Tài liệu Khảo sát tính ổn định của hệ thống ppt

Môn học Môn học
CƠ SỞ TỰ ĐỘNGCƠ SỞ TỰ ĐỘNG
Biên son: TS. Hunh Thái Hồng
 
B mơn đi

u khi

n t đng
Khoa in – in T
i hc Bách Khoa TPHCM
Email:
Homepage: www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/
Ging viên: HTHồng, NVHo, NHồng, BTHuyn, HHPhng, HMTrí
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
Chương 4Chương 4
KHẢO SÁT KHẢO SÁT
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 2

Kha
ù
i
niệm
o
å
n
đònh
Nội dung chương 4Nội dung chương 4

Khai

niệm
on
đònh
 Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
 Điều kiện cần
Ti â
hå
Rh

Ti
e
â
uc
h
ua
å
n
R
out
h
 Tiêu chuẩn Hurwitz
 Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
 Khái niệm về QĐNS
 Phương pháp vẽ QĐNS

Xe
ù
t
o
å

n
đònh
du
ø
ng
QĐNS

Xet
on
đònh
dung
QĐNS
 Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
 Tiêu chuẩn ổn đònh Bode

Ti â
hå
å
đò h
Nit

Ti
e
â
uc
h
ua
å
no
å

n
đò
n
h
N
yqu
i
s
t
9 September 2011 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
åå
Khaùi nieäm o
å
n ñònhKhaùi nieäm o
å
n ñònh
9 September 2011 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 4
Khái niệm ổn đònhKhái niệm ổn đònh
Đònh nghóa o
å
nđònhBIBònh nghóa o
å
nđònhBIBO
Đònh

nghóa

on

đònh

BIBònh

nghóa

on

đònh

BIBO
 Hệ thống được gọi là ổn đònh BIBO (Bounded Input Bounded
Output)
ne
á
u
đa
ù
p
ư
ù
ng
cu
û
a
hệ
bò
chặn
khi
tín
hiệu

va
ø
o
bò
chặn
Hệ thống
u(t)
y(t)
Output)
neu
đap
ưng
cua
hệ
bò
chặn
khi
tín
hiệu
vao
bò
chặn
.
y(t) y(t) y(t)
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 5
Khái niệm ổn đònhKhái niệm ổn đònh
Cưc va
ø
zeroCưc va
ø

zero
Cư
ï
c

va

zeroCư
ï
c

va

zero
m
m
b
b
b
b
Y

1
)
(
 Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:
n
n
A


1
)
(
Đë
ã
á
hø
à
nn
nn
mm
m
m
asasasa
b
s
b
s
b
s
b
sU
s
Y
sG











1
1
10
1
1
10
)(
)
(
)(


nn
n
n
asasasas
A





1
1
10

)
(

mm
mm
bsbsbsbsB 


1
1
10
)( 

Đ
a
ë
t: ma
ã
uso
á
h
a
ø
m truye
à
n
tử số hàm truyền
 Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương
trình B(s)=0.DoB(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là z
i

,
i
=
1
2
m
 Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của
phương trình A(s)=0.DoA(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký
i
=
1
,
2
,…
m
.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 6
hiệu là
p
i
, i =1,2,…m
.
Khái niệm ổn đònhKhái niệm ổn đònh
Gia
û
nđo
à
cưcGia
û
nđo

à
cưc
zerozero
 Giản đồ cực – zero là đồ thò biểu diễn vò trí các cực và các zero
á
ú
Gian

đo

cư
ï
c

Gian

đo

cư
ï
c

zerozero
của hệ tho
á
ng trong mặt pha
ú
ng phức.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 7
Khái niệm ổn đònhKhái niệm ổn đònh

Đie
à
u kiện o
å
nđònhĐie
à
u kiện o
å
nđònh
 Tính ổn đònh của hệ thống phụ thuộc vào vò trí các cực.

Hä
th á
ù
tát
û
ù
ư
ù
hà
thư
â
(ù
tát
û
ù
ư
Đieu

kiện

on

đònhĐieu

kiện

on

đònh

H
e
ä
th
o
á
ng co
ù
t
a
át
ca
û
ca
ù
cc
ư
ïc co
ù

p
h
a
à
n
thư
ïc a
â
m
(
co
ù
t
a
át
ca
û
ca
ù
cc
ư
ïc
đều nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống ổn đònh.
 He
ä
thốn
g
có cưc có
p
hần thưc bằn

g
0
(
nằm trên truc ảo
),
các cưc
ä
g
ï
p
ï
g
(
ï
),
ï
còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn đònh.
 Hệ thống có
ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một
è
bâ
hûi
ë
hú
hù)
hä
há
kh â
å
đò h

cực na
è
m
b
e
â
np
h
a
ûi
ma
ë
tp
h
a
ú
ng p
h
ư
ù
c
)
:
h
e
ä
t
h
o
á

ng
kh
o
â
ng o
å
n
đò
n
h
.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 8
Khái niệm ổn đònhKhái niệm ổn đònh
Phương trình đặc trưng (PTĐT)Phương trình đặc trưng (PTĐT)
 Phương trình đặc trưng: phương trình A(s)=0

Đ
thứ
đë
tư
đ
thứ
A
(
)
Phương

trình

đặc

trưng

(PTĐT)Phương

trình

đặc

trưng

(PTĐT)

Đ
a
thứ
c
đ
a
ë
c
t
r
ư
ng:
đ
a
thứ
c
A

(
s
)
 Chú ý:
Hệ thống mô tả bằng PTTT

)
(
)
(
)
(
t
t
t
B
A

Hệ thống hồi tiếp
Y(s)
R(s)






)()(
)
(

)
(
)
(
tty
t
u
t
t
Cx
B
A
x
x
Y
ht
(s)
0
)
(
)
(
1
G
Phương trình đặc trưng Phương trình đặc trưng


9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 9
0
)

(
)
(
1

 s
H
s
G


0det


A
I
s
åå áåå á
Tieâu chua
å
n o
å
n ñònh ñaïi so
á
Tieâu chua
å
n o
å
n ñònh ñaïi so
á

9 September 2011 © H. T. Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 10
Tiêu chuẩn ổn đònh đại sốTiêu chuẩn ổn đònh đại số
Đie
à
u kiện ca
à
nĐie
à
u kiện ca
à
n
 Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của phương
tì h
đë
tư
h
û
i
kh
ù
0
øø
d
á
Đieu

kiện

canĐieu

kiện

can
t
r
ì
n
h
đ
a
ë
c
t
r
ư
ng p
h
a
i
kh
ac
0
va cung
d
au.
 Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:
2
3
å
0123

2
3

 sss
0352
24

 sss
0
1
2
5
4
2
3
4
Không o
å
nđònh
Không ổn đònh
Ch
ká
lä
đ
0
1
2
5
4
2

3
4



 ssss
Ch
ưa
k
e
á
t
l
ua
ä
n
đ
ược
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 11
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Qui ta
é
c tha
ø
nh lập ba
û
ng RouthQui ta
é
c tha
ø

nh lập ba
û
ng Routh
 Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Qui

tac

thanh

lập

bang

RouthQui

tac

thanh

lập

bang

Routh
0
1
1
1
0






nn
a
s
a
s
a
s
a
0
1
1
0





 nn
a
s
a
s
a
s
a


 Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước
tiên ta thành la
äp
b
ản
g
R
outh theo
q
ui tắc:
äp
g
q
 Bảng Routh có n+1 hàng.
 Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.
 Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
 Phần tử ở hàng
i cột j của bảng Routh (i  3) được tính theo
â
thứ
co
â
ng
thứ
c:
1,11,2
.




jiijiij
ccc

1,2


i
c

ới
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 12
1,1

i
i
c

v
ới
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Dang ba
û
ng RouthDang ba
û
ng Routh
Da
ï
ng

bang

RouthDa
ï
ng

bang

Routh
1,11,2
.



jiijiij
ccc

1,2


i
c

9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 13
1,1

i
i
c


Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Pha
ù
tbie
å
utie
â
u chua
å
nPha
ù
tbie
å
utie
â
u chua
å
n
 Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả các phần tử
n
ằm
ơ
û
c
o
ä
t1
c
ủa
b

ản
g
R
outh đều dươn
g
. Số lần đổi dấu của các
Phat

bieu

tieu

chuanPhat

bieu

tieu

chuan
ä
g
g
phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình
đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 14
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 1Thí du 1
 Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí

du
ï
1Thí

du
ï
1
01254
234





ssss
 Giải: Bảng Routh

Ke
á
t
luận
:
Hệ
tho
á
ng
o
å
n
đònh

do
ta
á
t
ca
û
ca
ù
c
pha
à
n
tư
û
ơ
û
cột
1
ba
û
ng
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 15

Ket
luận
:
Hệ
thong
on
đònh

do
tat
ca
cac
phan
tư
ơ
cột
1
bang
Routh đều dương.
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 2Thí du 2
 Xét tính ổn đònh của hệ thống có sơ đồ khối:
Thí

du
ï
2Thí

du
ï
2
50
)
(
G
Y
(
s

)
R
(
s
)
)5)(3(
)
(
2


ssss
s
G
1
)
(

s
H
(
)
(
)
 Giải: Phươn
g
trình đa
ë
ctrưn
g

của he
ä
thốn
g
:
2
)
(

s
s
H
g
ë
g
ä
g
0)().(1

 s
H
sG
0
150
1



0
)2(

.
)5)(3(
1
2



sssss

050)2)(5)(3(
2
 sssss

9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 16
0503031166
2345





 sssss

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 2 (tt)Thí du 2 (tt)
Thí

du
ï
2

(tt)Thí

du
ï
2

(tt)
 Bảng Routh
 Kết lua
ä
n: He
ä
thốn
g
khôn
g
ổn đ
ò
nh do tất cả các
p
hần tử ở co
ä
t1
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 17
ä
ä
g
g
ò

p
ä
bảng Routh đổi dấu 2 lần.
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 3Thí du 3
 Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn đònh:
Thí

du
ï
3Thí

du
ï
3
R
(
s
)
Y
(
s
)
)2)(1(
)(
2


ssss
K

sG
R
(
s
)
Y
(
s
)
 Giải: Phươn
g
trình đa
ë
ctrưn
g
của he
ä
thốn
g
là:
g
ë
g
ä
g
0)(1

 sG
0
1

K


0
)2)(1(
1
2



ssss
0
2
3
3
234





K
s
s
s
s
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 18

0
2

3
3




K
s
s
s
s
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 3 (tt)Thí du 3 (tt)
Thí

du
ï
3

(tt)Thí

du
ï
3

(tt)
 Bảng Routh
 Điều kiện để hệ thống ổn đònh:




 0
7
9
2 K
14
0


K

9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 19



 0
7
K
9
0


K

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trươ
ø
ng hơp đặc biệt 1Trươ
ø
ng hơp đặc biệt 1

Trương

hơ
ï
p

đặc

biệt

1Trương

hơ
ï
p

đặc

biệt

1
 Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ
số còn la
ï
i của hàn
g
đó khác 0 thì ta tha
y
h
e

ä
s
ố
b
ằn
g
0
ơ
û
c
o
ä
t1
b
ởi
ï
g
y
ä
g
ä
số

dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 20
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 4Thí du 4
 Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí

du
ï
4Thí

du
ï
4
03842
234





ssss
 Giải:
Bảng Routh
 Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên
phương
trình
đặc
trưng
cu
û
a
hệ
tho
á
ng
co

ù
hai
nghiệm
na
è
m
be
â
n
pha
û
i
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 21
phương
trình
đặc
trưng
cua
hệ
thong
co
hai
nghiệm
nam
ben
phai
mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn đònh .
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Trươ
ø

ng hơp đặc biệt 2Trươ
ø
ng hơp đặc biệt 2
Trương

hơ
ï
p

đặc

biệt

2Trương

hơ
ï
p

đặc

biệt

2
 Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:

Tha
ø
nh
lập

đa
thư
ù
c
phu
tư
ø
ca
ù
c
hệ
so
á
cu
û
a
ha
ø
ng
trươ
ù
c
ha
ø
ng
co
ù
ta
á
t

Thanh
lập
đa
thưc
phu
ï
tư
cac
hệ
so
cua
hang
trươc
hang
co
tat
cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A
0
(s).
 Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
á
á
các hệ so
á
chính là các hệ so
á
của đa thức dA
0
(s)
/

ds, sau đó quá
trình tính toán tiếp tục.
 Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A
0
(s) cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 22
Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 5Thí du 5
 Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí

du
ï
5Thí

du
ï
5
047884
2345






sssss
 Giải: Bảng Routh
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 23

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Routh
Thí du 5 (tt)Thí du 5 (tt)
 Đa thức phụ:
Thí

du
ï
5

(tt)Thí

du
ï
5

(tt)
44)(
2
0
 ssA
08
)(
0
 s
d
sdA

 Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình
đặc
trưng)

:
d
s
đặc
trưng)
:

Ke
á
t luận:
044)(
2
0
 ssA
j
s




Ket

luận:
 Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc
trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
 Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.
 Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 24
H
ệ thống ở biên giới ổn đònh

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz Tiêu chuẩn ổn đònh đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz
Qui ta
é
c tha
ø
nh lập ma trận HurwitzQui ta
é
c tha
ø
nh lập ma trận Hurwitz
 Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Qui

tac

thanh

lập

ma

trận

HurwitzQui

tac

thanh

lập

ma

trận

Hurwitz
0
1
1
1
0





nn
a
s
a
s
a
s
a
0
1
1
0






 nn
a
s
a
s
a
s
a

 Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,
trước tiên ta thành la
äp
m
atra
ä
n
H
urwit
z
theo
q
ui tắc:
äp
ä
z
q
 Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp nn.

 Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a
1
đến a
n
.
 Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm cáchệsốcóchỉsốlẻtheo
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở
be
â
n
tra
ù
i
đươ
ø
ng
che
ù
o
ben
trai
đương
cheo
.
 Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm cáchệsốcóchỉsốchẳn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần
9 September 2011 © H. T. Hồng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 25
nếu ở bên trái đường chéo.