Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phạm Ngọc Hưng
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM
NỬA LIÊN TỤC DƯỚI
Chuyên ngành: Toán Ứng dụng
Mã số: 60 46 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ
Thái Nguyên - 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Trương
Xuân Đức Hà. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô
giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS. Trương Xuân Đức
Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các
thầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính
để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến
gia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạn
trong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Hàm nửa liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Giải tích lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3 Dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số 16
2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . 16
2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . 23
2.2 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Điều kiện dưới vi phân tổng quát . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Điều kiện dưới vi phân Fréchet . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3 Điều kiện dưới vi phân xấp xỉ . . . . . . . . . . . . 36
3 Một số áp dụng 40
3.1 Mối liên hệ giữa cận sai số và tính chính quy metric . . . . 40
3.2 Phân tích độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Kết luận 52
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Tài liệu tham khảo 53
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Mở đầu
Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểm
tới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứu

lần đầu trong [10]. Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửa
liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X,
chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại số
thực dương τ thỏa mãn
τd(x, [f(x) ≤ α]) ≤ (f(x) − α)
+
, ∀x ∈ X,
trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f(x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từ
điểm x đến tập [f ≤ α], và t
+
= sup(t, 0).
Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đa
diện dạng f(x) = max
1≤j≤m
(a
T
j
x + b
j
), trong đó a
1
, · · · , a
m
∈ R
m
và
b
1
, · · · , b
m

∈ R. Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trong
không gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (inf
X
f < α) với tập
[f ≤ α] bị chặn và thu được kết quả sau
d(x, [f ≤ α]) ≤
r + ||x
0
||
θ
(f(x) − α),
trong đó θ > 0, f(x
0
) < α − θ, r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập
[f ≤ α]. Tiếp đó Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] và Klatte
- Ly [14] đã thu được một điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số của hệ
tuyến tính với điều kiện tiệm cận. Trong trường hợp không lồi, kết quả
đầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe [15], Ng-Zheng [16] và Wu-Ye [5]. Năm
1998, Penot nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi. Các tính
chất đầu tiên về cận sai số trong trường hợp hàm lồi được chứng minh bởi
Corneia-jourari-Zalinesco [17], một số tính chất khác được thiết lập bởi
Lewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20]. Sau đó, D.Aze nhận được một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
số kết quả cho các hàm nửa liên tục dưới trong không gian metric đủ [1],
[2].
Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trò quan trọng trong giải tích
biến phân và toán học nói chung. Nó có mối liên hệ mật thiết với các vấn
đề khác của toán học như: điều kiện tối ưu, tính chính quy metric, cực tiểu
ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệ
thống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai số
toàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong
[1],[2], [3]. Sau đó chúng tôi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên
hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5].
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới,
nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phân
tổng quát của các hàm không lồi.
Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số cho
một hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số. Các điều kiện
này được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới vi
phân tổng quát.
Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điều
kiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bài
toán tối ưu tổng quát.
Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn không
thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận
tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, năm 2012
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức về
hàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới vi
phân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ. Các kết quả chủ yếu được trích dẫn
trong [6], [7],[8], [9].
1.1 Hàm nửa liên tục

Cho (X, d) là không gian metric và f : X → R ∪ {+∞} là hàm số xác
định trên X.
Kí hiệu
dom(f) = {x ∈ X : f(x) < ∞} là miền hữu hiệu của f.
C
α
(f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập mức dưới của f.
epi(f) = {x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập trên đồ thị của f.
Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x
0
∈ X nếu thỏa mãn
f(x
0
) ≤ lim inf
x→x
0
f(x),
trong đó lim inf
x→x
0
f(x) = sup
η>0
inf{f(x)|x ∈ X, ||x − x
0
|| ≤ η}.
Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →
R ∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục trên tại x
0
∈ X nếu thỏa mãn

f(x
0
) ≥ lim sup
x→x
0
f(x),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
trong đó lim sup
x→x
0
f(x) = inf
η>0
sup{f(x)|x ∈ X, ||x − x
0
|| ≤ η}.
Ví dụ 1.1.3. 1) Hàm
f(x) =

1 nếu x < 0
−1 nếu x ≥ 0
là hàm nửa liên tục dưới trên R.
2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω
I
Ω
(x) =

0 nếu x ∈ Ω
+∞ nếu x = Ω
là nửa liên tục dưới trên Ω.

3) Hàm f : R → R xác định bởi
f(x) =

3x
2
− 2 nếu x = 2
0 nếu x = 2
là hàm nửa liên tục dưới tại x = 2(nhưng không liên tục tại điểm này).
Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪
{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X.
(ii) epi(f) = {x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập đóng trong X × R.
(iii) C
α
(f) = {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập đóng trong X.
Định lý 1.1.5. Một hàm f(x) nửa liên tục dưới trên tập compact X phải
đạt cực tiểu trên tập ấy. Một hàm f(x) nửa liên tục trên trên một tập
compact X phải đạt cực đại trên tập ấy.
1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland
Theo Định lý 1.1.5, nếu X là tập compact thì hàm nửa liên tục dưới
f phải đạt cực tiểu trên X. Tuy nhiên nếu X không compact thì điều đó
không còn đúng. Chẳng hạn chúng ta xét ví dụ sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Ví dụ 1.2.1. Xét hàm số f : X = R × R → R xác định bởi f(x) =
x
2
1
+ (x
1

x
2
− 1)
2
, ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ X. Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và
f(x) ≥ 0, ∀x ∈ X, nhưng f không đạt cực tiểu trên X.
Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau:
với ε > 0 cho trước, một điểm x
ε
∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của
f trên X thỏa mãn
inf
x∈X
f(x) ≤ f(x
ε
) ≤ inf
x∈X
f(x) + ε.
Năm 1974 [8], Ekeland đã chứng minh được trong không gian metric
đầy đủ, nếu x
ε
là ε - cực tiểu xấp xỉ của một hàm nửa liên tục dưới thì
chúng ta luôn tìm được một ε- cực tiểu xấp xỉ mới x
∗
tốt hơn và điểm này
là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f.

Định lý 1.2.2. [8] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và
x
ε
∈ X thỏa mãn
f(x
ε
) ≤ inf
X
f + ε.
Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x
∗
∈ X sao cho
(i) d(x
∗
, x

) < λ.
(ii) f(x
∗
) +


λ

d(x
∗
, x

) ≤ f(x


).
(iii) f(x
∗
) < f(x) +


λ

d(x, x
∗
), ∀x ∈ X\{x
∗
}.
1.3 Giải tích lồi
1.3.1 Tập lồi
Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian tuyến
tính định chuẩn, X
∗
là không gian đối ngẫu của X. Với x
∗
∈ X
∗
, x ∈ X
ta kí hiệu < x
∗
, x >= x
∗
(x).
Định nghĩa 1.3.1. Cho C là một tập con của X. Khi đó, C được gọi là

một tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C thì λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Ví dụ 1.3.2. Các tập sau đây đều là các tập lồi:
1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r}.
2) Các nửa không gian đóng
{x ∈ R
n
:< a, x >≤ α}; {x ∈ R
n
:< a, x >≥ α},
hay các nửa không gian mở
{x ∈ R
n
:< a, x >< α}; {x ∈ R
n
:< a, x >> α},
trong đó a ∈ R
n
, a = 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.3.3. Tập con M của X gọi là một nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0
thì λx ∈ M. Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi.
Ví dụ 1.3.4. Các tập sau đây là các nón lồi gốc tại 0:
1) R
n
+
= {x = (x
1
, x
2

, , x
n
), x
i
≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương).
2) M = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ |x|} .
Mệnh đề 1.3.5. Cho C là một tập lồi trong X, x
0
∈ C. Khi đó tập
N(x
0
, C) = {t ∈ X
∗
:< t, x − x
0
>≤ 0, ∀x ∈ C}
là một nón lồi.
Đặc biệt, nếu x
0
∈ intC thì N(x
0
, C) = {0}.
Định nghĩa 1.3.6. Tập N(x
0
, C) được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 được
gọi là nón pháp tuyến của tập C.
1.3.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.3.7. Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi
x
1

, x
2
∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có
f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ≤ λf(x
1
) + (1 − λ)f(x
2
).
Hàm f được gọi là hàm lõm trên X nếu −f là hàm lồi.
Định nghĩa 1.3.8. Hàm f : X → R ∪{+∞} gọi là hàm lồi, chính thường
nếu f là hàm lồi và domf = ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Ví dụ 1.3.9. Các hàm số sau đây là các hàm lồi:
1) Hàm chỉ số của một tập lồi C
I
C
(x) =

0 nếu x ∈ C
+∞ nếu ngược lại .
2) Hàm chuẩn của một véc tơ ||x||, với mọi x ∈ X.
3) Hàm tựa của tập lồi C:
s
C
(x) = sup

y∈C
< y, x > .
4) Hàm khoảng cách từ một điểm x ∈ X đến tập lồi C:
d(x, C) = inf
C
||x − y||.
Mệnh đề 1.3.10. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Khi đó các khẳng định sau
là tương đương
(i) f là hàm lồi trên X.
(ii) Tập trên đồ thị epif = {(x, α) ∈ X × R : f(x) ≤ α} là tập lồi.
(iii) f(
m

k=1
λ
k
x
k
) ≤
m

k=1
λ
k
f(x
k
) với mọi x
k
∈ X,
m


k=1
λ
k
= 1 và λ
k
≥ 0 với
mọi k, m ∈ Z, m ≥ 2.
Định lý 1.3.11. Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi trên X. Khi đó
với mọi α ∈ R ∪ {+∞} tập mức dưới C
α
:= {x : f(x) ≤ α} là tập lồi.
Nhận xét 1.3.12. Mệnh đề đảo của Định lý 1.3.11 nói chung không đúng.
Chẳng hạn, hàm giá trị thực một biến f(x) = x
3
hay f(x) =

|x| có tất
cả các tập mức dưới của nó là lồi, nhưng bản thân hàm đó không lồi trên
R.
1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi
Định nghĩa 1.3.13. Cho hàm lồi chính thường f : X → R ∪ {+∞}, véc
tơ x
∗
∈ X
∗
gọi là dưới gradient của f tại điểm x
0
nếu thỏa mãn
< x

∗
, x − x
0
>≤ f(x) − f(x
0
) với mọi x ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x
0
được gọi là dưới vi phân của
f tại x
0
và được kí hiệu là ∂f(x
0
). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân
tại x
0
nếu ∂f(x
0
) = ∅.
Ví dụ 1.3.14. 1) Hàm afin f : R
n
→ R, xác định bởi f(x) =< c, x > +α,
với c, x ∈ R
n
, α ∈ R có dưới vi phân với mọi x ∈ R
n
và ∂f(x) = {c}.
2) Dưới vi phân của hàm chỉ số I

C
(◦) của tập lồi C tại x
0
∈ C là
∂I
C
(x
0
) = N(x
0
, C).
3) Dưới vi phân của hàm f(x) = ||x|| là
∂f(x) =

{x
∗
∈ X
∗
: ||x
∗
|| ≤ 1} khi x = 0
{x
∗
∈ X
∗
:< x
∗
, x >= ||x||, ||x
∗
|| = 1} khi x = 0.

Định lý 1.3.15. Một hàm lồi chính thường f trên X có dưới vi phân khác
rỗng tại mỗi điểm x
0
∈ int(domf).
Định lý 1.3.16. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó ta có các
khẳng định sau:
(i) x
∗
∈ ∂f(x
0
) ⇔ (x
∗
, −1) ∈ N
epif
(x
0
, f(x
0
).
(ii) ∂f(x
0
) là tập lồi đóng.
(iii) ∂f(x
0
) = {(Df(x
0
))
∗
} nếu f khả vi tại x
0

.
Định lý 1.3.17 (Điều kiện cần và đủ tối ưu). [6] Giả sử C là một tập lồi
trong X và f : X → R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó, điều kiện cần và đủ
để x
∗
∈ C là điểm cực tiểu của f trên C là
0 ∈ ∂f(x
∗
) + N
C
(x
∗
).
1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi
1.4.1 Dưới vi phân Fréchet
Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian Banach,
X
∗
là không gian đối ngẫu của X. d
∗
là metric liên kết với chuẩn đối ngẫu
của X
∗
, với x
∗
∈ X
∗
, x ∈ X ta kí hiệu < x
∗
, x >= x

∗
(x). Chúng ta nhắc
lại một số khái niệm trong [7], [9], [16].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Định nghĩa 1.4.1. [9] Cho X là không gian Banach thực và f : X →
R ∪ {+∞} là hàm số. Với x ∈ domf ta gọi tập hợp sau:
∂
F
f(x) =

x
∗
∈ X
∗
: lim inf
u→x
f(u) − f(x)− < x
∗
, u − x >
||u − x||
≥ 0

(1.1)
là dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x. Khi ∂
F
(x) = ∅ ta nói hàm f khả
dưới vi phân Fréchet tại x.
Ví dụ 1.4.2. 1) Cho hàm số f(x) = max{x, 0}, x ∈ R. Khi đó ∂
F

f(0) =
[0, 1]. Thật vậy, với x
∗
∈ ∂
F
f(0) ta có
lim inf
u→0
max{u, 0} − x
∗
u
|u|
≥ 0. (1.2)
Nhận xét rằng
Với u > 0 thì
max{u, 0} − x
∗
u
|u|
=
u − x
∗
u
u
= 1 − x
∗
.
Với u < 0 thì
max{u, 0} − x
∗

u
|u|
=
−x
∗
u
−u
= x
∗
.
Do đó với x
∗
< 0 hoặc x
∗
> 1 thì (1.2) không thỏa mãn. Vậy ∂
F
f(0) =
[0, 1].
2) Cho hàm f(x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂
F
f(0) = ∅. Thật vậy, Với
x
∗
∈ ∂
F
f(0) chúng ta có
lim inf
u→0
−|u| − ux
∗

|u|
≥ 0. (1.3)
Nhận xét rằng
Với u > 0 ta có
−|u| − ux
∗
|u|
= −1 − x
∗
.
Với u < 0 ta có
−|u| − ux
∗
|u|
= −1 + x
∗
.
Do đó không tồn tại x
∗
để thỏa mãn (1.3). Vậy ∂
F
f(0) = ∅.
Mệnh đề 1.4.3. Dưới vi phân Fréchet là tập đóng và lồi.
Mệnh đề 1.4.4. Nếu f là hàm khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet
là Df(x) thì
∂
F
f(x) = {(Df(x))
∗
},

trong đó (Df(x))
∗
là hàm liên hợp của Df(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Mệnh đề 1.4.5. Nếu f là hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet của hàm f tại
điểm x
0
trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích lồi, tức là
∂
F
f(x
0
) = {x
∗
∈ X
∗
:< x
∗
, u − x
0
>≤ f(u) − f(x
0
), ∀u ∈ X}.
Định nghĩa 1.4.6. [9] Cho Ω là một tập con khác rỗng của X và x ∈ Ω.
Khi đó tập
N
F
(x, Ω) =


x
∗
∈ X
∗
: lim sup
u
Ω
−→x
< x
∗
, u − x >
||u − x||
≤ 0

được gọi là nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x.
Ví dụ 1.4.7. Với Ω = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ −|x|}. Khi đó
N
F
(0, Ω) = {(0, 0)}.
Thật vậy, ta có
N
F
(0, Ω) =



(x
∗
1
, x

∗
2
) ∈ R × R : lim sup
(u
1
,u
2
)
Ω
−→(0,0)
x
∗
1
u
1
+ x
∗
2
u
2

u
2
1
+ u
2
2
≤ 0




= {(x
∗
1
, x
∗
2
) ∈ R × R :

x
∗
1
2
+ x
∗
2
2
≤ 0} = {(0, 0)}.
Mệnh đề 1.4.8. N
F
(x, Ω) = ∂
F
I
Ω
(x), trong đó I
Ω
là hàm chỉ số của tập
Ω.
Mệnh đề 1.4.9. Nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ Ω và đạt cực tiểu địa
phương tại x thì −(∇f(x))

∗
∈ N
F
(x, Ω).
Mệnh đề 1.4.10. Cho hàm số f : X → R ∪ {+∞} và tập trên đồ thị
epif = {(x, ν) ∈ X × R : f(x) ≤ ν}. Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) x
∗
∈ ∂
F
f(x) ⇔ (x
∗
, −1) ∈ N
F
((x, f(x)), epif).
(ii) Nếu ν ≥ f(x) và (x
∗
, λ) ∈ N
F
(x, ν), epif) thì λ ≤ 0.
(iii) Nếu λ = 0 trong (ii) thì ν = f(x) và −x
∗
/λ ∈ ∂
F
f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Nhận xét 1.4.11. Xét hàm số f(x) = −|x|, theo Mệnh đề 1.4.9(i) nếu
x
∗

∈ ∂
F
f(0) thì (x
∗
, −1) ∈ N
F
((0, 0), epif). Nhưng theo Ví dụ 1.4.7 thì
N
F
((0, 0), epif) = {(0, 0)}. Do đó ∂
F
f(0) = ∅. Điều này phù hợp với Ví
dụ 1.4.2(2).
Trong nhiều trường hợp, chúng ta sử dụng dạng mở rộng của dưới vi
phân Fréchet, đó là ε- dưới vi phân Fréchet và ε- nón pháp tuyến Fréchet:
∂
ε
F
f(x) =

x
∗
∈ X
∗
: lim inf
u→x
f(u) − f(x)− < x
∗
, u − x >
||u − x||

≥ −ε

.
N
ε
F
(x|Ω) =

x
∗
∈ X
∗
: lim sup
u
Ω
−→x
< x
∗
, u − x >
||u − x||
≤ ε

.
1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ
Định nghĩa 1.4.12. [3] Cho X là không gian Banach, f : X → R∪{+∞}
là hàm số. Khi đó hàm số xác định bởi công thức
f

(x, u) = lim
t0

u→h
inf(f(x + tu) − f(x))
gọi là dưới đạo hàm Dini theo hướng của f tại x. Tập hợp
∂
−
ε
f(x) = {x
∗
∈ X
∗
:< x
∗
, h >≤ d
−
f(x, h) + ε||h||, ∀h ∈ X}
với x ∈ domf và ∂
−
ε
f(x) = ∅ nếu x /∈ domf được gọi là ε - dưới vi phân
Dini của f tại x.
Đặc biệt, khi ε = 0 ta viết ∂
−
f(x) gọi là dưới vi phân Dini của f tại x.
Định nghĩa 1.4.13. [3] Cho X là không gian Banach, F (X) là họ các
không gian con hữu hạn chiều của X. Tập hợp:
∂
A
f(x) =

L∈F (X)

lim sup
x
f
−→x
0
∂
−
f
x+L
(x)f(x) =

L∈F (X)
lim
ε0
x
f
−→x
0
sup∂
−
ε
f
x+L
(x)
được gọi là dưới vi phân xấp xỉ của hàm f tại x. Trong đó
lim sup
x
f
−→x
0

∂
−
f
x+L
(x) = {x
∗
∈ X
∗
: x
∗
= w
∗
−lim x
∗
i
, x
∗
i
∈ ∂
−
f
x
i
+L
(x
i
), x
i
f
−→ x

0
}
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Ví dụ 1.4.14. Cho hàm số f(x) = −|x|, x ∈ R. Khi đó ∂
A
f(0) = {−1; 1}.
Định nghĩa 1.4.15. Cho C là tập con đóng của X và x
0
∈ C. Chúng ta
gọi một A - nón pháp tuyến tại x
0
được định nghĩa bởi
N
A
(x
0
, C) := R
+
∂
A
d(x
0
, C).
Định lý 1.4.16. [3] Cho f : X → R là hàm số thỏa mãn điều kiện
Lipschitz tại ¯x với hàm số Lipschitz k
f
. Khi đó các khẳng định sau là
tương đương
(i) x

∗
∈ ∂
A
f(¯x).
(ii) (x
∗
, −1) ∈ N
A
((¯x, f(¯x)), graphf).
(iii) (x
∗
, −1) ∈ (k
f
+ 1)∂
A
d(graphf, (¯x, f(¯x))).
(iv) Với mọi L ∈ F (X) có những dãy x
∗
i
→ x
∗
, x
i
→ ¯x, ε
i
→ 0
+
và
r
i

→ 0
+
thỏa mãn:
||x
∗
i
|| ≤ (k
f
+ 1)(1 + ε
i
).
f(x)−f(x
i
)− < x
∗
i
, x−x
i
> +ε
i
||x−x
i
|| ≥ 0, ∀x ∈ B(x
i
, r
i
)∩(L+x
i
).
1.4.3 Dưới vi phân tổng quát

Định nghĩa 1.4.17. Cho X là không gian Banach và f : X → X ∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới. Ta gọi toán tử dưới vi phân tổng quát ∂ : X ⇒ X
∗
thỏa mãn các điều kiện sau:
(P
1
) Nếu f là hàm lồi thì ta có
∂f(x) = {x
∗
∈ X
∗
| < x
∗
, y − x > +f(x) ≤ f(y), ∀y ∈ X}.
(P
2
) 0 ∈ ∂f(x), với x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f.
(P
3
) ∂(f + g)(x) ⊂ ∂f(x) + ∂g(x), trong đó g là hàm lồi, liên tục nhận
giá trị thực và ∂-khả vi tại x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Nhận xét 1.4.18. Áp dụng Nguyên lý biến phân trơn, tính chất (P
3
)
tương đương với tính chất sau
(

P

3
) Nếu x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f + g thì ∀ε > 0 tồn
tại x, y ∈ X, x
∗
∈ ∂f(x), y
∗
∈ ∂g(y) thỏa mãn:
||x − x|| ≤ ε, ||y − x|| ≤ ε, f(x) ≤ f(x) + ε, ||x
∗
+ y
∗
||
∗
≤ ε.
Ví dụ 1.4.19. Các dưới vi phân sau đều thỏa mãn các điều kiện (P
1
)−(P
3
)
1) Dưới vi phân Clarke - Rockafellar[16] ∂
C
f(x) tại x ∈ domf của hàm
nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞}
∂
C
f(x) = {x
∗
∈ X
∗
| < x

∗
, u >≤ f
↑
CR
(x, u), ∀u ∈ X},
trong đó
f
↑
CR
= sup
ε>0
inf
η>0
sup
(z,f(z),t)∈B
η
(f(x))×(0,η)
inf
v∈B
ε
(u)
t
−1
(f(z + tv) − f(z))
là dưới đạo hàm Clarke - Rockafellar.
Ví dụ: Cho hàm f(x) = −|x|, x ∈ R . Khi đó ∂
C
f(0) = [−1; 1].
2) Dưới vi phân Dini[16] ∂
−

tại x ∈ domf, X là không gian hữu hạn
chiều
∂
−
f(x) = {x
∗
∈ X
∗
| < x
∗
, u >≤ f

(x, u), ∀u ∈ X},
trong đó
f

(x, u) = lim
t0
v→u
inf
f(x + tv) − f(x)
t
.
3) Dưới vi phân Fréchet trên không gian Asplund trong Định nghĩa 1.4.1
và dưới vi phân xấp xỉ trong Định nghĩa 1.4.12.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Chương 2
Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai
số

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về cận sai
số của các hàm nửa liên tục dưới. Sau đó chúng tôi trình bày một số điều
kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số . Các công cụ được sử dụng là độ dốc
mạnh, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân tổng quát. Nội dung chủ yếu
trong chương này được trích dẫn trong [1], [2], [3].
2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi
2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh
Trong phần này chúng ta luôn giả thiết (X, d) là không gian metric và
f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới.
Với U ⊂ X và r ∈ (0, +∞] (tương ứng r ∈ [0, +∞)) chúng ta định
nghĩa B
r
(U) (tương ứng B
r
(U)) là lân cận mở (đóng) của U:
B
r
(U) = {x ∈ X : d(x, U) < r};
B
r
(U) = {x ∈ X : d(x, U) ≤ r},
trong đó d(x, U) := inf{d(x, y) : y ∈ U}, với quy ước d(x, ∅) = +∞.
Khi U = {x} ta viết B
r
(x) và B
r
(x).
Với α ∈ R ta đặt
[f ≤ α] := {x ∈ X : f(x) ≤ α};
[f < α] := {x ∈ X : f(x) < α}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
được gọi là các tập mức đóng, mở của f.
Cho α, β ∈ R, α < β chúng ta đặt [α < f < β] := [f < β]\[f ≤ α]
được gọi là "lát" giữa mức α và β. Nếu β = +∞ ta viết
[f > α] := [α < f < +∞].
Định nghĩa 2.1.1. Cho X là không gian metric, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R và β ∈ R ∪ {+∞} với α < β. Ta nói rằng
f có một cận sai số toàn cục giữa mức α và β nếu tồn tại một số dương σ
thỏa mãn
f(x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với f(x) ∈ (α, β).
Chúng ta thấy rằng nếu bất đẳng thức trong Định nghĩa 2.1.1 thỏa mãn
với số σ > 0 thì nó cũng thỏa mãn với các số σ nhỏ hơn. Do đó trong Định
nghĩa 2.1.1 chúng ta sẽ quan tâm tới supremum của các số σ.
Định nghĩa 2.1.2. Cho X là không gian metric và f : R → R ∪ {+∞}
là hàm nửa liên tục dưới với α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞} với α < β. Ta gọi
σ
α,β
(f) là supremum của những số σ ∈ [0, +∞) thỏa mãn
f(x) − α ≥ σd(x, [f ≤ α]), với mọi x ∈ [α < f < β].
và do đó
σ
α β
(f) = inf
x∈[α<f<β]
f(x) − α
d(x, [f ≤ α]
. (2.1)
với quy ước
σ

α,β
(f) =

0 nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f < β] = ∅
+∞ nếu [α < f < β] = ∅.
Nếu β = +∞ ta viết σ
α
(f) := σ
α,+∞
(f).
Ta nói rằng f tồn tại một cận sai số toàn cục giữa mức α và β nếu
σ
α,β
(f) > 0.
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm độ dốc mạnh theo E. De
Giorgi[21].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Định nghĩa 2.1.3. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và
x ∈ domf. Chúng ta đặt
|∇f|(x) :=



0 nếu x là cực tiểu địa phương của f
lim sup
y→x
f(x) − f(y)
d(x, y)
nếu ngược lại.

Với x /∈ domf đặt |∇f|(x) := +∞.
Ta gọi số thực mở rộng không âm |∇f|(x) là độ dốc mạnh của f tại x.
Ví dụ 2.1.4. Cho hàm số f : R → R xác định bởi công thức
f(x) =

x nếu x < 0
x
2
nếu x ≥ 0.
Khi đó |∇f|(0) = 1.
Thật vậy, hàm f không đạt cực tiểu tại x = 0. Ta có
|∇f|(0) = lim sup
y→0
−f(y)
|y|
. (2.2)
Xét các trường hợp sau:
Nếu y < 0 ta có
−f(y)
|y|
=
−y
−y
= 1.
Nếu y > 0 ta có
−f(y)
|y|
=
−y
2

y
= −y < 0.
Do đó, từ (2.2) ta suy ra |∇f|(0) = 1.
Ví dụ 2.1.5. Cho X là không gian định chuẩn, M là một tập lồi trong
X. Với z ∈ M cố định, xét hàm số d
z
: M → R xác định bởi
d
z
(x) = ||x − z||, ∀x ∈ M.
Khi đó |∇d
z
|(x) = 1, ∀x = z.
Thật vậy, theo định nghĩa độ dốc mạnh ta có
|∇d
z
|(x) = lim sup
y→x
d
z
(x) − d
z
(y)
||x − y||
= lim sup
y→x
||x − z|| − ||y − z||
||x − y||
≤ 1.
(2.3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Mặt khác, do M là tập lồi nên ta chọn y
n
= λ
n
z + (1 − λ
n
)x ∈ M, λ
n
∈
(0, 1], λ
n
→ 0. Ta có
lim
y
n
→x
||x − z|| − ||y
n
− z||
||x − y
n
||
= lim
λ
n
→0
||x − z|| − ||λ
n

z + (1 − λ
n
)x − z||
||x − λ
n
z − (1 − λ
n
)x||
= 1.
Vậy |∇d
z
|(x) = 1.
Mệnh đề 2.1.6. Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, U là
tập con của X, α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞}, α < β. Khi đó
inf
U∩[α<f<β]
|∇f| ≥ inf
α≤γ<β
inf
x∈U∩[γ<f<β]
f(x) − γ
d(x, [f ≤ γ]
.
Đặc biệt
inf
[α<f<β]
|∇f| ≥ inf
α≤γ<β
σ
γ,β

(f). (2.4)
Chứng minh. Ta có thể giả sử inf
U∩[α<f<β]
|∇f| < +∞ nên U ∩ [α < f <
β] = ∅ và vế phải của bất đẳng thức là dương nên [f ≤ α] = ∅.
Cho σ > 0 thỏa mãn
inf
U∩[α<f<β]
f(x) − γ
d(x, [x, [f ≤ γ])
> σ, với mọi γ ∈ (α, β),
với x ∈ U ∩ [α < f < β] và đặt γ
n
:= f(x) −
1
n
với n ∈ N đủ lớn sao cho
γ
n
≥ α. Khi đó tồn tại x
n
∈ [f ≤ γ
n
] thỏa mãn
f(x) − γ
n
≥ σd(x, x
n
).
Do đó ta có

0 < d(x, x
n
) ≤
f(x) − γ
n
σ
→ 0 khi n → ∞.
Vì f(x) − f(x
n
) ≥ σd(x, x
n
) + γ
n
− f(x
n
) > 0 với x
n
= x nên x không
phải là cực tiểu địa phương của f. Từ đó ta có
f(x) − f(x
n
)
d(x, x
n
)
≥
f(x) − γ
n
d(x, x
n

)
≥ σ.
Suy ra
|∇f|(x) = lim sup
x
n
→x
f(x) − f(x
n
)
d(x, x
n
)
≥ σ.
Từ định nghĩa của infimum chúng ta suy ra kết luận của mệnh đề.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Trong trường hợp X là không gian metric đầy đủ, sử dụng nguyên lý
biến phân Ekeland[8] chúng ta thu được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.1.7. Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪
{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0, r > 0 thỏa mãn
f(x) < inf
B
r
(x)
f + σr.
Khi đó, tồn tại x ∈ B
r
(x) thỏa mãn |∇f|(x) < σ và f(x) ≤ f(x).
Chứng minh. Lấy 0 < σ


< σ, 0 < r

< r sao cho
f(x) ≤ inf
B
r
(x)
f + σ

r

.
Áp dụng Định lý 1.2.2 với X = B
r
(x), ε = σ

r

, λ = r

. Khi đó tồn tại
x ∈ B
r

(x) ⊂ B
r
(x) thỏa mãn f(x) ≤ f(x) và
f(x) < f(y) + σ


d(x, y), ∀y ∈ B
r
(x)\{x}.
Suy ra
f(x) − f(y)
d(x, y)
< σ

, ∀y ∈ B
r
(x)\{¯x}.
Do đó
lim sup
y→x
f(x) − f(y)
d(x, y)
≤ σ

.
Vậy |∇f|(x) = |∇f|
B
r
(x)
(x) ≤ σ

< σ.
Nhận xét 2.1.8. Nếu [f ≤ α] = ∅ và [α < f < β] = ∅ thì inf
[α<f<β]
|∇f| =
0, hay nói cách khác nếu 0 < inf

[α<f<β]
|∇f| < +∞ ⇒ [f ≤ α] = ∅.
Thật vậy, do [f ≤ α] = ∅ nên inf
X
f ≥ α (tức là f bị chặn dưới). Với
σ > 0 nhỏ tùy ý và r > 0 ta luôn tìm được x ∈ X để f(x) < inf
B
r
(x)
f +σr.
Theo Hệ quả 2.1.7 tồn tại x ∈ B
r
(x) sao cho |∇f|(x) < σ. Do σ dương nhỏ
tùy ý nên inf
X
|∇f| ≤ 0. Mặt khác theo (2.4) ta có inf
[α<f<β]
|∇f| ≥ 0.
Vậy inf
[α<f<β]
|∇f| = 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Mệnh đề 2.1.9. Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, U là tập con của X, α ∈ R, σ > 0, ρ > 0. Giả
sử U ∩ [f < α + σρ] = ∅ và
inf
B
ρ
(U)∩[α<f<α+σρ]

|∇f| ≥ σ.
Khi đó [f ≤ α] = ∅ và
τd(x, [f ≤ α]) ≤ (f(x) − α)
+
, ∀x ∈ U ∩ [f < α + τρ].
Chứng minh. Giả sử ngược lại [f ≤ α] = ∅, tức là f(x) > α, ∀x ∈ X. Lấy
x ∈ U ∩ [α < f < α + σρ] ta có
f(x) < α + σρ ≤ inf
X
+σρ.
Áp dụng Mệnh đề 2.1.7 ta tìm được x ∈ B
ρ
(x) ⊂ B
ρ
(U) và thỏa mãn
α < f(x) ≤ f(x) < α + σρ và |∇f|(x) < σ.
Suy ra x ∈ B
ρ
(U) ∩[α < f < α +σρ] và |∇f|(x) < σ. Điều mâu thuẫn
giả thiết.
Định lý 2.1.10. Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R ∪{+∞}
là hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞}với α < β. Khi đó
inf
[α<f<β]
|∇f| = inf
α≤γ<β
σ
γ,β
(f) = inf
α≤γ<β

inf
x∈[γ<f <β]
f(x) − γ
d(x, [f ≤ γ])
.
Chứng minh. Từ (2.1) và (2.4) ta chỉ cần chứng minh
σ
γ,β
(f) ≥ inf
[α<f<β]
|∇f|, ∀α ≤ γ < β.
Thật vậy, với γ ∈ [α, β) cố định ta có thể giả sử σ
γ,β
(f) < +∞ nên
[γ < f < β] = ∅ và inf
α<f<β
|∇f| > 0 nên [f ≤ α] = ∅.
Lấy số thực σ > σ
γ,β
(f) và x ∈ [γ < f < β] và thỏa mãn
f(x) − γ < σd(x, [f ≤ γ]).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Đặt r := d(x, [f ≤ γ]) > 0 (do [f ≤ γ] đóng và x /∈ [f ≤ γ]) và
g := (f − γ)
+
≥ 0, trong đó g(x) := max{f(x) − γ, 0}. Khi đó
g(x) = max{f(x) − γ, 0} = f(x) − γ < σd(x, [f ≤ γ]) = σr ≤ inf
B
r

(x)
+σr.
Theo Mệnh đề 2.1.7 tồn tại x ∈ B
r
(x) thỏa mãn g(x) ≤ g(x) và
|∇g|(x) < σ. Theo định nghĩa của r và do d(x, x) < r = d(x, [f ≤ γ]) suy
ra f(x) > γ và
f(x) = g(x) + γ ≤ g(x) + γ = f(x) < β.
Do đó x ∈ [γ < f < β]. Theo định nghĩa của độ dốc mạnh ta có
|∇f|(x) = |∇g|(x) < σ.
Suy ra
inf
[γ<f <β]
|∇f| < σ.
Theo định nghĩa của số σ
γ,β
(f) ta có inf
[γ<f <β]
|∇f| ≤ σ
γ,β
(f).
Vậy inf
[α<f<β]
|∇f| ≤ inf
[γ<f <β]
|∇f| ≤ σ
γ,β
(f).
Nhận xét 2.1.11. a) Định lý 2.1.10 cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn
tại của cận sai số toàn cục của hàm nửa liên tục f giữa mức γ và β với

α ≤ γ < β là
0 < σ < inf
[α<f<β]
|∇f| < +∞ ⇒ [f ≤ α] = ∅ và σ
γ,β
(f) ≥ σ, ∀γ ∈ [α, β).
b) Năm 2002 hai nhà toán học Zili Wu và Jane J.Ye [5] đã thiết lập
được một điều kiện đủ khác cho sự tồn tại cận sai số toàn cục đối với các
hàm nửa liên tục dưới: Cho f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới
trên không gian metric X, với 0 < ε ≤ +∞, σ > 0, giả sử [f ≤ σ] = ∅ và
với mỗi x ∈ [0 < f < ε] tồn tại y ∈ X sao cho f(y) ≥ 0 và
f(x) − f(y) ≥ σd(x, y) > 0.
Khi đó, [f ≤ 0] = ∅ và σ
0,ε
(f) ≥ σ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi
Trong phần này chúng ta luôn giả sử rằng X là không gian Banach với
chuẩn || · ||, X
∗
là không gian tôpô đối ngẫu của X, d
∗
là metric liên kết
với chuẩn đối ngẫu, với x ∈ X, x
∗
∈ X
∗
kí hiệu < x
∗

, x >= x
∗
(x).
Mệnh đề 2.1.12. Cho X là không gian Banach, f : X → R ∪ {+∞} là
hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, với x ∈ X không phải cực tiểu
của f. Khi đó
|∇f|(x) = sup
f(z)<f (x)
f(x) − f(z)
||x − z||
= sup
f(z)<f (x)
−f

(x, z − x)
||x − z||
= d
∗
(0, ∂f(x)).
Chứng minh. Nếu x /∈ domf ta có ngay điều phải chứng minh vì khi đó
cả hai vế cùng bằng +∞.
Gỉa sử x ∈ domf và x không phải cực tiểu của f. Với mọi z ∈ X thỏa
mãn f(z) < f(x), với mọi λ ∈ (0, 1] ta có
f(x + λ(z − x)) = f((1 − λ)x + λz) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(z)
⇔ λ(f(x) − f(z)) ≤ f(x) − f(x + λ(z − x)).
Do đó
f(x) − f(z)
||x − z||
≤
f(x) − f(x + λ(z − x)

λ||x − z||
.
Với x
∗
∈ ∂f(x) ta có
f(x + λ(z − x)) − f(x) ≥< x
∗
, λ(z − x) > .
Do đó
f(x) − f(x + λ(z − x))
λ||x − z||
≤
− < x
∗
, λ(z − x) >
λ||x − z||
≤
λ||x
∗
||
∗
||z − x||
λ||x − z||
= ||x
∗
||
∗
.
Suy ra
|∇f|(x) ≤ sup

f(z)<f (x)
f(x) − f(z)
||x − z||
≤ sup
f(z)<f (x)
−f

(x, x − z)
||x − z||
≤ d
∗
(0, ∂f(x)).
Mặt khác, do x không phải là cực tiểu của hàm f nên tồn tại σ sao cho
0 < σ < d
∗
(0, ∂f(x)). Suy ra x cũng không là cực tiểu của hàm lồi z →
f(z) + σ||x − z||. Do đó tồn tại z ∈ X thỏa mãn f(z) + σ||x − z|| < f(x).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên