  4(2n  1)  un  4n 2  1 .
xn 

2
1
1
1
4002


 S 2001  1 

un 2n  1 2n  1
4003 4003

Nhận xét: Bài này dùng đổi biến để áp dụng phương pháp sai phân.

1
1
Bài 4: Cho an  1   ... 
. CMR:
3
2n  1
Hướng dẫn:

1

1

2
(2k  1)ak (2k  1)(a 
k 1

n

1

 (2k  1)a

2
k

k 1

1
)a
2k  1 k



2

1
1
1



(2k  1)ak 1ak ak 1 ak
n

1
i 1 ui

2
n

Bài 5: Cho dãy số (un ) thỏa u1  2; un1  u  un  1 . Tìm lim 

Hướng dẫn: (un ) là dãy tăng và un  2, n nên nếu (un ) bị chặn trên thì tồn tại

lim un  a . Khi đó a  a 2  a  1  a  1 ( Vô lý).Vậy (un ) khơng bị chặn trên do đó
lim un   . Ta có

un1  1  un (un  1) 

1
un1  1



n
1
1
1
1
1


   1
1
un (un  1) un  1 un
u
u

1
k 1 k
n 1

Nhận xét: - Dãy (un ) tăng bị chặn trên hoặc (un ) giảm bị chặn dưới thì tồn tại giới
hạn hữu hạn lim un ( ta nói dãy (un ) hội tụ)
- Dãy (un ) tăng và khơng bị chặn trên thì lim un   .
n

2
n

Bài 6: Cho a > 0 và dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn 1  ax  xn . Tìm lim 
i 1

xi
xi 1

Hướng dẫn: ( xn ) là dãy tăng và xn  1, n nên nếu ( xn ) bị chặn trên thì tồn tại

lim xn  b . Khi đó b  ab 2  b  b  0 ( Vô lý).Vậy ( xn ) khơng bị chặn trên do đó
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


10

lim xn   . Ta có

xk 1  xk
xk2
x
1 1
1 
xk 1  ax  xk  xk 1  xk  ax 
 a.
 k   

xk xk 1
xk xk 1
xk 1 a  xk xk 1 
2
k

2
k

n

xk
1

1  1
 1 

x
a
x
a
k 1 k 1
n 1 




Bài 7: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1 . Tìm
n

lim 
i 1

1
xi  2

Hướng dẫn: Ta có xn1  xn2  3xn  1 bằng quy nạp chứng minh xn  3n 1 , n  2 suy
ra lim xn   .

xn1  1  ( xn  1)( xn  2) 

1
1
1

1
1
1


 yn  

xn  2 xn  1 xn1  1
2 xn1  1 2
n

Bài 8: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  3; xn1  xn2  3xn  4 . Tìm lim 
i 1

1
xi  1

Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) là dãy tăng và lim xn   . Ta có
n
1
1
1
1
1



1
1
xn  1 xn  2 xn1  2

xn1  2
k 1 xk  1
n
1
1
Bài 9: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  ( xn2  1) . Tìm lim 
2
i 1 xi  1

Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) là dãy tăng và lim xn   . Ta có
n
1
1
1
1
1



1
1
xn  1 xn  1 xn1  1 k 1 xk  1
xn1  1
n

1
i 1 ui

Bài 10 : Cho dãy số (un ) thỏa u1  1; un1  1  u1u2 ...un 1un . Tìm lim 

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


11

Hướng dẫn: un1  1  u1u2 ...un1un  un (un  1); un  1, n .
n
1
1
1
1

 (n  2)    2 
2
un1  1 un  1 un
un1  1
k 1 uk

1

( vì un1  1  u1u2 ...un  u1 (1  u1 ) n1  2 n1   )
Nhận xét: Nếu un  vn và lim vn   thì lim un   .

un2  aun
Bài 11 : Cho dãy số (un ) thỏa u1  2; un 1 
( a  0) .

a 1
n

ui
i 1 ui 1  1

Tìm lim 

Hướng dẫn: un  1, n và un1 

un (un  1)
 un suy ra (un ) là dãy tăng.
a 1

Chứng minh (un ) khơng bị chặn trên do đó lim un   . Ta có
n
 1
un
1 
uk
1
 (a  1) 

 (a  1)(1 
)  a 1
 
un1  1
un1  1
 un  1 un1  1  k 1 uk 1  1

1
Bài 12: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  ; xn1 
2

n
xn21  4 xn1  xn 1
1
và yn   2 . CMR
2
i 1 xi

( yn ) có giới hạn và tìm giới hạn đó (QG 2009)
Hướng dẫn: xn  0, n  1 . Với n  2 ta có

2 xn  xn1  xn21  4 xn 1  xn1  xn2  xn xn1 

1
1
1



xn2 xn 1 xn

n

n
 1
1
1

1
1
1
yn   2  2   
   6  .Dãy   giảm bị chặn dưới và từ
x1 i1  xi 1 xi 
xn
i 1 xi
 xn 

1
1
1
1


suy ra lim  0  lim yn  6
2
xn xn 1 xn
xn
Bài 13: Cho dãy số (an ) thỏa a1  5; an  ann11  2 n1  2.3n 1 ( n  2) .
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


12

Xác định (an ) và chứng minh (an ) là dãy giảm (QG 2010)
Hướng dẫn:
n

ann  ann11  2 n1  2.3n1  ann  a11   (2k 1  2.3k 1 )  2 n  3n  an  2n  3n
k 2

ann1  n 2 n  3n (2n  3n )  3(2 n  3n )  2 n1  3n 1  an  an1
Bài 14: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn 

2 n n1
 xi (n  2) và yn  xn1  xn . CMR
(n  1)2 i1

tồn tại giới hạn hữu hạn lim yn ( QG 2011)
Hướng dẫn: Với n  1


2(n  1) n
2(n  1)  (n  1)2
(n  1)(n 2  1)
x
1 x
xn1 
xi 
 1 xn 
xn  n1  (1  2 ) n


2

2
3
n
n
n
n 1
n n
i 1
 2n

n  2 ta có
 (n  1)(n 2  1) 
n 2  n  1 xn
n  1 n1
1
yn  xn 1  xn  
 1  xn 
.  (1  2 ) (1  2 )
3
2
n
n
n
n k 1
k


y1  3, yn  0, n  1 .
Với n  3:

yn n 2  n  1 (n  1)2 
1 
1

.
. 1 
1 4
 1  ( yn ) tăng
2
2
2 
yn 1
n
(n  1)  n  (n  1) 
n  n3  n 2
n 1

1

n 1
2

1
2
k 1 k
n  2 n  1  n và  (1  2 )  1 
k
n 1

k 1











n 1

n 1

1
  k2
 yn  2 1  k 1
n 1




n 1

n 1
1
1
1
2 


Mà  2  1  
2
 2  yn  2  1 

n 1
 n 1 
k 1 k
k  2 k ( k  1)








n 1

n 1

 2e 2

Một số bài tập thêm về phương pháp sai phân:
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :

13

1. Cho an 

2001
1
. Tìm S   ak
(n  1) n  n n  1
k 1

( Thi HSG Tỉnh Tiền Giang 2001)
2. Dùng phương pháp sai phân hãy tìm quy luật của dãy số sau:
2, 2, 8, 26, 62, 122, 212, 338,…
3. Cho T = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 +…+ n(n+1)(n+2). CMR 4T + 1 là số chính phương.
4. Cho an 

2
. CMR
(2n  1)( n  n  1)

n

a

k



k 1

n
n2

 2012  2k 
 . CMR (un ) là dãy dừng
2k 1 
k 0 
n

5. Cho un   

( Kí hiệu [a] là phần nguyên của a , (un ) là dãy dừng nếu un là hằng số kể từ giá trị n
nào đó trở đi)
Hướng dẫn:Chứng minh [2a]-[a] = [a + 1/2]
106

6. Tìm phần nguyên của S  
k 0

1
k

Hướng dẫn:Chứng minh 2( n  1  n ) 

1
 2( n  n  1)
n

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN
n

- Nếu un  xn  xn1 thì xn  ( xn  xn1 )  ( xn1  xn 2 )  ...  ( x1  x0 )  x0   uk  x0
k 1

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


14

- Nếu un1  un , n thì un  u1 , n
CÁC BÀI TOÁN

xn21  2
Bài 15: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  x2  1; xn 
. CMR xn  Z với mọi n
xn2
Hướng dẫn:
Cách 1: ( Tuyến tính hóa) Giả sử xn  axn1  bxn2  c , tìm x3 , x4 , x5 rồi giải hệ tìm
được a  4, b  1, c  0 . Bằng quy nạp chứng minh xn  4 xn1  xn 2
Cách 2: ( lùi dần)

 xn xn2  xn21  2
2
2
 x x  x 2  2  xn xn2  xn  xn 1  xn1 xn 1  xn ( xn  xn2 )  xn1 ( xn 1  xn1 )
 n1 n1

n
xn  xn2 xn 1  xn1
x x
x  xn 2
x x


 n1 n1  n
 ...  3 1  4
xn 1
xn
xn
xn 1
x2
 xn  4 xn 1  xn2
Bài 16: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn 1  5 xn  24 xn2  1(n  1) . CMR xn  Z với
mọi n
Hướng dẫn:

 x 2  10 xn xn 1  xn2  1
( xn1  5 xn )2  24 xn2  1   n21
2
 xn 2  10 xn1 xn2  xn1  1
 ( xn2 2  xn2 )  10 xn1 ( xn 2  xn )  0
 ( xn 2  xn )( xn2  xn  10 xn1 )  0
Vì xn2  xn nên xn2  xn  10 xn1  0 , x1, x2 là số nguyên nên theo quy nạp xn  Z với
mọi n
Tổng quát: a , b, c  Z ; a 2  b  1 và dãy số ( xn ) thỏa

x0  0; xn 1  axn  bxn2  c 2 (n  1) . CMR xn  Z với mọi n

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


15

Bài 17: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  2; xn 1  5 xn  24 xn2  96 .Tìm ( xn ) và CMR

xn  2.5n (QG 1995)
Hướng dẫn: Tương tự bài 16 xn2  xn  10 xn1  0 suy ra xn . Dùng quy nạp chứng
minh xn  2.5n
Bài 18: Cho dãy số (un ) thỏa u1  u2  1, u3  2, un 3 

un1un 2  7
.
un

CMR xn  Z , n
Hướng dẫn:
Nếu k lẻ thì

uu

u  uk 3uk  2  7 uk 4  uk  2 uk  2  uk



k 3uk  uk  2uk 1  7
u
u
k  4 k 1

k 3

k 1

uk  4  uk  2 uk  2  uk
u u

 ...  3 1  3  uk  4  3uk 3  uk  2
u k 3
uk 1
u2

Nếu k chẵn thì

uk  4  uk  2 uk  2  uk
u  u2

 ...  4
 5  uk  4  5uk 3  uk 2
u k 3
uk 1
u3

Dùng quy nạp suy ra đpcm.
Bài 19: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  3, x1  17; xn  6 xn 1  xn 2 . CMR xn2  1 là số

nguyên chẵn và thương khi chia cho 2 là một số chính phương.

xn  6 xn 1  xn2  xn  3 xn1  3 xn1  xn2  xn2  6 xn xn1  9 xn21 
 9 xn21  6 xn 1 xn 2  xn22
2
2
2
2
2
2
Hướng dẫn:  xn  6 xn xn1  xn1  xn1  6 xn1 xn 2  xn2  ...  x1  6 x1 x0  x0  8
2
xn21  1  xn1  3 xn 
2
2
2
 xn  6 xn xn1  9 xn 1  8( xn 1  1) 


2
4


Bài 20: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  2; xn  3 xn1  2 n3  9n 2  9n  3( n  2) , p là một số
p 1

nguyên tố. CMR

x p
i

i 1

Hướng dẫn: xn  n3  3[ xn1  (n  1)3 ]  ...  3n1 ( x1  1)  3n  xn  3n  n3
Với p = 2 x1  2 2
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


16

p 1

Với p lẻ

x

i

 3  32  ...  3 p 1  13  23  ...  ( p  1)3

i 1

i3  ( p  i )3  p nên 13  23  ...  ( p  1)3 

n
1 p 1 3

3 p 1  1
3
i
[
i

(
p

i
)
]
;
3

3.
3


2 i 1
3

1
i 1

Bài 21: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  2; xn 

x1  2 x2  ...  (n  1) xn1
(n  2) .
n(n 2  1)

Tính lim(n  1)3 xn
Hướng dẫn:

n  3 x1  2 x2  ...  nxn  n (n 2  1) xn  nxn  n3 xn
 x1  2 x2  ...  ( n  1) xn1  (n  1)3 xn1
Suy ra
2

(n  1)3 xn1  n  1  n
nxn  n xn  (n  1) xn 1  xn 

xn 1

n3  n
 n  n 1
(n  1) 2 (n  2) 2 2 2 n n  1 3
4
 xn 
.
... 2 .
.
... x2  2
2
2
n
(n  1) 3 n  1 n
4
n (n  1)
3

3

1
c
Bài 22: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  a  c  0; xn1  ( xn  ) .Tính lim xn
2
xn
2

xn2  c
( xn  c ) 2
x  c  xn  c 
xn1
 xn 1  c 
 n1

  ...
xn
2 xn
xn 1  c  xn  c 
Hướng dẫn:
2n 1
a c

 0
a

c



Bài 23: Cho a > 0 và dãy số ( xn ) thỏa xn  xn1 (2  axn1 ) . CMR nếu xn  0, n thì

( xn ) hội tụ và tìm lim xn
Hướng dẫn:

x1  x0 (2  ax0 )  0  ax0  2  1  ax0  1
1  ax1  1  ax0 (2  ax0 )  1  2ax0  a 2 x02 )  (1  ax0 ) 4
n
 1  axn  (1  ax0 )2  0
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


17

Nhận xét : Với q  1 thì lim q n  0
Bài 24: Cho dãy số (un ) thỏa u1  1, u2  2; un 2  3un1  un .

un21
CMR: un2  un  2 
với mọi n  1 ( QG 1999 Bảng B )
un
Hướng dẫn:

un 2  un  3un1  ( un 2  un )un  3un 1un  ( un1  un1 )un 1
1  un21

 un 2un  un21  un1un1  un2  ...  u3u1  u22  1  un 2 
.
un
1  un21
u2
1
u2
 un  2  un 
 un  n1  un   2  n1
un
un
un
un
Bài 25: Cho hai dãy

( xn )

và

( yn ) thỏa

x0  1, x1  4; xn 2  3xn1  xn

y0  1, y1  2; yn 2  3 yn 1  yn . CMR: xn2  5 yn2  4  0 , n  0
( QG 1999 Bảng A )
Hướng dẫn:

xn  xn2  3 xn 1  xn2  xn22  3 xn1 ( xn  xn2 ) 
xn2  3 xn xn 1  xn21  xn21  3 xn 1 xn 2  xn22  x12  3x1 x0  x02  5
 x 2  3 xn xn 1  xn21  5

  n2
 xn2  2 xn21  xn22  3( xn  xn2 )  10
2
x

3
x
x

x

5
n 1 n  2
n 2
 n 1
2
2
2
 xn  7 xn1  xn 2  10
Tương tự

yn2  7 yn21  yn22  2  xn2  5 yn2  4  7( xn21  5 yn21 )  ( xn22  5 yn22 )  24 =…=
7.(-4) + 4 + 24 = 0

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :

và


18

Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
III.1.Tính chất 1: Cho hàm số f : D  D và dãy số (un ) thỏa un1  f (un )
 Nếu f là hàm số tăng trên D thì (un ) là dãy tăng nếu u1  u2 và (un ) là dãy giảm
nếu u1  u2
 Nếu f là hàm số giảm trên D thì :
* u1  u3 : (u2 n ) là dãy giảm và (u2 n1 ) là dãy tăng .
* u1  u3 : (u2 n ) là dãy tăng và (u2 n1 ) là dãy giảm .
III.2.Tính chất 2: Nếu lim u2 n  lim u2 n1  a thì lim un  a
Ví dụ: Cho dãy (un ) thỏa u0  2011; un 1 

Dãy số và giới hạn dãy số

1
. Tìm lim un
4  3un

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


19

Ta có 0  x2  1; x3  x2 và f ( x) 

1
tăng từ [0;1]  [0;1] (un ) với n  2 tăng và bị
4  3x
1
 a 1
4  3a

chặn trên nên tồn tại hữu hạn lim un  a . Qua giới hạn ta có a 
III.3.CÁC BÀI TOÁN

1
3
1
Bài 26: Cho dãy số (un ) thỏa u1  ; un1  un2  un3 (n  1) .CMR tồn tại giới hạn
2
2
2
hữu hạn lim un
Hướng dẫn: Xét hàm số f ( x) 

3 2 1 3
x  x , x  [0;1] Ta có f / ( x)  0 x  [0;1]  f
2
2

tăng trên [0;1] và 0  f ( x )  1 x  [0;1] . Bằng quy nạp CM un  [0;1] n .Từ u1  u2 và f
tăng suy ra (un ) giảm bị chặn dưới nên nên tồn tại hữu hạn lim un  a . Qua giới hạn ta có

3 2 1 3
a  a aa0

2
2
Bài 27: Cho dãy số (un ) thỏa u1  1; un1 
Hướng dẫn: Xét hàm số f ( x) 

un  2
. Tìm lim un
un  1

x2
, x  0 :1  f ( x)  2 và f giảm trên [0; ) .
x 1
3
2

Bằng quy nạp ta có 1  un  2, n ; u1  1, u2  , u3 

7
suy ra u1  u3 do đó (u2 n1 ) tăng và
5

(u2 n ) giảm nên tồn tại lim u2 n1   và lim u2 n  
f liên tục và

 ff ((uu



)  u2 n 1
 f ( )        2

)

u
f ( )  
2 n 1
2 n 2
2n



Nhận xét: Hệ PT f ( )   có dạng hệ đối xứng loại hai, nếu đơn giản ta có thể trừ
f ( )  
hai PT cho nhau để tìm  ,  ; nếu phức tạp ta đưa về hệ

 ff (( ff (( ))))  

sau đó chứng

minh phương trình g ( x )  f ( f ( x))  x  0 có nghiệm duy nhất để suy ra    .
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


20

5
1

Bài 28: Cho dãy số (un ) thỏa u1   ; un 1  un2  un  2(n  1) . Tìm lim un
2
2
1
1
1
1
Hướng dẫn: un2  un4  un3  un  2; f ( x)  x 4  x 3  x  2; 2  x  1 .
8
2
8
2
CM 2  f ( x)  1, x  (2; 1) và f tăng trên (2; 1) . Bằng quy nạp (u2 n ) giảm bị
chặn dưới , (u2 n1 ) tăng bị chặn trên và lim u2 n  lim u2 n1  2  lim un  2
Bài 29: Cho 1  a  2 và dãy số (un ) thỏa u1  a; un 1 

1 2
un  un  1(n  1) . Tìm
2

lim un

3  (un  1)2
Hướng dẫn: Ta có un1 
, bằng quy nạp CM 1  un  2, n
2

1
Xét hàm số f ( x )   x 2  x  1,1  x  2 f giảm trên (1;2) .
2

Nếu

u1  u3 thì

(u2 n1 ) giảm bị chặn dưới ,

lim u2 n1   ,lim u2 n      1   

(u2 n ) tăng bị chặn trên và

2
2
, 1  
    2
2
2

Với u1  u3 tương tự
Bài 30: Cho dãy số (un ) thỏa u1  1; un 1 
Hướng dẫn: Tương tự bài 27 f ( x )  1 

un  3
. Tìm lim un
un  1

2
giảm dương và 1  f ( x)  3
x 1

Bài 31: Cho c > 2 và dãy số (un ) thỏa u0  c , un1  c  c  un ( n  0)

a/ CMR un xác định với mọi n
b/ CMR tồn tại giới hạn hữu hạn lim un ( QG 2000)
Hướng dẫn:

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


21

a/ u1  c  c  u0 ; c  u0  c  c  2c  c  u0  2c  c suy ra u1 xác định. Giả
sử uk  c  c  uk 1 xác định suy ra

0  uk  c  c  uk  c  c  2c  c  uk  2c  c
 c  c  uk  0 suy ra uk xác định . Vậy un xác định với mọi n


b/ 0  un  c , n  0 ; f ( x)  c  c  x , x  [0; c ] u0  c
un1  f (un )

f / ( x)  0, x  [0; c ]  f giảm trên [0; c ] do đó tồn tại



lim u2 n  a,lim u2 n1  b; a, b  [0; 2] và b  f (a )  a  f ( f (a )); b  f ( f (b))
a  f (b)
Xét g ( x)  f ( f ( x ))  x , x  [0; c ]; g / ( x)  f / ( f ( x)). f / ( x)  1

2
1
c cx
1
 f / ( x)  


2
16(c  c  x )(c  x) 16(c  c  x )(c  x ) 8

( Vì c  c  x  c  2c  2c , x  [0; c ] và

16(c 2  c  x )(c  x )  16(c 2  x 2 )  16(c 2  c)  16c)
 f / ( x )  1, x  [0; c ]  f / ( f ( x))  1, x  [0; c ]  f / ( f ( x )) f / ( x)  1
 g / ( x)  0, x  [0; c ]  a  b  lim un  a

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


22

Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ
Trong một số bài tốn về dãy số có dạng bài toán xây dựng dãy xuất phát từ
nghiệm duy nhất của phương trình, các bài tốn này thường phải áp dụng tính liên tục của
hàm số và các tính chất của hàm số liên tục.
IV.1. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LIÊN TỤC

1. Nếu hàm số f liên tục tại x0 thì mọi dãy (xn) có limxn = x0 thì
limf(xn) = f(x0) = f(limxn).
2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì nó đạt được giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó,đồng thời nhận mọi giá trị trung gian ở giữa giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất,nghĩa là :
a/ Tồn tại x1  [ a ; b ] sao cho f(x1)  f(x) với x  [ a ; b ] ,
f ( x)
kí hiệu m=f(x1)= [min
a ;b ]

b/ Tồn tại

x 2  [ a ; b ] sao

cho f(x)  f(x2) với x  [ a ; b ] ,

f (x)
kí hiệu M = f(x2) = max
[ a ;b ]
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


23

c/ Với mọi c  [ m ; M ],  x0  [ a ; b ] sao cho f(x0) = c
3. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại

x0  ( a ; b ) sao cho f(x0) = 0,nghĩa là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.Nếu có thêm giả
thiết hàm số f đơn điệu trên khoảng (a;b) thì nghiệm x0 là duy nhất.
IV.2. CÁC BÀI TỐN
Bài 32 : Cho n là một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng phương trình xn
= x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn. Chứng minh rằng xn dần về 1 khi n
n( x n  1) .
dần đến vơ cùng và tìm lim
n 

Giải : Nghiệm dương ( nếu có) của phương trình xn = x + 1 thì lớn hơn 1.
Đặt fn(x) = xn – x – 1 ta có fn(1) = -1< 0 ,fn(3) > 0 khi n >1và f tăng trên
(1 ;  ) nên xn > 1 .
Khi đó fn+1(1) = - 1 < 0 và fn+1(xn) = xnn1 – xn – 1 > xnn – xn – 1= fn(xn) =
= 0 = fn+1(xn+1). Từ đó ta suy ra 1 < xn+1 < xn . Suy ra dãy (xn) có giới hạn hữu hạn a. Ta
chứng minh a = 1. Thật vậy, giả sử a > 1. Khi đó xn  a với mọi n và ta tìm được n đủ lớn
sao cho: xnn  an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thuẫn vì fn(xn) = 0.
Đặt xn = 1 + yn với lim yn = 0. Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta được
(1+yn)n = 2 + yn. Lấy logarith hai vế, ta được
nln(1+yn) = ln(2+yn)
Từ đó suy ra
lim nln(1+yn) = ln2

 lim nyn
n 

ln(1  yn )
 ln 2
yn

ln(1  yn )

 1 nên từ đây ta suy ra lim nyn = ln2, tức là
n 
yn

Nhưng lim

lim n ( xn  1)  ln 2.
n 

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


24

xn  1  n  1 xn  n
n

 1  xn 
 lim xn  1
n
n
n 1

Cách khác: xnn  xn  1  xn  n xn  1 

xnn  xn  1  n ln xn  ln( xn  1)  n 

n ( xn  1)  ln( xn  1).

ln( xn  1)
ln xn

xn  1
 ln 2
ln[( xn  1)  1]

Nhận xét:
* (un) giảm và lim xn = a thì xn  a
* Với a >1 thì lim a n   nên với n đủ lớn thì an > 3

ln(1  x)
1
x 0
x

* lim

Bài 33 : CMR phương trình x 2 n1  x  1 có nghiệm thực duy nhất xn . Tìm lim xn
Hướng dẫn: x 2 n1  x  1  x ( x 2 n  1)  1
i/ x  1: x 2 n  1  x ( x 2 n  1)  0 , vô lý
ii/ 1  x  0 : x 2 n1  0  x  1 , vô lý
iii/ 0  x  1: x( x 2 n  1)  0 , vô lý. Vậy x  1
Xét hàm số f ( x )  x 2 n1  x  1; f / ( x)  (2n  1) x 2 n  1  0, x  1 . Ta có

f (1)  1  0, f (2)  22 n 1  3  0  f ( x)  0 có nghiệm duy nhất xn  1
xn  2 n 1 xn  1 

xn  2 n  1
2n  1
 1  xn 
 lim xn  1
2n  1
2n

Bài 34: Cho n  3 . CMR tồn tại duy nhất xn  [0; n] sao cho xnn  e xn . CMR tồn tại
giới hạn hữu hạn lim xn
Hướng dẫn: Ta có xnn  e xn  xnn e  xn  1 . Xét hàm số
n

n
f n ( x )  x e  1; f n (0)  1, f n (n)     1  0 ( vì n  3) suy ra xn  (0; n)
e
n x

Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :


25

f n/ ( x)  nx n1e  x  x n e  x  x n 1e x (n  x )  0, x  (0; n ) , fn đồng biến trên (0; n) nên xn
duy nhất. xnn  e xn  n ln xn  xn  0  ln xn  0  xn  1, n  3 .
Ta có f n 1 ( xn )  xnn1e xn  1  xnn e xn  1  f n ( xn )  0  f n1 ( xn1 )  xn  xn1   lim xn
hữu hạn.

Cách khác: Gọi xn là nghiệm PT xnn  e xn , có thể xét hàm số f ( x)  n ln x  x; x  (0; n)
Bài 35: CMR với mọi n  1 phương trình cos x  x n có duy nhất nghiệm xn


trên đoạn [0; ] . CMR tồn tại giới hạn hữu hạn lim xn
2

Hướng dẫn: Xét f n ( x )  x n  cos x, x  [0; ] f n/ ( x)  nx n1  sin x  0 suy ra fn tăng và
2

f n (0) f n ( )  0 nên fn có nghiện duy nhất 0 < xn < 1
2
f n 1 ( xn )  xnn1  cos xn  xnn  cos xn  0  f n1 ( xn1 )  xn  xn1
Bài 36: CMR với mọi n  1 phương trình x n  x n1  ...  x  1  0 có nghiệm dương
duy nhất xn . Tìm lim xn
Hướng dẫn: f n ( x )  x n  x n1  ...  x  1 liên tục trên R,

f n / ( x)  nx n 1  (n  1) x n2  ...  2 x  1
Với x  0 thì f / > 0 nên f tăng trên (0; ) . f n (0)  1, f n (1)  n  1  0, n  2
n=1: f1 ( x )  x  1  0  x  1 ) f n ( x )  0 có nghiệm dương duy nhất xn

 xnn  xnn 1  ...  xn2  xn  1
n
n
n 1

n
n 1
2
n 1  ( xn  xn 1 )  ...  ( xn  xn 1 )  xn 1  0

Ta có  xn1  xn1  ...  xn 1  xn 1  1  xn 1
 xn  xn1
( xn ) giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên lim xn  l .
( cách khác: f n 1 ( xn )  xnn1  xnn  ...  xn  1  xnn1  0  f n1 ( xn 1 )  xn  xn 1 )
Ta có
Dãy số và giới hạn dãy số

Nguyễn Vũ Thanh

download by :

(