(LUẬN văn THẠC sĩ) bài toán tựa cân bằng đối với ánh xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

NGUYỄN ĐÌNH NGOAN

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG
ĐỐI VỚI ÁNH XẠ NỬA LIÊN TỤC DƯỚI
VÀ NỬA LIÊN TỤC TRÊN TÁCH BIẾN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Bùi Thế Hùng

THÁI NGUYÊN - 2021

download by :


Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc
hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong
luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021
Người viết luận văn

Nguyễn Đình Ngoan
Xác nhận
của khoa chun mơn

Xác nhận
của người hướng dẫn

TS. Bùi Thế Hùng

download by :


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc tới tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn,
giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành
luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, cùng toàn thể các thầy cơ
giáo khoa Tốn- Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã
truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và
cho tơi những ý kiến đóng góp q báu trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp
đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 01 năm 2021
Người viết luận văn

Nguyễn Đình Ngoan

ii

download by :


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Bài toán cân bằng đối với ánh xạ nửa liên tục dưới
và nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Tập lồi và tính chất của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Tính nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị . .

8

1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. Bài toán tựa cân bằng đối với ánh xạ nửa liên tục
dưới và nửa liên tục trên tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1. Bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.3. Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

iii

download by :


Danh mục các ký hiệu, các chữ viết
tắt

R

tập các số thực

R+

tập số thực không âm

R−

tập số thực không dương

Rn

không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+

tập các véctơ không âm của Rn

Rn−

tập các véctơ không dương của Rn

2X

tập tất cả các tập con của X

f :X→Y

ánh xạ đơn trị từ tập X vào tập Y

F : X → 2Y

ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y

dom F

miền định nghĩa của ánh xạ đa trị F

gph F

đồ thị của ánh xạ đa trị F

A := B

A được định nghĩa bằng B

∅

tập rỗng

A⊆B

A là tập con của B

A⊆B

A không là tập con của B

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

A\B

hiệu của hai tập hợp A và B
iv

download by :


B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

A

bao đóng tôpô của tập hợp A

int A

phần trong tôpô của tập hợp A

conv A

bao lồi của tập hợp A

cone A

nón sinh bởi tập A

(EP )

bài toán cân bằng véctơ

(QEP )

bài toán tựa cân bằng véctơ

(GQEP )

bài toán tựa cân bằng tổng quát

(M GQEP )

bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp

usc

nửa liên tục trên

lsc

nửa liên tục dưới

✷

kết thúc chứng minh

v

download by :


Mở đầu

Bài tốn cân bằng vơ hướng được E. Blum và W. Oettli [3] nghiên cứu
vào năm 1994. Từ bài tốn này ta có thể suy ra các bài tốn khác nhau
trong lý thuyết tối ưu như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến
phân, bài toán bù, bài toán cân bằng Nash, bài toán điểm yên ngựa, bài
tốn điểm bất động, ... Sau đó bài tốn trên được mở rộng cho trường hợp
tập ràng buộc và ánh xạ mục tiêu là ánh xạ đa trị. Bài toán cân bằng
trong trường hợp này thường được gọi với một cái tên khác là bài toán tựa
cân bằng vectơ đa trị, bài tốn này đóng vai trị trung tâm của lý thuyết
cân bằng vectơ hay còn gọi là lý thuyết cân bằng đa mục tiêu. Lý thuyết
này được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá
trị của Edgeworth, gắn liền với tên tuổi của một số nhà tốn học lớn, ta
có thể kể đến như Hausdorff, Cantor, Borel, Von Neumann, Koopmans,
.... Nhưng cũng phải cho tới năm 1954 với cơng trình của Deubreu về giá
trị cân bằng và tối ưu Pareto, lý thuyết cân bằng vectơ mới được cơng
nhận là ngành tốn học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tế và
được rất nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm nghiên cứu.
Khi nghiên cứu bài toán cân bằng người ta thường quan tâm đến sự tồn
tại nghiệm của nó. Hầu hết các kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng được thiết lập cho hàm mục tiêu là nửa liên tục trên hoặc
nửa liên tục dưới hoặc nặng hơn là liên tục (xem [3]-[11]). Năm 2018, bằng
phương pháp sử dụng định lý phân hoạch đơn vị kết hợp với định lý điểm
bất động Kakutani- Fan- Glicksberg, N. X. Tan [13] đã thiết lập điều kiện
đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng với hàm mục tiêu là
1

download by :


nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên tách biến. Mục đích chính của luận
văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả này.

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chương 1 của luận văn dành cho việc trình bày một số kiến thức cơ sở
về giải tích lồi, giải tích đa trị như khái niệm ánh xạ đa trị, tính nửa liên
tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị. Ngoài ra, chúng tơi
cũng trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
cân bằng đối với ánh xạ nửa liên tục trên và ánh xạ nửa liên tục dưới.
Chương 2 trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
tựa cân bằng đối với ánh xạ mục tiêu là nửa liên tục dưới và nửa liên tục
trên tách biến. Một số áp dụng vào bài toán tựa cân bằng tổng quát và
bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp cũng được trình bày.

2

download by :


Chương 1
Bài toán cân bằng đối với ánh xạ
nửa liên tục dưới và nửa liên tục
trên
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn
tại nghiệm của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và
ánh xạ nửa liên tục dưới. Ngồi ra, chúng tơi trình bày một số kiến thức
và kết quả quen biết về giải tích đa trị được chúng tơi trích ra từ các cuốn
sách chun khảo về giải tích đa trị [1] và [2].

1.1. Tập lồi và tính chất của tập lồi
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là khơng gian tuyến tính. Tập A ⊆ X được
gọi là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A ta ln có

λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1].
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Aα ⊆ X là các tập lồi với mọi α ∈ I , với I là
tập chỉ số bất kì. Khi đó tập A = ∩ Aα lồi.
α∈I

Chứng minh. Lấy x, y ∈ A. Khi đó x, y ∈ Aα , với mọi α ∈ I . Do Aα là lồi
với mọi α ∈ I nên λx + (1 − λ)y ∈ Aα , với mọi λ ∈ [0, 1], α ∈ I. Do đó
3

download by :


λx + (1 − λ)y ∈ A với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy A là tập lồi.
Mệnh đề 1.1.3. Giả sử Ai ⊆ X là tập lồi và λi ∈ R (i = 1, 2, . . . , m).
Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am là tập lồi.
Chứng minh. Đặt A = λ1 A1 + λ2 A2 + · · · + λm Am . Lấy x, y ∈ A và

λ ∈ [0, 1]. Khi đó tồn tại xi ∈ Ai , yi ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , m sao cho
x = λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λm xm ,
y = λ1 y1 + λ2 y2 + · · · + λm ym .
Ta có

λx + (1 − λ)y = λ(λ1 x1 + · · · + λm xm ) + (1 − λ)(λ1 y1 + · · · + λm ym )
= λ1 [λx1 + (1 − λ)y1 ] + · · · + λm [λxm + (1 − λ)ym ].
Do Ai là tập lồi nên

λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai , với mọi λ ∈ [0, 1], i ∈ {1, 2, ..., m}.
Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1]. Vậy A là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử X là khơng gian tuyến tính, A là một tập con

của X . Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của
tập A và kí hiệu là conv A.
Định lí 1.1.5. Giả sử A là tập con của khơng gian tuyến tính X . Khi đó

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là
n

n

αi xi : xi ∈ A, αi ≥ 0,

conv A =
i=1

αi = 1 .
i=1

Chứng minh. Ta có conv A là tập lồi. Vì A ⊆ conv A nên conv A chứa tất
cả các tổ hợp lồi của A. Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi và
chứa A, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A). Vậy

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A.
4

download by :


1.2. Ánh xạ đa trị
Giả sử X và Y là hai tập hợp. Ký hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X.
Định nghĩa 1.2.1. Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với mỗi phần
tử x ∈ X cho một tập con của Y , được ký hiệu F : X → 2Y .
Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tập
con của X × Y , ký hiệu là gph F và được xác định bởi

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x) .
Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F .
Miền xác định của F , ký hiệu dom F , xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) = ∅ .
Ví dụ 1.2.2. Xét phương trình đa thức với hệ số thực

xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0,
Quy tắc cho ứng mỗi vectơ a = (a1 , a2 , ..., an ) ∈ Rn với tập nghiệm của
phương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị

F : Rn → 2C
từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C.
Định nghĩa 1.2.3. Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đa
trị F : X → 2Y . Ta nói rằng:
(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y , với mọi x ∈ X .
(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y.
Định nghĩa 1.2.4. Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y là
ánh xạ đa trị. Ta nói rằng:
5

download by :

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y , với mọi x ∈ X .
(ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y.
(ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y.
(iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y.
Ta dễ dàng chứng minh được kết quả đơn giản dưới đây.
Mệnh đề 1.2.5. Giả sử X, Y là các khơng gian tơpơ tuyến tính và ánh
xạ đa trị F : X → 2Y . Khi đó:
(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng.
(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở.
(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi.
(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

(1 − t)F (x) + tF (x ) ⊆ F ((1 − t)x + tx ) với mọi x, x ∈ X và t ∈ [0, 1].
Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc là
ánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng.
Ví dụ 1.2.6. Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau

F (n) =

conv 1, 2, ..., n − 1 , nếu n ≥ 2,
{0}, nếu n=1.

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Tuy nhiên F khơng là ánh xạ
lồi.
Ví dụ 1.2.7. Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

F (x) =

[0, 1], nếu x = 0,
R, trong trường hợp cịn lại.

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng. Mặt khác ta có

gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} × R)
là tập khơng đóng trong R2 và như vậy F khơng là ánh xạ đóng.
6

download by :


Định nghĩa 1.2.8. Cho X, Y, Z là các không gian tuyến tính và các ánh
xạ đa trị F, G : X → 2Y , H : Y → 2Z .
(i) Ánh xạ tổng của F và G là ánh xạ đa trị F + G : X → 2Y xác định bởi

(F + G)(x) = F (x) + G(x) với mọi x ∈ X.
(ii) Ánh xạ giao của F và G là ánh xạ đa trị F ∩ G : X → 2Y xác định
bởi

(F ∩ G)(x) = F (x) ∩ G(x) với mọi x ∈ X.
(iii) Ánh xạ hợp của F và G là ánh xạ đa trị F ∪ G : X → 2Y xác định
bởi

(F ∪ G)(x) = F (x) ∪ G(x) với mọi x ∈ X.
(iv) Ánh xạ hợp thành của F và H là ánh xạ đa trị H ◦ F : X → 2Z xác
định bởi

(H ◦ F )(x) =

H(F (x)) =
x∈X

H(y).
x∈X y∈F (x)

(v) Ánh xạ tích Descartes của F và G là ánh xạ đa trị F × G : X → 2Y

2

xác định bởi

(F × G)(x) = F (x) × G(x).
(vi) Ánh xạ bao lồi của F là ánh xạ đa trị conv F : X → 2Y xác định bởi

conv F (x) = conv(F (x)) với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.9. Cho X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ bao đóng
của F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của
đồ thị của ánh xạ F , tức là

gph(cl F ) = cl(gph F ).
Định nghĩa 1.2.10. Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta
gọi ánh xạ ngược của F , ký hiệu là F −1 : Y → 2X , được xác định bởi

F −1 (y) = x ∈ X : y ∈ F (x) , với y ∈ Y.
Ta nói F −1 (y) là ảnh ngược của y .
7

download by :


Mọi ánh xạ đa trị đều có ánh xạ ngược, điều này không đúng đối với

ánh xạ đơn trị. Mệnh đề dưới đây khẳng định nếu ánh xạ đa trị có ảnh
ngược tại mỗi điểm là mở thì ánh xạ bao lồi của nó cũng có tính chất như
vậy. Phần chứng minh của mệnh đề này có thể xem trong [14].
Mệnh đề 1.2.11. Giả sử X, Y là các không gian tơpơ tuyến tính và ánh
xạ đa trị F : X → 2Y có ảnh ngược tại mỗi điểm là tập mở trong X . Khi
đó ánh xạ bao lồi conv F : X → 2Y của F có ảnh ngược tại mỗi điểm là
mở trong X .

1.3. Tính nửa liên tục dưới và nửa liên tục trên của
ánh xạ đa trị
Trước hết ta nhắc lại khái niệm liên tục của ánh xạ đơn trị giữa các
không gian tôpô.
Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô

X vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi tập
mở V trong Y chứa f (x0 ), tồn tại lân cận mở U trong X chứa x0 sao cho

f (U ) ⊆ V .
Trong trường hợp F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X
vào không gian tôpô Y , Berge đã đưa ra khái niệm về tính nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 1.3.2. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2Y .
(i) F được gọi là nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x0 nếu với mỗi
tập mở V trong Y thỏa mãn F (x0 ) ∩ V = ∅, tồn tại lân cận U của x0
trong X sao cho F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U .
(ii) F được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x0 nếu với mỗi
tập mở V trong Y thỏa mãn F (x0 ) ⊆ V , tồn tại lân cận U của x0 trong

X sao cho F (x) ⊆ V với mọi x ∈ U .
8

download by :


(iii) Nếu F là lsc và usc tại x0 thì ta nói F liên tục tại x0 .
(iv) Nếu F là lsc (usc) tại mọi điểm thì ta nói F là lsc (usc).
Ta cũng dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ đa trị có ảnh ngược tại mỗi
điểm là mở đều là ánh xạ nửa liên tục dưới và điều ngược lại không đúng.
Các khái niệm usc và lsc theo nghĩa Berge là hồn tồn khác nhau. Các ví
dụ dưới đây minh họa cho điều khẳng định đó.
Ví dụ 1.3.3. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức

F (x) =

R, nếu x = 0,
{0}, nếu x = 0.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là usc tại x0 = 0, nhưng F
khơng lsc tại x0 = 0.
Ví dụ 1.3.4. Cho ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi công thức

F (x) =

{0}, nếu x = 0,
R, trong trường hợp cịn lại.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F là lsc tại x0 = 0, nhưng F
không usc tại x0 = 0.
Mệnh đề sau đưa ra điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục
dưới và nửa liên tục trên.

Mệnh đề 1.3.5. Giả sử X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ đa trị

F : X → 2Y . Khi đó
(i) F là lsc trên X nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong Y , tập

F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅}
là mở trong X .
(ii) F là usc trên X nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong Y , tập

F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊆ V }
là mở trong X .
9

download by :


Chứng minh. (i) Giả sử F là lsc trên X và V là tập mở trong Y . Ta chứng
minh tập

F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅}
là mở trong X . Thật vậy, nếu F −1 (V ) = ∅ thì F −1 (V ) là tập mở. Giả sử

F −1 (V ) = ∅. Lấy x ∈ F −1 (V ) bất kỳ. Từ đó suy ra F (x) ∩ V = ∅. Vì F
là lsc tại x nên tồn tại lân cận U của x sao cho

F (x) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ U ∩ dom F.
Điều này chứng tỏ U ⊆ F −1 (V ). Vậy F −1 (V ) là tập mở.
Ngược lại, lấy x0 ∈ dom F tùy ý và V là là tập mở Y thỏa mãn F (x0 )∩V =

∅. Từ đó suy ra x0 ∈ F −1 (V ). Vì F −1 (V ) mở trong X nên tồn tại lân cận

U của x0 sao cho U ⊆ F −1 (V ). Điều này chứng tỏ F (x) ∩ V = ∅ với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Vậy F là lsc.
(ii) Giả sử F là usc trên X và V là tập mở trong Y . Ta chứng minh tập

F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊆ V }
là mở trong X . Nếu F − (V ) = ∅ thì F − (V ) là tập mở. Giả sử F − (V ) = ∅.
Lấy x0 ∈ F − (V ) bất kỳ. Từ đó suy ra F (x0 ) ⊆ V . Vì F là usc tại x0 nên
tồn tại lân cận U của x0 sao cho

F (x) ⊆ V với mọi x ∈ U ∩ dom F.
Điều này chứng tỏ U ⊆ F − (V ). Vậy F − (V ) là tập mở.
Ngược lại, lấy x0 ∈ dom F tùy ý và V là là tập mở Y thỏa mãn F (x0 ) ⊆ V .
Từ đó suy ra x0 ∈ F − (V ). Vì F − (V ) mở trong X nên tồn tại lân cận

U của x0 sao cho U ⊆ F − (V ). Điều này chứng tỏ F (x) ⊆ V với mọi
x ∈ U ∩ dom F . Vậy F là usc.
Mệnh đề 1.3.6. (Xem [12])Giả sử F : X → 2Y là ánh xạ đa trị từ không
gian tôpô Hausdorff X vào khơng gian tơpơ Hausdorff Y . Khi đó:
(i) Nếu F nửa liên tục trên với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng.
10

download by :


(ii) Nếu F là ánh xạ đóng và Y compact thì F nửa liên tục trên.
(ii) Nếu F có giá trị compact thì F nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu
và chỉ nếu với mỗi y0 ∈ F (x0 ) và dãy suy rộng {xα } trong X hội tụ về x0 ,
tồn tại dãy suy rộng {yα }, yα ∈ F (xα ) với mọi α, sao cho yα → y0 .

1.4. Sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân bằng

Giả sử X là khơng gian vectơ tôpô Hausdorff thực với gốc θX và D là các
tập con không rỗng của X . Với ánh xạ đa trị F : D → 2X , xét bài toán
cân bằng dưới đây

(EP ): Tìm x¯ ∈ D sao cho θX ∈ F (¯
x).
Định lí 1.4.1. (Định lí phân hoạch đơn vị, [15]) Giả sử D là tập không
rỗng compact của không gian lồi địa phương Hausdorff X và {Uα }α∈I là
phủ mở của D. Khi đó tồn tại các hàm liên tục ψi : D → R, (i = 1, 2, ..., s)
sao cho

(1) 0 ≤ ψi (x) ≤ 1, với mọi x ∈ D và i = 1, 2, ..., s;
s

ψi (x) = 1, với mọi x ∈ D;

(2)
i=1

(3) Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., s}, tồn tại j(i) ∈ {1, 2, ..., s} thỏa mãn
supp ψi ⊆ Upj(i) , ở đây supp ψi := {x ∈ D : ψi (x) > 0}.
Định lí 1.4.2. (Bất đẳng thức Ky Fan, [2]) Giả sử D là tập không rỗng, lồi,
đóng của khơng gian lồi địa phương Hausdorff X và ánh xạ φ : D ×D → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) với mỗi y ∈ D, hàm φ(., y) là usc;
(b) với mỗi x ∈ D, hàm φ(x, .) là lõm;
(c) φ(x, x) = 0 với mọi x ∈ D.
Khi đó tồn tại x
¯ ∈ D sao cho φ(¯
x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D.

Mệnh đề 1.4.3. Giả sử D là tập không rỗng, lồi và đóng của X và

G : D → 2X là ánh xạ lsc với giá trị không rỗng, lồi và đóng. Khi đó, với
11

download by :


mỗi p ∈ X ∗ , hàm cp : D → R định nghĩa bởi

cp (x) := inf p(z)
z∈G(x)

là usc trên D.
Chứng minh. Lấy x ∈ D và dãy {xα }α các phần tử trong D sao cho

xα → x. Với > 0 tùy ý, từ tính liên tục của p, tồn tại lân cận V của gốc
trong X sao cho p(v) ∈ (− , ) với mọi v ∈ V . Do G là lsc nên tồn tại α0
thỏa mãn G(x) ⊆ G(xα ) + V với mọi α ≥ α0 . Từ đó

inf p(z) ≥
z∈G(x)

inf

p(z)

z∈G(xα )+V

=

inf p(z) + inf p(z)
z∈V

z∈G(xα )

≥

inf p(z) −
z∈G(xα )

với mọi α ≥ α0 . Vậy

cp (x) ≥ cp (xα ) − với mọi α ≥ α0 .
Do đó cp là usc trên D.
Mệnh đề 1.4.4. Giả sử D là tập không rỗng, lồi và đóng của X và

G : D → 2X là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng. Khi đó, với
mỗi p ∈ X ∗ , hàm Cp : D → R định nghĩa bởi

Cp (x) := sup p(z)
z∈G(x)

là usc trên D.
Chứng minh. Lấy x ∈ D và dãy {xα }α các phần tử trong D sao cho

xα → x. Với > 0 tùy ý, từ tính liên tục của p, tồn tại lân cận V của gốc
trong X sao cho p(v) ∈ (− , ) với mọi v ∈ V . Do G là usc nên tồn tại α0
thỏa mãn G(xα ) ⊆ G(x) + V với mọi α ≥ α0 . Từ đó

sup p(z) ≤
z∈G(xα )

sup

p(z)

z∈G(x)+V

12

download by :


=

sup p(z) + sup p(z)
z∈G(x)

≤

z∈V

sup p(z) +
z∈G(x)

với mọi α ≥ α0 . Vậy

Cp (xα ) ≤ Cp (x) + với mọi α ≥ α0 .
Do đó Cp là usc trên D.

Định nghĩa 1.4.5. Cho D là tập con lồi của khơng gian vectơ tơpơ X và

x ∈ X . Nón tiếp tuyến của D tại x được định nghĩa bởi
TD (x) := cone(D − x) = {λ(y − x) : y ∈ D, λ ≥ 0}.
Định lí 1.4.6. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D là tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) F : D → 2X là ánh xạ usc với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) F (x) ∩ TD (x) = ∅ với mọi x ∈ D.
Khi đó bài tốn cân bằng (EP) có nghiệm.
Chứng minh. Giả sử bài toán cân bằng (EP ) khơng có nghiệm. Khi đó
với mỗi x ∈ D, ta có

θX ∈ F (x).
Từ F (x) khơng rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại

p ∈ X ∗ sao cho
sup p(w) < 0.
w∈F (x)

Điều này chứng tỏ Cp (x) < 0. Với mỗi p ∈ X ∗ , ta đặt

Up := {x ∈ D : Cp (x) < 0}.
Theo Mệnh đề 1.4.4, Cp là usc trên D. Do đó Up mở với mọi p ∈ X ∗ .
Như vậy, với mỗi x ∈ D, tồn tại p ∈ X ∗ sao cho x ∈ Up . Từ đó suy ra
13

download by :


{Up }p∈X ∗ là phủ mở của D. Từ D là compact, tồn tại hữu hạn phần tử

p1 , ..., ps ∈ X ∗ sao cho

s

D⊆

Upj .
j=1

Theo Định lí 1.4.1, tồn tại các hàm liên tục ψi : D → R, (i = 1, 2, ..., s)
sao cho

(1) 0 ≤ ψi (x) ≤ 1, với mọi (x, y) ∈ D × K và i = 1, 2, ..., s;
s

ψi (x) = 1, với mọi (x, y) ∈ D × K;

(2)
i=1

(3) Với mỗi i ∈ {1, 2, ..., s}, tồn tại j(i) ∈ {1, 2, ..., s} thỏa mãn
supp ψi ⊆ Upj(i) , ở đây supp ψi := {x ∈ D : ψi (x) > 0}.
Xét hàm số φ : D × D → R bởi
s

ψi (x).pj(i) (x − y), (x, y) ∈ D × D.

φ(x, y) =
i=1

Khi đó
(a) với mỗi y ∈ D, hàm φ(., y) là liên tục;
(b) với mỗi x ∈ D, hàm φ(x, .) là lõm;
(c) φ(x, x) = 0 với mọi x ∈ D.
Theo Định lí 1.4.2, tồn tại x
¯ ∈ D sao cho φ(¯
x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D. Đặt
s
∗

p :=

ψi (¯
x).pj(i) .
i=1

Khi đó
s
∗

p (¯
x − y) =

ψi (¯
x).pj(i) (¯
x − y) = φ(¯
x, y) ≤ 0 với mọi y ∈ D.
i=1

Điều này kéo theo

p∗ (u) ≥ 0, với mọi u ∈ TD (¯
x).
Bởi giả thiết (iii), ta suy ra

p∗ (u) ≥ 0, với mọi u ∈ F (¯
x) ∩ TD (¯
x).
14

download by :


Do vậy

Cp∗ (¯
x) = sup p∗ (u) ≥
u∈F (¯
x)

sup

p∗ (u) ≥ 0.

(1.1)

u∈F (¯
x)∩TD (¯
x)

Đặt

I(¯
x) := {i ∈ {1, 2, ..., s}|ψi (¯
x) > 0}.
s

ψi (¯
x) = 1, ta được I(¯
x) = ∅. Do

Từ ψi (¯
x) ≥ 0 với mọi i = 1, 2, ..., s và
i=1

đó, với mỗi i ∈ I(¯
x), ta có

x¯ ∈ supp ψi ⊆ Upj(i) .
Điều này chứng tỏ

x) < 0 với mọi i ∈ I(¯
x).
Cpj(i) (¯
Từ đó suy ra

Cp∗ (¯
x) = sup p∗ (u)
u∈F (¯
x)

s

= sup

ψi (¯
x).pj(i) (u)

u∈F (¯
x) i=1

=

ψi (¯
x) sup pj(i) (u)
u∈F (¯
x)

i∈I(¯
x)

x)
≤ max Cpj(i) (¯
i∈I(¯
x)

< 0.
Điều này mâu thuẫn với (1.1). Vậy định lí được chứng minh.
Hệ quả 1.4.7. (Định lí điểm bất động Kakutani- Fan- Glicksberg) Giả sử

D là tập con không rỗng, lồi và compact của X và ánh xạ đa trị G : D →

2D là usc với giá trị khơng rỗng, lồi, đóng. Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho
x¯ ∈ G(¯
x).
Chứng minh. Đặt F (x) = G(x) − x với mọi x ∈ D. Khi đó F là usc với
giá trị khơng rỗng, lồi, đóng và thỏa mãn

F (x) ⊆ TD (x) với mọi x ∈ D.
15

download by :


Áp dụng Định lí 1.4.6, tồn tại x
¯ ∈ D sao cho θX ∈ F (¯
x). Điều này kéo
theo x
¯ ∈ G(¯
x). Hệ quả được chứng minh.

Định lí 1.4.8. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D là tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) F : D → 2X là ánh xạ lsc với giá trị không rỗng, lồi và đóng;
(iii) F (x) ⊆ TD (x) với mọi x ∈ D.
Khi đó bài tốn cân bằng (EP) có nghiệm.
Chứng minh. Giả sử bài tốn cân bằng (EP ) khơng có nghiệm. Khi đó
với mỗi x ∈ D, ta có

θX ∈ F (x).
Từ F (x) khơng rỗng, lồi và đóng nên theo định lí Hahn -Banach, tồn tại

p ∈ X ∗ sao cho
inf p(w) < 0.
w∈F (x)

Điều này chứng tỏ cp (x) < 0. Với mỗi p ∈ X ∗ , ta đặt

Up := {x ∈ D : cp (x) < 0}.
Theo Mệnh đề 1.4.3, cp là usc trên D. Do đó Up mở với mọi p ∈ X ∗ . Như
vậy, với mỗi x ∈ D, tồn tại p ∈ X ∗ sao cho x ∈ Up . Từ đó suy ra {Up }p∈X ∗
là phủ mở của D. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự như Định lí
1.4.6 ta suy ra điều cần chứng minh.

Hệ quả 1.4.9. Giả sử D là tập con không rỗng, lồi và compact của X và
ánh xạ đa trị G : D → 2D là lsc với giá trị không rỗng, lồi, đóng. Khi đó
tồn tại x
¯ ∈ D sao cho x¯ ∈ G(¯
x).

16

download by :


Chứng minh. Đặt F (x) = G(x) − x với mọi x ∈ D. Khi đó F là lsc với
giá trị khơng rỗng, lồi, đóng và thỏa mãn

F (x) ⊆ TD (x) với mọi x ∈ D.
Áp dụng Định lí 1.4.8, tồn tại x
¯ ∈ D sao cho θX ∈ F (¯
x). Điều này kéo

theo x
¯ ∈ G(¯
x). Hệ quả được chứng minh.

Ví dụ 1.4.10. Cho X = R, D = [0, 1] và ánh xạ đa trị F : [0, 1] → 2R
xác định bởi công thức

F (x) =

[0, 1], nếu x = 0,
{0}, nếu x ∈ [0, 1], x = 0.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F với giá trị không rỗng, lồi
và đóng. Hơn nữa, F khơng lsc. Do vậy khơng áp dụng Định lí 1.4.8 được.
Tuy nhiên, F là usc và tất cả các giả thiết của Định lí 1.4.6 thỏa mãn và

[0, 1] là tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).
Ví dụ 1.4.11. Cho X = R, D = [0, 1] và ánh xạ đa trị F : [0, 1] → 2R
xác định bởi công thức

F (x) =

[0, 1], nếu x = 1,
{0}, nếu x = 1.

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ánh xạ đa trị F với giá trị khơng rỗng, lồi
và đóng. Hơn nữa, F khơng usc. Do vậy khơng áp dụng Định lí 1.4.6 được.
Tuy nhiên, F là lsc và tất cả các giả thiết của Định lí 1.4.8 thỏa mãn và

[0, 1] là tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP ).

17

download by :


Chương 2
Bài toán tựa cân bằng đối với ánh
xạ nửa liên tục dưới và nửa liên tục
trên tách biến
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn
tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng đối với ánh xạ mục tiêu là nửa liên
tục dưới và nửa liên tục trên tách biến. Ngoài ra, một số áp dụng vào bài
toán tựa cân bằng tổng quát và bài toán tựa cân bằng tổng quát loại hỗn
hợp cũng được trình bày. Các kết quả chính của chương này được chúng
tơi trích dẫn từ cơng trình [13].

2.1. Bài toán tựa cân bằng
Giả sử X và Z là các không gian lồi địa phương Hausdorff thực, D ⊆

X, K ⊆ Z là các tập con không rỗng. Với các ánh xạ đa trị P : D × K →
2D , Q : D × K → 2K và F : D × K → 2X×Z , xét bài tốn tựa cân bằng,
kí hiệu là (QEP), tìm (¯
x, y¯) ∈ D × K sao cho

x¯ ∈ P (¯
x, y¯);
y¯ ∈ Q(¯
x, y¯);
18

download by :


θX×Z ∈ F (¯
x, y¯),
ở đây θX×Z là vectơ gốc của X × Z .

2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng
Định nghĩa 2.2.1. Giả sử X, Y, Z là các không gian tôpô D là tập con
của X và K là tập con của Z . Ta nói rằng ánh xạ F : D × K → 2Y là
(1) lsc và usc tách biến nếu với mỗi y ∈ K , ánh xạ F (., y) : D → 2Y là
lsc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F (x, .) : K → 2Y là usc.
(2) usc và lsc tách biến nếu với mỗi y ∈ K , ánh xạ F (., y) : D → 2Y là
usc và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F (x, .) : K → 2Y là lsc.
(3) lsc tách biến nếu với mỗi y ∈ K , ánh xạ F (., y) : D → 2Y là lsc và
với mỗi x ∈ D, ánh xạ F (x, .) : K → 2Y là lsc.
(4) usc tách biến nếu với mỗi y ∈ K , ánh xạ F (., y) : D → 2Y là usc
và với mỗi x ∈ D, ánh xạ F (x, .) : K → 2Y là usc.
Nhận xét. Mọi ánh xạ F : D × K → 2Y lsc (usc) đều là lsc (usc) tách
biến. Ngược lại khơng đúng. Ví dụ dưới đây minh họa cho điều đó.
Ví dụ 2.2.2. Xét ánh hàm F : R × R → R bởi cơng thức

F (x, y) =

xy
x2 +y 2 ,

nếu x2 + y 2 = 0,
0, trong trường hợp cịn lại.

Khi đó F là lsc tách biến nhưng không là lsc và F là usc tách biến nhưng
khơng là usc.
Định lí 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) D, K là các tập không rỗng, lồi và compact;
(ii) P : D × K → 2D là ánh xạ liên tục với giá trị khơng rỗng, lồi và
đóng;
(iii) Q : D × K → 2K là ánh xạ usc với giá trị khơng rỗng, lồi và đóng;
19

download by :