TIỂU LUẬN HÌNH học GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRÊN mặt PHẲNG

TR×˝NG

I H¯C S× PH M TP. HCM
KHOA TO N-TIN

o0o

TI ULU NHNHHCGI ITCH

PHìèNG PH P TA

á TR N M T PH NG

GiÊng viản hữợng dÔn: Thy Nguyn Lả Ch Quyt
Sinh viản:

Nguyn Trång Nh¥n

Khâa: 46

TP. H˙ CH MINH, 1/2021


Mưc lưc
1 Mưc ti¶u affine
1.1

Mưc ti¶u affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ph†p Œi möc ti¶u . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 ֒ng thflng
2.1

Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng . . . . . . . . . . . . .

2.2

Và tr‰ t÷ìng Łi cıa hai ÷íng thflng . . . . . .

2.3

Chịm ÷íng thflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Mưc ti¶u Euclide
3.1

Mưc ti¶u Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Ph†p Œi mưc ti¶u . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Mºt sŁ ÷íng b“c hai °c bi»t
4.1

÷íng trỈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

֒ng Hipebol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

֒ng Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 ÷íng b“c hai
5.1

Ph÷ìng tr…nh ÷íng b“c hai . . . . . . . . . . . .

5.2

T¥m Łi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

B i to¡n t÷ìng giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

Ti‚p tuy‚n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Ti»m c“n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1


MệC LệC
5.6 ữớng knh liản hổp vợi mt phữỡng . . . . .

5.7 C¡c lo⁄i cıa ÷íng b“c hai . . . . . . . . . . . . . . .


Chữỡng 1
Mửc tiảu affine
1.1

Mửc tiảu affine

!
!!
!
Trong khổng gian cho im O v 2 vector OI = i ; OJ = j khổng cũng phữỡng.
!!
Tp hổp gỗm im O v 2 vector i ; j
÷ỉc gåi l h» tåa º affine trong m°t phflng.
Khi â:
1.

÷íng thflng Ox i qua i”m O v i”m I gåi l trưc ho nh, ÷íng thflng Oy i

qua i”m O v i”m J gåi l tröc tung.
!!

2. i”m O gåi l gŁc tåa º. H» tåa affine nhữ vy ữổc kỵ hiằu l O i j hoc Oxy.

!
3. Vợi mỉi vector u bĐt k trong khổng gian, tỗn ti duy nhĐt mt b s (x; y)
1


CH×ÌNG 1. MƯC TI U AFFINE
sao cho

!
!
u=xi+yj

!

x; y
Khi â, (
4. Vợi mỉi im
nghắa l

Khi õ, (x; y)
M

= (x; y).

5. Cho i”m M(x; y) v

!

0

0

Suy ra M M = (x
Trong h» tåa º affine
t‰nh ch§t cì b£n sau:

!!
u

1.
!

+

v

=

!

! !

2.

u=v

!
! ! !

u cịng ph÷ìng v , u = t v

3.

!

,

!!

!

x1 i + y1 j = tx2 i + ty2 j

8
>

x

<

,

1

= tx2

>y = ty
:

1

2

!

!

!

!

Nu t > 0 th u ;v cũng hữợng.
Nu t < 0 th u ;v ngữổc hữợng.

,
:


CHìèNG 1. MệC TI U AFFINE

1.2

Php

i mửc tiảu

!!
!!
Trong khổng gian, cho 2 h» tåa

º affine O i j O0 i0 j0 . GiÊ sò
i vợi hằ
v
tồa
!!0 !0!0 O i j , i”m O câ tåa º (a0; b0; ), i = (a1; b1); j
= (a2; b2). Łi vỵi mºt i”m
!!
Oi
0
0
0 0 0
M b§t k…, gåi (x; y) l tåa º cıa M Łi vỵi h»

OO0 =

!
!

!

!!

M(x ; y ) Łi vỵi h» O i j .

º i”m, ta câ:
0

a

i0

=

j0

=

!1
!2

!
!

i

a

i

a

OM =!

xi

!
!
O0 M0 = x 0i0

!

!

V…
!

OM = OO

xi
Tł

!
+ y0j0

yj
â, suy ra

8
>

x = a1x0

<

+

!

+ a2y0 + a0

0

0

>y = b x + b y + b
:

1

2

0

Vit dữợi dng ma trn:
2x3
4y5
flng thức trản

ữổc gồi l cæng thøc bi‚n Œi tł h» tåa

!!

0

!!

º O i j sang h» tåa

º

0

Oi j .
Tr÷íng hỉp °c bi»t: Ph†p tành ti‚n mưc ti¶u
Trong khỉng gian, cho 2 h» tåa º affine

!!

!!

, i”m

O

Oij
cıa M Łi vỵi h»

x; y v
Ta câ:

!!
0

0

x ;y .



CHìèNG 1. MệC TI U AFFINE

Vợi (a1; b1) = (1; 0) v (a2; b2) = (0; 1), flng thøc tr¶n trð th nh:

8x = x0

,

>


:

=y

+ a0

0

+ b0

>

!!

!!

¥y l cỉng thøc chuy”n tröc ph†p tành ti‚n tł O i j sang O 0 i j


Ch֓ng 2

֒ng thflng
2.1

Ph÷ìng tr…nh

֒ng thflng

!
Trong h» tåa º affine Oxy cho ÷íng thflng d i qua i”m M(x 0; y0) nhn u (a; b) l m
vector ch phữỡng.
!
Khi õ, vợi i”m M(x; y) b§t k… thuºc d, ta ln câ M0M cũng phữỡng vợi u, hay
0

!MM = t u vợi t l sŁ thüc. Do â, ÷íng thflng d câ th” xem nh÷ l t“p h

c¡c i”m
0

!M

M=tu
, (x x0; y y0) = t(a; b) (t 2 R)

,
H»

8
>
<

>

:

(1) ÷ỉc gåi l ph÷ìng tr…nh tham sŁ cı

ta s‡ t…m÷ỉc 1 bº sŁ (x; y) = (x0 + at; y0 + bt) l tồa 1 im thuc

ữớng thflng

d v ngữổc li, vợi mØi i”m M thuºc ÷íng thflng d, ta ln t…m ÷ỉc mºt sŁ thüc t
t÷ìng øng.
N‚u c£ 2 sŁ a; b ãu khĂc 0, t phữỡng trnh tham s, ta rút ra

ữổc, nu im

t=
Do õ, tp hổp tĐt cÊ cĂc im M(x; y) thuc

ữớng thflng d

ãu thọa mÂn phữỡng


5


CHìèNG 2. ìNG TH NG
trnh:

Phữỡng trnh trản chnh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng thflng d.
Hay:
bx ay
Phữỡng trnh trản ch‰nh l ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t cıa ÷íng thflng d:
V“y mồi ữớng thflng ãu cõ phữỡng trnh dng: Ax+By+C = 0 (A2 +B2 6= 0)
Ti‚p theo ta s‡ chøng minh iãu ngữổc li: tp hổp tĐt cÊ nhng imM m tồa
2

(x; y) ca nõ thọa mÂn phữỡng trnh Ax + By + C = 0
֒ng thflng.

2

(A + B 6= 0) l

mºt

Ta chån c°p sŁ x0; y0 thäa: Ax0 + By0 + C = 0
M : Ax + By + C = 0
Suy ra: A(x
Hay: A(x

x0) + B(y
x0) = B(y
2

y0) = 0
y0)

2

M
: (A +B 6=0)
Gi£ sß: A = 0, ta suy ra B = 0 (vổ lỵ)
Do õ: a; b 6= 0.
Gåi N l

i”m câ tåa

!

vecto u câ t⁄o º ( B; A), ta câ: A(x

Tøc l :

8
>

<
:

x = x0
y = y0

n‚u i”m M câ täa º thäa m ¢n phữỡng trnh (1) th nõ nm trản ữớng

>
thflng i qua i”m N v

V“y

2.2

Và tr‰ t÷ìng

Łi cıa hai

֒ng thflng


Cho hai ֒ng thflng d1 : A1x + B1y + C1 = 0(1) v d2 : A2x + B2y + C2 = 0(2) (A
2

2

2

2
1

+ B2 6= 0 v A 2 + B2 6= 0). Nhữ ta  bit s giao i”m cıa hai ÷íng thflng d 1 v d2
ch‰nh l sŁ nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh (1) v (2).


CH×ÌNG 2.

×˝NG TH NG

7

Gi£i h» (1) v (2) ta câ k‚t qu£ sau:
1. H» câ nghi»m duy nh§t , A1B2

A2B1 6= 0 , d1 v d2 c›t nhau

2. H» væ nghi»m

3. H» câ væ sŁ nghi»m , A1B2 A2B1 = A1C2 A2C1 = B1C2 B2C1 = 0 , d1 tròng d2


CHìèNG 2. ìNG TH NG

2.3

Chũm

ữớng thflng

Tp hổp tĐt cÊ nhng ÷íng thflng cịng in qua mºt i”m I gåi l mt chũm ữớng
thflng. im I gồi l tƠm cÊu chũm ÷íng thflng â.
Gi£ sß i”m I câ ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t:
8
>
A1x + B1y + C1 = 0

<
>A x + B y + C = 0
:

2

2

2

Trong â: A1B2 6= A2B1 Gåi a; b l hai s thỹc tũy ỵ khổng ỗng thíi b‹ng khỉng. Ta
s‡ chøng minh ph÷ìng tr…nh: a(A1x + B1y + C1) + b(A2x + B2y + C2) = 0 (3) bi”u
thà cho mºt ÷íng thflng n o â cıa chòm.
(3)
, (aA1 + bA2)x + (aB1 + bB2)y +
aC1 + bC2 = 0 8
>

aA

1

+ bA2 = 0

<
>aB + bB = 0
:

1

2

M A1B2 6= A2B1 suy ra a = b = 0 (trĂi vợi giÊ sò) Vy
(3) l phữỡng trnh cıa mºt ÷íng thflng i qua I.
Ti‚p theo ta s‡ chứng minh iãu ngữổc li nu chũm ữớng thflng ữổc xĂc nh

bọi hai ữớng thflng d1 v d2 th bĐt ký ữớng thflng n o ca chũm ãu cõ phữỡng tr
nh dng (3).
GiÊ sò d l mt ữớng thflng n o â cıa chòm, tøc l d i qua i”m I(x 0; y0), lĐy im
M(x1; y1) 6= I thuc ữớng thflng d, °t a = A2x1 + B2y1 + C2 v


CH×ÌNG 2. ×˝NG TH NG
b=

2

2

(A1x1 + B1y1 + C1) d„ d ng th§y a + b 6= 0 v… M 6= I.

X†t ph÷ìng tr…nh:
a(A1x + B1y + C1) + b(A2x + B2y + C2) = 0

8aA

(4)

>

Gi£ sß:

<

1

+ bA2 = 0

>aB + bB = 0
:

1

2

M : A1B2 6= A2B1 suy ra a = b = 0 (trĂi vợi giÊ sò) Vy
(4) l ph÷ìng tr…nh cıa mºt ÷íng thflng i qua I. D d ng
thĐy (x1; y1) thọa mÂn phữỡng trnh (4).
Vy ph÷ìng tr…nh (3) l ph÷ìng tr…nh cıa chịm ÷íng thflng.


Chữỡng 3
Mửc tiảu Euclide
3.1

Mửc tiảu Euclid

Oij
Hằ tồa trỹc chu'n l h» tåa º affine
8

!!

!!

>ij=0

<

và vng gâc vỵi nhau !

2

!

2

>i =j =1

:
Mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n: H» tåa º trỹc chu'n
affine, v cõ thảm mt s tnh chĐt °c bi»t:
8

cä ƒy ı t‰nh ch§t cıa h» tåa

!

> u = (a; b)

Cho

<

!

> v = (c; d)

:

1.
2

10


CH×ÌNG 3. MƯC TI U EUCLIDE

!
!
M i2 = j2 = 1

j

!

! !

2. u

= u :u = a

j

cos( u ; v ) =
3.

p

AB =
4.

5.
Cho i”m M(x0; y0) v ÷íng thflng (d) : Ax + By + C = 0. Khi â kho£ng
c¡ch tł i”m M ‚n ÷íng thflng d l :
jAx0 + By0 + Cj
d[M; (d)] =

p

2

A +B

3.2

Ph†p

2

Œi mưc ti¶u
!!

Trong mưc ti¶u trüc chu'n

Oij

!0 0!

sao cho (O ;i ;j; ) l“p th nh mửc tiảu trỹc chu'n mợi. Cho im M cŁ ành câ tåa
º trong mưc ti¶u trüc chu'n cơ v mợi ln lữổt l
i mửc tiảu affine, ta cõ:
8
>
x = a1x0

<

+ a2y0 + a0

0

0

>y = b x + b y + b
:

1

2

0

Vit dữợi dng ma trn:
2x3
4y5

8

>2
8

>

2

!!
M : ij = 0
2
>

i


<
!
>

:

>

:
Tr÷íng hỉp °c bi»t:

CHìèNG 3. MệC TI U EUCLIDE
1. Tnh tin mửc tiảu

Trong khæng gian, cho 2 h» tåa º affine

!!

!!

, i”m

Oij
º cıa M Łi vỵi h»

!!
0

0

giœa c¡c sŁ x; y v x ; y .
Ta câ:

Vỵi (a1; b1) = (1; 0) v

8

>x = x0 + a0
<

,

>y = y0 + b
:

0

!!

!!

¥y l cỉng thøc chuy”n tröc ph†p tành ti‚n tł O i j sang O 0 i j

2. Quay mưc ti¶u gâc

: QO (

l gâc l÷ỉng gi¡c)


CH×ÌNG 3. MƯC TI U EUCLIDE

Trong khỉng
! 0
!
!0
º O i j , i = (cos ; sin ) ;j = (

gåi (x; y; z) l

tåa º cıa

0

0

Ta t…m sü li¶n h» giœa c¡c sŁ x; y v x ; y .
QO :

2

x

8

4

y

x = x0

>

<

)
>y = x0

:
¥y l cỉng thøc chuy”n tröc ph†p quay tł

!!

Chữỡng 4
Mt s

ữớng bc hai

Ta xt tĐt cÊ cĂc

4.1

c biằt

ữớng bc hai sau trong mửc tiảu trỹc chu'n.

ữớng trặn

Trong mt phflng cho i”m I(x0; y0) cŁ ành, t“p hỉp t§t c£ c¡c i”m M cıa m°t
phflng c¡ch sao cho M I = R (trong â R l mºt sŁ khæng Œi v lỵn hìn khỉng v R
gåi l b¡n k‰nh ÷íng trỈn) ÷ỉc gåi l mºt ÷íng trỈn. Ta câ M(x; y) l mt im
thuc ữớng trặn nản:
2

2

2

M I = R , M I = R , (x

x0) + (y

2

y0) = R

2

Ơy chnh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng trặn tƠm I bĂn knh R.
14


CHìèNG 4. MáT Să ìNG B C HAI C BI T

4.2

Elip

Trong m°t phflng cho hai i”m F1; F2 cŁ ành F1F2 = 2c (c > 0). T“p hỉp t§t c£
nhœng i”m M(x; y) cıa m°t phflng â sao cho M F1 + M F2 = 2a (trong â a l
Ta cõ M(x; y) l mt im thuc ữớng elip nản:
M F1 + M F2 = 2a
p

,

(

(x + c)

2

p(

)+ +4

x c

,

(

x c

,

p
a

,

2

2

2

a ((x c) + y ) = (a

,
, (a

x
2

2

2

2

(a2

,

c

x

,
2
Do a > c °t a

2

2

c )x + a y

2

a

2

a

+

x2

y2

2

2

a
b
+
¥y ch‰nh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng elip vợi hai tiảu i”m F 1; F2 v

=1


c
t e =
l hai ữớng chu'n ca elip.

a

tiảu


CHìèNG 4. MáT Să ìNG B C HAI C BI T

Ta cõ tnh chĐt sau:
Nhữ vy ta cõ nh nghắa kh¡c cho elip: cho

i”m F1, ÷íng thflng d1 khỉng i

qua F1 v mºt h‹ng sŁ e < 1.
T“p hỉp t§t c£ i”m M trong m°t phflng thäa

4.3

֒ng Hipebol

Trong m°t phflng cho hai i”m F1; F2
c£ nhœng i”m M(x; y) cıa m°t phflng â sao cho jM F1
mºt sŁ khæng Œi nhä hìn c) ÷ỉc gåi l
Ta câ M(x; y) l
jM F1

M F2j = 2a

, MF1
,

p
(x + c) 2

(x + c)
p(

2

+)+ =

,
,

2

cx a

x c

2

(c

a )x

,
,

2

x2

2 2


,
2
Do a < c °t c

2

a

c

2