(LUẬN văn THẠC sĩ) khai thác mối quan hệ hình học đại số vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

download by :


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THÀNH CÔNG

KHAI THÁC MỐI QUAN HỆ
HÌNH HỌC - ĐẠI SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

download by :


✐

▼ư❝ ❧ư❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
✶
▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉
✶
✶ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤
❤å❝
✸
✶✳✶✳ Þ t÷ð♥❣ ❝❤✉♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝
✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳ ✸
✳ ✸
✳ ✸
✳ ✶✹

✷ ❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ởt số t
số

ị tữ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â t❤❛♠ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❑➳t ❧✉➟♥
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖

download by :

✳ ✶✾
✳ ✶✾
✳ ✶✾

✳ ✸✼
✳ ✹✸

✳ ✺✵

✺✽
✺✾


✶

▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tỉ✐ ổ ữủ sỹ ừ ở ữợ
ú ù ❝õ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❚rà♥❤ ❚❤❛♥❤ ❍↔✐✳ ❚❤➛② ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ t❤❡♦ ❞ã✐
s→t s❛♦✱ ❞➔♥❤ ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t ữợ t
ừ tổ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❚❤➛②✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ✤➳♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ ❚↕♦
❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ❚❤➛② ❈ỉ
t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ❝❛♦ ❤å❝ ✷✵✶✼ ✕ ✷✵✶✾ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❝❤➾ ❜↔♦ tr✉②➲♥
✤↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ t❤❡♦ ❤å❝✱ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❈✉è✐ ❝ị♥❣✱ tỉ✐ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝→♠ ì♥ tỵ✐ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧✱ ỗ ổ
ở ú ù ộ ỹ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✈➲ ✈➟t ❝❤➜t ✈➔ t✐♥❤ t❤➛♥ ❝❤♦ tæ✐
tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❚❤➔♥❤ ❈æ♥❣

download by :

ớ õ
ỵ ồ t
ồ ✣↕✐ sè ❧➔ ❤❛✐ ♥ë✐ ❞✉♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ①✉②➯♥ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
t♦→♥ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❝➜✉ t❤➔♥❤ ♥➯♥ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè ❧➔ ởt rt
q t ỗ tớ tổ q✉❛ ✤â✱ ❝❤♦ t❛ ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ t❤➸ ❤ì♥✱
❣â♣ ♣❤➛♥ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❤✐➸✉ rã ❤ì♥ ✈➲ ❚♦→♥ ❤å❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐ó♣ ➼❝❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝
❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ồ
ử t t ừ ữợ ♣❤→t tr✐➸♥ tr➯♥ t❤➳ ❣✐ỵ✐ r➜t
q✉❛♥ t➙♠ ❝❤ó trå♥❣ ✈✐➺❝ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❧✐➯♥ ♠ỉ♥✿ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♠ỉ♥ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉ ✈➔ ❣✐ú❛
❝→❝ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ tr♦♥❣ ❝ị♥❣ ♠ët ♠ỉ♥ ❤å❝✳ ◆➲♥ ử ừ t ổ
ữợ ừ t❤í✐ ✤↕✐✱ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❞➛♥ ❝❤✉②➸♥ ♠➻♥❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ồ
ọ s t ự ử ữợ ồ ♥➔②✳
❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚♦→♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❚❍❈❙ ✲ ❚❍P❚ ❤✐➺♥ ♥❛②✱ ❜ë ♠æ♥ ❚♦→♥
❝❤ù❛ ❤❛✐ ♠↔♥❣ rã r➺t✿ ♣❤➛♥ ✶ ❧➔ ✣↕✐ sè✱ ♣❤➛♥ ✷ ❧➔ ❍➻♥❤ ❤å❝✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♠➦t
t➼❝❤ ❝ü❝ ❧➔ ❣✐ó♣ ❤å❝ s✐♥❤ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ♥❣❛② ✤÷đ❝ ❝➜✉ tró❝ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ t✐➳♣
t❤✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ♠ët ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ♥â ❧➔♠ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤
❤✐➸✉ r➡♥❣ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣
trđ q✉❛ ❧↕✐✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✈✐➺❝ ❣➢♥ ❦➳t ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ♥➔② tr♦♥❣ s→❝❤ ❣✐→♦ ❦❤♦❛
❚❍❈❙✲ ❚❍P❚ ❧➔ ❝❤÷❛ ✤÷đ❝ ✤➲ ❝➟♣ rã r➔♥❣ ✤➛② ✤õ✳
❚❤ü❝ t➳ q✉→ tr➻♥❤ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✱ ❤å❝ s✐♥❤ ❤✐➸✉ ❜✐➳t ✈➲
♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❍➻♥❤ ồ số ỡ ỗ ữ ❤✐➸✉ ✤➙② ❧➔ ✷ ♣❤➙♥
♠æ♥ r✐➯♥❣ ❜✐➺t✱ ❣â♣ ♣❤➛♥ t↕♦ ♥➯♥ ♠æ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✳ ❈→❝ ❡♠ ❤å❝ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ♥➔♦
t❤➻ ❤å❝ ✈➔ ❧➔♠ ❜➔✐ t➟♣ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ✤â✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❞↕② ❤å❝ t❤❡♦ t✐➳t
♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ✣↕✐ sè t❤➻ ❝❤✉②➯♥ ❧➔♠ ❜➔✐ ✈➲
✣↕✐ sè✱ ➼t ❤♦➦❝ ❦❤ỉ♥❣ ❤♦➦❝ ❝❤÷❛ ❝❤ó trå♥❣ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ sü ❧✐➯♥ ❦➳t ❣✐ú❛ ❍➻♥❤
❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t➟♣✳

download by :

✷

❚❤æ♥❣ q✉❛ t➻♠ ❤✐➸✉ t❤ü❝ t➳✱ tæ✐ t❤➜② r➡♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛
❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠æ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ❤✐➸✉
❜✐➳t ❤ì♥ ✈➲ ❜ë ♠ỉ♥ ❚♦→♥ ❤å❝✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ trđ ❣✐ó♣ ❝→❝ ❡♠ ỉ♥ t❤✐ ✈➔ t❤✐ ❤å❝
s✐♥❤ ❤ä✐ P õ ợ ữợ ♠ỵ✐✱ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❧í✐
❣✐↔✐ ♠ỵ✐✱ ♣❤♦♥❣ ♣❤ó ❤ì♥ tr♦♥❣ q tr ổ t ổ
ỳ ỵ ❞♦ tr➯♥✱ tæ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧❑❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺
❍➻♥❤ ❤å❝ ✲ ✣↕✐ sè ✈➔♦ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✧✳ ❚❤æ♥❣
q✉❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥➔②✱ tæ✐ ♠♦♥❣ r➡♥❣ ♠➻♥❤ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥ ❧➔♠ rã ❤ì♥ ♠è✐
q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❤❛✐ ♣❤➙♥ ♠ỉ♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐ sè✱ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ t÷ì♥❣ trđ ❧➝♥
♥❤❛✉ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ❚♦→♥ ❝õ❛ ❜↔♥ t❤➙♥ ð ❚❍❈❙✳

✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤✱ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❦❤❛✐ t❤→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ✣↕✐
sè ❣â♣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ ❝➟♥ ữợ t ợ ừ t ữớ ✈➟♥
❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ồ ữủ t
ồ ợ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè t❤ỉ♥❣ q✉❛ ✈✐➺❝ ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❞➔♥❤ ❝❤♦
❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝→❝ t➾♥❤✱ t♦➔♥ q✉è❝ ✈➔ ❦❤✉ ✈ü❝✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s

ã ị tữ t t t ổ ử ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤
❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝
ã ữ t ởt t t số ồ ồ s ọ
ã ữ r ❧í✐ ❣✐↔✐ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✈➟♥ ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❝ỉ♥❣ ❝ư ❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ♣❤÷ì♥❣
♣❤→♣ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✳

✸✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ t s ỗ
ữỡ
ữỡ r ữỡ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët
sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè

download by :


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶

❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐
♠ët sè t ồ
ị tữ
ở ữỡ ồ ỵ tữ ử t t ỵ ổ
ử tr số tr q tr t r ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ư sû ❞ư♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦
♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐
❝→❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ t♦➔♥ q✉è❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝ ❈❤➙✉
⑩ ữỡ ởt số ữợ ỹ ✣æ♥❣ ❹✉✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➙✉ q✉❛♥ trå♥❣ ➞♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ❧➔ ✈✐➺❝ ❜✐➳♥ ✤è✐
❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜ë❝ ❧ë ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ ✣↕✐ sè ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲✱ ❝â t❤➸ t↕♠ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ✧✣↕✐ sè ❤â❛
❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝✧ ✱ s❛✉ ✤â ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✣↕✐ sè ✤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉
❜➔✐ t♦→♥ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❜❛♥ ✤➛✉✳

✶✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛
✶✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝
❳✉➜t ♣❤→t tø 2 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭❇✣❚✮ ✣↕✐ sè r➜t q✉❡♥ t❤✉ë❝ s❛✉ ✤➙②✳

❇✣❚ ✶✳ ợ số ữỡ a b c õ
(a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

≥ 9.

download by :


✹

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐

(a + b + c)

1 1 1
+ +
a b c

a a b
b c c

+ + +1+ + + +1−9
b c a
c a b
a b
b c
c a
=
+ −2 +
+ −2 +
+ −2
b a
c b
a c
(a − b)2 (b − c)2 (c − a)2
=
+
+
≥ 0.
ab
bc
ac

−9=1+

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a − b = b − c = c − a = 0 ⇔ a = b = c

ợ số ữỡ a, b, c ❝â

b
c

3
a
+
+
≥ .
b+c c+a a+b
2
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ a = b = c✳

▲í✐ ❣✐↔✐

⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â

b
c
a
+
+
=
b+c c+a a+b

a
b
c
+1 +
+1 +
+1 −3
b+c
c+a
a+b

1
1
1
= (a + b + c)
+
+
−3
b+c c+a a+b
1
1
1
1
+
+
−3
= [(b + c) + (c + a) + (a + b)]
2
b+c c+a a+b
9
3
≥ −3= .
2
2

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ b + c = c + a = a + b ⇔ a = b = c✳
❈â t❤➸ ✈➟♥ ❞ö♥❣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ✈➔♦ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥
❝❤ù❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ t➻♠ ❝ü❝ trà ❍➻♥❤ ❤å❝✳

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔
❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ❝â ❝↕♥❤ ❜➡♥❣ a✳ ●å✐ ✤÷í♥❣

✈✉ỉ♥❣ ❣â❝ tø ✤✐➸♠ M ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➳♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt
❧➔ M D, M E, M F ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸✿
1
1
1
❛✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
MD ME MF
1
1
1
❜✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→
MD + ME ME + MF MF + MD
trà ✤â✳

download by :


✺

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✶

√
a 3
●å✐ h =
❧➔ ✤ë ❞➔✐ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ABC ✈➔ ✤➦t M D = x,
2
M E = y, M F = z ✳ ❚❛ ❝â
SABC = SM BC + SM AC + SM AB
⇔ ah = ax + ay + az ⇔ x + y + z = h ❦❤ỉ♥❣ ✤ê✐✳
❛✮ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ t❛ ❝â
1 1 1
+ +
(x + y + z)
x y z

√
9
6 3
1 1 1
.
≥9⇒ + + ≥ =
x y z
h
a

❜✮ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â

1
1

1
+
+
≥9
x+y y+z z+x
√
1
1
1
9
3 3
⇔
+
+
≥
=
.
x+y y+z z+x
2h
a
❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â
M ❧➔ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ∆ABC ✳
(x + y + y + z + z + x)

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✷✳ ●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ t❛♠ ❣✐→❝ ABC õ õ ồ ợ

ữớ AA1 ; BB1 ; CC1 ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣
❛✮

AA1

BB1
CC1
+
+
≥9
HA1 HB1 HC1

download by :


✻

❜✮

HA1 HB1 HC1
3
+
+
≥
HA
HB
HC
2
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ♥➔♦❄

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✷

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻

S = S1 + S2 + S3 .
❛✮ ❉➵ t❤➜②

S1 HB1
S2 HC1
S3
HA1
= ;
= ;
= .
AA1
S BB1
S CC1
S

❉♦ ✤â

HA1 HB1 HC1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝

AA1
BB1

CC1
+
+
≥ 9.
HA1 HB1 HC1
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

HA1
HB1
HC1
1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
S
,
3
❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔
t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
⇔ S1 = S2 = S3 =

download by :


✼

❜✮ ❚ø

HA1
S1
=
❝â
AA1
S
HA1
HA1
S1
S1
=
=
=
.
HA
AA1 − HA1
S − S1
S2 + S3

❚÷ì♥❣ tü

HB1
S2
HC1
S3
=
;
=

.
HB
S1 + S3 HC
S1 + S2

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✷ t❛ ❝â

HA1 HB1 HC1
3
+
+
≥ .
HA
HB
HC
2
▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ∆ABC ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✸✳ ❳➨t t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝â ❜❛ ❣â❝ ♥❤å♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trỏ

(O) ợ ữớ AA1 ; BB1 ; CC1 ❧➛♥ ❧÷đt ❝➢t (O) ❧➛♥ ♥ú❛ t↕✐ D; E; F ✳
❳→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC s❛♦ ❝❤♦✿
❛✮

AA1 BB1 CC1
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
DA1 EB1 F C1

❜✮

AA1 BB1 CC1
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
AD
BE
CF

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✸

●å✐ H ❧➔ trü❝ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ HA1 = DA1 ; HB1 =

EB1 ; HC1 = F C1 ✳

download by :


✽

❛✮ ●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, HBC, HAC, HAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3
t❤➻

S = S1 + S2 + S3 .
❉➵ t❤➜②

HA1

S1 EB1
HB1
S2 F C1
HC1
S3
DA1
=
= ;
=
= ;
=
= .
AA1
AA1
S BB1
BB1
S CC1
CC1
S
❉♦ ✤â

DA1 EB1 F C1
+
+
= 1.
AA1 BB1 CC1

⑩♣ ❞ư♥❣ ❇✣❚ ✶ ✤÷đ❝

AA1 BB1 CC1

+
+
≥ 9.
DA1 EB1 F C1
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

EB1
F C1
1
DA1
=
=
=
AA1
BB1
CC1
3
S
,
3
❧ó❝ ✤â H ✈ø❛ ❧➔ trü❝ t➙♠✱ ✈ø❛ ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥➯♥ ABC ❧➔
t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳
⇔ S1 = S2 = S3 =

❜✮

AD
BE
CF
HA1

HB1
HC1
+
+
=1+
+1+
+1+
=4
AA1 BB1 CC1
AA1
BB1
CC1
❙✉② r❛

9
AA1 BB1 CC1
+
+
≥ .
AD
BE
CF
4
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ∆ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✹✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥

❦➼♥❤ r✱ ❤➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ s❛♦ ❝❤♦ tê♥❣ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✤↕t
❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ ha , hb , hc ❧➔ ✤ë ❞➔✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ù♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ a, b, c ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝

ABC ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O)✳
●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, OBC, OAC, OAB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3 t❤➻
S = S1 + S2 + S3 .

download by :


✾

❍➻♥❤ ✹

❉➵ t❤➜②

OK
r
S1
=
= ;
AA1
ha
S

❚÷ì♥❣ tü

r
S2 r

S3
= ;
=
hb
S hc
S

❉♦ ✤â✿

r
r
r
+
+
=1
ha hb hc

✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â

ha + hb + hc = (ha + hb + hc )

1
1
1
+
+
ha hb hc

r ≥ 9r.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ha = hb = hc = 3r, ha + hb + hc = 9r✱ ❧ó❝ ✤â ∆ABC
❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✺✳ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✈➔ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➡♠ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✳

❑➫ AM, BM, CM ❝➢t ❝→❝ ❝↕♥❤ BC, CA, AB ❧➛♥ ❧÷đt t↕✐ A1 , B1 , C1 ✳ ❳→❝ ✤à♥❤
✈à tr➼ ❝õ❛ ✤✐➸♠ M ✤➸
AA1
BB1
CC1
❛✮
+
+
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
M A1 M B1 M C1

download by :


✶✵

❜✮

MA MB MC
.
.
✤↕t ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚➼♥❤ ❣✐→ trà ✤â✳
M A1 M B1 M C1

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✺

❈→❝❤ ✶✳ ✭❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè✮

●å✐ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ABC, M BC, M AC, M AB ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ S, S1 , S2 , S3
t❤➻ S = S1 + S2 + S3
ỷ ử q ỵ ❚❤❛❧❡s t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝

M A1
d(M ; BC)
=
AA1
d(A; BC)
▲↕✐ ❝â

d(M ; BC)
S1
=
d(A; BC)
S

❱ỵ✐ d(M ; BC); d(A; BC) ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø M ✈➔ A ✤➳♥ BC ✳
❙✉② r❛

M A1
S1
=
AA1

S

❚÷ì♥❣ tü

❉♦ ✤â

M B1
S2 M C 1
S3
= ;
=
BB1
S CC1
S
M A1 M B1 M C1
+
+
= 1.
AA1
BB1
CC1

⑩♣ ❞ö♥❣ ❇✣❚ ✶ ❝â

AA1
BB1
CC1
+
+
≥ 9.

M A1 M B1 M C1

download by :


✶✶

S
✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ∆ABC ✳
3
AA1
❜✮ ✣➦t
= x t❤➻
M A1
AA1
MA
=
− 1 = x − 1.
M A1
M A1
❚÷ì♥❣ tü
MB
BB1
=
− 1 = y − 1,
M B1
M B1
MC
CC1
=

− 1 = z − 1.
M C1
M C1
❚❛ ❝â
1 1 1
+ + = 1 ⇔ xy + yz + zx = xyz.
x y z
❚ø ✤â
AA1 M B M C
.
.
= (x − 1)(y − 1)(z − 1)
M A1 M B1 M C1
= xyz − (xy + yz + zx) + x + y + z − 1 = x + y + z − 1
= (x + y + z)

1 1 1
+ +
x y z

− 1 ≥ 9 − 1 = 8.

✣➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ x = y = z ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳
❚❛ ❝â t❤➸ ỵ t s

ỷ ử t sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ✈➔ ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮

●å✐ S1 ; S2 ; S3 ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ABM, ACM, BCM ú ỵ
r t õ ũ ữớ ❝❛♦ t❤➻ t➾ sè ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❜➡♥❣ t➾ sè
❤❛✐ ❝↕♥❤ ✤→②✳

❚❛ ❝â

SACM
SABM + SACM
S1 + S2
MA
SABM
=
=
=
=
M A1
SBM A1
SCM A1
SBM A1 + SCM A1
S3
❚÷ì♥❣ tü ❝â

MB
S1 + S3 M C
S2 + S3
=
;
=
.
M B1
S2
M C1
S1
❚ø ✤â✱ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ✤÷đ❝

S1 + S2 S1 + S3 S2 + S3
MA MB MB
.
.
=
.
.
M A1 M B1 M B1
S3
S2
S1
√
√
√
2 S1 .S2 .2 S1 .S3 .2 S2 .S3
≥
= 8.
S3 .S2 .S1

download by :


✶✷

1
❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ S1 = S2 = S3 = .SABC
3
MA
MB
⇒

=2=
❧ó❝ ✤â M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ABC
M A1
M B1

ỷ ử ỵ s ✈➔ ❇✣❚ ❈❛✉❝❤②✮

◗✉❛ M ❦➫ M D//AB ✈➔ ❝➢t BC t↕✐ D✳ ◗✉❛ M ❦➫ M E//AC ✈➔ ❝➢t BC
t↕✐ E ử ỵ s t õ

MA
BD
EC
BD + EC
BD + EC
=
=
=
=
.
M A1
DA1
EA1
DA1 + EA1
DE
▼➦t ❦❤→❝

MB
BD
BD + DE

=
=
M B1
EC
EC
DC
DE + EC
MC
=
=
.
M C1
BD
BD

❚ø ✤â✱ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤② ✤÷đ❝

MA MB MC
BD + EC BD + DE DE + EC
.
.
=
.
.
M A1 M B1 M C1
DE
EC
BD
√
√

√
2 BD.EC.2 BD.DE.2 DE.EC
≥
≥ 8.
DE.EC.BD
❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ BD = DE = EC ⇒ M C = 2M C1 , M B = 2M B1 ✳
▲ó❝ ✤â✱ M ❧➔ trå♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ∆ABC ✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✻✳ ❈❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â

tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ AB ✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ tê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥
❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A ✈➔ M B ❧➔ ♥❤ä ♥❤➜t✳

▲í✐ ❣✐↔✐

✣➦t M A = 2x, M B = 2y ✈ỵ✐ x + y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = R ✭❦❤æ♥❣ ✤ê✐✮ ✭①❡♠
❤➻♥❤ ✈➩✮✳ ●å✐ S1 ✈➔ S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ trá♥ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ M A
✈➔ M B ✳
❉➵ t❤➜② S = S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = πx2 + πy 2 = π(x2 + y 2 ) ♥❤ä ♥❤➜t✳
πR2
▲➟♣ ❧✉➟♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ tr➯♥ s✉② r❛ ●❚◆◆ ❝õ❛ S ❜➡♥❣
✱ ❧ó❝ ✤â M trị♥❣
2
✈ỵ✐ t➙♠ O✳

download by :


✶✸

❍➻♥❤ ✻

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✶✳✼✳ ❈❤♦ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ABCD ❝↕♥❤ a✳ M ❧➔ ✤✐➸♠ ♥➔♦ ✤â tr➯♥

❝↕♥❤ AB ✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝â ❝↕♥❤ M A, M B ✈➲ ❜➯♥ tr♦♥❣ ABCD✳ ❳→❝
✤à♥❤ ✈à tr➼ ❝õ❛ M ✤➸ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ♣❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ S ❝õ❛ ❤➻♥❤ ✈✉ỉ♥❣ ABCD ❧➔ ❧ỵ♥
♥❤➜t✳

▲í✐ ❣✐↔✐

❍➻♥❤ ✼

✣➦t M A = x, M B = y ✈ỵ✐ x ≥ 0; y ≥ 0 t❤ä❛ ♠➣♥ x + y = a ✭①❡♠ ❤➻♥❤ ✈➩✮
●å✐ S1 , S2 t❤❡♦ t❤ù tü ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣ ❝↕♥❤ M A ✈➔ M B t❤➻ S1 = x2
✈➔ S2 = y 2 ✳
❉➵ t❤➜② S ❧ỵ♥ ♥❤➜t ⇔ S1 + S2 ♥❤ä ♥❤➜t ⇔ P = x2 + y 2 ♥❤ä ♥❤➜t✳ ❚ø ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ 2(x2 + y 2 ) ≥ (x + y)2 ❤❛② 2(x2 + y 2 ) ≥ a2 s✉② r❛ ❣✐→ trà ♥❤ä ♥❤➜t
a2
✭●❚◆◆✮ ❝õ❛ S1 + S2 ❜➡♥❣ ✱ ❧ó❝ ✤â M ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ AB ✳
2

download by :


✶✹

✶✳✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤
❇➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧➔ ♠ët ❞↕♥❣ t♦→♥ t❤÷í♥❣ ①✉➜t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣
❍➻♥❤ ❤å❝ ✈➔ ờ tổ t q t tữớ ỗ ữợ ỹ
q t ự q t ợ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝â ♠ët sè ❜➔✐

t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè✳
◆❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② t❤÷í♥❣ ♣❤↔✐ ❞ị♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ✣↕✐ sè ✤➸ ❜✐➳♥ ✤ê✐
✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ tr✉♥❣ ❣✐❛♥✱ s❛✉ ✤â sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ồ qt
ữ r q t ợ q sû ❞ö♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè ❣✐↔✐ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥
❍➻♥❤ ❤å❝✭✈➔ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✮ ❧➔ sû ❞ư♥❣ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ✤÷❛ ✤➳♥ ❧í✐ ❣✐↔✐✱ ♥❤÷ ✈➟②
❦✐➳♥ t❤ù❝ ✣↕✐ sè✭❍➻♥❤ ❤å❝✮ ữủ sỷ ử ởt số ữợ
t q t ✧❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ M (x; y) t❤ä❛
♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t T ✧ t❛ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✣↕✐ sè ✈➔ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ
t➼❝❤ ♥➔② t❛ t❤÷í♥❣ ①➨t ❜❛ ✈➜♥ ✤➲✿
✶✮ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ❝â ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤❛♠ sè m ❦❤æ♥❣❄
✷✮ ❚➼♥❤ ❝❤➜t T ✭✤✐➲✉ ❦✐➺♥ q✉ÿ t➼❝❤✮ ♠➔ ✤✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥
❝➛♥ ❜✐➸✉ t❤à q✉❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭❤❛② ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✮ ❝õ❛ x, y ữ t
ợ q t Q ừ M ✭♣❤➛♥ ✤↔♦ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤✮✿ Q ❝â t❤➸
❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣✱ ♠ët ♠✐➲♥ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ở ỗ ởt số
rớ r

Q ❧➔ ♠ët ✤÷í♥❣ t❤➻ ❣✐ú❛ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ Q ♣❤↔✐

❧➔ ♠ët ❤➺ t❤ù❝ ♥➔♦ ✤â F (x; y) = 0✱ ❤➺ t❤ù❝ ➜② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛
✤÷í♥❣ Q ✈➔ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉ÿ t➼❝❤✳

✳ ◆➳✉ Q ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tr➯♥ R2 t❤➻ ❣✐ú❛ ❝→❝ tå❛ ✤ë (x; y) ❝õ❛ ❝→❝ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝

Q tữớ õ ữợ t ữỡ tr ❝❤➾ r❛ ♠✐➲♥ Q✱ t❛ ♣❤↔✐
✈✐➳t ✤÷đ❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❜✐➯♥ ❝õ❛ Q✳
❑❤✐ ❞ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✣↕✐ sè t❛ ❝â ❤❛✐ tr÷í♥❣ s❛✉✿
❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✳ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ t❤❛♠ số m
ữợ tồ ở ừ ❝❤↕② q✉❛ t❤❛♠ sè m ❞ü❛ ✈➔♦ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ T ✱ t õ

x = x(m) (1)
y = y(m) (2)
ữợ ❑❤û m tø ❤➺ (1) ✈➔ (2) ✤÷đ❝ ❤➺ t❤ù❝ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ x, y ❧➔ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ q✉ÿ t➼❝❤

download by :




F (x, y) = 0

(3)

ữợ ợ q t

t số m t tũ ỵ t q t➼❝❤ ❧➔ t♦➔♥ ❜ë ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤♦

❜ð✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (3)✳ ỵ ữớ õ (d1 )

t sè m ❝❤➾ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ (α) t❤➻ tø (1) s✉② r❛ x ❝❤➾ ❜✐➳♥

t❤✐➯♥ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ (α1 )✳

❚❛ ①➨t minx(m),♠❛①x(m) ✤➸ ❝❤➾ r❛ q✉ÿ t➼❝❤ ❝❤➾ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ (d1 ) ✈➩ tr♦♥❣ (α1 )✳

❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✳ ✣✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ❦❤ỉ♥❣ ♣❤ư t❤✉ë❝ t❤❛♠ số m
ữợ tứ q t T ✤è✐ ✈ỵ✐ ✤✐➸♠ ❝❤↕② M (x; y) ✈➲ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✤è✐ ợ tồ ở (x; y) ừ õ

ữợ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ➜② ✤➸ t➻♠ r❛ ❤➺ t❤ù❝ ❤♦➦❝ ❜➜t tự
trỹ t ỳ x, y

ú ỵ ◗✉ÿ t➼❝❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❤÷í♥❣ ❧➔ ♠✐➲♥✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ư ♠✐♥❤ ❤å❛ ✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❚↕♣ ❝❤➼ ❚♦→♥ ❍å❝ ✈➔
❚✉ê✐ ❚r➫ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✶✳ ❈❤♦ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ y = f (x) = x − 2 + mx

(4)✳ ❚➻♠

q✉ÿ t ỹ ỹ t ừ ỗ t sè✳

▲í✐ ❣✐↔✐

▼✐➲♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❧➔ ♠å✐ x = 0.
m
x2 − m
õ f (x) = 1 2 =
.
x
x2
tỗ t↕✐ ❣✐→ trà ❝ü❝ ✤↕✐✱ ❝ü❝ t✐➸✉✱ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ f (x) = 0 ♣❤↔✐ ❝â 2
♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✿ x2 − m = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ✭♥❣❤✐➺♠ ♣❤↔✐ ❦❤→❝ 0✮

⇔ m > 0 (α).
❑❤✐ ✤â y = 0 ⇔ x =

√

√
m ❤♦➦❝ x = − m.

❇↔♥❣ ❜✐➳♥ t❤✐➯♥✿

◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐✿ ❚ø ❜↔♥❣ t❛ t❤➜② ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë

download by :


✶✻

√
x=− m⇔

x<0
✭α1 ✮
m = x2

❉♦ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➡♠ tr➯♥ ỗ t số (4) t õ ữỡ tr q✉ÿ
t➼❝❤ ❧➔

x2
= 2x − 2.
x
❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α1 ✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ ✤↕✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x < 0.
◗✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉✿ ❚ø ❜↔♥❣ t❛ t❤➜② ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë
y =x−2+

x=

√
m⇔

x>0
m = x2

✭α2

ỹ t tr ỗ t số (4) ♥➯♥ t❛ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ q✉ÿ
t➼❝❤ ❧➔

x2
= 2x − 2.
x
❉♦ x ♣❤↔✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α2 ✮ ♥➯♥ q✉ÿ t➼❝❤ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷í♥❣
y =x−2+

t❤➥♥❣ y = 2x − 2 ❝â ❤♦➔♥❤ ✤ë x > 0.

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ P❛r❛❜♦❧ y = x2✳ ❚➻♠ m ✤➸ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = mx−m

❝➢t ♣❛r❛❜♦❧ t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ A, B ✈➔ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ I ❝õ❛ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣

AB ✳

▲í✐ ❣✐↔✐

✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = mx − m ❝➢t y = x2 t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠

⇔ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − mx + m = 0 ❝â ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠
⇔ ∆ = m2 − 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0 ❤♦➦❝ 4 ≤ m
(α)
●å✐ I(x; y) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (α) t❛ ❝â✿
1
x = (x1 + x2 )
2
tr♦♥❣ ✤â x1 ; x2 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − mx + m = 0
1
m
⇒ x = (x1 + x2 ) =
t ỵ t m = 2x.
2
2
I(x; y) tr ỗ t ❤➔♠ sè y = mx − m ♥➯♥ t❛ q✉② ✤÷đ❝ q✉ÿ t➼❝❤
✤✐➸♠ I(x; y) ❧➔

y = 2x(2x − 1) = 2x2 − 2x.
❉♦ m t❤ä❛ ♠➣♥ ✭α✮ ♥➯♥ 2x ≤ 0 ❤♦➦❝ 4 ≤ 2x s✉② r❛ x ≤ 0 ❤♦➦❝ x ≥ 2

(α1 )✳
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❛r❛❜♦❧ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ y = 2x2 − 2x ✈➩

download by :


✶✼

tr♦♥❣ (α1 ).

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✸✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣
y=

x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
x2 + m2 − m + 1

✈ỵ✐ Ox, Oy ✳

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(0; y) ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ỗ t ợ Oy õ ữỡ tr➻♥❤
m2 + m + 1
✭✈ỵ✐ x = 0✮ ❞↕♥❣ y = 2
✭➞♥ m✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (m2 −
m −m+1
m + 1)y = m2 + m + 1 ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
3
1
✭❱➻ m2 − m + 1 = (m − )2 + > 0 ợ ồ m
2
4
ữỡ tr (y 1)m2 − (y + 1)m + y − 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
y−1=0
y−1=0
⇔
❤♦➦❝
y+1=0
∆ = (y + 1)2 − 4(y − 1)2 ≥ 0

⇔ y = 1 ❤♦➦❝

y=1
(y − 3)(3y − 1) ≤ 0


 y=1
✭α✮
⇔ y = 1 ❤♦➦❝
1
 ≤ y ≤ 3.
3
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ✈ỵ✐ Oy ❧➔ ♠ët ✤♦↕♥ tr➯♥ trư❝
Oy ❝â t✉♥❣ ✤ë tọ
ồ B(x; 0) ừ ỗ t ợ Ox õ ữỡ tr
x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1
= 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
x 2 + m2 − m + 1
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 + (2m − 1)x + m2 + m + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
2
1
3
2
2
2
✭✈➻ x + m − m + 1 = x + m −
+ > 0 ợ ồ x, m
2
4

2
2
ữỡ tr m + (2x + 1)m + x − x + 1 = 0 ❝â ♥❣❤✐➺♠
⇔ ∆ = (2x + 1)2 − 4(x2 − x + 1) ≥ 0
3
⇔ 8x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ .
(α1 )
8
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❤å ữớ ợ Ox ởt tr trử
Ox õ ❤♦➔♥❤ ✤ë t❤ä❛ ♠➣♥ (α1 )✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✹✳ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ tå❛ ✤ë ❝â
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ✤➳♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = −

1
1
✈➔ ✤➳♥ ✤✐➸♠ (0; ) ❧➔ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉✳
4
4

download by :


✶✽

▲í✐ ❣✐↔✐

●å✐ A(x; y) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤✳ ❑❤✐ ✤â

1

=
y+
4

x2

1
+ y−
4

2

⇔

1
y+
4

2

1
=x + y−
4
2

2

✭❞♦ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ✤➲✉ ❦❤æ♥❣ ➙♠✮

⇔ y = x2 .

❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ♣❛r❛❜♦❧ y = x2 .

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳✷✳✺✳ ❈❤♦ ❤➔♠ sè y = x2.

❛✮ ❚➻♠ q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â õ t ữủ t t tợ ỗ
t
q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â ❝â t❤➸ ❦➫ ữủ t t ổ
õ ợ tợ ỗ t

ớ ❣✐↔✐

❛✮ ●å✐ A(x0 ; y0 ) ❧➔ ✤✐➸♠ t❤✉ë❝ q✉ÿ t➼❝❤✳
❚❛ ❝â y = f (x) = x2 ⇒ f (x) = 2x.
❚✐➳♣ t✉②➳♥ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) q✉❛ A(x0 ; y0 ) ♥➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) ❝â ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ❧➔ y = k(x − x0 ) + y0 .
✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ (d) t t ừ ỗ t số y = f (x) = x2 ❦❤✐ ❤➺
x2 = k(x − x0 ) + y0
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝â ♥❣❤✐➺♠✳
k = f (x) = 2x
⇒ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 = 2x(x − x0 ) + y0 ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
✣➸ q✉❛ ✤✐➸♠ A ❦➫ ✤÷đ❝ ❤❛✐ t✐➳♣ t ỗ t số y = f (x) = x2

⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 = 2x(x − x0 ) + y0 ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳
⇔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 − 2x0 x + y0 = 0 ❝â ✷ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ (1)
⇔ ∆ = x20 − y0 > 0 ⇔ y0 < x20 .
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tứ õ ữủ t t tợ ỗ t
ỳ ữợ r y = x2
ồ B(x0 ; y0 ) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ♠➔ tø ✤â õ t ữủ t t
ổ õ ợ tợ ỗ t ồ k1 , k2 sè ❣â❝ ❝õ❛ ❤❛✐ t✐➳♣ t✉②➳♥

➜②✳
❑❤✐ ✤â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ (1) ❝â ♥❣❤✐➺♠ 2 ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ ❜✐➺t x1 ; x2 ✈ỵ✐ k1 =
1
4y0
= −1 ⇔ y0 = − .
2x1 ; k2 = 2x2 t❤ä❛ ♠➣♥ k1 k2 = −1 ⇔ 4x1 x2 = −1 ⇔
1
4
1
❱➟② q✉ÿ t➼❝❤ ❝➛♥ t➻♠ ❧➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ y = − ✳
4

download by :


✶✾

❈❤÷ì♥❣ ✷

❑❤❛✐ t❤→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸
❣✐↔✐ ♠ët sè t số
ị tữ
ở ữỡ ồ ỵ tữ ử t t ỵ ổ
ử tr ồ tr q tr t r ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✣↕✐ sè
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ư sû ❞ư♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ✤÷❛ r❛ ❧í✐ ❣✐↔✐
❝❤♦ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❝❤å♥ ❧å❝ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐✱ ❧➔ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤
❣✐ä✐ ❝→❝ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✱ t♦➔♥ q✉è❝ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ✤➲ t❤✐ ❝❤å♥ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❦❤✉ ✈ü❝
❈❤➙✉ ⑩ ữỡ ởt số ữợ ỹ ✣æ♥❣ ❹✉✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤➙✉ q✉❛♥ trå♥❣ ➞♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✈➼ ❞ö ❧➔ ✈✐➺❝ ❜✐➳♥ ✤è✐
❜➔✐ t♦→♥ ❜❛♥ ✤➛✉ ✤➸ ❝❤ó♥❣ ❜ë❝ ❧ë ♥❤ú♥❣ ✤✐➸♠ ❝â t❤➸ ✈➟♥ ❞ư♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t

❝õ❛ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✈➜♥ ✤➲✱ ❝â t❤➸ t↕♠ ❣å✐ ✤➙② ❧➔ q✉→ tr➻♥❤ ✧❍➻♥❤ ❤å❝
❤â❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕✐ sè✧ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ sû ❞ư♥❣ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ❍➻♥❤ ❤å❝ ✤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐
t♦→♥ ✣↕✐ sè ❜❛♥ ✤➛✉✳

✷✳✷✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛
✷✳✷✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❱❡❝tì ❧➔ ♠ët ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❍➻♥❤ ❤å❝✱ ♥â t ợ ố tữủ
ừ ồ tố õ ữợ ởt tố ❜✐➺t ❣✐ó♣ ✈❡❝tì
❧✐♥❤ ❤♦↕t tr♦♥❣ ❝→❝ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈✐➺❝ ❤➻♥❤
t❤➔♥❤ ❤➺ trư❝ tå❛ ✤ë tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❧↕✐ t✐➳♣ tö❝ tr❛♥❣ ❜à

download by :


✷✵

t❤➯♠ ♥❤ú♥❣ ❝ỉ♥❣ ❝ư ♠ỵ✐ ❝❤♦ ✈❡❝tì✳ ❈❤♦ ♣❤➨♣ ①â❛ ✤✐ r❛♥❤ ❣✐ỵ✐ ❣✐ú❛ ❍➻♥❤ ❤å❝
✈➔ ✣↕✐ sè✳
◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❞ü❛ tr➯♥ ✈✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ✈❡❝tì ✈➔
tå❛ ✤ë ✈❡❝tì t❤ü❝ sü ❞➵ ❤✐➸✉ ✈➔ tr s ữợ
s ữ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ✈✐➺❝ sỷ ử tỡ tồ ở tỡ
t r ởt ữợ t ợ ỗ tớ t tữ s→♥❣ t↕♦ ✈➔
✈➟♥ ❞ö♥❣ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤♦ ❤å❝ s

rữợ t t ởt sè ✈➜♥ ✤➲ ❝➠♥ ❜↔♥ ✈➲ ✈❡❝tì ♥❤÷
s❛✉

✶✮ ❈→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ✈❡❝tì
❛✮ |u + v| ≤ |u| + v|✱

❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤❛✐ ✈❡❝tì ũ ữợ k R+ : u = kv ✳
❜✮ ⑤u + v + w| ≤ |u| + |v| + |w|✱
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❜❛ ✈❡❝tì ❝ị♥❣ ữợ rở n tỡ
u| |v|| ≤ |u + v|✱
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤❛✐ tỡ ữủ ữợ k R : u = kv ✳
❞✮ ⑤u| − |v| ≤ |u| + |v|✱ ❞➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ❤♦➦❝ v = 0 ❤♦➦❝ u; v ữủ
ữợ
u.v| |u|.|v| r ❤❛✐ ✈❡❝tì ❝ị♥❣ ♣❤÷ì♥❣✳

✷✮ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ tå❛ ✤ë ✈❡❝tì

❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ✈ỵ✐ ❤➺ trư❝ tå❛ ✤ë ❖①②✱ ❝❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì u = (x1 ; y1 );

v = (x2 ; y2 )✳ ❑❤✐ ✤â✿
❛✮ u + v = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
❜✮ u − v = (x1 − x2 ; y1 − y2 )
❝✮ ku = (kx1 ; kx2 )(k ∈ R)
❞✮ u.v = |u|.|v|.cos(u.v)
❡✮ u.v = x1 .x2 + y1 .y2
❢✮ ⑤u| =

x21 + y12
❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈ỵ✐ ❤➺ trư❝ tå❛ ✤ë Oxyz ❝❤♦ ❤❛✐ ✈❡❝tì u = (x1 ; y1 ; z1 );
v = (x2 ; y2 ; z2 )✳ ❑❤✐ ✤â✿
❛✮ u + v = (x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 )✳
❜✮ u − v = (x1 − x2 ; y1 − y2 ; z1 − z2 )✳
❝✮ k.u = (kx1 ; ky1 ; kz1 )(k ∈ R)
❞✮ u.v = x1 .x2 + y1 .y2 + z1 .z2
❡✮ |u| =

x21 + y12 + z12

download by :


✷✶

❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ tr♦♥❣ ✣↕✐ sè ♠➔ ❧í✐ ❣✐↔✐ ❝â sû ❞ư♥❣ ✤➳♥
✈❡❝tì ✈➔ tå❛ ✤ë ✈❡❝tì ✭✤÷đ❝ tr➼❝❤ ❞➝♥ tø ❈→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲ t ồ ỗ ữù

ồ s ọ ũ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✮✳ ▼ët ❝→✐ ♥❤➻♥ tê♥❣ t❤➸
✤➸ ❧➔♠ ♥ê✐ ❜➟t ✈✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ✈❡❝tì ❝❤♦ ♥❤✐➲✉ ❞↕♥❣ t♦→♥ tø sè ❤å❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝✱ ❝ü❝ trà ✤➳♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✱ ❤➺ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✳

❇➔✐ t♦→♥ ✷✳✷✳✶✳✶✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t❛ ❧✉æ♥ ❝â
3
cos A + cos B + cos C ≤ . (1)
2

▲í✐ ❣✐↔✐
❈→❝❤ ✶✳ ✭❙û ❞ư♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè✮ ❙û ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❧÷đ♥❣
❣✐→❝ ❝ì ❜↔♥
❚❛ ❝â

A−B
A+B
. cos
+ cos C
2
2

C
A−B
C
= 2 sin . cos
− 2 sin2 + 1.
2
2
2

cos A + cos B + cos C = 2 cos

❚❛ ❝â cos

A−B
≤ 1.
2

Cˆ
C
❱➻ 0◦ < Cˆ < 180◦ ⇒ 0◦ <
< 90◦ ⇒ sin > 0
2
2
C
A−B
C
⇒ 2 sin . cos
≤ 2 sin .
2
2

2
❉♦ ✤â✱
C
C
− 2 sin2 + 1
2
2
2
C 1
3
3
⇔ cos A + cos B + cos C ≤ −2 sin −
+ ≤ .
2
2
2
2


 cos A − B = 1
ˆ
Aˆ = B
2
⇒
❉➜✉ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ①↔② r❛ ⇔
C 1

Cˆ = 60◦
 sin − = 0
2

2
ˆ = Cˆ = 60◦ ⇒ ❚❛♠ ❣✐→❝ ABC ✤➲✉✳
⇒ Aˆ = B
cos A + cos B + cos C ≤ 2 sin

❈→❝❤ ✷✳ ✭❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✣↕✐ sè✮ ❙û ❞ö♥❣ t❛♠ t❤ù❝ ❜➟❝ ❤❛✐
❳➨t

cos A + cos B + cos C −

3
A+B
A−B
C 3
= 2 cos
cos
+ 1 − 2 sin2 −
2
2
2
2
2
C
A−B
C 1
= 2 sin cos
− 2 sin2 −
2
2
2

2

download by :