PHỤ LỤC CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu
diễn nhóm
Bởi:
Nguyễn Văn Hiệu
Trong phụ lục này chúng ta phát biểu và chứng minh một số định lý cơ bản trong lý
thuyết biểu diễn nhóm.

Biểu diễn tương đương
Ở đầu chương ta đã có biểu thức (1) liên hệ hai phép biến đổi tương đương. Các biểu
diễn tương đương có một sự giống nhau sâu sắc được diễn tả trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề
Nếu T(1) và T(2) là hai biểu diễn tương đương thì ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở trong
hai không gian vectơ L1 và L2 thực hiện hai biểu diễn này thế nào để các yếu tố ma trận
của các phép biến đổi T(1)(a) và T(2)(a) hoàn toàn trùng nhau với mọi aG.
Chứng minh. Giả sử e1, …, en là hệ vectơ cơ sở trong không gian L1 và trong hệ này
phép biến đổi T(1)(a) có các yếu tố ma trận D(1)
ij (a):

Trong không gian vectơ L2 ta hãy chọn hệ vectơ cơ sở: fi, i = 1, 2, …, n như sau

và ký hiệu các yếu tố ma trận của phép biến đổi T(2)(a) đối với hệ vectơ cơ sở này là
D(2)
ij (a):

1/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Thay T(2)(a) bằng biểu thức (1) liên hệ nó với T(1)(a)
X T(1)(a) X-1fi = fjD(2)
ji (a)
rồi nhân cả hai vế công thức này với X-1 , ta có

Nhưng theo định nghĩa (40) của fi , ta lại có

Vậy cơng thức (42) trở thành

So sánh hai biểu thức (39) và (40) của T(1)(a) ei , ta suy ra ngay
(1)
D(2)
ji (a)= Dji (a),
(2)
(1)
nghĩa là các yếu tố ma trận D(1)
(a) và T(2)(a) đối
ij (a)và Dij (a)của hai phép biến đổi T
với các hệ vectơ cơ sở e1, e2, …, en và f1, f2, …, fn hồn tồn trùng nhau.

Chính vì có thể chọn các vectơ cơ sở một cách thích hợp để cho các biểu diễn tương
đương có chung nhau các yếu tố ma trận, cho nên ta không cần phân biệt các biểu diễn
tương đương và xem chúng như là một biểu diễn. Chỉ có các biểu diễn khơng tương
đương mới thực sự là những biểu diễn khác nhau.

Biểu diễn unita
Các biểu diễn unita có các tính chất đặc biệt sau đây.
Định lý 1
Trong không gian L thực hiện biểu diễn unita T của nhóm G phần phụ trực giao L2 của
mọi khơng gian con bất biến L 1

T(a) L1L1, ∀ a ∈ G
L = L1⊕L2

2/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

cũng là một không gian con bất biến,
T(a) L2L2, ∀ a ∈ G
Chứng minh. Ta sử dụng tính chất unita của các toán tử T(a) với mọi yếu tố A ∈ G. Ký
hiệu tích vơ hướng của hai vectơ x và y là (x, y), ta ln ln có đẳng thức

Giả sử L1 là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T(a):
T(a) L1L1, ∀ A ∈ G
và ký hiệu L2 là phần phụ trực giao của L1 trong L:
L = L1⊕L2
(x1, x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2
Ta hãy chọn
x = T(a)-1x1, y = x2
với x1, x2 là hai vectơ bất kỳ trong các không gian con L1 và L2. Đẳng thức (45) viết ở
trên trở thành

Vì L1 là khơng gian con bất biến cho nên T(a)-1x1 cũng thuộc vào L1 và do đó trực giao
với vectơ x2 bất kỳ của L2,
(T(a)-1x1, x2) = 0
Dùng hệ thức (46) ta suy ra rằng
(x1, T(a)x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2, ∀ A ∈ G.
Vậy tất cả các vectơ T(a)x2 với mọi yếu tố a của G và mọi vectơ x2 của L2 đều trực giao
với tất cả các vectơ x1 của L1, nghĩa là đều thuộc vào L2,

T(a) L2L2,

3/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

L2 cũng là không gian con bất biến của biểu diễn T.
Ta hãy dùng Định lý 1 như một bổ đề để chứng minh định lý về tính chất hồn tồn khả
quy của mọi biểu diễn unita khả quy.
Định lý 2
Mọi biểu diễn unita khả quy đều hoàn toàn khả quy.
Chứng minh. Cho biểu diễn unita khả quy T trong không gian L và giả sử L1 là một
không gian con bất biến. Khi đó phần phụ trực giao L2 của L1 trong L cũng là một không
gian con bất biến, L là tổng trực giao của hai không gian con bất biến L1 và L2. Trên hai
không gian con này biểu diễn T quy về hai biểu diễn T(1) và T(2) hoàn toàn độc lập với
nhau. Nếu một trong hai biểu diễn này hoặc cả hai biểu diễn đó cịn khả quy thì khơng
gian con tương ứng lại chứa khơng gian con bất biến nhỏ hơn và do đó lại là tổng trực
giao của hai không gian con bất biến nhỏ hơn. Cứ tiếp tục thực hiện việc tách một không
gian thành tổng trực giao của hai không gian con bất biến như vậy cho đến khi khơng
cịn có thể tách được nữa, cuối cùng ta đi đến việc tách không gian L thành tổng trực
~

~

~

~

giao của các không gian con bất biến L1, L2, …, Lfthực hiện các biểu diễn tối giản T(1),

~
(2)

~
(f)

T , …, T .
~
(1)

~
(2)

Ta cịn nói rằng biểu diễn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối gian T , T
~
(f)

, …, T và viết
~
(1)

~
(2)

~
(f)

T = T ⊕T ⊕ … ⊕T .
Vì các biểu diễn unita có tính chất diễn tả bởi Định lý 2 cho nên khi nghiên cứu các biểu
diễn unita ta chỉ cần xét các biểu diễn tối giản.

Ở đầu chương này ta đã định nghĩa các biểu diễn tương đương và coi các biểu diễn
tương đương với nhau chỉ là một biểu diễn. Do các tính chất đặc biệt của các biểu diễn
unita, khi có một biểu diễn nào đó của một nhóm thì ta hãy tìm xem nó có tương đương
với một biểu diễn unita nào hay khơng. Đầu tiên ta hãy xét trường hợp G là một nhóm
hữu hạn và chứng minh định lý sau đây.
Định lý 3
Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita.

4/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Chứng minh. Giả sử có một nhóm hữu hạn G nào đó cấp N và một biểu diễn T của nhóm
này trong một khơng gian Euclide phức L với một tích vơ hướng có dạng cho trước (x,
y). Đầu tiên ta hãy chứng minh rằng có thể tìm được một định nghĩa mới của tích vơ
hướng, ký hiệu là {x,y}, mà đối với tích vơ hướng này thì tất cả các tốn tử T(a) với mọi
aG đều là các toán tử unita:

{T(a)x,T(a)y} = {x,y}, ∀ A ∈ G, ∀ x ∈ L, ∀ y ∈ L
Thực vậy, ta đặt

với tổng ở trong vế phải là tổng theo tất cả các yếu tố b của nhóm G. Thay thế x và y
bằng T(a)x và T(a)y, ta có

{T(a)x,T(a)y} = N1 ∑b T(b)T(a)x,T(b)T(a)y = N1 ∑b T(ba)x,T(ba)y
Ta đã dùng định nghĩa của biểu diễn
T(b)T(a) = T(ba)
Chú ý rằng khi b chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm G thì với mọi yếu tố a
cố định tích b a cũng chạy một vịng theo tất cả các yếu tố của nhóm này, chỉ có điều là

theo thứ tự khác mà thơi. Do đó
∑b T(ba)x,T(ba)y = ∑ba T(ba)x,T(ba)y = ∑c T(c)x,T(c)y

Vậy ta có
1

T(ba)x,T(ba)y = N ∑c T(c)x,T(c)y = {x,y},

nghĩa là đối với tích vơ hướng mới thì tất cả các tốn tử T(a) đều là hốn tử unita.
Trong khơng gian L ta hãy chọn hai hệ vectơ đơn vị cơ sở: hệ các vectơ đơn vị cơ sở e1,
…, en trực giao chuẩn hóa đối với tích vơ hướng cho từ trước (x, y), cụ thể là

và hệ các vectơ đơn vị cơ sở f1, …, fn trực giao chuẩn hóa đối với tích, vơ hướng mới,
nghĩa là

5/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Ký hiệu phép biến đổi tuyến tính chuyển các vectơ e1, e2, …, en thành f1, f2, …, fn là X :

Với hai vectơ bất kỳ
X=xiei,y=yiei
ta có
X x = x i fi , X y = y i fi
Do đó

Với mọi yếu tố a của nhóm G ta đặt

Ta biết rằng T(a) là các hốn tử unita đối với tích vơ hướng mới. Bây giờ ta chứng minh
~

rằng tất cả các toán tử T(a) đều là các toán tử unita đối với tích vơ hướng {x,y} đã cho từ
trước. Thực vậy, áp dụng đẳng thức (51) vừa thu được ở trên giữa các tích vơ hướng (x,
y) và {Xx,Xy}, dùng cơng thức
~

XT(a) = T(a) X
suy ra từ định nghĩa (52) và tính chất unita của các tốn tử T(a) đối với tích vơ hướng
mới, ta có
~

{

~

~

~

} {

~

~

( T(a) x, T(a) y) = XT(a)x,XT(a)y = T(a)Xx,T(a)Xy

}

= {Xx,Xy} = (x, y)
~

Vậy các toán tử T(a) là các tốn tử unita đối với tích vơ hướng đã cho từ trước và tạo
~

thành một biểu diễn unita T; biểu diễn đã cho T tương đương với biểu diễn unita này.

6/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Khi chứng minh Định lý 3 ta đã sử dụng một đại lượng là tích vơ hướng mới mà đối
với tích vơ hướng này thì biểu diễn đã cho T là biểu diễn unita. Rất dễ tìm được tích vơ
hướng mới này trong trường hợp nhóm G là nhóm hữu hạn cấp N. Đó là giá trị trung
bình
1
N

∑a fx,y(a)

của hàm trên nhóm G

nghĩa là của một hàm mà biến số là yếu tố a chạy trên tất cả nhóm G. Ta chú ý rằng đối
với nhóm hữu hạn ta có cơng thức sau đây đối với mọi hàm trên nhóm f(a):

với mọi yếu tố b cố định của nhóm G
Muốn chứng minh định lý tương tự như Định lý 3 đối với các nhóm vơ hạn, kể cả các

nhóm liên tục, ta phải mởi rộng khái niệm giá trị trung bình của hàm trên nhóm ra cho
trường hợp này và sử dụng một đại lượng gọi là phiếm hàm trung bình.
Định nghĩa phiếm hàm trung bình trên nhóm
Cho khơng gian vectơ các hàm f (a) trên nhóm G vơ hạn (có thể là nhóm liên tục). Một
phiếm hàm tuyến tính F(f) trên không gian vectơ này được gọi là phiếm hàm trung bình
nếu nó tồn tại đối với mọi hàm giới nội trên nhóm và thỏa mãn các điều kiện sau đây.
1) nếu f(a) > 0, ∀ a ∈ G, thì F(f) > 0.
2) nếu f(a) = 1, ∀ a ∈ G, thì F(f) = 1.
~

~

3) nếu fb(a) = f(ba), và f b(a) = f(ba), thì F(fb) = F( f b) = f(b).
Điều kiện 3) có nghĩa là khi ta xê dịch đổi số a của hàm trên nhóm f (a) như sau
a → ab và a → ba,
trong đó b là yếu tố tùy ý của G, thì giá trị F (f) của phiếm hàm khơng thay đổi. Do đó
ta cịn gọi phiếm hàm này là tích phần bất biến và dùng ký hiệu tích phân

7/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

với một đọ đo dμ(a) nào đó. Tính chất bất biến của phiếm hàm được thể hiện ở tính chất
bất biến của độ đo:

với mọi yếu tố cố định bin: 2 args.G.
Dùng tích phân bất biến của hàm trên nhóm fx,y(a), tức là phiếm hàm trung bình F(fx,y),
làm giá trị trung bình, bây giờ ta có thể định nghĩa tích vơ hướng mới như sau trong
trường hợp nhóm G là nhóm vơ hạn

Vì độ đo dμ(a) là bất biến cho nên đối với tích vơ hướng mới nà tất cả các tốn tử T(b)
đều là toán tử unita:

{(T(b)x,T(b)y} = ∫ (T(a)T(b)x,(T(a)T(b)ydμ(a)
G

= ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(a)= ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(ab)
G

G

= ∫ (T(c)x,(T(c)ydμ(c)= {x,y}
G

Vậy ta có định lý sau đây.
Định lý 4
Cho một nhóm vơ hạn G (có thể là nhóm liên tục). Nếu với mọi hàm giới nội f(a) trên
nhóm G tồn tại phiếm hàm trung bình F(f), tức là tồn tại tích phân bất biến
∫ (f(a)dμ(a) ,

G

thì mọi biểu diễn của nhóm G đều tương đương với một biểu diễn unita.
Chứng minh. Ta dùng phiếm hàm trung bình F(fx,y) làm tích vơ hướng mới {x,y} rồi lặp
lại tất cả các lập luận giống như khi chứng minh Định lý 3.
Trước khi kết thúc đoạn này ta hãy dẫn ra đây một vài thí dụ về phiếm hàm trung bình.

8/22

∀
∈

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

G là nhóm hữu hạn cấp N. Ta định nghĩa
F(f) = N1 ∑a f(a)
Rõ ràng là F(f) thỏa mãn các điều kiện 1) và 2). Để thử lại điều kiện 3) ta chỉ cần dùng
~

định nghĩa của fb, f b và hệ thức (54)
∑a f(a) = ∑a f(ab)= ∑a f(ba) , ∀ b ∈ G.

G là nhóm các phép quay khơng gian ba chiều quanh một trục nào đó. Mỗi phép quay
được đặc trưng bởi góc quay ϕ, hàm trên nhóm là hàm tuần hoàn của ϕ với chu kỳ 2π
f(φ) = f(φ + 2π) .

Ta định nghĩa
F(f) =

1 2π
2π ∫0 f(φ)dφ

Rõ ràng là F(f) thỏa mãn hai điều kiện 1) và 2). Chú ý rằng G là nhóm giao hốn cho
nên
~

fφ(φ)b= f φ(φ)= f( φ + φ)

Từ tính chất tuần hồn của hàm f suy ra rằng F(f) thỏa mãn điều kiện 3):
F( fφ) =

1 2π
2π ∫0 f(φ

+ ψ)dφ =

1 2π
2π ∫0 f(φ)dφ

= F(f)

G là nhóm quay trong khơng gian Euclide thực ba chiều. Mỗi phép quay được đặc trưng
bởi ba góc Euler ψ,θ,ϕ với ψ và φ thay đổi từ 0 đến 2 π, còn θ thay đổi từ 0 đến π. Hàm
trên nhóm là hàm f( ψ,θ,φ) của ba góc Euler. Phiếm hàm trung bình có dạng
F(f) =

1
8π2

∫f(ψ,θ,φ)sinθdθdψdφ

Có thể chứng minh rằng đó là một tích phân bất biến trên nhóm quay.

Biểu diễn tối giản
Định lý 5 (Bổ đề Shur 1)
Nếu trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T của nhóm G có một tốn tử A
khác khơng và giao hốn với tất cả các tốn tử T(a) của biểu diễn T, a G , thì toán
tử A phải là bội của toán tử đơn vị

9/22


∀
∈

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Chứng minh. Tốn tử A khác khơng có ít nhất một vectơ riêng r trong không gian L:
A r = αr
Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng α tạo thành một
không gian con Lα của L. Ta hãy chứng minh rằng Lα bất biến đối với mọi phép biến
đổi T(a) của biểu diễn T:
T(a) LαLα ,

a

G

Thực vậy, cho r là một vectơ con tùy ý trong Lα và hãy xét tất cả các vectơ T(a)r,
∀ a ∈ G. Tác dụng toán tử A lên các vectơ này, dùng giả thiết về sự giao hoán của A với
tất cả các toán tử T(a) và chú ý rằng r là vectơ riêng của A với giá trị riêng α, ta có
A(T(a)r) = AT(a)r = T(a)Ar = T(a) αr = α(T(a))r.
Kết quả này chứng tỏ rằng T(a)r cùng là các vectơ riêng của A cùng một giá trị riêng α
. Vậy Lα quả thực là một không gian con bất biến. Nhưng theo giả thiết thì biểu diễn T
trong không gian L lại là biểu diễn tối giản, L không thể chứa không gian con bất biên
nào khác khơng và khác L. Vậy Lα khác khơng thì phải trùng với L, nghĩa là mọi vectơ
trong không gian đã cho L đề là vectơ riêng của toán tử A với cùng một giá trị riêng α .
A phải là bội của tốn tử đơn vị.

Hàm trên nhóm sinh ra bởi biểu diễn
Trong không gian L thực hiện biểu diễn T ta hãy chọn một hệ vectơ cơ sở nào đó. Khi
đó mỗi phép biến đổi T(a) được diễn tả bởi một ma trận với các yếu tố ma trận Tij (a)
là các hàm trên nhóm G, gọi các hàm trên nhóm được sinh ra bởi biểu diễn T. Ta xét
trường hợp tích phân bất biến của mọi hàm giới nội trên nhóm đều tồn tại, và có định
nghĩa sau đây
Định nghĩa tích vơ hướng của hai hàm trên nhóm
Các hàm trên nhóm có thể được coi là các vectơ trong một khơng gian tuyến tính và
ta định nghĩa tích vơ hướng của hai hàm trên nhóm ϕ và ψ, tức là của hai vectơ trong
không gian các hàm trên nhóm, như sau

Áp dụng định nghĩa này cho các hàm trên nhóm được sinh ra bởi một biểu diễn tối giản,
ta có định lý sau đây.

10/22


∀
∈

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Định lý 6
Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d của nhóm G sinh ra d 2 hàm trên nhóm Tij
(a), a G, thỏa mãn hệ thức

Chứng minh. Hãy lấy một tốn tử tuyến tính B bất kỳ trong khơng gian L thực hiện biểu
diễn tối giản T rồi thiết lập các toán tử
T(a) BT(a-1), aG,
với các yếu tố ma trận là các hàm trên nhóm, và lấy tích phân (bất biến) tốn tử này theo

a trên nhóm G. Ta thu được toán tử sau đây

Ta hãy chứng minh rằng toán tử A giao hoán với mọi phép biến đổi T(a). Thực vậy, với
mọi yếu tố a của nhóm G ta có
T(a) AT(a)-1 = T(a) AT(a-1) = ∫ (T(a)T(b)BT(b − 1)T(a − 1)dμ(b)
G

= ∫ (T(ab)BT(b − 1a − 1)dμ(b)= ∫ (T(ab)BT((ab) − 1)dμ(b)
G

G

Vì rằng độ đo dμ(b) là bất biến,
dμ(b) = dμ(ab),

cho nên ta có thể thay nó bằng dμ(ab) rồi đổi biến số tích phân, đặt ab = c, và có
T(a) AT(a)-1 = ∫ (T(c)BT(c − 1)dμ(c)
G

nghĩa là
T(a) AT(a)-1 = A,

a

G

Nhân cả hai vế của hệ thức này với T(a) từ bên phải, ta thu được
T(a) A = AT(a),

a

G

11/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Vậy sự giao hoán của A với mọi toán tử T(a) đã được chứng minh. Bây giờ ta áp dụng
Bổ để Shur 1. Theo giả thiết T là một biểu diễn tối giản. Toán tử A giao hoán với tất cả
các toán tử T(a) của biểu diễn này phải là bội của toán tử đơn vị
A = αI
Phối hợp hệ thức này với công thức (60), ta thu được hệ thức

hay là dưới dạng tường minh các yếu tố ma trận

Biểu diễn T có thứ nguyên bằng d cho nên các chỉ số i, j,k, l trong công thức (62) chạy
theo các số nguyên dương từ 1 đến d. Lấy vết của cả hai vế công thức (61), nghĩa là đặt
i = l trong cả hai vế của công thức (62) rồi cộng theo i từ 1 đến d ta có
Bjk ∫ (Tki(b − 1)Tij(b − 1b)dμ(b)= αd
G

Chú ý rằng
T ki (b -1 )T ij (b) = T kj (b -1 b)=T kj (e) = δkj
và
∫ dμ(b) = 1

G

ta thu được

1

α= d Bii =

1
d

Tr B

Vậy cơng thức (62) có thể viết lại như sau

Theo giả thiết T là một biểu diễn unita, do đó
T(b-1) = T(b)-1 = T(b)+

12/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

nghĩa là
Tkl(b-1) = Tlk(b)*
Thay vào vế trái công thức (63), ta thu được

Công thức này đúng đối với mọi ma trận B. Ta hãy chọn B là một ma trận đặc biệt có
yếu tố ma trận Bij bằng 1 khi i = p và j = q với hai số nguyên dương p và 1 nào đó nhờ
hơn hoặc bằng d, cịn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng không,

Ta có
Tr B = δpq
Khi đó cơng thức (64) trở thành

1

∫ Tlq(b) ∗ Tip(b)dμ(b)= d δilδpq

G

Đó là cơng thức (59). Vậy định lý đã được chứng minh.
Định lý 6 có thể được chứng minh một cách tương tự đối với các nhóm hữu hạn. Trong
trường hợp này tích phân bất biến của hàm trên nhóm được thay bằng một đại lượng
tương tự là giá trị trung bình của hàm trên nhóm
∫ Tij(a )* Kkl(a)dμ(a) →

G

1
N

∑a Tij(a )* Tkl(a) ,

trong đó N là số yếu tố của nhóm hữu hạn. Theo định lý 6 ta có d2 hàm trên nhóm Tij(a)
trực giao với nhau và do đó độc lập tuyến tính với nhau. Vì số hàm độc lập tuyến tính
trên nhóm hữu hạn cấp N nhiều nhất cũng chỉ bằng N, cho nên d 2 N. Vậy dịnh lý 6 đối
với nhóm hữu hạn có hệ quả sau đây.
Hệ quả
Thứ nguyên d của mọi biểu diễn tối giản của một nhóm hữu hạn cấp N bao giờ cũng
thoả mãn hệ thức
13/22


∈

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

d 2N.
Bây giờ ta hãy mở rộng Định lý 6 ra cho trường hợp các hàm trên nhóm được sinh ra
bởi hai biểu diễn tối giản không tương đương. Giống như khi chứng minh Định lý 6, ta
cần bổ đề sau đây.
Định lý 7 (Bổ đề Shur 2)
Cho T(1) và T(2) là hai biểu diễn tối giản khơng tương đương của nhóm G trong các
không gian vectơ L1 và L2, T(1)(a) và T(2)(a) là các phép biến đổi trong L1 và L2,
tương ứng với yếu tố a G, A là một toán tử tuyến tính chuyển các vectơ trongL2 thành
các vectơ trong L1. Nếu với mọi yếu tố a của nhóm G tốn tử A thoả mãn hệ thức:

thì A phải bằng không.
Chứng minh. Gọi thứ nguyên của không gian L1 là d1, thứ ngun của khơng gian L2 là
d2. Có thể xảy ra ba trường hợp.
1) d1 > d2. Gọi M là miền giá trị của toán tử A, nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ r1
in: 2 args.L1 có dạng

trong đó r2 là một vectơ bất kỳ của L2. Ta viết

Thứ nguyên của M phải bé hơn hoặc bằng thứ ngun của khơng gian L2 và do đó phải
bé hơn thứ nguyên d1 của không gian L1. Ta hãy chứng minh rằng M là một không gian
con bất biến đối với tất cả các toán tử T(1)(a), ∀ A ∈ G. Thực vậy, mọi vectơ r1 ∈ Mđều
có dạng xác định bởi cơng thức (66) và do đó theo hệ thức (65) ta có:
T(1)(a) r1 = T(1)(a) Ar2 = AT(2)(a) r2.
Nhưng T(2)(a) r2 cũng là một vectơ trong L2 cho nên theo định nghĩa (67) ta có
AT(2)(a) r2in: 2 args.M

14/22

Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Vậy với mọi vectơ r1in: 2 args.M vectơ T(1)(a) r1 cũng là một vectơ thuộc không gian
con M,
T(1)(a) r1MM,
M là một không gian con bất biến đối với tất cả các phép biến đổi T(1)(a). Ta lại biết
rằng thứ nguyên của M nhỏ hơn thứ nguyên d1 của không gian L1. Nhưng theo giả thiết
thì biểu diễn T(1) là một biểu diễn tối giản, khơng gian L1 khơng thể có khơng gian con
bất biến nào khác khơng mà có thứ ngun nhỏ hơn d1. Vậy ta phải có M = 0, nghĩa là
A = 0.
2) d1 < d2. Vì tốn tử tuyến tính A chuyển các vectơ trong khơng gian d2 chiều thành
các vectơ trong một khơng gian có số chiều d1 nhỏ hơn, cho nên trong L2 phải có ít nhất
một vectơ r2 nào đó mà

Gọi N là tập hợp tất cả các vectơ trong không gian L2 thoả mãn điều kiện (68). Vì có ít
nhất một vectơ thoả mãn điều kiện này nên Nneq: 2 args.0. Ta hãy chứng minh rằng N
là không gian con bất biến đối với biểu diễn T(2). Thực vậy, cho r2 là vectơ bất kỳ trong
N. Theo giả thiết (65) và định nghĩa (68) ta có
AT(2)(a) r2 = T(1)(a) A r2 = 0
với mọi yếu tố a của nhóm G, tức là tất cả các vectơ T(2)(a) r2 cũng thuộc vào N. Vậy
T(2)(a) NN, ∀ a ∈ G,
N là không gian con bất biến khác không của L2. Nhưng theo giả thiết biểu diễn T(2) là
biểu diễn tối giản. Vậy N phải trùng với L2, nghĩa là mọi vectơ r2 của L2 đều thỏa mãn
điều kiện (68). Ta suy ra rằng A=0.
3) d1=d2. Đầu tiên ta chú ý rằng A khơng thể có nghịch đảo, vì nếu A-1 tồn tại thì hệ thức
(65) cho ta ngay
T(2)(a) = A − 1T(1)(a)A,∀ a ∈ G,

nghĩa là hai biểu diễn T(1) và T(2) tương đương với nhau, trái với giả thiết. Vì rằng A
khơng có nghịch đảo cho nên miền giá trị M của A phải có thứ nguyên nhỏ hơn d2 =
d1. Lý luận giống như trong trường hợp 1), ta thấy rằng M phải là một không gian con
15/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

bất biến khác với L1. Vì biểu diễn T(1) là tối giản, theo giả thiết, cho nên M phải bằng
không, M = 0. Vậy A = 0.
Bây giờ ta hãy áp dụng Bổ để Shur 2 để chứng minh định lý sau đây.
Định lý 8
Hai biểu diễn unita tối giản không tương đương nhau T ( α ) và T ( β ) sinh ra hai hệ
hàm trên nhóm Tαij(a) và Tβkl(a) trực giao với nhau, nghĩa là thoả mãn hệ thức

Chứng minh. Gọi Lα và Lβlà hai không gian vectơ thực hiện các biểu diễn tối giản T(α)
và T(β), B là một tốn tử tuyến tính nào đó chuyển các vectơ của Lβ thành các vectơ của
Lα. Đặt
A = ∫ T(α)BT(β)(b − 1)dμ(b),
G

và xét các tích T(α) (a) A, với mọi yếu tố a của nhóm G. Ta có
T(α) (a) A = ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)dμ(b)
G

= ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)T(β)(a − 1)dμ(b)T(β)(a)
G

= ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(b)T(β)(a)
G

= ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(ab)T(β)(a)
G

= ∫ T(α)(c)BT(β)(c − 1)dμ(c)T(β)(a)
G

Vậy
T(α) (a) A = AT(β)(a), ∀ a ∈ G
Theo Bổ đề Shur 2 toán tử A phải bằng không. Ta thu được công thức

16/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

hay là dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận

Nếu chọn B là ma trận chỉ có một yếu tố ma trận Bpq khác khơng, cịn tất cả các yếu tố
ma trận khác bằng khơng, thì cơng thức (71) cho ta
−1
∫ T(α)
)dμ(b)= ∫ T(β)
ip (b)Tgl(β)(b
lq (b )* Tip(α)(b)dμ(b)= α ≠ β

G

G

Đó chính là cơng thức (69). Vậy định lý đã được chứng minh.
Với các nhóm hữu hạn thì thay cho tích phân bất biến ta dùng giá trị trung bình của hàm
trên nhóm và cũng có định lý tương tự.
Ta đã chứng minh được rằng các hàm trên nhóm được sinh ra bởi các biểu diễn tối giản
không tương đương cũng như được sinh ra bởi cùng một biểu diễn tối giản đều là các
hàm trực giao với nhau. Bây giờ hãy xét tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương
với nhau T(α), α = 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G, và tập hợp tất cả các hàm T(α)
ij (a)
được sinh ra bởi các biểu diễn này, i, j = 1, 2, …, dα, dα là thứ nguyên của biểu diễn T(
α). Mỗi hàm này có thể được xem là một vectơ trong khơng gian vectơ L tất cả các hàm
ψ(a) trên nhóm G. Ta có định lý sau đây.

Định lý 9
Tập hợp tất cả các hàm T(α)
ij (a) , α = 1, 2, …, f, i, j = 1, 2, …, d α , được sinh ra bởi tất cả
các biểu diễn tối giản T ( α ) thứ nguyên d α không tương đương với nhau của một nhóm
hữu hạn G tạo thành hệ đủ các vectơ cơ sở trực giao với nhau trong khơng gian tất cả
các hàm trên nhóm G. Nói cách khác, mọi hàm trên nhóm G đều có thể khai triển được
thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm :

trong đó dấu tổng theo ký hiệu phép cộng tất cả các biểu diễn tối giản không tương
đường với nhau của nhóm G.

17/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Chứng minh. Trong khơng gian L tất cả các hàm trên nhóm G ta định nghĩa tốn tử tuyến
tính T(a) tương ứng với yếu tố a của nhóm G như sau

Các tốn tử này tạo thành một biểu diễn T của nhóm G. Thực vậy, ta có
T(a')T(a)ψ(b) = T(a')ψ(ba) = T(a')ψa(b) = ψa(ba') = ψ(ba'a)
= ψa'a(b) = T(a'a)ψ(b)

với mọi hàm , nghĩa là
T(a’) T(a) = T(a’ a)
Biểu diễn T này có thể được khai triển thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản
T(α) của nhóm G mà trong khai triển đó mỗi biểu diễn có thể được lặp lại một số lần.
Ký hiệu là số lần mà biểu diễn tối giản T() được chứa trong biểu diễn T. Ta ký hiệu tổng
trực giao của nα biểu diễn giống nhau này là Tα ,

và có

Khơng gian L tách ra thành tổng trực giao của các không gian con bất biến , v = 1, 2, …,
, = 1, 2, …, f, trong đó khơng gian con , v = 1, 2, …, , thực hiện cùng một biểu diễn tối
giản T() . Trong mỗi không gian con này ta hãy chọn hệ cơ sở , i = 1, 2, …, , mỗi vectơ
này là một hàm trên nhóm G. Theo định nghĩa của các yếu tố ma trận ta có
(α)
(α)
(α) (α)
T(a) = φ(α)
vi = T (a) = φvi = φvi Tji (a)

nghĩa là
(α)
(α)
T(a) = φ(α)
vi (b) = φvi (b)Tji (a)

Mặt khác, theo định nghĩa (73) của T(a) ta lại có
(α)
T(a)φ(α)
vi (b) = φvi (ba)

18/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Do đó
(α)
α
φ(α)
vi (ba) = φvj (b)Tji(a)

Trong hệ thức này ta hãy lấy b là yếu tố đơn vị e của nhóm G và thu được công thức sau
đây

Công thức (74) chứng tỏ rằng mọi hàm (a), là các vectơ cơ sở của khơng gian L đều là
một tổ hợp tuyến tính của các hàm . Mọi hàm trên nhóm đều có thể triển khai thành một
tổ hợp tuyến tính theo các hàm (a) và do đó cũng có dạng một tổ hợp tuyến tính của các
hàm . Vậy hệ tất cả các hàm là một hệ đủ trong không gian L tất cả các hàm trên nhóm.
Định lý đã được chứng minh.
Biểu diễn T mà chúng ta đã sử dụng ở trên là một biểu diễn mà ta có thể thiết lập với bất
kỳ một nhóm G nào. Ta đặt tên cho biểu diễn đặc biệt này như sau.
Định nghĩa biểu diễn đều đặn
Biểu diễn T của một nhóm G trên khơng gian L các hàm trên nhóm ψ(a), với các tốn tử
T(a) tác dụng lên các hàm như sau
T(b) ψ(a) = ψ(ab),

được gọi là biểu diễn đều đặn của nhóm này. Chú ý rằng định nghĩa này áp dụng cho
các nhóm G bất kỳ: hữu hạn, vô hạn, liên tục.
Trong quá trình chứng minh Định lý 9 chúng ta đã thấy rằng không gian L tách ra thành
tổng trực giao của các không gian con Lα, α= 1, 2, …, f, mỗi không gian con Lαlại là tổng
α
trực giao của nαkhông gian con của L(α)
v , mỗi không gian con Lv có thứ ngun dα. Vậy
thứ ngun của khơng gian Lα là nαdα. Mặt khác, trong khơng gian này có d2α hàm Tαij(a)
tạo thành một hệ đủ các vectơ cơ sở. Vậy ta phải có
nαdα = d2α

nghĩa là nα= dα. Ta đi đến định lý sau đây
Định lý 10
Biểu diễn đều đặn T của một nhóm hữu hạn G chứa biểu diễn tối giản Tα thứ nguyên dα
đúng dα lần.

19/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Nếu nhóm hữu hạn G là nhóm cấp N, thì trong khơng gian L tất cả các hàm trên nhóm
có nhiều nhất là N hàm độc lập tuyến tính. Lý luận ở trên chứng tỏ rằng thứ nguyên của
không gian L là
∑α d2α

Vậy ta có định lý sau đây
Định lý 11
Các thứ nguyên dα của tất cả các biểu diễn tối giản khơng tương đương của một nhóm
hữu hạn G cấp N phải thoả mãn hệ thức

Các định lý về các hàm đặc trưng
Bây giờ ta chứng minh một số định lý về các hàm đặc trưng.
Định lý 12
Các hàm đặc trưng χα(a) của các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α) của
một nhóm G là các hàm trực giao chuẩn hố trên nhóm này:

Chứng minh. Ký hiệu Tαij(a) và Tβkl(a)là các yếu tố ma trận của các toán tử T(α)(a) và T(β)(a)
. Theo Định lý 6 và Định lý 8 ta có

(Tαij(a),Tβkl(a)) = d1α δikδjl,
trong đó dαlà thứ nguyên của biểu diễn T(α), i, j = 1, 2, …, dα, và

(Tαij(a),Tβkl(a)) = 0 với α ≠ β
Từ định nghĩa của các hàm đặc trưng
χα(a) = Tαii(a), χβ(a) = Tβkk(a),

ta suy ra

20/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

(χα,χα) = (Tαii,Tαkk) = d1α δikδki = 1
(χα,χβ) = (Tαii,Tαkk) = 0 với α ≠ β
Vậy công thức (76) đã được chứng minh.
Ta biết rằng ta có thể coi hàm đặc trưng của một biểu diễn là một hàm χ(Ka) trên tập hợp
các lớp Ka các yếu tố liên hợp. Xét hệ tất cả các hàm χ(α)(Ka)được sinh ra bởi tất cả các
biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G và hãy tìm xem

các hàm này có phải là hệ đủ trong khơng gian các hàm ψ(Ka) trên các lớp Ka các yếu tố
liên hợp hay khơng. Ta có định lý sau đây.
Định lý 13
Các hàm đặc trưng χ(α)(Ka) được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản không tương
đương với nhau T(α) , α = 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G tạo thành một hệ đủ trong
không gian vectơ các hàm ψ(Ka) trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp. Mọi hàm
ψ(Ka) trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp có thể được khai triển như sau

Chứng minh. Hàm ψ(Ka)trên tập hợp các yếu tố liên hợp là một hàm trên nhóm ϕ(a)với
tính chất sau đây

Áp dụng Định lý 9 (cơng thức (72)), ta khai triển hàm này theo hệ đủ tất cả các hàm trên
nhóm Tαij(a), i, j = 1, 2, …, dα, α= 1, 2, …, f, được sinh ra bởi tất cả cá biểu diễn tối giản
T(a) không tương đương với nhau của nhóm G, và có

Thay hai biểu thức (79) và (80) của ψ(a) và ψ(bab − 1) vào phương trình (78) rồi so sánh
các hệ số của Tαij(a) ta suy ra hệ thức

21/22


Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm

Ta biết rằng Tαki(b) và Tαjl(b − 1) là các yếu tố ma trận của các ma trận Tα(b) và Tα(b − 1). Coi
Cαjilà các yếu tố ma trận của các ma trận Cαta viết lại hệ thức (81) dưới dạng một hệ thức
giữa các ma trận
Cα = Tα(b − 1)CαTα(b) = Tα(b) − 1CαTα(b), ∀ b ∈ G

Ta suy ra rằng
Tα(b)Cα = CαTα(b), ∀ b ∈ G,

nghĩa là ma trận Cαgiao hoán với tất cả các toán tử Tα(b), ∀ b ∈ G, của biểu diễn tối giản
Tα. Theo Bổ đề Shur 1 ma trận này phải là bội của ma trận đơn vị,
Cα = Λ(α)I,

nghĩa là

Thay giá trị (82) của C(α)
ji vào vế phải công thức (79), ta thu được
f
(α) (α)
ψ(a)= ∑fα = 1 Λ(α)T(α)
ii (a)= ∑α = 1 Λ χii (a)

Đó chính là hệ thức (77). Vậy định lý đã được chứng minh.
Gọi Nk là số lớp các yếu tố liên hợp của nhóm hữu hạn G. Có tất cả Nk hàm trên tập hợp
các lớp Ka mà là độc lập tuyến tính. Mặt khác, theo Định lý 2 thì số cực đại các hàm trên
tập hợp các lớp Ka mà là độc lập tuyến tính bằng số f các biểu diễn tối giản không tương
đương với nhau của nhóm G. Vậy ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả. Số f các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G
bằng số N k các lớp yếu tố liên hợp của nhóm này:
F = N k.
Khi ta cho một nhóm hữu hạn G, muốn biết nhóm này có bao nhiêu biểu diễn tối giản
khơng tương đương ta chỉ cần tìm xem nhóm G có bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp.
Cách này rất thường hay được dùng khi nghiên cứu các nhóm đối xứng của các tinh thể.

22/22