SKKN Sử dụng phương pháp véc tơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, bất phươnmg trình

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đang bước vào giai đoạn công nghiệp hoá hiện đại hoá, cần có
những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải
bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo
phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục phụ thuộc
vào nhiều yếu tố, trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy
học trong đó có phương pháp dạy học môn toán.
Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải
phương trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc
biệt là các kì thi đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa độ vào
giải toán không còn mới mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về
trong việc sử dụng phương pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề
tài: "Sử dụng phương pháp véctơ và tọa độ để giải một số bài toán về phương
trình, bất phương trình"
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu từ các tài liệu và sách giáo khoa để đưa ra các dạng toán có thể
vận dụng phương pháp tọa độ trong giải toán.Từ đó giúp học sinh phân tích để
vận dụng nhằm đơn giản hoá một số bài toán. Góp phần phát triển năng lực trí
tuệ chung, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh.
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 10A1, 10A2.
- Chương trình toán 10.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn.
- Các ví dụ về sử dụng tọa độ vào giải toán.
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-1-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -

2013
- Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu một số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan đến việc
sử dụng tọa độ vào giải phương trình, bất phương trình.
- Thực nghiệm qua giảng dạy.
- Trao đổi với đồng nghiệp.
- Kiểm chứng qua các thông tin phản hồi của học sinh.

Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-2-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn.
1.1 Cơ sở lí luận.
Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải
phương trình và bất phương trình.
* Cho hai véc tơ
);(),;(
2121
bbbaaa ==
,
α
là góc tạo bởi hai véctơ đó (k
∈
R)
2211
2211
2211

;.
);(
);(
);(
bababa
bkakak
bababa
bababa
=
=
−−=−
++=+

1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos
.
a b a ba b
a b
a a b b
α
+
= =
+ +
r
ur
r
ur

* Với hai điểm
);(),;(
BBAA
yxByxA
thì
);(
ABAB
yyxxAB
−−=
22
)()(
ABAB
yyxxAB
−+−=
* Khoảng cách từ điểm M(x
0
, y
0
) đến đường thẳng (
∆
): Ax +By +C = 0 là :

22
);(
BA
CByAx
Md
oo
+
++

=∆
* Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm M(x
0
, y
0
) và nhận
véctơ
);( BAn
làm véc tơ pháp tuyến là: (d) : A(x – x
0
) + B(y – y
0
) = 0
* Phương trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R là: (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Từ nhiều năm trở lại đây phương pháp sử dụng tọa độ để giải một số
phương trình, bất phương trình và hệ phương trình tạo nên sự phong phú về thể
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-3-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
loại và phương pháp giải toán, phù hợp với các kỳ thi tuyển sinh đại học, các kì
thi học sinh giỏi. Tuy nhiên qua thực tế, tôi thấy rằng việc sử dụng các phương
pháp tọa độ vào giải toán của học sinh còn hạn chế, đa số học sinh chưa làm quen
được với phương pháp này nên còn gặp nhiều khó khăn . Hướng dẫn học sinh có

thói quen sử dụng phương pháp này giúp học sinh có thể giải quyết nhanh gọn
các bài toán trên mà các phương pháp khác khó có thể làm được, giúp học sinh
phát huy được tính sáng tạo trong học tập và góp phần làm phong phú và đa dạng
thêm cho hoạt động dạy và học toán.
2. Thực hiện nhiệm vụ nghiên cứu.
Giải các bài toán đại số bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Bài 1: Cho 4 số thực x
1
, x
2
, x
3
, x
4
.
Chứng minh rằng : (x
1
2
+y
1
2
)(x
2
2
+y
2
2
)
≥
(x

1
x
2
+ y
1
y
2
)
2
Giải:
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ :
);(),;(
2121
yxbyxa ==
Ta có
2
2
2
. ( . )a b a b a b a b
≥ ⇒ ≥
r r r r
ur ur ur ur
Vậy (x
1
2
+y
1
2
) (x
2

2
+y
2
2
)
≥
(x
1
x
2
+ y
1
y
2
)
2
đẳng thức xảy ra
1221
yxyx
=⇔
Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z+ + + + + > + +
Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-4-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
3 3 3 3

2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)
2 2 2 2 2 2 2 2
y z y z
x y x z y z
+ + + + + > − + +
Xét 3 điểm
3 3 3
2 2 2 2 2 2
( , ) ; (0, ) ; ( ,0)
y y z
A x z B y z C+ + −
(1)
⇔
AB + AC > BC
Ta có
AB AC BC+ ≥
với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây
)
2
3
;
2
(
)
2
3
;
2
(

z
z
xAC
y
y
xAB
−−−=
−−=
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể
xảy ra đẳng thức AB + AC = BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
Bài 3 Giải bất phương trình:
2
1 3 2( 3) 2 2(1)x x x x
− + − ≥ − + −
Giải
Điều kiện
1x ≥
Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:





=
−−=
)1;1(
)1;3(
v
xxu








−+−=
=
−+−=
⇒
31.
2
)1()3(
2
xxvu
v
xxu
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-5-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
Suy ra bất phương trình (1) tương đương
. .u v u v
≥
r r r r
5
3
0107

31
2
=⇔



≥
=+−
⇔−=−⇔ x
x
xx
xx
.
Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.
Bài 4
Chứng minh rằng:
4 4
cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R
+ − + ≤ ∀ ∈
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

)0;2(cos
)1;(sin
)1;(cos
2
2
xba
xb
xa

=−⇒





=
=
Khi đó, từ
xxxbaba 2cos1sin1cos
44
≤+−+⇒−≤−
(đpcm)
Bài 5 Giải phương trình:

2 2 2
2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + +
(1)
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

)5;23(
)4;32(
)1;1(
+=+⇒






+=
−=
xvu
xv
xu

2
2
2
2 2
4 12 25
9 12 29
u x x
v x x
u v x x

= − +


⇒ = + +



+ = + +

r
r
r r

Suy ra phương trình (1) tương đương:

Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-6-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013

u v u v+ = +
r r r r








=
=
⇔



=
+=−
⇔>=⇔
2
7
4
1
4.1
)32(1

)0(
x
k
k
xkx
kvku

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất
7
2
x =

Bài 6:Tìm m để phương trình sau có nghiệm
3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − =
Giải
Đặt
3 ; 6u x v x= + = −
Phương trình đã cho trở thành
2 2 2 2
1 10 2 (1)
9 9 (2)
0, 0
0, 0 (3)
u v m
u v uv m
u v u v
u v
u v






 
 



+ = + −
+ − =
+ = ⇔ + =
≥ ≥
≥ ≥
- Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân
giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn 1 đường tròn có tâm tại góc toạ độ và
bán kính bằng 3.
- Hệ có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung
thỏa điều kiện (3)
Vậy phương trình có nghiệm khi
3
2
926
32103 ≤≤
−
⇔≤−≤ mm
3. Giải pháp thực hiện
Trong quá trình giảng dạy, thông thường tôi thấy học sinh ít khi nghĩ đến
phương pháp tọa độ để giải toán, với đối tượng là học sinh ban khoa học tự nhiên,
tôi đã tìm tòi, nghiên cứu, hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng phương pháp tọa
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch

-7-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
độ vào việc giải một số bài toán sơ cấp lớp 10, nhằm phát huy tính tích cực của
học sinh, tạo điều kiện, hứng thú cho học sinh linh hoạt hơn trong việc lựa chọn
các phương pháp. Đa số học sinh vận dụng được phương pháp này một cách sáng
tạo và giải quyết rất nhiều dạng toán với hiệu quả cao.
4. Kết quả thực nghiệm
Dựa vào kết quả tôi rút ra một số nhận xét sau:
- Chất lượng bài kiểm tra của học sinh các lớp thực nghiệm 10A
2
cao hơn học
sinh lớp đối chứng 10A
1
.
- Tỉ lệ % học sinh yếu kém, trung bình của các lớp thực nghiệm thấp hơn so với
lớp đối chứng. Tỉ lệ % học sinh đạt khá giỏi của các lớp thực nghiệm cao hơn so
với lớp đối chứng, chứng tỏ ở lớp thực nghiệm với sự đổi mới phương pháp học
sinh hiểu bài và vận dụng kiến thức để giải bài tập tốt hơn lớp đối chứng.
KẾT LUẬN
Trên đây là một số bài toán đại số và hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ
độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào
làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa ra. Ứng dụng của phương pháp này khá rộng, việc
sử dụng công cụ này giúp ta giải toán dễ dàng hơn, cho ra những lời giải hay hơn.
Chắc chắn rằng sẽ còn có nhiều bài toán mà ta có thể giới thiệu cho học sinh,
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-8-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013

nhưng do điều kiện và kinh nghiệm chưa nhiều nên tôi chỉ đưa ra một số ví dụ mà
trong quá trình giảng dạy tôi đã giới thiệu cho học sinh. Vì vậy rất mong được sự
đóng góp của các đồng nghiệp để cho đề tài của tôi thêm hoàn chỉnh, và có thể
ứng dụng cho các năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo ; Sách Đại số, Hình học; lớp 10 nâng cao ; Nhà xuất
bản Giáo dục
2. ThS. Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 10, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội
3. ThS. Lê Hoành Phò, Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số 10, NXB Đại
học quốc gia Hà Nội
4. Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc
gia Hà Nội
5. Trần Đình Thì, Phân dạng và phương pháp giải hình học 10, NXB Đại học
quốc gia Hà Nội
6. Trần Minh Quới, Nguyễn Văn Quí, Bài tập nâng cao toán 10, NXB Đà Nẵng
7. PGS. TS Đậu Thế Cấp, Tuyển tập các bài toán hay và khó đại số 1, NXB Đại
học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh
:
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-9-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-10-
Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012 -
2013
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1

1. Lý do ch n t iọ đề à 1
2. M c ích nghiên c uụ đ ứ 1
3. i t ng ph m vi nghiên c uĐố ượ ạ ứ 1
4. Nhi m v nghiên c uệ ụ ứ 1
5. Ph ng pháp nghiên c uươ ứ 2
NỘI DUNG 3
1. C s lí lu n v c s th c ti n.ơ ở ậ à ơ ở ự ễ 3
1.1 C s lí lu n. ơ ở ậ 3
1.2. C s th c ti n.ơ ở ự ễ 3
2. Th c hi n nhi m v nghiên c u.ự ệ ệ ụ ứ 4
3. Giai phap th c hiên ́̉ ự ̣ 7
KẾT LUẬN 8
TÀI LIỆU THAM KHẢO 9
Đặng Thị Thu Ánh THPT số 1 Bố Trạch
-11-