(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC

1

1. Lời giới thiệu

2

2. Tên sáng kiến

2

3. Tác giả của sáng kiến

2

4. Chủ đầu tư sáng kiến

2

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

2

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

3

7. Mô tả bản chất của sáng kiến

3

7.1.
7.2.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

3
4

TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
7.2.1. Áp dụng vào việc giải phương trình

4

7.2.2. Áp dụng vào việc giải bất phương trình

8

7.2.3. Áp dụng vào việc giải hệ phương trình

10

8. Những thơng tin cần được bảo mật

14

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
10. Đánh giá lợi ích thu

14

11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc

15

14

áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có)
Kết luận và kiến nghị

16

Tài liệu tham khảo

17

1

download by :


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Trong quá trình giải phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình mục tiêu cuối

cùng là tìm được nghiệm hay tập nghiệm của chúng. Để làm được điều này chúng ta
có nhiều phương pháp làm khác nhau trong các phương pháp đó ta có thể chia ra làm
hai phương pháp chính đó là phương pháp Đại số và phương pháp Hình học. Phương
pháp Hình học được áp dụng trong một số bài toán Đại số làm cho lời giải bài tốn khá
hay và ngắn gọn xúc tích. Trong chương trình hình học 10 ta được học về các phép
toán của véc tơ và một số ứng dụng của nó, trong các ứng dụng đó phải kể đến " Ứng
dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình "
Trong các kì thi đặc biệt là kì thi tốt nghiệp THPTQG ta thường thấy xuất hiện bài
tốn về giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình…mà những bài tốn
này thường có độ khó nhất định vì sự đa dạng của chúng, để giải quyết chúng ta phải
sử dụng nhiều kiến thức khác nhau trong đó
2. Tên sáng kiến:
"Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình "
3. Tác giả của sáng kiến:
Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc 2 – Yên Lạc – Vĩnh Phúc
Điện thoại: 0989865992. Email:
4. Chủ đầu tư sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình
giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng
nghiệp, cho các em học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi THPTQG. Trong đề tài này tôi
đề cập đến "Ứng dụng của véc tơ và tọa độ để giải một số phương trình, bất
phương trình, hệ phương trình " qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh
2

download by :

hoạt trong giải tốn. Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê hơn trong học tập, do
vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/9/2019
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:

7.1.1. Định nghĩa tích vơ hướng:
Cho hai véc tơ

. Khi đó tích vơ hướng của

và

là một số xác định bởi cơng

thức
7.1.2. Biểu thức tọa độ các phép toán véc tơ:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

cho

. Khi đó

+)
+)
+)
7.1.3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

cho

7.1.4. Độ dài của véc tơ: Cho

. Khi đó
. Khi đó

7.1.5. Điều kiện hai véc tơ cùng phương :


Véc tơ

cùng phương với véc tơ

khi tồn tại số

sao

cho

3

download by :




Véc tơ

cùng hướng với véc tơ

Véc tơ

ngược hướng với véc tơ

khi tồn tại số

sao

cho


khi tồn tại số

sao cho
Chú ý:

Nếu



Véc tơ

cùng hướng với véc tơ



Véc tơ

ngược hướng với véc tơ

7.1.6. Một số kết quả thường dùng:
Cho hai véc tơ

bất kì. Khi đó ta có một số kết quả sau:

+)

(1). Dấu bằng xảy ra khi

cùng hướng.
+)

⃗a . ⃗b≥−|⃗a|.|⃗b|

. Dấu bằng xảy ra khi

ngược hướng.
. Dấu bằng xảy ra khi

+)
cùng phương.
+)
bằng xảy ra khi

. Dấu
cùng hướng.

4

download by :


+)

. Dấu

bằng xảy ra khi

ngược hướng .

+)

(4)

Dấu bằng xảy ra khi

.
cùng hướng .

7.2. ỨNG DỤNG VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
7.2.1. Áp dụng vào việc giải phương trình:

√

2

Ví dụ 1. Giải phương trình: x √ x+1+ √ 3−x=2 x +1
Phân tích: Vế trái của phương trình được viết lại: x. √ x+1+1. √ 3−x . Do đó ta nghĩ
đến biểu thức tọa độ của tích vơ hướng trong mặt phẳng tọa đơ oxy
Lời giải: ĐKXĐ: −1≤x≤3
Đặt

,

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

. Điều này xảy ra khi

⃗u ,⃗v

cùng

x √ x+1
00x =1
=
> 0⇔ 2
⇔
⇔[
1 √3−x
x=1+ √ 2
x (3−x )=x +1 ( x−1)( x 2 −2 x−1 )=0
hướng hay

{

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

{

x=1,

x=1+ √ 2

√ x2−2 x+5+ √ x 2+2 x +10= √29
2
2
Phân tích: Vế trái của phương trình được viết lại: √ ( x−1) +4 + √( x+1) +9
Ví dụ 2. Giải phương trình:

. Do

đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy
Lời giải: Đặt

,
,

5

download by :


Khi đó phương trình đã cho có dạng:

. Điều này xảy ra khi

⃗u ,⃗v

cùng

hướng hay

x−1 2
1
= >0 ⇔ x=
−x −3 3
5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x=

1
5

Ví dụ 3. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình được viết lại:

√( x−1)2 +1+ √(2x +3)2+16=√(3 x+2)2+25

. Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đơ Oxy
Lời giải: Đặt

,

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

. Điều này xảy ra khi

⃗u ,⃗v

cùng

hướng hay

x−1 1
7
= >0⇔ x=
3 x +2 5
2
x=

7
2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 4. Giải phương trình:
Phân tích: Phương trình được viết lại:
Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ
trong mặt phẳng tọa đô Oxy
Lời giải: Đặt

,

6

download by :


Ta ln có :

⃗u ,⃗v

Điều này xảy ra khi

cùng hướng tức tồn tại số

sao cho

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

√ x2+4 y 2 +6 x+9+√ x2 +4 y 2−2 x−12 y+10=5(1)
2
2
2
2
Phân tích: Phương trình được viết lại: √ ( x+3) +(2 y) + √ (1−x) +(3−2 y) =5(2 )
Ví dụ 5. Giải phương trình:

.

Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy
Lời giải: Đặt

⃗u ( x+3;2 y )

,

⃗v (1− x;3−2 y )⇒ u⃗ +⃗v =(4 ;3)

Ta có:
(3). Điều này xảy ra khi

⃗u ,⃗v

cùng hướng hoặc một trong hai

véc tơ đó là véctơ-khơng
Do đó (3) tương đương với hai khả năng sau:

{
{

1−x=3−2 y=0 ⇔

+)

+)

x=1
3
y=
2

−3≤x <1
x +3
2y
=
>0 ⇔
1
y= ( 3 x +9 )
1−x 3−2 y
8

được nghiệm của phương trình đã cho là:
Kết hợp hai trường hợp trên ta

{

−3≤x≤1
1
y= (3 x +9 )
8

Ví dụ 6. Giải phương trình:

7

download by :


Phân tích: Phương trình được viết lại:

. Do đó ta nghĩ đến cơng thức tích vơ

hướng của hai véc tơ trong mặt phẳng tọa đơ Oxy
Lời giải: Đặt

,

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

⃗u ,⃗v

. Điều này xảy ra khi

cùng hướng hay

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Phân tích: Phương trình được viết lại:

. Do đó ta

nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đơ Oxy

Lời giải: Đặt

,

Khi đó ta có:
hoặc

⃗u ,⃗v

. Dấu bằng xảy ra xảy ra khi

hoặc

cùng hướng mà

8

download by :


Nếu

⃗u ,⃗v

ngược hướng thì

hệ khơng có

nghiệm x. Suy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm
7.2.2. Áp dụng vào việc giải bất phương trình:
Ví dụ 8. Giải bất phương trình:

√ x2−4 x+20+√ x 2+4 x +29≥√ 97

Phân tích: Vế trái bất phương trình được viết lại:

√( x−2 )2+16+√( x+3 )2+16

.

Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy
Lời giải: Đặt

⃗u (x−2;4)

,

⃗v (−x−2;5) ⇒⃗u +⃗v =(−4;9)

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

|⃗u+⃗v|≤|⃗u|+|⃗v|

và

|⃗u +⃗v|=√ 97

. Điều này luôn đúng với mọi

,

.
Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈ R
Ví dụ 9. Giải bất phương trình:
Phân tích: Vế trái bất phương trình được viết lại:

. Do đó

ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt phẳng tọa đơ Oxy
Lời giải: Đặt

,

Khi đó bất phương trình đã cho có dạng:

và
. Điều này xảy với mọi

,

.

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x∈ R
Ví dụ 10. Giải bất phương trình:
9

download by :


Phân tích: Vế trái bất phương trình được viết lại:
. Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của
véc tơ trong mặt phẳng tọa đô Oxy
Lời giải: Đặt

,

,

Khi đó bất phương trình đã cho có dạng:
hai điều trên suy ra
Ta thấy

Với

hay ,

măt khác

từ

ngược hướng .

là một nghiệm của bất phương trình.

thì

,

ngược hướng khi

Vậy bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi
Ví dụ 11. Giải bất phương trình:

√ x−1+ x−3≥ √2( x−3 )2 +2 x−2

Phân tích: Vế trái bất phương trình được viết lại:

(1)

1. √ x−1+1.( x−3) . Do đó ta nghĩ

đến cơng thức tính tích vơ hướng của hai véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy
Lời giải: ĐKXĐ: x≥1
Đặt

⃗u ( x−3; √ x−1)

Theo bất dẳng thức :

,

⃗v (1;1) ⇒|⃗u|= √( x−3)2+x−1

⃗u .⃗v≤|⃗u|.|⃗v|

. Ta có

và

|⃗v|=√ 2

√ x−1+ x−3≤ √2( x−3 )2 +2 x−2

(2)

10

download by :


Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

√ x−1+ x−3= √2( x−3 )2 +2 x−2

u⃗ =k ⃗v (k > 0)⇔
⇔
hướng hay

{

{

. Điều này xảy ra khi

⃗u ,⃗v

cùng

x−3=k
(k >0)⇔ √ x−1=x−3>0
√ x−1=k

x> 3
⇔ x=5
2
x −7 x +10=0
x=5

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

7.2.3. Áp dụng vào việc giải hệ phương trình:

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:

x 2 + 4 y 2 =8 (1 )
x+ 2 y =4 (2)

{

2

2

Phân tích: Vế trái phương trình (1) được viết lại: x +(2 y )

. Còn vế trái của (2)

được viết lại x.1+2 y .1 . Do đó ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ và cơng
thức tích vơ hướng của hai véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy
Lời giải: Đặt
và

→ →

Mặt khác :
Vậy ta được :

→ →

→ →

u .v =|u|.|v|.cos α

(α=( u ,v ))

|x+2 y|≤√ 2. √ x 2+ ( 2 y )

⇒|⃗u .⃗v|≤|⃗u||⃗v|

2

2

⇔ ( x +2 y ) ≤2 . ( x2 +4 . y 2 )
11

download by :


dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
→

k ∈ R để :

→

u=k . v ⇔

,

cùng phương hay tồn tại

x=k .1
⇔ x=2 y ⇒ x=2 ; y=1 .
2 y=k . 1

{

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

( x; y)=(2;1)

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:
Phân tích: Từ phương trình (1)ta nghĩ đến cơng thức tính độ dài của véc tơ trong mặt
phẳng tọa đô Oxy
Lời giải: Đặt

và

Mặt khác ta luôn có:
Do đó từ hệ trên ta suy ra khi

,

cùng hướng hay

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:
Lời giải: Đặt

Từ (2) và (3) ta suy ra
Nếu

thay vào (1) ta được
12

download by :


Nếu

từ hệ (*) ta được

thay vào hệ đã cho ta

suy ra hệ vơ nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình: (ĐH khối A năm 2014)
2

x √ 12− y + √ y (12−x )=12(1)
x 3 −8 x−1=2 √ y−2(2)

{

Phân tích: Vế trái phương trình (1) được viết lại:

x. √12− y+ √ 12−x 2 . √ y

. Do đó ta

nghĩ đến cơng thức tính tích vô hướng của hai véc tơ trong mặt phẳng tọa đô oxy

−2 √3≤x≤2;

Lời giải: ĐKXĐ:
→

2≤ y ≤12

→

u= ( x; √ 12−x 2) ; v =( √12− y; √ y ) ⇒|⃗u|=|⃗v|= √12

Đặt

Khi đó :

(1)⇔ 2[ x √ 12− y + √ y(12−x 2 )]=2. 12
⇔2 u⃗ . ⃗v =u⃗2 + ⃗
v 2 ⇔(⃗u−⃗v )2 =0 ⇔ u⃗ =⃗v
⇔

x =√12− y
x≥0
⇔

√12−x 2= √ y y =12−x 2

{

{

Thay vào phương trình (2) ta được:

x 3−8x −1=2 √10−x 2 ⇔ x 3−8 x−3+2(1−√ 10−x 2 )=0

(

⇔ ( x−3 ) x2 +3 x+1+

(

do : x 2 +3 x +1+

Suy ra

2( x+3)
1+ √ 10−x 2

2(x +3 )
1+ √ 10−x

2

)

=0 ⇔ x=3

>0 ∀ x≥0

)

2

y=12−x =3 thỏa mãn điều kiện
13

download by :


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

( x; y)=(3 ;3)

Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
Lời giải: Đặt

Ta được hệ
thay vào hệ đã cho ta được

Nếu

Nếu

từ hệ (*) ta được

thay vào hệ đã cho ta suy ra
hoặc

.

thay vào hệ đã cho ta được

Nếu

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
1) Giải các phương trình sau
a.

√ x−2−√ 4−x=x 2 −6 x−11
14

download by :


b.
c.

√ x2−8 x +816+ √ x 2+10 x+267= √2003
√ x2+2 x +2+√ x 2−2 x+2=2 √ 2

d.
e.
f.

g.
2) Giải các bất phương trình sau
a.
b.

√ x−1(3−x )≥√ 40−34 x+10 x 2−x 3

c.
3) Giải các hệ phương trình sau

.
8. Những thơng tin cần được bảo mật (nếu có): Khơng
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Cần có hệ thớng sách giáo khoa, tài liệu tham khảo phong phú, ....
Nắm vững kiến thức về véc tơ và tọa độ
15

download by :


10. Đánh giá lợi ích thu:
Sau khi áp dụng sáng kiến này vào lớp mà tôi trực tiếp giảng dạy ở trường
THPT Yên Lạc 2, tôi thấy học sinh hứng thú hơn trong học tập, có kĩ năng làm bài
tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốt hơn, áp dụng giải được
một số bài toán trong các tài liệu tham khảo và đặc biệt là các bài trong các đề thi khảo
sát của trường, của Sở, các bài toán trong đề thi THPTQG, thi học sinh giỏi.
Số liệu thống kê kết qủa đạt được so với trước và sau khi thực hiện sáng kiến
kinh nghiệm này.
Đối với lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy là 11A5 tôi cho
làm bài kiểm tra 45 phút và kết qủa thu được như sau:

Sĩ số

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu-kém

45

15

20

8

2

%

33.3

44.4

17.8

4.5

Đối với lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy là 11A2
tôi cho làm bài kiểm tra 45 phút và kết qủa thu được như sau:
Sĩ số

Giỏi

Khá

Trung bình

Yếu-kém

44

0

10

24

10

%

0

22.7

54.6

22.7

Mặc dù việc so sánh này ở các lớp khác nhau, chất lượng học sinh khác nhau nên độ
chính xác chưa cao. Nhưng dù sao nhìn vào 2 bảng thống kê cũng phản ánh được một
phần nào đó sự tiến bộ của học sinh sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến
lần đầu (nếu có):
Số
Tên tổ
TT chức/cá nhân
1

11A5

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến

Trường THPT Yên Lạc 2

Ôn thi THPTQG, thi HSG
16

download by :


Yên Lạc, ngày tháng 3 năm 2020.
Xác nhận của Thủ trưởng đơn vị

Yên Lạc, ngày 10 tháng 3 năm 2020
TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Nguyễn Thị Thu

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Trên đây là phần trình bày nội dung sáng kiến của tôi. Qua sáng kiến này tôi
thấy các em học sinh đã biết cách giải phương trình,bất phương trình, hệ phương trình.
17

download by :


Khi gặp một phương trình,bất phương trình, hệ phương trình các em đã hình dung
được cách biến đổi, cách làm . Từ đó học sinh có lời giải chính xác, rõ ràng, lập luận
chặt chẽ, đạt điểm tối đa. Tiến tới đạt kết quả cao trong các kỳ thi khảo sát, thi THPT
Quốc gia, thi học sinh giỏi.
Tuy nhiên để tài của tơi vẫn cịn hạn chế và khơng tránh khỏi sai xót, rất mong
nhận được sự đóng góp của quý thầy cô, bạn đọc.
2. Kiến nghị:
Hằng năm giáo viên trong nghành giáo dục làm rất nhiều đề tài sáng kiến, tham
gia các cuộc thi hội giảng, chiến sĩ thi đua cấp cơ sở, chiến sĩ thi đua cấp tỉnh. Nghành
có kế hoạch chọn các đề tài chất lượng đóng thành đĩa CD phát hành về các trường để
giáo viên và học sinh tham khảo.
Trên đây là đề tài sáng kiến của tôi trong năm học 2019 – 2020. Do còn hạn chế
về kinh nghiệm và thời gian nên đề tài khơng tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp và độc giả để đề tài được
hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình chuẩn
2. Sách giáo khoa Hình học 10- chương trình nâng cao
3. Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình chuẩn
18

download by :


4. Sách giáo viên Hình hoc 10- chương trình nâng cao
5. Sách bài tập Hình học 10- chương trình chuẩn
6. Các tạp chí báo tốn học và tuổi trẻ các năm
7. Rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài tập hình học 10 nâng cao- Các tác giả: Trần
Phước Chương, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh

19

download by :